1 Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt

INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1 Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt ................................................................. 1
2 Flächenschwerpunkt ...................................................................................................... 2
3Kapitel ............................................................................................................................. 3
4Kapitel ............................................................................................................................. 4
Anhang.............................................................................................................................. A
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Schwerpunktslehre
1
Schwerlinie, Schwerebene und Schwerpunkt
Wenn wir einen Körper haben, von dem wir den
Schwerpunkt ermitteln wollen, dieser allerdings
aus mehreren Flächen besteht, so teilen wir
diesen in mehrere Teilflächen A1, A2, A3,..., An
auf,
welche
durch
eine
Symmetriebene
geschnitten sind.
Auf jeden dieser nun entstandenen Teilstücke
wirkt
eine
Erdanziehung
mit
parallelen
Teilgewichtskräften FG1, FG2, FG3,..., FGn, welche
jeweils nach unten wirken.
Die Summe aus all diesen Kräften, folglich die Resultierende, ist die Gewichtskraft des
Körpers: FG=FG1+FG2+FG3+...+ Fgn
Da auf der Wirklinie (WL1) der Resultierenden die Gewichtskraft oder auch Schwerkraft
wirkt, wird diese Schwerlinie genannt.
Wird nun der Körper in der Symmetriebene in eine beliebige Lage gedreht (meist um
90°im Uhrzeigersinn), so erhalten wir eine zweite Wirklinie (WL2, Schwerlinie) der
Gewichtskraft.
Der Schnittpunkt der beiden Wirklinien ist der Angriffspunkt der Gewichtskraft F G für jede
beliebige Lage und wird somit als Schwerpunkt S bezeichnet.
Alle Geraden, die durch den Schwerpunkt verlaufen werden Schwerlinie oder
Schwerebene genannt.
Jede Symmetriebene ist also eine Schwerebene und jede Symmetrielinie eine
Schwerlinie, auf denen der Schwerpunkt zu finden ist.
Wird ein Körper im Schwerpunkt gestützt oder aufgehängt, so bleibt er in jeder beliebigen
Lage in Ruhe, da er sich im Gleichgewicht befindet. Der Schwerpunkt ist ein körperfester
Punkt durch den in jeder Lage des Körpers die Resultierende der Gesichtskraft
hindurchgeht.
1
Schwerpunktslehre
2
Flächenschwerpunkt
Die Bestimmung des Schwerpunktes bei einem
symmetrischen Körper getaltet sich recht einfach,
da der Schwerpunkt auf der Symmetrie- / X-Achse
liegen
muss
und
man
nur
der
Schwerpunktsabstand x0 von der Y-Achseauf der
X-Achse berechnen muss.
Aber als Erstes teilen wir den Körper wieder in 2
Teilflächen A1 und A2.
Die Gewichtskraft der jeweiligen Teilstücke wird mit Hilfe des Volumens, der Dichte ρ und
der Fallbeschleunigung g bestimmt.
Die Volumen der Teilstücke ergeben sich aus den Teilflächen A1, A2 und der Dicke s.
Somit ergeben sich:
FG1=m1*g=V1
und
FG2=m2*g=V2*ρ*g
V1=A1 *s
und
V2=A2 *s
FG1=A1 *s*ρ*g
und
FG2=A2 *s*ρ*g
Die Gewichtskraft des Gesamten Körpers wird auf die selbe Weise bestimmt.
A=A1+A2
FG=FG1+FG2=(A1+A2)*s*ρ*g
FG=A*s*ρ*g
Mit diesen vorhandenen Gleichungen stellen wir nun den Momentensatz auf und stellen
diese nach der Gesuchten x0 um.
+FG*x0=FG1*x1+FG2+x2
Da sich alle Momente eine Linksdrehung bewirken, sind alle
Vorzeichen positiv
In diesen nun gewonnenen Momentensatz setzen wir nun unsere Gleichungen ein:
A*s*ρ*g*x0=A1 *s*ρ*g*x1+A2 *s*ρ*g*x2
Stellen wir diese Gleichung nach x0 um, so kürzen sich die Dicke s, die Dichte ρ und die
Fallbeschleunigung g heraus.
x0
A1 x1 A2 x2
A
Somit erkennen wir, dass die Dicke s, die Dichte ρ und die Fallbeschleunigung g für die
Berechnung des Schwerpunktes bei Flächen ohne Bedeutung sind.
Der Momentensatz für Flächen sieht also wie folgt aus:
A*x0=A1*x1+A2*x2+...+An*xn=ΣAn*xn
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Schwerpunktslehre
3
Kapitel
4
Kapitel
3
Anhang
Anhang
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