Algebra 2 für Dummies

-1Algebra 2 für Dummies
Version 0.81
Algebra 2 für Dummies
(n _ k) := „n tief k“
1. Abzählen
N,M: Mengen
|M|=m; |N|=n
Anzahl Rundreisen durch n Punkte: (n-1) / 2
Anzahl Funktionen N  M : mn
mn : Anzahl der Folgen der Länge n aus Elementen in M
Mn : Menge aller Folgen der Länge n aus Elementen in M
|Mn| = mn = |M|n
Anzahl der Teilmengen von N: 2n
2n-1 gerade Teilmengen
2n-1 ungerade Teilmengen
N
2 = Menge aller Teilmengen von N
|2N| = 2|N|
injektive Funktion: zwei verschiedene Elemente werden auch auf verschiedene Werte abgebildet
mn :=

i=0..n-1
(m – i) = m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))
es gibt
injektive Funktionen N  M
mn : Anzahl der Folgen der Länge n aus verschiedenen Elementen in M
Mn : Menge aller Folgen der Länge n aus verschiedenen Elementen in M
|Mn| = |M|n
mn
Permutation von X: bijektive Abbildung von X nach X
A  B ist bijektiv, bedeutet A  B ist injektiv, wobei |A| = |B|
Anzahl Permutationen einer Menge N: n! = nn
Zweizeilenform einer Permutation:
( x1
... xi
... xn )
(p(x1) ... p(xi) ... p(xn)
Einzeilenform (falls es eine natürliche Reihenfolge in X gibt) : (p(x1) ... p(xi) ... p(xn)
p  q := p(q(x))
ist eine Permutation, falls p und q Permutationen sind
Binomialkoeffizient:
(n _ k) = nk / k!
wenn n  k  0 : (n _ k) = n! / k!(n-k)!
(n _ k) : Anzahl k-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge
(N _ k) : Menge aller k-elementiger Teilmengen von N
|(N _ k)| = (n _ k)
für n  1 und k  1 : (n _ k) = (n-1 _ k) + (n-1 _ k-1)
|N k| = k! |(N _ k)|
2n =

k=0..n
(n _ k)
Auf wie viele Arten kann man eine Zahl m als Summe von r Zahlen 0 schreiben?
 (m+r-1 _ r-1) Möglichkeiten
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2. Graphen
Ein Graph besteht aus einer Knotenmenge (V) und einer Kantenmenge (E).
G = (V,E)
adjazente Knoten  benachbarte Knoten  die Knoten sind mit einer Kante verbunden
Ein Knoten v und eine Kante e sind inzident, falls v ein „Endpunkt“ von e ist.
Kn: vollständiger Graph
Cn: Kreis
Kn,m: vollständiger bipartiter Graph
Pn: Pfad (n=Anzahl Kanten!)
n Knoten, jeder ist mit jedem verbunden
n Knoten, jeder ist mit genau 2 anderen verbunden
2 Mengen von Knoten N und M, jeder Knoten aus M ist mit
jedem aus N verbunden
n+1 Knoten, bilden eine „Schlange“
Anzahl Graphen, die mit n Knoten möglich sind: 2(n _ 2)
degG(v): Grad eines Knoten in G; Anzahl Kanten, die von v ausgehen
 deg (v) = 2 |E(G)|
v
G
G ist zusammenhängend, wenn es von jedem Knoten zu jedem Knoten einen Weg gibt.
G ist 2-zusammenhängend, falls G-v immer noch zusammenhängend ist (G-v ist G wobei ein beliebiger Knoten weggenommen wurde) und |V|  3.
Zwei Wege von u nach v heissen disjunkt, falls sie ausser u und v keine Knoten gemeinsam haben.
G ist 2-zusammenhängend  von jedem Knoten zu jedem Knoten gibt es mindestens zwei disjunkte
Wege.
Hyperwürfel Qn:
V(Qn) = {0,1}n
(die Knoten sind 01-Folgen der Länge n)
Zwei Knoten u und v sind benachbart, wenn sie sich in genau einer Position unterscheiden.
Qn: 2n Knoten und n2n-1 Kanten
Isomorphie:
G(V,E) und G‘(V‘,E‘) sind isomorph, wenn es eine Bijektion f: V  V‘ gibt, so dass für alle Knoten u, v
gilt:
{u, v}  E  {f(u), f(v)}  E‘
(G  G‘) := G ist isomorph zu G‘
GG
G  G’  G‘  G
G  G’ und G‘  G‘‘ 
G  G‘‘
Es gibt mindestens [2(n _ 2) / n!] bzgl. Isomorphie verschiedene Graphen mit n Knoten
Spaziergang: eine Folge von Knoten, die jeweils durch Kanten verbunden sein müssen
Weg: Spaziergang, in dem alle auftretenden Knoten verschieden sind
Kantenzug: Spaziergang, bei dem jede Kante höchstens einmal auftritt
Eulerzug: Kantenzug, der im gleichen Knoten beginnt und endet, und in dem jeder Knoten und jede
Kante auftritt (d.h. jede Kante genau einmal)
Ein Graph ist eulersch (hat einen Eulerzug)  G ist zusammenhängend und alle Knoten haben gerade Grade
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Abstand von zwei Knoten u und v: dG(u,v) = Länge des kürzesten Wegs von u nach v
Abstandsmatrix: DG
Adjazenzmatrix: AG
dij := dG(vi,vj)
(Abstand von vi zu vj)
aij := { 1, falls (vi,vj)  E (...vi und vj mit einer Kante verbunden sind)
{ 0, sonst
Anzahl der Spaziergänge von vi zu vj := aij(k)
AG(k) = (AG)k
gerichteter Graph:
eine Kante (u,v) heisst Schlinge, falls u=v
Aus-Grad:
In-Grad:
degG(v) = Anzahl der Kanten/Pfeile, die von v wegführen
degG+(v) = Anzahl der Kanten/Pfeile, die zu v führen
 deg
=
v
+
G (v)
 deg
v

G (v)
= |E(G)|
Ein gerichteter Graph stark zusammenhängend, wenn es für jedes Paar von Knoten u, v einen gerichteten Weg von u nach v und einen Weg von v nach u gibt.
Ein gerichteter Graph schwach zusammenhängend, wenn der zugrundeliegende ungerichtete Graph
zusammenhängend ist.
Ein gerichteter Graph besitzt einen gerichteten Eulerzug, genau dann wenn er schwach zusammenhängend ist und für alle Knoten v gilt: degG+(v) = degG(v).
Äquivalenzklassen:
sind Zusammenhangskomponenten eines Graphen.
Alle Knoten innerhalb einer Zusammenhangskomponente sind miteinander verbunden, aber nicht mit
Knoten anderer Zusammenhangskomponenten.
Untergraphen:
H=(W,F) ist ein Untergraph von G=(V,E), falls WV und FE.
H ist ein Kreis in G, falls H ein Untergraph von G und isomorph zu einem C k ist.
Abstand-1-Graph auf 2N
die Knotenmenge V besteht aus allen Teilmengen von N, (2N)
Zwei Knoten sind benachbart, wenn |A  B| = 1
A  B := (A\B)  (B\A) ist die symmetrische Differenz
„Alles was in beiden Mengen vorkommt wird gestrichen, und was übrig bleibt ist die Differenz“
Bsp. : {3,4}  {2,3,4} = {2}
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3. Bäume
Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreis.
G ist ein Baum
 für zwei Knoten u und v gibt es genau einen Weg von u nach v
 G ist zusammenhängend und wenn man eine beliebige Kante e weg nimmt, ist G-e nicht mehr
zusammenhängend (minimal zusammenhängend)
 (|V| = |E| + 1) und G ist zusammenhängend
 wenn man eine beliebige Kante e zu G hinzufügt, hat G+e einen Kreis (maximal kreislos)
Knoten vom Grad 1 heissen „Blätter“
alle anderen Knoten heissen „innere Knoten“
Jeder Baum mit mindestens zwei Knoten hat mindestens zwei Blätter.
Ist v ein Knoten mit Grad 1 in G, so ist G genau dann ein Baum, wenn G-v ein Baum ist.
M* ist die Menge aller Folgen mit Elementen aus M
M* :=

i=0..
Mi
Lexikographische Ordnung von 01-Folgen:
- man beginnt vorne und vergleicht die Elemente, solange sie gleich sind, geht man ein Element
weiter
- bei verschiedenen Elementen ist die Folge in der eine 0 steht kleiner als die Folge, wo eine 1 steht
- wenn eine Folge vor der anderen fertig ist, und keine verschiedenen Elemente gefunden wurden,
ist die kürzere Folge kleiner
Ein Untergraph H von G heisst aufspannend, falls alle Knoten von G auch in H auftreten.
Anzahl aufspannender Bäume des Kn = nn-2
Prüfercode p(T) eines aufspannenden Baumes T von K n
Codierung:
Entferne immer das kleinste Blatt, bis nur noch zwei Knoten übrig bleiben, und notiere jeweils
den Nachbarn des entfernten Blattes.
bei n Knoten ergibt das einen Prüfercode der Länge n-2
Decodierung:
- notiere eine Zeile unter dem Prüfercode jeweils den kleinsten Knoten, der noch nicht (oder
nicht mehr) im Lösungsschema steht und streiche dabei jeweils das Element des Prüfercodes
das über dem neu notierten steht.
- wenn der ganze Code „gestrichen“ ist, fügt man noch die zwei Zahlen hinzu, die nicht (mehr)
vorkommen.
- die Zahlen, die am Schluss übereinander stehen (gestrichen oder nicht) bilden dann die Kanten
des Baumes
Bsp.: (2, 2, 4, 1)  (2, 2, 4, 1)  (2, 2, 4, 1)  (2, 2, 4, 1)  (2, 2, 4, 1)  (2, 2, 4, 1)(1)
(3, x, x, x)
(3, 5, x, x)
(3, 5, 2, x)
(3, 5, 2, 4)
(3, 5, 2, 4)(6)
Exzentrizität:
Die Exzentrizität eines Knotens v in G: exG(v) ist der maximale Abstand von v zu anderen Knoten in
G.
Das Zentrum C(G) eines Graphen ist die Menge aller Knoten mit minimaler Exzentrizität in G.
Für jeden Baum T hat das Zentrum C(T) höchstens 2 Knoten.
Hat C(T) zwei Knoten, so sind diese benachbart.
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4. Planare Graphen
Ein Bogen ist eine Kurve ohne Selbstüberschneidungen.
Jordankurve: geschlossene Kurve ohne Selbstüberschneidungen.
Eulerformel:
Für konvexe Polytope gilt: #Ecken - #Kanten + #Facetten = 2
Ein Graph ist maximal planar, wenn er planar ist, und man keine Kante hinzufügen kann, so dass der
Graph danach immer noch planar ist.
für einen maximal planaren Graphen mit mindestens drei Knoten gilt:
|E| = 3 |V| -6
 für jeden planaren Graphen mit |V|  3 gilt: |E|  3 |V| -6
Eine Unterteilung von G erhält man, wenn man auf eine bestehende Kante von G einen neuen Knoten
setzt. |V|  |V|+1, |E|  |E|+1
Ein Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Untergraph isomorph zu einer Unterteilung des K5
oder K3,3 hat.
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5. Gruppen
Ein Paar (G, o), eine Menge G mit einer Verknüpfungsvorschrift o, ist eine Gruppe, wenn folgende
Bedingungen gelten:
- Assoziativität: (x o y) o z = x o (y o z)
- es gibt ein Neutralelement e, so dass: (e o x) = (x o e) = x
- zu jedem xG gibt es ein inverses Element y, so dass: (x o y) = (y o x) = e
Eine Gruppe heisst kommutativ oder abelsch falls (x o y) = (y o x) für alle x,yG
Die Ordnung der Gruppe (G,o) ist die Kardinalität |G| von G.
Die ganzen Zahlen Z mit Addition sind eine abelsche Gruppe (e=0, -i ist invers zu i)
(Z,+)
Zn := [0..n-1]
Zn mit Addition mod n ist eine abelsche Gruppe ( e=0, „n-i mod n“ ist invers zu i)
(Zn,+mod n)
Wenn p eine Primzahl ist, ist [1..p-1] mit Multiplikation mod p eine Gruppe.
([1..p-1],xmod p) ist eine Gruppe
Satz von Lagrange:
|G| = |H| * |G/H|
Folgerung:
Die Ordnung |H| einer Untergruppe H einer endlichen Gruppe G ist immer ein Teiler von |G|.
Potenzen eines Elements:
x0 = e
x1 = x
x2 = x o x
usw.
<x> := {xi : iZ}
Menge aller Potenzen von x
G heisst zyklisch, wenn <x> = G für ein xG
Die Ordnung |x| eines Elements x ist definiert als die Ordnung von <x>
|x| ist das kleinste n1, so dass xn=e
Die Ordnung von xG ist Teiler der Ordnung von G und x|G| = e
Ist p eine Primzahl, dann ist jede Gruppe der Ordnung p isomorph zu Z p
Zn* := {i[1..n] und ggT(i,n)=1}
Zn* mit Multiplikation mod n ist eine abelsche Gruppe, die prime Restklassengruppe mod n.
Bsp.: ({1,3,5,7}, xmod 8) oder ({1,2,4,7,8,11,13,14}, xmod 15)
Primzahlentest:
2n-1 mod n = 1  n ist Primzahl
2n-1 mod n  1  n ist keine Primzahl
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Verschlüsselungssystem mit (p,s):
p: Primzahl
ggT(s, p-1) = 1
B[2..p-1]
Verschlüsselung: E = Bs mod p
st mod p-1 = 1 (t ist invers zu s in Zp-1*)
Entschlüsselung: B = Et mod p
RSA-Verschlüsselungssystem mit (n,s):
p,q : Primzahlen
pq
n = pq
(n) = (p-1)(q-1)
ggT(s, (n)) = 1
B[2..n-1]
ggT(B,n) = 1
Verschlüsselung: E = Bs mod n
st mod (n) = 1 (t ist invers zu s in Z(n)*)
Entschlüsselung: B = Et mod n
durch Teilmengen erzeuge Untergruppen:
X: Teilmenge von G
die von X erzeugte Untergruppe <X> ist definiert durch:
1) X und e <X>
2) falls y<X> ist auch y-1<X>
3) falls x,y<X> ist auch xy<X>
4) nur was sich aus 1) bis 3) ergibt ist in <X>
X heisst Erzeugendensystem für G, falls <X> = G
G heisst endlich erzeugt, falls G = <X> für eine endliche Teilmenge X von G
Eine Permutation heisst Transposition, wenn dabei nur zwei Elemente vertauscht werden.
Notation: (x,y) vertauscht Element an Position x mit Element an Position y
Jede Permutation lässt sich als Verknüpfung von Transpositionen schreiben:
 = 1 o 2 o ... o n = (x1, y1) o (x2, y2) o ... o (xn, yn)
Inversion:
zwei Elemente, die in einer Folge in der falschen Reihenfolge stehen
Signatur: ()
Wenn eine Permutation  eine Verknüpfung von k Transpositionen [1..k] ist, so ist die Signatur
() = (-1)k
allgemein: () = (-1)#Inversionen
eine Permutation heisst gerade, wenn () = 1
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-8Algebra 2 für Dummies
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6. Codes
Vn := {0,1}n
ein binärer Code der Länge n
C: Teilmenge von Vn mit |C|  2 , Menge der „Codewörter“
C1 : { 00,
01,
10,
11 }
C2 : { 000,
110, 101,
011 }
C3 : {000000, 111000, 001110, 110011}
erkennt 1 Fehler
erkennt 2 Fehler, korrigiert 1 Fehler
d(a,b) = Abstand = Anzahl der Stellen, in denen sich a und b unterscheiden
(entspricht dem Abstand im n-dimensionalen Hyperwürfel)
 : der minimale Abstand zwischen Codewörtern in C
Ein Code C erkennt bis zu C-1 Fehler
C1=1 C2=2 C3=3
C korrigiert bis zu e Fehler  2e+1
Lineare Codes:
a+b : komponentenweise Addition mod 2
Bsp.: 01001 + 11100 = 10101
C heisst linearer Code, falls für alle a,bC auch a+bC
C1 und C2 sind lineare Codes, C3 nicht.
|C| = 2k  k ist die Dimension von C
 für lineare Codes:
das Gewicht von z w(z) := d(z, 0)
(=“Anzahl der 1 in z“)
C ist das Minimum von w(c), cC, c0
ein linearer Code der Länge n und Dimension k korrigiert e Fehler
 2n-k  (n _ 0) + (n _ 1) + ... + (n _ e)
für konstruktive Kritik, wende dich vertrauensvoll an [email protected]
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