Hochschule für Technik und Wirtschaft
Wintersemester 2018/2019
35. Dezember 2018
Fakultät 1
St. Neumeier
Probe – Klausur
Mathematik I für GSEL
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matr.–Nr.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Studiengang: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das ist eine Probeklausur für zuhause. Sie wird von mir nicht korrigiert und
nicht bewertet. Weitere Informationen habe ich in einem Anhang beigefügt.
Es ist nur 1 handbeschriebenes DIN A4-Blatt mit Notizen zugelassen. Taschenrechner und andere elektronische Hilfsmittel sind nicht zugelassen.
Benutzen Sie ausschließlich die mit den Aufgabenblättern angehefteten karierten Blätter. Für Nebenrechnungen stehen Ihnen ganz hinten einige zusätzliche
Blätter zur Verfügung. Wenn Sie weitere Blätter benötigen, melden Sie sich bitte
bei mir.
Die gehefteten Blätter sind nicht abzureißen. Fehlende Blätter gelten als Täuschungsversuch.
Außer der handbeschriebenen Formelsammlung und den gehefteten Blättern ist
kein anderes Schreibpapier nicht zugelassen, auch nicht auf den Tischen.
Mit Bleistift geschriebene Klausuren können nicht gewertet werden.
Geben Sie immer den vollständigen Rechenweg an.
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Die Klausur ist mit 30 von 60 Punkten bestanden.
Korrektur
1
2
3
1
4
5
6
Σ
1. Aufgabe
10 Punkte
Vereinfachen Sie die folgenden mathematischen Ausdrücke zur Aussagenlogik,
zu reellen und komplexen Zahlen und zu Matrizen. Bei jeder Berechnung ist
mindestens ein Zwischenschritt anzugeben.
A und B sind Aussagen mit unbekanntem Wahrheitswert.
b) ¬A ∧ ¬B ⇒ (A ∨ B) ,
10 + 30i
d)
,
8 − 6i
a) (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ B) ,
7
(Binomialkoeffizient),
c)
3
!
!
!
1 −1
0 1
1 0
e)
+
.
2 3
1 0
0 1
2
(Aufgabe 1)
3
(Aufgabe 1)
4
2. Aufgabe
10 Punkte
a) Lösen Sie die Gleichung für x ∈ C:
2x2 − 4x + 10 = 0.
b) Lösen Sie die Gleichung für z ∈ C, wobei die Lösungen in der Form reiϕ
mit r ∈ R+
0 und ϕ ∈ [0, 2π[ anzugeben sind.
z4 =
5
i
.
16
(Aufgabe 2)
6
(Aufgabe 2)
7
3. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben sind die bijektiven Funktionen f , g und h mit
f : R → R, x 7→ 2x + 1;
g : R \ {−1} → R \ {0}, x 7→
1
;
x+1
+
2
h : R+
0 → R0 , x 7→ 2x .
a) Ermitteln Sie die Umkehrfunktionen f −1 , g −1 und h−1 .
b) Bilden Sie die Komposition f ◦ g ◦ h.
c) Wie ist die Funktion
k : R \ {−1} → R, x 7→
aus f , g und/oder h zusammengesetzt?
8
2
+1
x+1
9
(Aufgabe 3)
10
(Aufgabe 3)
11
4. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben ist eine gebrochen-rationale Funktion f mit dem Funktionsterm
f (x) =
2x4 − 7x3 + 3x2 + 8x + 1
,
(x − 2)2 (x + 1)
und es sei bekannt, dass im Term f (x) Zähler- und Nennerpolynom keine gemeinsamen Nullstellen haben.
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge für die Funktion f . Geben Sie die
Polstellen von f zusammen mit ihrer Ordnung an.
b) Bestimmen Sie die Gleichungen für alle im Graphen von f auftretenden
Asymptoten (senkrecht und waagrecht/schräg).
12
13
(Aufgabe 4)
14
(Aufgabe 4)
15
5. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben sind die drei reellen Matrizen
!
1
4 2
A :=
,
B :=
0
8 5
1
A, B und C mit
0 2
C :=
1 2
,
2 0
2 0 1
0 2 1
!
.
a) Berechnen Sie die Produkte AC und CB sowie die Inverse A−1 .
b) Berechnen Sie det B. Ist die Matrix B invertierbar?
c) Lösen Sie das Gleichungssystem
A
x1
x2
!
16
=
−2
−7
!
.
17
(Aufgabe 5)
18
(Aufgabe 5)
19
6. Aufgabe
10 Punkte
Gegeben ist das Polynom
p : R → R, x 7→ x3 + 3x2 − 4.
a) Bestimmen Sie von p die Nullstellen zusammen mit den Vielfachheiten.
Geben Sie eine Linearfaktorzerlegung von p an.
b) Bestimmen Sie die relativen Extrema von p (Stelle, Wert und Eigenschaft
Minimum/Maximum).
c) Bestimmen Sie die Wendestelle. (Den Wert des Polynoms an dieser Wendestelle brauchen Sie nicht zu berechnen.)
d) Skizzieren Sie den Graphen von p. Ist p bijektiv?
20
21
(Aufgabe 6)
22
(Aufgabe 6)
23
(Nebenrechnungen)
24
(Nebenrechnungen)
25
(Nebenrechnungen)
26
Für weitere Hinweise zur Klausur bitte wenden!
27
Kurzinformationen zur Klausur für das Modul Mathematik 1 bei Stefan Neumeier
• Um das Modul Mathematik 1 für GSEL bei mir abzuschließen, muss lediglich eine Klausur bestanden werden.
• Wenn Sie die Übungsblätter und die Probeklausur zwei- oder dreimal
durchrechnen und nicht erst sieben Tage vor dem Termin damit beginnen, wird für Sie das Bestehen der Klausur kein Problem darstellen und
sogar eine 1,0 durchaus erreichbar sein.
(Bitte insbesondere beachten, dass die Probeklausur nicht haargenau den
Lehrstoff abdeckt! Wir haben mehr gelernt, als in eine Klausur reinpasst.)
Bei einer Klausur wird nicht nur das Verständnis, sondern auch die Geschwindigkeit geprüft.
• Die Klausurtermine erfahren Sie im LSF.
• Bitte sorgen Sie dafür, dass Ihre Anmeldung korrekt durchgeführt wurde.
Achten Sie bei Rücktritten ( Schieben“) darauf, dass ab dem Semester der
”
ersten Modulbelegung eine Frist läuft, innerhalb derer das Modul bestanden werden muss. Diese Frist ist vom Studiengang abhängig, dauert aber
mindestens drei kalendarische Semester. Näheres erfragen Sie bitte bei der
Verwaltung. Ich darf keine verbindliche Antwort geben; ich erteile Ihnen
nur“ eine Beurteilung Ihrer Modulleistung.
”
• Bringen Sie bitte Ihren Studentenausweis mit. Falls Ihr Studentenausweis
kein Foto von Ihnen enthält, legen Sie zusätzlich einen amtlichen Lichtbildausweis vor.
• Ich schreibe jede Person auf, die zur Klausur erscheint und die Aufgabenblätter entgegennimmt. Ich fertige einen Sitzplan an.
• Ich bekomme für jede Klausur eine ausgedruckte Teilnehmerliste. Nur für
die dort angegebenen Teilnehmer kann ich die Prüfungsnoten in das LSF
eintragen oder ein Nicht erschienen.“ vermerken.
”
• Ich kann niemanden spontan vor Ort“ zur Klausur zulassen. Bei Unre”
gelmäßigkeiten entscheidet die Fachbereichsverwaltung, nicht ich.
• Betreffs des üblichen Schreibmaterials (Papier, Kugelschreiber,. . . ) noch
einmal der Hinweis: Es sind keine Bleistifte zu benutzen, auch nicht bei
Skizzen (Koordinatensysteme, Geraden, Funktionsgraphen etc.). Mit Bleistift erzeugte Texte und Bilder werden als nicht geschrieben angesehen.
Wie Sie vielleicht bemerkt haben, erhalten Sie mit den Aufgaben gleichzeitig einige karierte Blätter zum Beschreiben. Nur geheftete Blätter werden
bewertet; bitte seien Sie sorgsam beim Wenden der Seiten. Sie dürfen keine Blätter abreißen oder neue Blätter dazutackern. Sie dürfen auf den
Arbeitstischen keine losen Blätter haben.
28
Weitere Blätter stelle ich Ihnen auf Anfrage gerne zur Verfügung; ich tackere diese zusätzlichen Blätter mit dran.
• Ich weise ausdrücklich darauf hin, dass in den Klausuren für Mathematik 1 keine Taschenrechner zugelassen sind. Die Aufgaben lassen sich mit
einfacher Dezimalzahl- und Bruchrechnung lösen.
• Es können 60 Punkte erreicht werden. Die Umrechnung der erreichten
Punkte ersehen Sie aus folgender Tabelle:
Punkte
in Prozent
Note
57-60
95–100
1,0
54-56
90–unter 95
1,3
51-53
85–unter 80
1,7
48-50
80–unter 75
2,0
45-47
75–unter 80
2,3
42-44
70–unter 75
2,7
39-41
65–unter 70
3,0
36-38
60–unter 65
3,3
33-35
55–unter 60
3,7
30-32
50–unter 55
4,0
bis 29
unter 50
5,0
• Die Klausur wird als bestanden gewertet, wenn 30 oder mehr Punkte
erreicht wurden.
Die Klausur wird als nicht bestanden gewertet, wenn 29 oder weniger
Punkte erreicht wurden.
• Die Klausur wird auch als nicht bestanden gewertet, wenn der Teilnehmer auf der Teilnehmerliste steht und erschienen ist, jedoch nichts abgibt.
Ein Nachreichen von ärztlichen Attesten oder andere Maßnahmen müssen
Sie mit der Verwaltung abklären; ich kann nichts weiter für Sie tun.
• Man kann die Klausur auch durch einen Täuschungsversuch nicht bestehen. Ein solcher Täuschungsversuch liegt zum Beispiel vor, wenn miteinander gesprochen/geflüstert oder voneinander abgeschrieben oder gar
über ein elektronisches Gerät Hilfe geholt wird.
Die Prüfungskommission des Fachbereichs kann auch dann noch nachha”
ken“, wenn ich Ihre Noten schon lange im LSF fest verbucht habe.
Bitte aber ersparen Sie sich und mir derartige Probleme. Vielen Dank.
• Ich wünsche Ihnen viel Erfolg! ,
29
