Word - Mathematik-Labor "Mathe ist mehr"

Station
„Rollkurven - Mathematik
auf dem Jahrmarkt“
Aufgabenblätter
Mathematik-Labor
Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Liebe Schülerinnen und Schüler!
Für die meisten ist er der Fahrspaß auf den Jahrmärkten, viele Erwachsene machen
einen großen Bogen um ihn.
Die Rede ist vom Break Dancer.
Wir wollen in der Station „Rollkurven - Mathematik auf dem Jahrmarkt“ untersuchen,
wie man diesen Break Dancer modellieren kann, welche Bahn ein Fahrgast
zurücklegt, warum einige kalkweiß und wackelig aus ihm aussteigen und was noch
alles an Mathematik in ihm steckt.
Arbeitet bitte die folgenden Aufgaben der Reihe nach durch - bitte keine Aufgaben
überspringen! Falls es mit der Zeit knapp wird, dann arbeitet trotzdem der Reihe
nach weiter. Notfalls bearbeitet ihr die letzten Aufgaben nicht.
Falls ihr nicht wisst, wie ihr an eine Aufgabe herangehen sollt oder bei eurer
Bearbeitung stecken bleibt, könnt ihr die Hilfestellungen (kleines Heft) nutzen. Wenn
es zur jeweiligen Aufgabe eine Hilfestellung gibt, könnt ihr dies am Symbol
am
Rand neben der Aufgabe erkennen. Nutzt diese bitte nur, wenn ihr sie auch benötigt!
Wenn eine Simulation zu einem Thema vorhanden ist und verwendet werden soll,
könnt ihr das am Symbol
am Rand neben der Aufgabe erkennen.
Das Symbol
verweist darauf, dass hier mit einem gegenständlichen Modell
gearbeitet werden soll.
Die Simulationen und weiterführende Informationen zum Thema eurer Laborstation,
findet ihr auf der Internetseite des Mathematik-Labors „Mathe ist mehr“ unter der
Adresse www.mathe-labor.de oder www.mathe-ist-mehr.de.
Wir wünschen Euch viel Spaß beim Experimentieren und Entdecken!
Das Mathematik-Labor-Team
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 1: Eine Rollkurve
Rollt ein Fahrrad auf einer geraden Strecke, so beschreiben verschiedene Punkte
des Fahrrades, z.B. das Ventil des Reifens oder die Pedale, Rollkurven.
Bahnkurven von Punkten auf Kreisen, die auf einer Geraden abrollen, sollen nun in
Experiment 1 untersucht werden.
Experiment 1:
Die Bahnkurve eines festen Punktes eines abrollenden PVC
Rohrs
Material
 Laserpointer
 PVC Rohr
 Brett auf Füßen mit
fluoreszierender Wand
Achtung: Laserpointer
sind kein Spielzeug!
Ein kurzer Blick in den Strahl
kann zu Sehschäden führen!
Steckt den Laserpointer durch ein beliebiges Loch in dem PVC Rohr und rollt es vor
dem Brett parallel zur fluoreszierenden Seite ab. Der Versuch funktioniert im Dunkeln
am besten.
Untersucht nun, wie die Bahnkurve verläuft, wenn der feste Punkt 𝑃
a) innerhalb (|𝑃𝑀| < 𝑟)
b) am Rand (|𝑃𝑀| = 𝑟)
c) in der Mitte (|𝑃𝑀| = 0)
des abrollenden Kreises (PVC Rohr) liegt.
|𝑃𝑀| ist der Abstand des Punktes 𝑃 vom Mittelpunkt 𝑀.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 1: Eine Rollkurve
d) Wie könnte die Bahnkurve aussehen, wenn der Abstand des Punktes 𝑃 vom
Mittelpunkt größer ist, als der Radius des abrollenden Kreises (|𝑃𝑀| > 𝑟)?
Skizziert die beobachteten Bahnkurven:
a)
b)
______________________________
|𝑃𝑀| < 𝑟
______________________________
|𝑃𝑀| = 𝑟
c)
d)
______________________________
|𝑃𝑀| = 0
______________________________
|𝑃𝑀| > 𝑟
Weitere Informationen darüber erhaltet ihr auf der Seite „Rollkurven (Jahrmarkt)“ im
Internet.
Simulation 1: Zykloiden
Simuliert die vier verschiedenen Formen (auf der Seite: „Zykloiden“) und vergleicht
diese mit euren Skizzen. Verbessert diese gegebenenfalls mit einer anderen Farbe.
Anleitung findet ihr in der Simulation selbst.
3
Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 2: Der Break Dancer
Der Break Dancer ist ein weltweit verbreitetes Fahrgeschäft, das auch auf dem
Herbst- und Maimarkt in Landau regelmäßig vertreten ist.
Er besteht aus einer leicht geneigten Drehscheibe, die sich linksherum dreht. Darauf
befinden sich in regelmäßigen Abständen vier Gondelkreuze, die sich rechtsherum
drehen. An den Gondelkreuzen sind jeweils vier Gondeln befestigt, die selbst
beweglich sind. In jeder Gondel finden zwei Personen Platz.
Vorerst konzentrieren wir uns auf die Kombination der Bewegungen der Drehscheibe
und der Gondelkreuze.
Der Break Dancer als Modell
Könnt ihr euch die Bewegung eines Fahrgastes auf dem Break Dancer als Rollkurve
vorstellen? Skizziert oder erklärt:
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 2: Der Break Dancer
Lest euch nun die Informationen auf der Seite „Bewegungsbahn“ durch.
Experiment 2: Die Bewegungskurve des Fahrgastes
Material
 5 „innere“ Kreise
 2 „äußere“ Kreise
 Zeichenblock
 Stift
a) Zeichnet
mit
den
verschieden
großen
Kreisscheiben
mögliche
Bewegungskurven des Fahrgastes. Benutzt dazu immer das äußerste Loch!
b) Kennzeichnet die Bewegungskurven mit den Radien der jeweils verwendeten
Kreise. 𝑅 sei der Radius des äußeren Kreises, 𝑟 der Radius des inneren.
Die Radien der inneren und äußeren Kreise findet ihr auf der Seite „Radien
der Kreise“.
Der äußere Kreis des Modells stellt die Drehscheibe des Break Dancers dar,
der innere Kreis ein Gondelkreuz
c) Zählt die Anzahl der Umrundungen, bis sich die Bewegungskurve schließt und
notiert sie ebenfalls neben der jeweiligen Zeichnung.
Vermutungen
Warum unterscheiden sich die Figuren?
Gibt es Gesetzmäßigkeiten?
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 2: Der Break Dancer
Zusammenhänge der Radien
a) Notiert die Radien der beiden jeweils verwendeten Kreise als Quotient in der
𝑅
Form 𝑟 und kürzt, wenn möglich.
b) Welche beiden Zusammenhänge stellt ihr zwischen den gekürzten Brüchen
und den dazugehörigen Bildern fest?
(1)
(2)
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 2: Der Break Dancer
c) Gibt es Maße für die Radien, so dass sich die Bewegungskurve nie schließt?
Vermutung
Simulation 2: Hypozykloide
Experimentiert mit verschiedenen Radien.
Stellt die nebenstehende Bahnkurve auf zwei Wegen dar.
Möglichkeit 1:
𝑅=
𝑟=
Möglichkeit 2:
𝑅=
𝑟=
Wie könnte das Verhältnis der Radien sein, wenn sich der Passagier nur auf einer
geraden Linie hin und her bewegt?
𝑅
𝑟
=
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Quiz
Kreuzt die richtigen Antworten an!
Ihr dürft auch nochmal die Simulation „Hypozykloide“ zu Hilfe nehmen.
 Die Bewegungskurve schließt sich immer dann nach einer Umrundung,
wenn 𝑅 > 𝑟 ist
 Die Bewegungskurve schließt sich immer dann nach einer Umrundung,
wenn 𝑅 ein ganzzahliges Vielfaches von 𝑟 ist.
𝑅
 Ist 𝑟 mit natürlichen Zahlen darstellbar und vollständig gekürzt,
so schließt sich die Kurve nach 𝑟 Umdrehungen
𝑅
 Ist 𝑟 mit natürlichen Zahlen darstellbar und vollständig gekürzt,
so schließt sich die Kurve nach 𝑅 Umdrehungen
 Bei einem irrationalen Verhältnis der Radien,
schließt sich die Bewegungskurve nie.
 Die Bewegungskurve hat 𝑅 „Ecken“, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist.
 Die Bewegungskurve hat 𝑟 „Ecken“, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist.
Welches Verhältnis haben die Radien folgender Abbildung?
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 3: Die Sitzposition des Fahrgastes
Experiment 3: Sitzposition des Fahrgastes
Material
 1 „innerer“ Kreis (beliebig)
 1 „äußerer“ Kreis (beliebig)
 Zeichenblock
 Stift
Versucht die folgenden Fragen mit Hilfe des Experiments zu beantworten. Wählt
dazu bei gleichem 𝑅 (äußerer Kreis) und gleichem 𝑟 (innerer Kreis) verschiedene
Punkte 𝑃 (Löcher im inneren Kreis) für den Stift (Fahrgast).
Zeichnet nun die möglichen Bewegungskurven.
a) Ändert sich die Anzahl der „Ecken“? Begründet:
b) Ändert sich die Länge der Strecke, die der Fahrgast nach einer Umdrehung
zurücklegt? Begründet:
c) Kreuze an: Die Fahrt ist umso turbulenter, je…
 näher am Rand des Gondelkreuzes
 weiter in der Mitte des Gondelkreuzes
sich der Fahrgast befindet.
Begründet:
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 3: Die Sitzposition des Fahrgastes
Simulation 3: Hypozykloide 2
Der Fall |𝑃𝑀| > 𝑟 kann experimentell nur schwer dargestellt werden. Daher nutzen
wir die Simulation: „Steiner’sche Hypozykloide“.
Stellt die Form von folgender Abbildung in der Simulation dar und notiert eure
Einstellungen (es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten).
𝑅=
𝑟=
|𝑃𝑀| = 𝑎 =
Weitere Informationen zur Steiner’schen Hypozykloide findet ihr unter „Sitzposition“.
Wie muss bei beliebigem 𝑅 und 𝑟 die Sitzposition gewählt werden, damit der
Passagier immer durch den Mittelpunkt der Drehscheibe fährt?
Gibt es eine Gesetzmäßigkeit zwischen 𝑅, 𝑟 und 𝑎 für diesen Fall?
15 Minuten Pause
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes
Nun wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, was den Kick auf dem Break Dancer
eigentlich ausmacht.
Wir nehmen an, dass der Break Dancer folgende Maße hat:
Drehscheibe:
Gondelkreuz:
𝑅 =8m
𝑟 =2m
Somit sieht die Bahnkurve aus wie in der Abbildung.
Was vermutet ihr?

Hat ein Fahrgast auf dem Break Dancer immer dieselbe Geschwindigkeit oder
ist sie an manchen Stellen höher als an anderen?

An welcher Stelle der Bahnkurve ist die Geschwindigkeit am höchsten /
niedrigsten?
Zunächst nehmen wir an, dass die Drehscheibe rotiert und die Gondelkreuze still
stehen. Der Fahrgast sitzt quasi an einem festen Punkt auf der Drehscheibe.
Zerlegen wir die Bewegung, die ein Fahrgast auf dem Break Dancer ausführt, nun in
zwei getrennte Bewegungen. Die Bewegung der Kreisscheibe und die Bewegung
des Gondelkreuzes.
Lest euch die Seite „Geschwindigkeit“ durch.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes
Experiment 4: Wie verlässt die Kugel die Kreisbahn?
Material
 Zylinder (Eimer) auf
Spanplatte
 Murmel
Beschleunigt die Kugel an der Innenwand des Zylinders und beobachtet, wie sie den
Eimer an der Öffnung verlässt. Findet somit heraus, in welche Richtung die
Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn wirkt.
In dieselbe Richtung, in die die Kugel den Eimer verlässt, wirkt auch die Geschwindigkeit an genau dieser Stelle auf den Fahrgast, wenn der Eimer eine sich drehende
Scheibe wäre (Break Dancer).
Folglich muss auch der Geschwindigkeitsvektor in diese Richtung zeigen.
Beschreibt, wie die Kugel den Zylinder verlässt:
Weiterführende Informationen erhaltet ihr auf der Seite „Kugel auf der Kreisbahn“.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes
Geschwindigkeitsvektor am Rand der Drehscheibe
Zeichnet den Geschwindigkeitsvektor an den Punkt 𝑃 in die Abbildung ein.
Entscheidend ist zunächst die Richtung des Vektors, die Länge kann beliebig
gewählt werden.
Hinweis:
Die Drehscheibe dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.
Weiterer Geschwindigkeitsvektor der Drehscheibe
Ein Passagier des Break Dancers befindet sich während seiner Fahrt nicht nur am
Rand der Drehscheibe, sondern auch weiter innen (Erinnert euch an Experiment 3.).
Zeichnet den Geschwindigkeitsvektor ein, der auf den Passagier 𝑃 wirkt.
Die Drehscheibe 𝑐 dreht sich weiterhin gegen den Uhrzeigersinn. Überlegt euch
zuerst, wie ihr vorgeht.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes
Experiment 5: Wovon hängt die Bahngeschwindigkeit ab?
Die Bahngeschwindigkeit ѵ ist die Geschwindigkeit eines Punktes auf einem sich
drehenden Objekt.
Es gilt:
𝑠
ѵ = 𝑡 , wobei 𝑠 der zurückgelegte Weg ist und 𝑡 die dazu benötigte Zeit
Material
 Bohrmaschine
 rotierende Scheibe
 Zeitungsartikel
 Tesafilm
 Schere
Schneidet ein kreisförmiges Blatt vom Durchmesser der Plexiglas Scheibe aus der
Zeitung aus und befestigt dieses mit Klebeband auf der Scheibe. Wählt zunächst
eine kleine Drehzahl und erhöht diese dann schrittweise.
Beobachtung:
Erklärung:
Bedeutung für den Break Dancer:
Weitere Informationen findet ihr auf der Seite „Winkelgeschwindigkeit“.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung
Würde sich der Fahrgast aber mit einer konstanten Geschwindigkeit nur im Kreis
drehen, so wäre das eher mit einem etwas schnelleren Kinderkarussell zu
vergleichen.
Der Fahrgast auf dem Break Dancer führt jedoch eine überlagerte Bewegung aus,
die sich aus zwei einzelnen Bewegungen zusammensetzt, nämlich die Bewegung
der Drehscheibe und die entgegengesetzte Bewegung des Gondelkreuzes.
Nun soll im Folgenden untersucht werden, wie diese beiden Bewegungen
zusammenwirken.
Experiment 6: Zusammensetzung zweier gleichförmiger Bewegungen
Material
 Holzdreieck
 Spanbrett mit Holzleiste
 Zeichenpapier
 Faden mit Schlaufe und Ring
 2 kleine Nägel
Bringt das Holzdreieck kurz vor das linke Ende der Holzplatte (Ausgangslage). Haltet
einen Stift an der oberen Ecke des Dreiecks fest und verschiebt das Dreieck auf der
Holzleiste nach rechts. Zeichnet die Spur.
Bringt Dreieck und Stift in die Ausgangslage zurück und bewegt den Stift am
ruhenden Dreieck senkrecht nach unten. Zeichnet auch diese Spur.
Bringt den Stift zurück in die Ausgangsposition. Steckt den Stift in den Ring, der am
Ende des Fadens befestigt ist. Den Faden führt man senkrecht nach unten, um die
Schraube im Dreieck herum und dann horizontal nach links, bis zur Schraube am
Tafelrand. Dort wird das Ende des Fadens befestigt.
Bewegt nun das Dreieck nach rechts. Dabei bewegt sich der Ring mit dem Stift
gleichzeitig vertikal nach unten. Zeichnet seinen Weg auf. Der Stift vollführt nun
sowohl eine horizontale als auch eine vertikale Bewegung.
Führt ein Körper gleichzeitig zwei gleichförmige Bewegungen aus, so ergibt sich als
resultierende Bewegungsrichtung die
im Rechteck bzw. allgemein im Parallelogramm.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung
Der resultierende Vektor
Im Folgenden ist ein Schlitten zu sehen, welcher von 2 Hunden (2 Vektoren)
gezogen wird. Die Hunde laufen aber nicht parallel und mit gleicher Kraft geradeaus,
sondern in verschiedene Richtungen mit unterschiedlichen Kräften.
Zeichnet den resultierenden Vektor ein.
Informationen findet ihr unter „Vektoraddition I“.
Simulation 4: Vektoraddition II
Auf der Seite „Vektoraddition II“ findet ihr eine Simulation, die euch beim
Beantworten der nachfolgenden Fragen hilft.
Warum laufen Hunde, die einen Schlitten ziehen, parallel in die gleiche Richtung?
In welchem Fall würde der Schlitten zum Stillstand kommen, obwohl beide Hunde mit
gleicher Kraft daran ziehen?
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung
Übertragung auf den Break Dancer
Die Winkelgeschwindigkeit der Drehscheibe sei
1
𝜋 1
4 s
; die der Gondelkreuze das
Vierfache, also 𝜋 s .
Der Radius der Drehscheibe sei 8 m, der eines Gondelkreuzes 2 m.
Benutzt die Zeichnung auf der nächsten Seite!
Geschwindigkeiten des Passagiers aufgrund der Bewegung der Drehscheibe:
Punkt 𝐴:
6,3
Punkt 𝐵:
5,3
m
s
m
s
Punkt 𝐶:
3,1
Punkt 𝐷:
4,2
m
s
m
s
Wir gehen davon aus, dass der Passagier immer am Rand eines Gondelkreuzes sitz.
Somit ist die Geschwindigkeit des Passagiers aufgrund der Bewegung des
Gondelkreuzes an jeder Stelle gleich.
m
Sie beträgt: 6,3 s
a) Zeichnet die beiden Geschwindigkeitsvektoren des Drehkreuzes und des
Gondelkreuzes für jeden Punkt ein. 1 cm Vektorlänge entspricht dabei einer
m
Geschwindigkeit von 1 s .
b) Zeichnet den jeweils resultierenden Vektor mit Farbe ein, messt seine Länge
m
und schreibt das Ergebnis in s an den jeweiligen Vektor. Dies ist die
Gesamtgeschwindigkeit des Passagiers an der entsprechenden Stelle.
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung
Wichtige Wiederholung:
Die Drehscheibe dreht sich rechtsherum und die Gondelkreuze linksherum!
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung
Zusammenfassung der Ergebnisse:
a) An welchen Punkten ist die Geschwindigkeit am höchsten, mittelhoch, am
niedrigsten? Tragt ein:
Geschwindigkeit:
𝐴: _______________
𝐵: _______________
𝐶: _______________
𝐷: _______________
𝐸: _______________
b) Vergleicht euer Ergebnis mit eurer Vorabvermutung auf Seite 11. Verbessert
dieses gegebenenfalls mit einer anderen Farbe!
c) In welchem Abschnitt wird der Passagier beschleunigt, in welchem Abschnitt
gebremst? Kreuzt in der Tabelle das Zutreffende an:
Abschnitt
A–B
B–C
C–D
D–E
beschleunigt
stark beschleunigt
gebremst
stark gebremst
d) Welche beiden Faktoren machen den besonderen Kick auf dem Break Dancer
aus? Begründet eure Vermutungen!
(1)
(2)
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Station „Rollkurven
Mathematik auf dem Jahrmarkt“
Aufgabe 6: Bahnkurve bei beweglichen Sitzen
Simulation 5: 3-Scheiben-Modell
Beim realen Break Dancer bewegen sich nicht nur Drehscheibe und Gondelkreuz,
sondern auch die Sitze.
Dadurch wird die Bahnkurve noch turbulenter.
Stellt folgende Maße auf der Seite: „3-Scheiben-Modell“ ein: großer Radius 𝑅 = 8 cm,
mittlerer Radius 𝑟 = 4 cm.
Experimentiert mit verschiedenen kleinen Radien 𝑟′.
Hat die Bewegung der Sitze Einfluss auf die Anzahl der Ecken und die Anzahl der
Umdrehungen, bis die Bahnkurve geschlossen ist?
(Ecke: Punkt, an dem der Fahrgast den Rand der Drehscheibe berührt)
Hängt die Anzahl der „Bäuche“ zwischen 2 Eckpunkten vom Verhältnis 𝑟 und 𝑟′ oder
𝑅 und 𝑟′ ab? Findet eine Regel.
Gibt es eine Einstellung, sodass der Fahrgast, obwohl Drehscheibe, Gondelkreuze
und Sitze rotieren, nur eine Kreisbewegung auf dem Rand der Drehscheibe
ausführt?
𝑅=
𝑟=
𝑟′ =
Herzlichen Glückwunsch!
Ihr habt nun alle Aufgaben gelöst!
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Mathematik-Labor „Mathe-ist-mehr“
Universität Koblenz-Landau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Jürgen Roth
Fortstraße 7
76829 Landau
www.mathe-ist-mehr.de
www.mathe-labor.de
Zusammengestellt von:
Philipp Breiner
Überarbeitet von:
Sebastian Schönthaler
Betreut von:
Prof. Dr. Jürgen Roth
Veröffentlicht am:
19.07.2011