Geometrisches Begründen und Beweisen

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Geometrisches
Begr
ünden und
Begründen
Beweisen
Julia Dutenhöfer und Anna Vorpahl
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Begriffsklärung
Überblick Rahmenlehrplan
Diskussion
Allgemeine Ratschläge
Zwei Beweisbeispiele
Gruppenarbeit
Begriffsklärung
Was versteht ihr unter den Begriffen
Axiom,
Definition,
Satz,
Argumentieren,
Begründen und
Beweisen?
Begriffsklärung
Axiom:
Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter
Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft,
eines axiomatischen Systems).
Bsp.: „Jede natürliche Zahl n hat genau einen
Nachfolger n+1.“ ist ein Axiom der
Arithmetik.
Begriffsklärung
Definition:
Eine Definition ist entweder eine Bestimmung
1. des Wesens einer zu erklärenden Sache oder
2. eines Begriffs oder
3. die Feststellung eines tatsächlich geübten
Sprachgebrauchs, oder
4. die Festsetzung oder Vereinbarung eines
solchen.
Begriffsklärung
Satz:
Ein Satz oder Theorem ist in der
Mathematik eine widerspruchsfreie
logische Aussage, die mittels eines
Beweises als wahr erkannt, das heißt,
aus Axiomen und bereits bekannten
Sätzen hergeleitet werden kann.
Begriffsklärung
Argumentieren, Begründen und
Beweisen:
Der Begriff Beweisen ist eng mit
axiomatisch-deduktiver
Erkenntnissicherung, mit formalem
Charakter und mit Strenge der
Schlussfolgerung verbunden.
Begriffsklärung
Argumentieren, Begründen und
Beweisen:
Den Begriff Beweisen ergänzt man mit
dem breiteren Begriff Begründen,
wenn auch andere Begründungsformen,
wie das inhaltlich-anschauliche
Begründen angebracht werden.
Begriffsklärung
Argumentieren, Begründen und
Beweisen:
Die soziale und kommunikative
Dimension des Begründens wird mit
dem Begriff des Argumentierens noch
deutlicher akzentuiert.
Überblick
Rahmenlehrplan
Form und Veränderung, Kl. 3/4:
Überblick
Rahmenlehrplan
Rahmenlehrplan Grundschule:
S. 24
Überblick
Rahmenlehrplan
Form und Veränderung, Kl. 5/6:
Überblick
Rahmenlehrplan
Form und Veränderung, Kl. 5/6:
Überblick
Rahmenlehrplan
Rahmenlehrplan, Sek. I:
Überblick
Rahmenlehrplan
Leitidee Raum und Form:
Diskussion
Müssen Schülerinnen und Schüler in
der Schule im Geometrieunterricht
Argumentieren, Begründen und
Beweisen?
Allgemeine Ratschläge
• Alles, was man sich für Schüler wünscht, muss zuvor bei
Mathematiklehrern und Lehramtsstudenten erreicht
werden. → Also sind alle Empfehlungen zum Beweisen auch
in der Aus-, Fort- und Weiterbildung von
Mathematiklehrern anzuwenden.
• An vertrauten, leicht durchschaubaren Alltagsbeispielen und
an sicher verfügbaren mathematischen Beispielen versuchen
das Argumentieren zu lehren und die logischen
Strickmuster bewusst zu machen.
• Mit dem Argumentieren bereits in der Grundschule
beginnen (Einsatz von Problemaufgaben, Begründen und
Verteidigen der eigenen Lösungswege etc.).
Allgemeine Ratschläge
• Beispiele zum Argumentieren ausarbeiten für
Schüler: Offenlegung heuristischer Überlegungen,
ausführliche Dokumentationen.
• Sprachlich- logische Schulung auch im
Mathematikunterricht, z.B. Werbe- und andere
Sprüche beurteilen, Analysieren rechtlicher
Formulierungen, Ausfüllen von Formularen → der
Zwang zum präzisen Ausdruck zwingt auch zum
Nachdenken über den betreffenden Sachverhalt.
• Entdeckendes Lernen
Allgemeine Ratschläge
• Allgemeine Bemerkungen zum
Beweisen geben (beweisspezifische
Methodenkompetenz).
• Schülern und Schülerinnen die
Notwendigkeit des Beweisens
einsichtig machen → Beweisbedürfnis
wecken
Allgemeine Ratschläge
• Trainingsmöglichkeiten für ein eigenes
Formulieren von Beweisen im Unterricht geben Schülerzentrierung
• z.B.: Lösen von Berechnungs-, Konstruktions- und
Beweisaufgaben und dabei zu einzelnen Schritten
Gründe angeben
• z.B.: Mathematische Aufsätze verfassen →
Begründen des eigenen mathematische Vorgehens
→ z.B. in Lern- oder Reisetagebüchern
• Verifikation/ Rückschau/ Überblick über den
Beweis, Diskussion des Beweises
Zwei Beispiele
1. Beispiel: Beweis des Kosinussatzes
Beweis des Kosinussatzes
(Typische) Defizite:
•
für ein singuläres Problem, wird sofort eine allgemeine
Lösung gesucht (Dieses Vorgehen ist nicht einsichtig/
motiviert die Schüler und Schülerinnen nicht)
•
keine Transparenz des Vorgehens: Es wird nicht deutlich
herausgestellt, welche Gesetzmäßigkeit hergeleitet
werden soll. Deswegen werden unsinnige Vorschläge von
den Schülern gemacht, wie z.B. bekannte Größen durch
unbekannte zu ersetzten.
•
Es findet weder eine strategische Planung noch eine
Retrospektive der Herleitung statt.
Beweis des Kosinussatzes
(Typische) Defizite:
•
Da die Lernenden anschließend ausschließlich die Formel
anwenden müssen, spielt die Beweisführung für sie eine
sehr untergeordnete Rolle bzw. hat keine Bedeutung für
sie.
•
Die Lernenden haben keine Chance für eigenständiges
Problemlösen auf Grund des auf die (nur der Lehrerin
bekannte) Lösung zusteuernden, fragend- entwickelnden
Unterrichtsgesprächs. Es wird sogar teilweise zum
Ratespiel.
•
Schüler klinken sich aus und folgen dem
Unterrichtsgeschehen nicht.
Beweis des Kosinussatzes
Wie könnte man den beschriebenen Unterrichtsverlauf verbessern?
•
Als Lehrkraft könnte man das beschriebene Problem mit den
Schülern und Schülerinnen zunächst konkret lösen (durch
einsetzen der gegebenen Größen).
•
Anschließend könnte man ihnen ein ähnlich aufwendiges Problem
geben und sie dieses lösen lassen.
•
Danach könnte man das Vorgehen bei beiden Aufgaben
analysieren.
•
Dabei werden die angewendeten Strategien und Lösungsschritte
erkennbar.
•
Um nicht jedes Mal bei ähnlichen Aufgaben so aufwendig
vorgehen zu müssen, kann die Suche nach einer allgemeinen
Lösung motiviert werden.
2. Beispiel:
Innenwinkelsumme im
Dreieck
Beispiel aus dem Unterricht:
- Arbeitsblatt mit 6 verschiedenen
Dreiecken
- Aufgabe: Innenwinkel messen
- Drei Abweichungen: 178°, 180,5°, 181°
- Kurze Diskussion, dann Abstimmung
- Merksatz
Innenwinkelsumme im
Dreieck
Andere Möglichkeit:
1. Vermutung aufstellen: In jedem Dreieck beträgt
die Summe der Innenwinkel 180°.
2. Das Problem wird untersucht:
enaktiv: Schere, Geodreieck
Dreieck ausschneiden, Ecken abschneiden und
neu zusammensetzen
Mehrere kongruente Dreiecke so
zusammensetzen, dass unten eine gerade Linie
entsteht
Innenwinkelsumme im
Dreieck
Kinder können selbstständig begründen,
warum die aufgestellte Vermutung wahr ist.
Der Lehrer sollte nur zum selbstständigen
Arbeiten anregen, z.B. klären, was die
Schüler alles über Dreiecke und Winkel
wissen.
Innenwinkelsumme im
Dreieck
Vergleicht man die Aussagen und Ergebnisse der
Experimente, kann dies zu einer Beweisidee führen.
Beweisidee: Eine gerade Linie überspannt einen
Winkel von 180°. Entsprechend müsste man zeigen,
dass die Winkel in einem beliebigen Dreieck
kongruent zu passenden Winkeln sind, die sich zu
einer geraden Linie zusammen setzen lassen.
Gruppenarbeit
Geometrische
Denkaufgaben von Paul
Eigenmann
• ikonisch formulierte Aufgaben
• Sie lassen dem Unterricht besonders viele
Differenzierungsmöglichkeiten hinsichtlich
Sprach- und Anspruchniveau, ohne ihn mit
immer neuen Erläuterungen zu
überfrachten.
• Wer für seine Lösung gut argumentiert,
kann Recht bekommen!
Geometrische
Denkaufgaben von Paul
Eigenmann
• Zunächst wird von den Schülern vielleicht nur halbwegs
sorgfältig abgezeichnet und nachgemessen. (gar nicht so
einfach bei späteren Aufgaben, wenn die Reihenfolge oder
Querbedingungen unklar sind)
• Schüler, die dabei bereits Probleme haben, bekommen von
anderen Schülern freihändig skizzierte
Bedienungsanleitungen gezeichnet.
• Sobald daraus nonverbale Konstruktionsbeschreibungen
werden, merken viele Schüler rasch selbst, dass man die
Konstruktion von z.B. Mittelsenkrechten Höhen, Winkel oder
Seitenhalbierenden nicht jedes Mal wieder beschreiben
muss, wenn man dafür „Makros“ oder „Module“ mit
suggestiven Namen erfindet
Geometrische
Denkaufgaben von Paul
Eigenmann
• Es wird deutlich, wo Fachsprache nützlich ist und warum
gute sprachlich- symbolische Repräsentationen Übersicht
erleichtern.
• Sie bieten vielfältige Möglichkeiten: zeichnerische oder
rechnerische Lösung (zunächst) frei, verdeckter
Lösungsanschrieb (Schüler beschreibt seine
Hausaufgabenlösung, Mitschüler zeichnen freihändig mit),
unterbestimmte oder überbestimmte abgewandelte
Aufgaben, schrittweise explizitere Heuristik: Hilfslinien
zwischen noch unverbundenen Punkt, „ähnliche“ Aufgaben
oder Sätze, Symmetrisierung, vorübergehendes
Vereinfachen etc.
Noch Fragen?
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