Powerpoint-Präsentation

Grenzen der Berechenbarkeit
Klaus Becker
2007
2
Algorithmen
„Die mathematische Präzisierung des
Algorithmusbegriffs und die
Erkenntnis der Grenzen der
Algorithmisierbarkeit gehören zu den
größten intellektuellen Leistungen des
zwanzigsten Jahrhunderts.“ (Kirchler)
Zielsetzung:

Grenzen der Berechenbarkeit kennen

Methoden zum Nachweis der Grenzen verstehen
3
Teil 1
Das Halteproblem
4
Frustrierende Erlebnisse
Jeder hat schon einmal die Erfahrung gemacht, dass der Rechner aus
irgendwelchen Gründen nicht mehr reagiert. Soll man noch warten, oder ...
Mein Rechner hat sich
schon wieder aufgehängt!
5
Aufgabe
Testen Sie die folgenden Primzahlprogramme (siehe "primzahlen.py").
Geben Sie jeweils die Startzahl ... (sollte groß gewählt werden) vor.
Programm 1 - Primzahlsuche
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größere Primzahl
Programm 2 - Primzahlzwillinge
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größeres Primzahlzwillingspaar
Programm 3 – Primzahl nicht neben 6er-Zahl
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächste Primzahl, die nicht neben einer 6er-Zahl liegt
6
Beobachtung
Bei groß gewählter Startzahl halten die Programme vorerst nicht.
Programm 1 - Primzahlsuche
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größere Primzahl
Programm 2 - Primzahlzwillinge
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größeres Primzahlzwillingspaar
Programm 3 – Primzahl nicht neben 6er-Zahl
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächste Primzahl, die nicht neben einer 6er-Zahl liegt
7
Lohnt es sich zu warten?
Programm 1 - Primzahlsuche
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größere Primzahl
Bei Eingabe von großen n hält das Programm (vorerst?) nicht.
 Hält immer (kann aber sehr lange dauern).
Programm 2 - Primzahlzwillinge
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächst größeres Primzahlzwillingspaar
Bei Eingabe von großen n hält das Programm (vorerst?) nicht.
 Hält für kleine n. Ob dies für alle n gilt, ist nicht bekannt.
Programm 3 – Primzahl nicht neben 6er-Zahl
Eingabe: Startzahl n
Ausgabe: nächste Primzahl, die nicht neben einer 6er-Zahl liegt
Bei Eingabe von großen n hält das Programm (vorerst?) nicht.
 Hält außer für 1, 2 und 3 nie.
8
Ein Analyseprogramm für Ungeduldige
Ziel ist es, ein Programm zu entwickeln, mit dessen Hilfe man
Endlosschleifen bei beliebigen Programmen feststellen kann. Wir betrachten
hier zunächst die Analyse von Python-Programmen.
True
Python-Programm
+
Eingabedaten
falls
das Python-Programm bei
Eingabe der Daten hält,
sonst
False
9
Textanalyse bei Python-Programmen
Wir vereinfachen das Problem: Getestet werden soll zunächst, ob ein
Python-Programm eine while-Anweisung enthält.
analyseWhile
Python-Programm
True
falls
das Python-Programm eine
while-Anweisung enthält,
sonst:
False
10
Aufgabe
Testen Sie das folgende Analyseprogramm (siehe "analyseWhile.py").
Lassen Sie es verschiedene Python-Programme / beliebige Texte
analysieren. Testen Sie auch den Fall, dass das Programm seinen eigenen
Quelltext analysiert.
def analyseWhile ( dateiname ) :
try :
datei = file ( dateiname )
quelltext = datei.read ( )
datei.close ( )
print quelltext
except :
return 'FehlerBeimLaden‚
liste = quelltext.split ( )
print liste
gefunden = False
for i in range ( 0 , len ( liste ) - 1 ) :
if liste [ i ] == 'while' :
gefunden = True
return gefunden
>>> analyseWhile('ggt1.py')
ggt1.py
def ggt ( x , y ) :
while y > 0 :
h = x % y
x = y
y = h
return x
Aufgabe
11
Modifizieren Sie das Analyseprogramm so, dass es rekursive PythonProgramme erkennen kann. Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass die
zu analysierenden Programme in einer Token-basierten Form vorliegen (der
Quelltext ist hier so gestaltet, dass die einzelnen Bausteine / Token durch
Leerzeichen getrennt sind wie im Beispiel unten).
rekursiv
def ggt ( x , y ) :
if x == y :
return x
else :
if x > y :
return ggt ( x - y , y )
else :
return ggt ( x , y - x )
nicht rekursiv
def ggt ( x , y ) :
while y > 0 :
h = x % y
x = y
y = h
return x
Aufgabe
12
Ein Analyseprogramm soll testen, ob eine der in der Abbruchbedingung
einer while-Anweisung vorkommenden Variablen innerhalb des
Restprogramms einen Wert zugewiesen erhält.
Beurteilen Sie auch den eingeschlagenen Weg, das Terminationsverhalten
eines Programms anhand syntaktischer Eigenschaften des Quelltextes
abzulesen.
kritische Variable
def ggt ( x , y ) :
while y > 0 :
h = x % y
x = y
y = h
return x
13
Selbsthaltende Programme
Ein (Python-)Programm heißt selbsthaltend, wenn es bei Eingabe seines
eigenen Quelltextes hält.
Gibt es ein Programm "analyseSelbsthaltend", das entscheiden kann, ob ein
Python-Programm selbsthaltend ist?
analyseSelbsthaltend
Python-Programm
True
falls,
das Python-Programm bei
Eingabe des eigenen
Quelltextes hält, sonst:
False
Aufgabe
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Wie würde sich dieses "seltsame" Programm bei der Analyse von
Quelltexten / seines eigenen Quelltextes verhalten? Gehen Sie von der
Annahme aus, dass der kommentierte Teil des Programms durch geeignete
Anweisungen realisiert ist.
def seltsam(dateiname):
# wenn das (unter dem Dateinamen abgespeicherte Programm)
# selbsthaltend ist:
#
dann wird der Wert der Variablen selbsthaltend
#
auf True gesetzt,
# sonst
#
wird der Wert auf False gesetzt.
if selbsthaltend:
while True:
selbsthaltend = selbsthaltend
return selbsthaltend
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Ein seltsames Programm
Das Programm 'seltsam.py' kehrt den Spieß um:
seltsam
Python-Programm
hält nicht
falls,
das Python-Programm bei
Eingabe des eigenen
Quelltextes hält, sonst:
hält
Ein seltsames Programm
16
Wenn das Programm 'seltsam.py' sich selbst analysiert, dann ergibt sich
eine widersprüchliche Situation:
'seltsam.py' hält nicht bei Eingabe des eigenen Quelltextes genau dann,
wenn es bei Eingabe des eigenen Quelltextes hält.
seltsam
'seltsam.py'
hält nicht
falls,
das 'seltsam.py' bei Eingabe
des eigenen Quelltextes
hält, sonst:
hält
17
Spezielles Halteproblem
Problem:
Gibt es ein Programm "analyseSelbsthaltend", das entscheiden kann, ob ein
Python-Programm selbsthaltend ist?
Annahme:
Es gibt ein solches Programm .
Konstruktion:
Dann gibt es ein modifiziertes Programm 'seltsam.py', das sich wie folgt
verhält:
seltsam
Python-Programm
hält nicht
falls,
das Python-Programm bei
Eingabe des eigenen
Quelltextes hält, sonst:
hält
Spezielles Halteproblem
18
Argumentation:
Wenn das Programm 'seltsam.py' sich selbst analysiert, dann ergibt sich
eine widersprüchliche Situation:
seltsam
'seltsam.py'
hält nicht
falls,
das 'seltsam.py' bei Eingabe
des eigenen Quelltextes
hält, sonst:
hält
Folgerung:
Die Annahme, dass es ein Programm "analyseSelbsthaltend" gibt, muss
falsch sein.
Entscheidbarkeit
19
Definition: Eine Sprache über einem Alphabet heißt (Python-)
entscheidbar, wenn es ein (Python-) Programm gibt, das für jedes Wort
über dem Alphabet feststellt, ob es zur Sprache gehört oder nicht.
Programm
Wort
True
falls,
das Wort zur Sprache
gehört,
sonst:
False
Beachte:
Das Programm muss für jede Eingabe halten und eine der beiden Ausgaben
"True" bzw. "False" erzeugen.
Entscheidbarkeit
20
Satz: Die Sprache der Python-Quelltexte, die zu einem Programm
gehören, das bei Eingabe des eigenen Quelltextes hält, ist nicht (Python-)
entscheidbar.
True
Python-Programm
falls,
das Python-Programm bei
Eingabe des eigenen
Quelltextes hält, sonst:
False
Fazit:
Das spezielle Halteproblem (Hält ein Programm, wenn es seinen eigenen
Quelltext bearbeitet?) ist nicht (Python-) entscheidbar.
21
Weitere Ergebnisse
Termination ist nicht entscheidbar:
Es gibt kein (Python-) Programm zur Entscheidung von Termination, d. h.
ob ein beliebig vorgegebenes Programm bei Eingabe beliebiger Daten hält.
Korrektheit ist nicht entscheidbar:
Es gibt kein (Python-) Programm zur Entscheidung von Korrektheit, d. h.
ob ein beliebig vorgegebenes Programm bei Eingabe beliebiger Daten eine
im Vorfeld festgelegte Eigenschaft hat.
22
Beurteilung der Ergebnisse
Irren ist menschlich. Solange Menschen Programme schreiben, werden
diese mit Fehlern behaftet sein. (Sneed)
Eine unzuverlässige Programmiersprache, aus der unzuverlässige
Programme hervorgehen, bedeutet eine größere Gefahr für die Gesellschaft
als unsichere Automobile, giftige Schädlingsbekäpfungsmittel oder undichte
Reaktoren in Kernkraftwerken. (Hoare)
23
Teil 2
Berechenbarkeit als Problem
24
Vorsicht: Verallgemeinerungen
„Geben Sie einem Computer die richtige
Software, und er wird tun, was immer Sie
wünschen. Die Maschine selbst mag
Grenzen haben, doch für die Möglichkeiten
von Software gibt es keine Grenzen.“
Das (spezielle) Halteproblem ist nicht
Python-entscheidbar.
D.h.: Es gibt keinen Algorithmus, mit dem
man das (spezielle) Halteproblem lösen
kann.
(zitiert nach D. Harel: Das Affenpuzzle und
weitere bad news aus der Computerwelt)
Etwas unvorsichtige Äußerung eines
Herausgebers einer SoftwareZeitschrift, der seine Erfahrungen
über die Entwicklungen in der
Informatik beschreibt
Etwas schnelle Verallgemeinerung
von Programmen in einer speziellen
Programmiersprache zu beliebigen
Algorithmen
In beiden Fällen werden Aussagen über das algorithmisch Machbare
getroffen. Dies ist insofern problematisch, da hier Aussagen über alle
denkbaren Algorithmen gemacht werden.
25
(Un-)Möglichkeitsnachweise
Es gibt eine Zahl, deren Quadrat 1 ergibt.
Es gibt keine Zahl, deren Quadrat -1 ergibt.
Da 1*1 = 1, ist die Zahl schon gefunden.
Unter "Zahlen" verstehen wir hier reelle
Zahlen.
Aus den Festlegungen über die
Multiplikation reeller Zahlen folgt, dass für
jede reelle Zahl x gilt: x*x ≥ 0.
Also gibt es keine reelle Zahl, deren
Quadrat -1 ergibt.
Es gibt einen Algorithmus, der ... leistet.
Es gibt keinen Algorithmus, der ... leistet.
Möglichkeitsnachweis:
Man entwickelt einen geeigneten
Algorithmus.
Unmöglichkeitsnachweis:
Man muss zeigen, dass es keinen
Algorithmus gibt, der das gestellte
Problem löst. Dies erfordert
letztlich, dass man den
Algorithmusbegriff präzisiert.
26
Was ist ein Algorithmus?
Zielsetzung:
Um Nachweise über alle möglichen Algorithmen führen zu können, benötigt
man eine Klärung des Algorithmusbegriffs.
Ziel der folgenden Betrachtungen ist es daher, diesen Begriff möglichst
präzise zu beschreiben.
Es gibt einen Algorithmus, der ... leistet.
Es gibt keinen Algorithmus, der ... leistet.
Möglichkeitsnachweis:
Man entwickelt einen geeigneten
Algorithmus
Unmöglichkeitsnachweis:
Man muss zeigen, dass es keinen
Algorithmus gibt, der das gestellte
Problem löst. Dies erfordert
letztlich, dass man den
Algorithmusbegriff präzisiert.
Aufgabe
27
Welche der folgenden Verfahren würden Sie als Algorithmus bezeichnen?
def ggt(x, y):
while y > 0:
h = x % y
x = y
y = h
return x
"Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt
bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom
größeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl
übrig bleiben, die die vorangehende misst."
Eingabe: a/b und c/d
Sei g der ggT von b und d.
Sei b = m*g und d = n*g.
Sei x = (n*a + m*b).
Sei y = m*n*g.
Ausgabe: x/y
GGT - Version 2
{x = a; y = b; a,b natürliche Zahlen größer 0}
SOLANGE y > 0
x>y
ja
nein
x := x - y
{x = ggT(a,b)}
y := y - x
Eingabe: Polynomgleichung p mit
ganzzahligen Koeffizienten, in der
verschiedene Variablen mit verschiedenen
Exponenten vorkommen können (wie z. B.
x3 + 5x2y2z – xz + 37 = 0)
Wenn p ganzzahlige Lösungen hat, dann
bestimme ein Lösungstupel t. Ausgabe: t
28
Aufgabe
Vergleichen Sie die Begriffsdefinitionen. Welches sind die definierenden
Eigenschaften des Algorithmusbegriffs? Warum ist es so schwierig, den
Begriff "Algorithmus" präzise zu klären?
Ein Algorithmus ist eine endliche Folge von Instruktionen, die alle eindeutig interpretierbar
und mit endlichem Aufwand in endlicher Zeit ausführbar sind. Algorithmen enthalten
Instruktionen zur Formulierung von (beliebig vielen) Wiederholungen anderer Instruktionen.
Unabhängig von den Werten der Eingangsgrößen endet ein Algorithmus stets nach endlich
vielen Instruktionsschritten. Ein Programm ist dann ein Algorithmus, wenn für alle möglichen
Eingabewerte sichergestellt ist, dass keine Instruktion unendlich oft wiederholt wird. (Knuth)
Ein Algorithmus ist eine präzise, d.h. in einer festgelegten Sprache abgefasste, endliche
Beschreibung eines allgemeinen Verfahrens unter Verwendung ausführbarer elementarer
(Verarbeitungs-) Schritte. (Bauer, Goos)
Ein Algorithmus ist ein endliches schrittweises Verfahren zur Berechnung gesuchter aus
gegebenen Größen, in dem jeder Schritt aus einer Anzahl ausführbarer eindeutiger
Operationen und einer Angabe über den nächsten Schritt besteht. (Rechenberg)
siehe: http://www.swe.uni-linz.ac.at/teaching/lva/ss02/algo1_vorlesung/hinweise.html
29
Intuitiver Algorithmusbegriff
"Definition":
Ein Algorithmus ist eine Verarbeitungsvorschrift, die so präzise formuliert
ist, dass sie auch von einer Maschine abgearbeitet werden kann.
Ein Algorithmus ist
 eindeutig,
d. h.: die einzelnen Schritte und ihre Abfolge sind unmissverständlich
beschrieben
 ausführbar,
d. h.: der "Prozessor" muss die Einzelschritte abarbeiten können
 endlich,
d. h.: seine Beschreibung besteht aus einem Text endlicher Länge
 allgemein,
d. h.: es wird nicht nur ein Problem, sondern eine ganze Klasse von
Problemen gelöst
nach:
Gasper, Leiß, Spengler, Stimm: Technische und theoretische Informatik. bsv
Merkert: http://www.hsg-kl.de/faecher/inf/algorithmus/definition/index.php
30
Intuitiver Algorithmusbegriff
"Definition":
Ein Algorithmus ist eine Verarbeitungsvorschrift, die so präzise formuliert
ist, dass sie auch von einer Maschine abgearbeitet werden kann.
Ein Algorithmus ist
 eindeutig,
d. h.: die einzelnen Schritte und ihre Abfolge sind unmissverständlich
beschrieben
nicht präzise
 ausführbar,
d. h.: der "Prozessor" muss die Einzelschritte abarbeiten können
 endlich,
d. h.: seine Beschreibung besteht aus einem Text endlicher Länge
 allgemein,
d. h.: es wird nicht nur ein Problem, sondern eine ganze Klasse von
Problemen gelöst
Die oben aufgeführte Begriffsklärung ist keine präzise Definition im
mathematischen Sinne. Ziel ist es, die informelle Begriffsklärung durch eine
präzise Definition im mathematischen Sinne zu ersetzen.
Berechnungsmodelle
31
Ansatz:
Die Festlegung des Algorithmusbegriffs bezieht sich auf ein streng
definiertes Berechnungsmodell, das genau vorschreibt, was unter
„ausführbar“ zu verstehen ist.
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
“Prozessor”
Ausgaben
Maschinenorientierter Ansatz: Präzisierung des Prozessors
Zuordnungsorientierter Ansatz: Präzisierung der E/A-Zuordnungen
Anweisungsorientierter Ansatz: Präzisierung der zulässigen Anweisungen
32
Anforderungen an Berechnungsmodelle
Anforderungen an ein Berechnungsmodell:
Es soll die „Idee Computer“ erfassen, d. h.
 es kann Problemlösungen (in geeignet beschriebener Form) selbstständig
ausführen
 es kann Rechenoperationen ausführen
 es ist universell programmierbar in dem Sinn, dass es beliebige
Programme bei beliebigen Daten ausführen kann
 es ist so mächtig, dass es alle Algorithmen (in geeignet kodierter Form)
ausführen kann
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
Ausgaben
“Prozessor”
33
Teil 3
Turingmaschinen und Marienkäfer
34
Ein erstes Berechnungsmodell
http://www.alanturing.net/
Alan Mathison Turing FRS OBE (born 23 June 1912 at 2 Warrington Crescent,
London W9, died 7 June 1954 at his home in Wilmslow, Cheshire) contributed to
mathematics, cryptanalysis, logic, philosophy, biology, and formatively to
computer science, cognitive science, Artificial Intelligence and Artificial Life.
Educated at Sherborne School in Dorset, Turing went up to King's College,
Cambridge in October 1931 to read Mathematics. He was elected a Fellow of
King's in March 1935, at the age of only 22. In the same year he invented the
abstract computing machines - now known simply as Turing machines - on which
all subsequent stored-program digital computers are modelled. ...
Ein erstes Berechnungsmodell wurde 1936 von A. Turing entwickelt - die
sog. Turingmaschine.
Turings Idee ...
35
„Computing is normally done by writing certain symbols on paper. We may suppose this paper
is divided into squares like a child's arithmetic book. In elementary arithmetic the twodimensional character of the paper is sometimes used. But such a use is always avoidable, and
I think that it will be agreed that the two-dimensional character of paper is no essential of
computation. I assume then that the computation is carried out on one-dimensional paper, i.e.
on a tape divided into squares. [...]“
„The behaviour of the computer at any moment is determined by the symbols which he is
observing and his “state of mind” at that moment. [...]“
„Let us imagine the operations performed by the computer to be split up into “simple
operations” which are so elementary that it is not easy to imagine them further divided. [...]“
aus: Alan Turing: On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem.
Proceedings of the London Mathematical Society
3 6

2 7
7 2
2 5 2
9 7 2
36
... umgesetzt mit einem Marienkäfer
Kara ist ein Marienkäfer. Kara lebt in einer Welt mit
 unbewegliche Baumstümpfen,
 Pilzen, die Kara verschieben kann und
 Kleeblättern, die Kara legen und aufnehmen kann.
37
Kara´s Sicht der Welt
Kara hat Sensoren, mit denen
er/sie die Umwelt wahrnimmt:
Kara versteht einige Befehle,
die er/sie folgsam ausführt:
stehe ich vor einem
Baumstumpf?
mache einen Schritt
vorwärts!
ist links von mir
ein Baumstumpf?
drehe um 90° nach
links!
ist rechts von mir
ein Baumstumpf?
drehe um 90° nach
rechts!
stehe ich vor
einem Pilz?
lege ein Kleeblatt hin!
stehe ich auf
einem Kleeblatt?
nimm ein Kleeblatt auf!
Kara soll ein Problem lösen
38
Kara soll bis zum nächsten Baumstumpf, einmal um ihn
herum und anschließend zurück zum Ausgangspunkt laufen.
AZ:
...
ZZ:
Steuerung von Kara
39
Akt. Zustand:
Bedingung:
Aktionen:
Neuer Zustand:
markieren
hin
hin
nein
hin
hin
ja
zurück
nein
zurück
zurück
ja
stop
...
Vor Baum? nein /
vorwärts
mark.
/ Blatt hinlegen
hin
zurück
Auf Blatt? nein /
vorwärts
Vor Baum? ja /
links; ...
zurück
Auf Blatt? ja /
links; links
stop
40
Kara lernt rechnen
Kara soll Rechenaufgaben wie mit einem Abakus
durchführen. Zum Rechnen benutzt Kara Kleeblätter.
Eine Additionsaufgabe sieht wie folgt aus:
AZ: Kara steht vor zwei
beliebig langen, durch
eine leere Zelle
getrennte Blattreihen der
Längen m und n (die
auch 0 sein können).
ZZ: Kara hat eine
Blattreihen der
Länge m+n erzeugt.
Steuerung von Kara
41
Akt. Zustand:
Bedingung:
Aktionen:
SchrittVor
Neuer Zustand:
BlattAufhenen
BlattAufheben
nein
stop
BlattAufheben
ja
LueckeSuchen
LueckeSuchen
nein
LueckeSuchen
LueckeSuchen
ja
ZurueckLaufen
ZurueckLaufen
nein
ZurueckLaufen
ZurueckLaufen
ja
stop
Auf Blatt? nein /
vorwärts
SchrittVor
/ vorwärts
Auf Blatt? ja /
vorwärts
Auf Blatt? ja /
Auf Blatt? ja /
Auf Blatt? nein /
aufheben;
BlattLuecke- hinlegen;
Zurueck- links; links
stop
Aufheben vorwärts
Suchen links; links
Laufen
Auf Blatt? nein /
42
Darstellung im Programm
AZ: Kara steht vor zwei
beliebig langen, durch
eine leere Zelle
getrennte Blattreihen der
Längen m und n (die
auch 0 sein können).
ZZ: Kara hat eine
Blattreihen der Länge
m+n erzeugt.
43
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zur Lösung des Problems:
AZ: Kara sieht in Blickrichtung eine beliebig lange
Baumstumpfreihe.
ZZ: Kara umläuft die Baumstümpfe und bleibt stehen.
44
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zur Lösung des Problems:
AZ: Kara sieht in
Blickrichtung eine
beliebig lange
vertikale
Baumstumpfreihe.
ZZ: Kara umläuft die
Baumstumpfreihe und
bleibt in der
Verlängerung seines
Wegs stehen.
45
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zum Verdoppeln:
AZ: Kara steht vor einer beliebig langen Blattreihe der Länge n
(die auch 0 sein kann).
ZZ: Kara hat eine Blattreihe der Länge 2n erzeugt.
46
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zur Subtraktion:
AZ: Kara steht vor zwei beliebig langen, durch eine leere Zelle
getrennte Blattreihen der Längen m und n (die auch 0 sein
können).
ZZ: Falls mn ist, hat Kara eine Blattreihe der Länge m-n erzeugt.
47
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zur Subtraktion:
AZ: Kara steht vor zwei beliebig langen, durch eine leere Zelle
getrennte Blattreihen der Längen m und n (die auch 0 sein
können).
ZZ: Falls m<n ist, kommt Kara nicht mehr klar und dreht sich
ständig im Kreis herum.
48
Aufgabe
Entwickeln Sie einen "Kara-Algorithmus" zur Multiplikation:
AZ: Kara steht vor zwei beliebig langen, durch eine leere Zelle
getrennte Blattreihen der Längen m und n (die auch 0 sein
können).
ZZ: Kara hat eine Blattreihe der Länge mn erzeugt.
Turingmaschine
49
Ein-/Ausgabeband
I
Schreib/Lesekopf
I
I
q0
I
I
Zustandsbasierte
Verarbeitungseinheit
Die Turingmaschine besteht aus
- einem unendlich langen Speicherband mit unendlich vielen sequentiell angeordneten Feldern.
In jedem dieser Felder kann genau ein Zeichen gespeichert werden. (Man darf sich das
unendliche lange Band auch als ein endliches vorstellen, es muss jedoch lang genug sein, um
die aktuelle Berechnung ungehindert ausführen zu können, d. h. der Lese- und Schreibkopf
darf nicht an das Ende stoßen.)
- einem programmgesteuerten Lese- und Schreibkopf, der sich auf dem Speicherband
feldweise bewegen und die Zeichen verändern kann.
Eine Turingmaschine modifiziert die Eingabe auf dem Band nach einem gegebenen Programm.
Ist die Berechnung beendet, so befindet sich das Ergebnis auf dem Band. Es wird somit jedem
Eingabewert ein Ausgabewert zugeordnet.
siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Turingmaschine
50
Variationen der Turingmaschine
I
AZ:
2-Band-Turingmaschine
z0
I
I
I
I ;II;RR
z0
I ;I ;LS
; ;LS
z1
I ;II;RR
; ;RS
z2
; ;SS
2-dimensionale
Turingmaschine
z3
Arbeitsweise der Turingmaschine
51
Berechnungsproblem: Addition von „Strichzahlen“
AZ:
I I
z0
ZZ:
I
S
I
I
I
I
I
I
I
Turingmaschine (dargestellt mit einem Zustandsgraphen):
I; I; R
I; I; R
I; I; L
I; I; S
Aktion
z0
; I; R
z1
; ;L
z2
Gelesenes Zeichen
I; ; L
z3
; ;R
z4
Geschriebenes Zeichen
Arbeitsweise der Turingmaschine
52
Turingmaschine (dargestellt mit einer Zustandstafel):
alter
Zustand
gelesenes
Zeichen
geschrieb. KopfZeichen
bewegung
neuer
Zustand
Z0
Z0
I
' '
I
I
R
R
Z0
Z1
Z1
Z1
I
' '
I
' '
R
L
Z1
Z2
...
Turingmaschine (dargestellt mit einem Zustandsgraphen):
I; I; R
I; I; R
I; I; L
I; I; S
Aktion
z0
; I; R
z1
; ;L
z2
Gelesenes Zeichen
I; ; L
z3
; ;R
z4
Geschriebenes Zeichen
53
Aufgabe
Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenoperationen von einer
Turingmaschine ausgeführt werden können:
Verdopplung einer natürlichen Zahl (dargestellt als Strichzahl)
Addition von zwei natürlichen Zahlen
Subtraktion von zwei natürlichen Zahlen
Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen
...
Übertragen Sie für eines der Berechnungsprobleme das bereits entwickelte
Kara-Programm in ein entsprechendes Turingmaschinen-Programm.
54
Aufgabe
Testen Sie auch den Turingmaschinen-Simulator von MathePrisma.
Schauen Sie sich die Arbeitsweise von verschiedenen Turingmaschinen an
(u. a. zum Sortieren).
55
Teil 4
Turingmaschine als universelles
Berechnungsmodell
56
Anforderungen an Berechnungsmodelle
Anforderungen an ein Berechnungsmodell:
Es soll die „Idee Computer“ erfassen, d. h.
 es kann Problemlösungen (in geeignet beschriebener Form) selbstständig
ausführen
 es kann Rechenoperationen ausführen
 es ist universell programmierbar in dem Sinn, dass es beliebige
Programme bei beliebigen Daten ausführen kann
 es ist so mächtig, dass es alle Algorithmen (in geeignet kodierter Form)
ausführen kann
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
Ausgaben
“Prozessor”
57
Präzisierung des Berechnungsmodells
Definition:
Eine Turingmaschine ist ein Tupel T = (X, B, b, Z, z0, ) bestehend aus
- einer endlichen, nichtleeren Menge X von Eingabezeichen,
- einer Menge B mit X  B von Bandzeichen,
- einem speziellen Bandzeichen b  B \ X („Blank“),
- einer endlichen, nichtleeren Menge Z von Zuständen,
- einem Anfangszustand z0Z,
- einer Überführungsfunktion : Z x B  B x {L, R, S} x Z
alter
Zustand
gelesenes
Zeichen
geschrieb. KopfZeichen
bewegung
neuer
Zustand
Z0
Z0
I
' '
I
I
R
R
Z0
Z1
Z1
Z1
I
' '
I
' '
R
L
Z1
Z2
...
58
Berechenbarkeit
Definition:
Eine Funktion f: N  N heißt Turingmaschinen-berechenbar, gdw
gilt: Es gibt eine Turingmaschine T mit der folgenden Eigenschaft:
AZ:
Auf dem Band befindet sich n dargestellt als Strichzahl.
I I
z0
ZZ:
Fall 1: f(n) ist definiert:
T hält und hat f(n) dargestellt als Strichzahl erzeugt.
I
I
I
I
Fall 2: f(n) ist undefiniert (kurz: f(n) = ):
T hält nicht.
Analog für f: N x N x ... x N  N
59
Ergebnisse
Satz:
Die folgenden Funktionen sind Turing-berechenbar:
f(n) = 2n
f(m, n) = m + n
f(m, n) = IF(mn, m-n, )
f(m, n) = mn
...
60
Zwischenbilanz
Was leistet das Berechnungsmodell "Turingmaschine"?
Es soll die „Idee Computer“ erfassen, d. h.
 es kann Problemlösungen (in geeignet beschriebener Form) selbstständig
ausführen (z. B. Sortieren)
 es kann Rechenoperationen ausführen (z. B. Addieren)
 es ist universell programmierbar in dem Sinn, dass es beliebige
Programme bei beliebigen Daten ausführen kann
 es ist so mächtig, dass es alle Algorithmen (in geeignet kodierter Form)
ausführen kann
Zielsetzung:
Die Turingmaschine ist ein auf den ersten Blick sehr primitives RechnerModell. Zu klären ist, ob sie auch im oben beschriebenen Sinn
programmierbar ist.
61
Universelle Berechnungsmodelle
Computer sind programmierbar!
Ein universelles Berechnungsmodell sollte in der Lage sein, nicht nur
Eingabedaten in einer ganz bestimmten Weise zu verarbeiten, sondern
Eingabedaten nach einem beliebigen ebenfalls einzugebenden
Verarbeitungsprogramm zu verarbeiten.
Daten
Computer als
programmierbares
System
Programm
Daten
Universelle Turingmaschine
62
Eine universelle Turingmaschine besitzt die Fähigkeit, beliebige andere
Turingmaschinen zu simulieren. Als Eingabe erhält sie die Beschreibung der
zu simulierenden Turingmaschine und der Daten auf dem Eingabeband für
diese Turingmaschine. Eine universelle Turingmaschine ist somit ein
Turingmaschinen-Interpreter.
Eingabeband
10110111#
universelle
Turingmaschine
1;0;R
0;1;R
z1
Eingabeband
#;#;S
01001000#
z0
Turingmaschine zum Invertieren einer 0-1-Zeichenkette
Simulation mit Turing-Kara
63
Aktueller
Zustand
Kodierung der TM
1;0;R
0;1;R
z1
#;#;S
z0
101010101#
Ein-/Ausgabeband
Vgl.: Turingkara – Aufgaben: Die universelle Turingmaschine
64
Aufgabe
Testen Sie die universelle Turingmaschine der Turing-Kara-Umgebung.
Versuchen Sie insbesondere zu verstehen, wie diese universelle
Turingmaschine arbeitet. Verändern Sie auch die Bandbelegung zu Beginn
der Simulation. Versuchen Sie auch, die Arbeitsweise einer weiteren
Turingmaschine (z. B. zum Verdoppeln von Strichzahlen) zu simulieren.
Simulation mit dem MPG-Simulator
65
Kodierung:
alter Zustand als Strichzahl+1; Leerzeichen; altes Zeichen; neues Zeichen; Bewegung; neuer
Zustand als Strichzahl+1
*
10#
1;0;R
0;1;R
z0
I
I
#;#;S
1 0 R
I
* ...
Kodierung der
Turing-Tafel
1 0 #
z1
Aktueller Zustand
Ein-/Ausgabe-Band
Vgl.: U. Mayr: Theoretische Informatik am PC, S. 18 ff. Programm: Bsp-206.tm
66
Aufgabe
Testen Sie die universelle Turingmaschine der MPG-Simulationsumgebung.
Versuchen Sie insbesondere zu verstehen, wie diese universelle
Turingmaschine arbeitet. Verändern Sie auch die Bandbelegung zu Beginn
der Simulation. Versuchen Sie auch, die Arbeitsweise einer weiteren
Turingmaschine (z. B. zum Verdoppeln von Strichzahlen) zu simulieren.
Universelle Turingmaschine
67
Die universelle Turingmaschine ist bisher als zweidimensionale (Kara) bzw.
Zwei-Band-Turingmaschine (MPG-Simulator) konzipiert. Um von einem
universellen Berechnungsmodell sprechen zu können, müsste die
universelle Turingmaschine vom selben Typ wie die zu simulierenden
Turingmaschinen sein (also eine Ein-Band-Turingmaschine).
Band
Zweidimensionale
Turingmaschine
/
Ein-Band-TM
Zwei-BandTuringmaschine
Band
68
Äquivalenzsatz
Satz:
Eine Funktion f: N x N x ... x N  N ist
mit einer Ein-Band-Turingmaschine berechenbar
gdw
sie mit einer Zwei-Band-Turingmaschine berechenbar ist
gdw
sie mit einer Mehr-Band-Turingmaschine berechenbar ist
gdw
sie mit einer zweidimensionalen Turingmaschine berechenbar ist.
Beweisidee: Simulation
siehe etwa: U. Mayr: Theoretische Informatik am PC.
(Programm: Bsp-a5.tm)
69
Existenz universeller Turingmaschinen
Satz:
Es gibt universelle Turingmaschinen.
Bemerkungen zum Beweis:
Die Existenz einer universellen Turingmaschine zeigt man, indem man
eine TM konstruiert, die sich wie ein Turingmaschinen-Interpreter verhält,
d. h. diese (zweidimensionale oder Mehr-Band-) Turingmaschine simuliert
das Verhalten einer beliebig vorgegebenen Ein-Band-Turingmaschine bei
einer beliebig vorgegebenen Bandbelegung. Die vorgegebene
Turingmaschine und die vorgegebene Bandbelegung müssen dabei
geeignet kodiert werden.
70
Zwischenbilanz
Was leistet das Berechnungsmodell "Turingmaschine"?
Es soll die „Idee Computer“ erfassen, d. h.
 es kann Problemlösungen (in geeignet beschriebener Form) selbstständig
ausführen (z. B. sortieren)
 es kann Rechenoperationen ausführen (z. B. Addieren)
 es ist universell programmierbar in dem Sinn, dass es beliebige
Programme bei beliebigen Daten ausführen kann
 es ist so mächtig, dass es alle Algorithmen (in geeignet kodierter Form)
ausführen kann
Bemerkung:
Die Turingmaschine ist damit trotz ihrer Einfachheit ein ernst zu
nehmender Kandidat für die Präzisierung der "Idee Computer".
71
Teil 5
Alternative Berechnungsmodelle
72
Maschinenorientierte Modelle
Die Turingmaschine ist letztlich eine mathematische Präzisierung des
"Prozessors". Hier wird eine Art Modell-Maschine festgelegt, die die "Idee
Computer" erfassen soll. Weitere Modell-Maschinen sind möglich.
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
“Prozessor”
Ausgaben
Maschinenorientierter Ansatz: Präzisierung des Prozessors
Beispiele: Turingmaschine, Registermaschine
Anweisungsorientierter Ansatz: Präzisierung der zulässigen Anweisungen
Zuordnungsorientierter Ansatz: Präzisierung der E/A-Zuordnungen
Registermaschine
73
Das Registermaschinenmodell orientiert sich stärker am Aufbau realer
Computer.
Daten
0:
1:
2:
3:
4:
5
3
0
0
0
..
> 0
1
2
3
4
5
JMP
INC
DEC
TST
JMP
HLT
3
0
1
1
1
Programm
> x INC i
Erhöhe Register i um 1. Gehe zu Zeile x+1.
> x DEC i
Erniedrige Register i um 1. Gehe zu Zeile x+1.
> x JMP i
Gehe zu Zeile i.
> x TST i
Wenn Register i ungleich 0 ist,
dann gehe zu Zeile x+1, sonst zu Zeile x+2.
> x HLT
Beende die Bearbeitung.
Aufgabe
74
Entwickeln Sie ein Registermaschinenprogramm, das den Inhalt eines
Registers verdoppelt:
0:
1:
2:
3:
4:
..
0
n
0
0
0
Zustand vorher
0:
1:
2:
3:
4:
..
RM-Programm
2n
0
0
0
0
Zustand nachher
Berechenbarkeit
75
Definition:
Eine Funktion f: N  N heißt Registermaschinen-berechenbar, gdw
gilt: Es gibt eine Registermaschine mit der folgenden Eigenschaft
AZ:
Im Registern R1 befindet sich der Ausgangswert.
0
ZZ:
n
0
0
...
Fall 1: f(n) ist definiert:
Die RM hält und in R0 befindet sich der Ergebniswert.
f(n)
...
...
...
...
Fall 2: f(n) ist undefiniert:
Die RM hält nicht.
Analog für f: N x N x ... x N  N
Berechenbarkeit
76
0:
1:
2:
3:
4:
..
0
n
0
0
0
Zustand vorher
> 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
JMP
DEC
INC
INC
TST
JMP
JMP
DEC
INC
TST
JMP
HLT
4
1
0
2
1
1
10
2
0
2
7
RM-Programm
0:
1:
2:
3:
4:
..
2n
0
0
0
0
Zustand nachher
Das RM-Programm oben zeigt, dass die Funktion f: N  N mit f(n) = 2n
Registermaschinen-berechenbar ist.
77
Ergebnisse
Satz:
Die folgenden Funktionen sind Registermaschinen-berechenbar:
f(n) = 2n
f(m, n) = m + n
f(m, n) = IF(mn, m-n, )
f(m, n) = mn
...
78
Äquivalenzsatz
Satz:
Eine Funktion f: N x N x ... x N  N ist Turingmaschinen-berechenbar gdw
sie Registermaschinen-berechenbar ist.
Bemerkungen zum Beweis:
Der Beweis wird konstruktiv geführt. Man konstruiert mit Hilfe einer
Turingmaschine einen Registermaschinen-Interpreter und umgekehrt mit
Hilfe einer Registermaschine einen Turingmaschinen-Interpreter.
79
Anweisungsorientierte Modelle
Die Grundidee anweisungsorientierter Berechnungsmodelle besteht darin,
die erlaubten Anweisungen über eine Programmiersprache festzulegen.
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
“Prozessor”
Ausgaben
Maschinenorientierter Ansatz: Präzisierung des Prozessors
Anweisungsorientierter Ansatz: Präzisierung der zulässigen Anweisungen
Beispiele: LOOP, WHILE, PASCAL, DELPHI, JAVA, PYTHON, ...
Zuordnungsorientierter Ansatz: Präzisierung der E/A-Zuordnungen
80
LOOP-Programme / Syntax
Bestandteile von LOOP-Programmen:
Variablen:
x0 x1 x2 ...
Konstanten:
0 1 2 ...
Trennsymbole:
; :=
Operatoren:
+-
Schlüsselwörter: LOOP DO END
Aufbau eines LOOP-Programms:
Jede Wertzuweisung der Form xi := c oder xi := xj oder xi := xj + c oder xi := xj - c
ist ein LOOP-Programm.
Falls P1 und P2 LOOP-Programme sind, dann ist auch die Sequenz P1; P2 ein
LOOP-Programm.
Falls P ein LOOP-Programm ist, dann ist auch LOOP xi DO P END ein LOOPProgramm.
81
LOOP-Programme / Semantik
Beispiel eines LOOP-Programms
x0 := x1;
LOOP x2
DO x0 := x0 + 1 END
Entsprechendes Python-Programm
x0 = x1
for i in range(x2):
x0 = x0 + 1
Ausführung der LOOP-Anweisung
Eine LOOP-Anweisung der Form LOOP xi DO P END wird wie folgt ausgeführt: Die
LOOP-Anweisung P wird sooft ausgeführt, wie der Wert der Variablen xi zu Beginn
beträgt.
Bedeutung eines LOOP-Programms
{x0: [...]; x1: [5]; x2: [3]; x3: [...]; ... }
x0 := x1;
LOOP x2 DO x0 := x0 + 1 END
{x0: [8]; x1: [5]; x2: [3]; x3: [...]; ... }
Das Programm berechnet die
Additionsfunktion auf natürlichen
Zahlen: f(m, n) = m + n
82
WHILE-Programme / Syntax
Bestandteile von WHILE-Programmen:
Variablen:
x0 x1 x2 ...
Konstanten:
0 1 2 ...
Trennsymbole:
; :=
Operatoren:
+-
Schlüsselwörter: WHILE DO END
Aufbau eines LOOP-Programms:
Jede Wertzuweisung der Form xi := c oder xi := xj oder xi := xj + c oder xi := xj - c
ist ein WHILE-Programm.
Falls P1 und P2 WHILE-Programme sind, dann ist auch die Sequenz P1; P2 ein
WHILE-Programm.
Falls P ein WHILE-Programm ist, dann ist auch WHILE xi  0 DO P END ein WHILEProgramm.
83
WHILE-Programme / Semantik
Beispiel eines WHILE-Programms
x0 := x1;
WHILE x2  0 DO
x0 := x0 + 1; x2 := x2 - 1
END
Entsprechendes Python-Programm
x0 = x1
while x2 <> 0:
x0 = x0 + 1
x2 = x2 - 1
Ausführung der WHILE-Anweisung
Eine WHILE-Anweisung der Form WHILE xi  0 DO P END wird wie folgt
ausgeführt: Das WHILE-Programm P wird solange ausgeführt, wie der Wert der
Variablen xi ungleich Null ist.
Bedeutung eines LOOP-Programms
{x0: [0]; x1: [5]; x2: [3]; x3: [0]; ... }
x0 := x1;
WHILE x2  0 DO
x0 := x0 + 1; x2 := x2 - 1 END
{x0: [8]; x1: [5]; x2: [0]; x3: [0]; ... }
Das Programm berechnet die
Additionsfunktion auf natürlichen
Zahlen: f(m, n) = m + n
84
Berechenbarkeit
Definition:
Eine Funktion f: N  N heißt LOOP-/WHILE-berechenbar, gdw gilt:
Es gibt ein LOOP-/WHILE-Programm mit der Eigenschaft:
AZ:
Die Variable x1 enthält den Ausgangswert:
{x0: [0]; x1: [n]; x2: [0]; x3: [0]; ... }
ZZ:
Fall 1: f(n) ist definiert:
Die Ausführung des Programms endet und x0 enthält den
Ergebniswert.
{x0: [f(n)]; x1: [...]; x2: [...]; x3: [...]; ... }
Fall 2: f(n) ist undefiniert:
Die Ausführung des Programms endet nicht.
Analog für f: N x N x ... x N  N
85
Aufgabe
Entwickeln Sie ein LOOP-Programm / WHILE-Programm zur Berechnung
der Verdopplungsfunktion / Multiplikationsfunktion. Testen Sie das jeweilige
Programm mit einer entsprechenden Python-Implementierung.
86
Aufgabe
Welche Funktion wird durch das folgende WHILE-Programm berechnet?
x0 := x1;
WHILE x2  0 DO x0 := x0 + 1 END
Gibt es Funktionen, die mit keinem LOOP-Programm berechnet werden
können?
87
Ergebnisse
Satz:
Die folgenden Funktionen sind WHILE-berechenbar:
f(n) = 2n
f(m, n) = m + n
f(m, n) = IF(mn, m-n, )
f(m, n) = mn
...
Satz:
Es gibt Funktionen f: N x N x ... x N  N, die WHILE-berechenbar, aber
nicht LOOP-berechenbar sind.
Die Ausführung jedes LOOP-Programms endet immer. Ein WHILEProgramm kann dagegen eine Endlosschleife enthalten.
x0 := x1;
WHILE x2  0 DO x0 := x0 + 1 END
88
Äquivalenzsatz
Satz:
Eine Funktion f: N x N x ... x N  N ist WHILE-berechenbar gdw sie
Registermaschinen-berechenbar ist.
Bemerkungen zum Beweis:
Der Beweis wird konstruktiv geführt. Man konstruiert zu jeder
Registermaschine ein entsprechendes WHILE-Programm und umgekehrt
zu jedem WHILE-Programm eine entsprechende Registermaschine.
89
Zuordnungsorientierte Modelle
Grundidee: Man beschreibt die berechenbaren E/A-Zuordnungen wie folgt:
Einige einfache Grundfunktionen werden als „berechenbar“ erklärt. Des weiteren
werden einige einfache Konstruktionsprinzipien angegeben, die beschreiben, wie
man aus „berechenbaren Funktionen“ weitere „berechenbare Funktionen“ erhält.
Die zentrale Konstruktionsoperation ist dabei die Rekursion.
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
“Prozessor”
Ausgaben
Maschinenorientierter Ansatz: Präzisierung des Prozessors
Anweisungsorientierter Ansatz: Präzisierung der zulässigen Anweisungen
Zuordnungsorientierter Ansatz: Präzisierung der E/A-Zuordnungen
Beispiele: primitiv rekursive Funktionen, partiell rekursive Funktionen
90
Rekursive Berechnungsschemata
Beispiel: Addition natürlicher Zahlen
add(x,0) = x
add(x,s(y))= s(add(x,y))
Beispiel: Berechnung einer Addition
add(3,2)
= s(add(3,1))
= s(s(add(3,0)))
= s(s(3))
= s(4)
= 5
Bemerkungen:
Die Nachfolgerfunktion s: N  N, die jeder natürlichen Zahl ihren direkten
Nachfolger zuordnet, wird als gegebene berechenbare Funktion betrachtet.
Die Funktion add: N x N  N, die je zwei natürlichen Zahlen ihre Summe zuordnen
soll, wird rekursiv festgelegt:
- Zunächst wird der Rekursionsanfang „addiere zur Zahl x die Zahl 0“ festgelegt.
- Anschließend wird der Fall „addiere zur Zahl x den Nachfolger s(y) einer Zahl y“
auf den Fall „addiere zu x die Zahl y“ rekursiv reduziert.
Bei der Festlegung werden hier die Konstruktionsoperationen „Rekursion“ und
„Funktionskomposion“ und die Grundfunktion „s“ benutzt.
91
Implementierung mit Python
Beispiel: Addition natürlicher Zahlen
add(x,0) = x
add(x,s(y))= s(add(x,y))
Beispiel: Berechnung einer Addition
add(3,2)
= s(add(3,1))
= s(s(add(3,0)))
= s(s(3))
= s(4)
= 5
Implementierung
def s(x):
return x+1
def p(x):
return x-1
def add(x, y):
if y == 0:
return x
else:
return s(add(x, p(y)))
>>> add(3, 2)
5
92
Aufgabe
Entwickeln Sie rekursive Berechnungsschemata für die folgenden
Funktionen. Benutzen Sie nur die vorgegebene Nachfolgerfunktion s und
bereits definierte Funktionen (wie add).
mult(x, y)
Beschreibt die übliche Multiplikation natürlicher
Zahlen
fakt(x)
Beschreibt die Fakultätsfunktion:
f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 2*1, f(3) = 3*2*1, ...
exp(x, y)
Beschreibt die Potenzbildung für natürliche Zahlen, d. h.:
exp(2, 3) = 23
93
Aufgabe
Untersuchen Sie die folgenden rekursiven Berechnungsschemata und
beschreiben Sie die jeweils berechneten Funktionen.
test(0)=1
test(s(x))=0
pred(0)=0
pred(s(x))=x
subtr(x,0)=x
subtr(x,s(y))=pred(subtr(x,y))
absdiff(x,y)=add(subtr(x,y),subtr(y,x))
equal(x,y)=test(absdiff(x,y))
94
Aufgabe
Welche Berechnungsschemata sind korrekt, sinnvoll?
subtr2(x, 0) = x
subtr2(0, y) = y
subtr2(s(x), s(y)) = subtr2(x, y)
subtr3(x, 0) = x
subtr3(0, y) = y
subtr3(x, y) = subtr3(s(x), s(y))
add2(x, 0) = x
add2(x,y)= add(s(x),pred(y)))
95
Primitive Rekursion
Beispiel für ein primitives Reduktionsschema:
add(x,0) = x
add(x,s(y))= s(add(x,y))
Verallgemeinerung
f(x1,...,xn,0)
= g(x1,...,xn)
f(x1,...,xn,s(y)) = h(x1,...,xn,y,f(x1,...,xn,y))
Rekursionsanfang: Die Funktion f kommt nicht auf der rechten Seite vor.
Rekursionsschritt: Die Funktion f kommt auf der rechten Seite vor, ein
Argument wird dabei um 1 reduziert.
96
Primitiv rekursive Funktionen
Definition:
Eine Funktion f: N x ... x N  N heißt primitiv rekursiv, gdw gilt: Die
Funktion f lässt sich mit Hilfe der Nachfolgerfunktion s als Grundfunktion
sowie Funktionskomposition und primitiver Rekursion als
Konstruktionsoperationen berechnen.
Satz:
Die folgenden Funktionen sind primitiv rekursiv:
f(n) = 2n
f(m, n) = m + n
f(m, n) = mn
...
97
Aufgabe
Testen Sie das folgende rekursive Berechnungsschemata zur sogenannten
Ackermann-Funktion. Was beobachtet man, wenn die Parameter
(insbesondere der zweite) nicht sehr klein gewählt werden?
Ack(0,y)=s(y)
Ack(s(x),0)=Ack(x,1)
Ack(s(x),s(y))=Ack(x,Ack(s(x),y))
98
Ackermann-Funktion
Rekursive Definition:
Ack(0,y)=s(y)
Ack(s(x),0)=Ack(x,1)
Ack(s(x),s(y))=Ack(x,Ack(s(x),y))
Beachte: Es handelt sich hier nicht um ein primitiv rekursives Rekursionsschema.
Satz:
Die Ackermann-Funktion ist nicht primitiv rekursiv.
Bemerkung:
Man muss zeigen, dass die Ackermannfunktion sich nicht mit Hilfe eines primitiv
rekursiven Rekursionsschemas darstellen lässt. Zum Beweis zeigt man, dass die
Ackermann-Funktion schneller wächst als jede primitiv rekursive Funktion.
99
Aufgabe
Wir betrachten die folgende informell definierte Funktion.
Berechnen Sie f(5, 2) und f(2, 5). Beschreiben Sie das Verhalten der
Funktion f.
f(x, y) = „das kleinste z mit y+z=x“
100
Primitiv rekursive Funktionen
Definition:
Eine Funktion f: N x ... x N  N heißt partiell rekursiv, gdw gilt:
Die Funktion f lässt sich mit Hilfe der Nachfolgerfunktion s als
Grundfunktion sowie Funktionskomposition, primitiver Rekursion und dem
„das kleinste“-Operator als Konstruktionsoperationen berechnen.
Satz:
Die Ackermann-Funktion ist partiell rekursiv.
Beweis: siehe Fachliteratur
101
Äquivalenzsatz
Satz:
Eine Funktion f: N x N x ... x N  N ist primitiv rekursiv gdw sie LOOPberechenbar ist.
Eine Funktion f: N x N x ... x N  N ist partiell rekursiv gdw sie WHILEberechenbar ist.
Beweis: siehe Fachliteratur
102
Zusammenfassung
Satz (Äquivalenz von Berechnungsmodellen):
Gegeben sei eine Funktion f: N x N x ... x N  N. Die folgenden Aussagen
sind äquivalent:
- f ist Turingmaschinen-berechenbar.
- f ist Registermaschinen-berechenbar.
- f ist WHILE-berechenbar,
- f ist partiell rekursiv.
- f ist Pascal-berechenbar.
- ...
Zusammenfassung
103
Alle bisher gewählten Ansätze zur Präzisierung der "Grundidee Computer"
führen auf dieselbe Klasse berechenbarer Funktionen.
Eingaben
Verarbeitungsanweisungen
“Prozessor”
Ausgaben
Maschinenorientierter Ansatz: Präzisierung des Prozessors
Anweisungsorientierter Ansatz: Präzisierung der zulässigen Anweisungen
Zuordnungsorientierter Ansatz: Präzisierung der E/A-Zuordnungen
104
Church-Turing-These
These:
Die Klasse der im intuitiven Sinn berechenbaren Funktion ist genau die
Klasse der Turingmaschinen-berechenbaren Funktionen bzw. die Klasse der
partiell rekursiven Funktionen bzw. die Klasse der WHILE-berechenbaren
Funktionen bzw. ...
Was leistet das Berechnungsmodell "Turingmaschine" / "Python-programmierbar" / ...?
Es soll die „Idee Computer“ erfassen, d. h.
 es kann Problemlösungen (in geeignet beschriebener Form) selbstständig ausführen (z. B.
sortieren)
 es kann Rechenoperationen ausführen (z. B. Addieren)
 es ist universell programmierbar in dem Sinn, dass es beliebige Programme bei beliebigen
Daten ausführen kann
 es ist so mächtig, dass es alle Algorithmen (in geeignet kodierter Form) ausführen kann
Anwendung:
Oben wurde gezeigt, dass das Halteproblem nicht Python-entscheidbar ist. Mit der
Church-Turing-These ergibt sich hieraus, dass das Halteproblem algorithmisch nicht
entscheidbar ist.
105
Teil 6
Grenzen der Berechenbarkeit
Problem
106
Ist jede Funktion f: N  N (Turingmaschinen-) berechenbar?
?
Menge der Funktionen
von N nach N
n  prim(n)
n  2n
n  s(n)
?
Menge der
berechenbaren Funktionen
von N nach N
Abzählverfahren
107
Es gibt nur endlich viele Turingmaschinen mit 1 Zustand. Diese können der
Reihe nach abgezählt (durchnummeriert) werden.
0
Z000 ' ' ' ' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
1
Z000 ' ' ' ' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
2
Z000 ' ' ' ' S Z000
Z000 'I' ' ' S Z000
3
Z000 ' ' 'I' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
4
Z000 ' ' 'I' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
...
Aufgabe
108
Ergänzen Sie die begonnene Abzählung um weitere Turingmaschinen mit
genau einem Zustand. Wie viele gibt es insgesamt?
0
Z000 ' ' ' ' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
1
Z000 ' ' ' ' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
2
Z000 ' ' ' ' S Z000
Z000 'I' ' ' S Z000
3
Z000 ' ' 'I' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
4
Z000 ' ' 'I' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
...
Abzählverfahren
109
Es gibt nur endlich viele Turingmaschinen mit 2 Zuständen. Diese können
ebenfalls der Reihe nach abgezählt werden.
0
Z000
Z000
Z001
Z001
...
' '
'I'
' '
'I'
'
'
'
'
'
'
'
'
R
R
R
R
Z000
Z001
Z000
Z000
Abzählverfahren
110
Die gesamte Menge der Turingmaschinen kann abgezählt werden, indem
man zunächst die mit 1 Zustand durchnummeriert, dann die mit 2
Zuständen u.s.w..
0
Z000 ' ' ' ' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
1
Z000 ' ' ' ' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
..
...
36
Z000
Z000
Z001
Z001
...
' '
'I'
' '
'I'
'
'
'
'
'
'
'
'
R
R
R
R
Z000
Z001
Z000
Z000
111
Abzählbarkeit
Definition:
Eine Menge M heißt abzählbar genau dann, wenn es eine Abbildung von
den natürlichen Zahlen N in M gibt, bei der alle Elemente aus M als
Bildelemente natürlicher Zahlen erfasst werden.
D. h., die Elemente von M können durchnummeriert werden. Alle Elemente
aus M müssen bei der Nummerierung erfasst werden. Wiederholungen sind
bei der Nummerierung zugelassen.
Satz:
Die Menge der Turingmaschinen (über dem Eingabealphabet {'I'}) ist
abzählbar.
D. h., die Turingmaschinen lassen sich durchnummerieren:
T0; T1; T2; ...
Abzählverfahren
112
Wir streichen jetzt alle Turingmaschinen, die keine Funktion f: N  N
berechnen. Die verbleibenden Turingmaschinen entsprechen genau den
Turing-berechenbaren Funktionen.
0
Z000 ' ' ' ' R Z000
Z000 'I' ' ' R Z000
f0: n  
1
Z000 ' ' ' ' L Z000
Z000 'I' ' ' L Z000
f1: n  
2
Z000 ' ' ' ' S Z000
Z000 'I' ' ' S Z000
f2: 0  0
n  n-1 (n > 0)
..
...
...
x
Z000
Z000
Z001
Z001
' '
'I'
' '
'I'
' '
'I'
' '
' '
R
R
R
S
Z000
Z001
Z000
Z000
Keine Funktion
Abzählbarkeit
113
Satz:
Die Menge der Turingmaschinen-berechenbaren Funktion f: N  N ist
abzählbar.
?
Menge der Funktionen
von N nach N
f0, f1, f2, f3, ...
?
Menge der
berechenbaren Funktionen
von N nach N
Existenz nicht-berechenbarer Funktionen
114
Definition einer neuen Funktion f: N  N
f(0) = f0(0)+1, falls f0(0) definiert ist, sonst f(0) = 0
 f  f0
f(1) = f1(1)+1, falls f1(1) definiert ist, sonst f(1) = 0
 f  f1
f(2) = f2(2)+1, falls f2(2) definiert ist, sonst f(2) = 0
 f  f2
f(3) = f3(3)+1, falls f3(3) definiert ist, sonst f(3) = 0
 f  f3
...
...
f(n) = fn(n)+1, falls fn(n) definiert ist, sonst f(n) = 0
 f  f0
...
...
Die Funktion f: N  N unterscheidet sich von allen berechenbaren
Funktionen, kann also selbst nicht berechenbar sein.
115
Existenz nicht-berechenbarer Funktionen
Satz:
Es gibt Funktionen f: N  N, die nicht (Turingmaschinen-) berechenbar
sind.
f
Menge der Funktionen
von N nach N
f0, f1, f2, f3, ...
?
Menge der
berechenbaren Funktionen
von N nach N
116
Existenz nicht-berechenbarer Funktionen
Ziel ist es, eine nicht-berechenbare Funktion konkret zu beschreiben.
Rado´sche -Funktion

Menge der Funktionen
von N nach N
f0, f1, f2, f3, ...
?
Menge der
berechenbaren Funktionen
von N nach N
Biber-Turingmaschinen
117
Eine Biber-TM ist eine eindimensionale TM, die in jedem Arbeitsschritt
genau eine "Baumaktion" durchführt (Baumstamm hinlegen oder
wegnehmen) und einen Schritt nach rechts oder links geht.
Eine Biber-TM startet in einer leeren Welt, erzeugt „Baumstämme“ und
hält nach endlich vielen Arbeitsschritten.
Vorher:
Biber-TM:
Nachher:
118
Aufgabe
Biberwettbewerb:
Gesucht ist eine Biber-TM mit genau 2 Zuständen (außer dem
Stop-Zustand), die möglichst viele Baumstämme erzeugt,
bevor sie hält. Eine solche TM heißt „fleißiger Biber“ (mit 2
Zuständen) bzw. „busy beaver TM“.
Gesucht ist eine Biber-TM mit genau 3 (bzw. 4) Zuständen
(außer dem Stop-Zustand), die möglichst viele Baumstämme
erzeugt, bevor sie hält. Eine solche TM heißt „fleißiger Biber“
(mit 3 bzw. 4 Zuständen) bzw. „busy beaver TM“.
Fleißige Biber
119
Fleißiger Biber mit 2 Zuständen:
alter
Zustand
gelesenes
Zeichen
geschrieb. KopfZeichen
bewegung
neuer
Zustand
Z0
Z0
I
' '
I
I
L
R
Z1
Z1
Z1
Z1
I
' '
I
I
S
L
Z0
Z0
Fleißiger Biber mit 3 Zuständen:
alter
Zustand
gelesenes
Zeichen
geschrieb. KopfZeichen
bewegung
neuer
Zustand
Z0
Z0
I
' '
I
I
L
R
Z2
Z1
Z1
Z1
I
' '
I
I
S
L
Z1
Z0
Z2
Z2
I
' '
I
I
S
L
Z2
Z1
120
Rado´sche Σ-Funktion
Definition (Tibor Rado, 1962):
Die Funktion : N  N ist wie folgt festgelegt: (n) bezeichne die
maximale Anzahl von Baumstämmen, die eine Biber-TM mit genau n
Zuständen (außer dem Stop-Zustand) erzeugen kann.
n
(n)
0
0
1
1
2
4
3
6
4
13
5
 4098
6
 95524079
...
...
121
Satz von Rado
Satz
Die Rado´sche -Funktion ist nicht Turingmaschinen-berechenbar.
Beweis:
Der Beweis benutzt die folgenden (leicht zu zeigenden) Eigenschaften der
-Funktion:

(n)  n für alle n N,

(n) < (n+1) für alle n N (Monotonie von ).
Der Beweis wird durch Widerspruch geführt. Annahme: Es gibt eine
Turingmaschine T, mit der  berechnet werden kann. Die Anzahl der
Zustände von T bezeichnen wir mit k.
T :
I I
z0
ZZ:
I
AZ:
I
I
I
122
Satz von Rado
Man zeigt zunächst, dass es eine Turingmaschine Tn mit n+1 Zuständen
(außer dem Stop-Zustand) gibt, der auf einem leeren Band eine
Baumstammreihe mit genau n Baumstämmen erzeugt:
AZ:
T2:
z0
ZZ:
I
I
Man zeigt anschließend, dass es eine Turingmaschine TV mit 6 Zuständen
(außer dem Stop-Zustand) gibt, der eine gegebene, beliebig lange
Baumstammreihe verdoppelt:
AZ:
I
TV:
z0
ZZ:
I
I
I
I
I
123
Satz von Rado
Wir verknüpfen die 3 Turingmaschinen jetzt wie folgt zu einer neuen
Turingmaschine Tn,V, :
z0
AZ:
T n:
erzeugt eine Baumstammreihe der Länge n
ZZ:
I
TV:
erzeugt eine Baumstammreihe der Länge 2n
ZZ:
I
T :
ZZ:
I
I
I
I
erzeugt eine Baumstammreihe der Länge (2n)
I
I
I
I
I
I
I
I ...
Beachte: Tn,V,  hat n+7+k Zustände und erzeugt eine Baumstammreihe
der Länge (2n).
124
Satz von Rado
Wir vergleichen jetzt diese zusammengesetzte Turingmaschine Tn,V,  mit
einem fleißigen Biber TFB(n+7+k) mit n+7+k Zuständen:

Tn,V,  hat n+7+k Zustände und erzeugt (2n) Baumstämme.

TFB(n+7+k) hat n+7+k Zustände und erzeugt (n+7+k) Baumst
Da ein fleißiger Biber die maximal mögliche Anzahl von Baumstämmen
erzeugt, gilt (für alle n N): (n+7+k)  (2n).
Sei n = 2(7+k). Dann gilt:

n+7+k = 3(7+k)

2n = 4(7+k), also n+7+k < 2n.
Aus der Monotonie von  folgt: (n+7+k) < (2n).
Es ergibt sich also ein Widerspruch. Da alle Schlüsse korrekt sind, muss die
Annahme falsch sein.
125
Entscheidbarkeit
Definition: Eine Sprache über einem Alphabet heißt (Turing-)
entscheidbar, wenn es einen Algorithmus (als Turingprogramm) gibt, der
für jedes Wort über dem Alphabet feststellt, ob es zur Sprache gehört.
Nicht-entscheidbaren Probleme (bzw. deren zugehörige Sprachen):
Halteproblem: Kann man mit einem Algorithmus entscheiden, ob ein
beliebiger Algorithmus bei der Bearbeitung von Daten hält?
Korrektheitsproblem: Kann man mit einem Algorithmus entscheiden, ob ein
beliebiger Algorithmus korrekt bzgl. einer Spezifikation ist?
Wahrheitsproblem: Kann man mit einem Algorithmus entscheiden, ob eine
beliebige mathematische Aussage wahr ist.
Diophantische Gleichungen: Kann man mit einem Algorithmus entscheiden,
ob eine beliebige Polynomgleichung (in der verschiedene Variablen mit
verschiedenen Exponenten vorkommen können) mit ganzzahligen
Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung hat?
Semi-Entscheidbarkeit
126
Definition: Eine Sprache über einem Alphabet heißt semientscheidbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der für jedes Wort über
dem Alphabet, das zur Sprache gehört, dies auch mitteilt.
Algorithmus zur Lösung Diophantischer Gleichungen:
Eingabe: Gleichung; z. B.: x3 + 5x2y2z – xz + 37 = 0
Probiere systematisch alle möglichen Belegungen der in der Gleichung vorkommenden
Variablen aus, ob sie die Gleichung erfüllen. Stoppe, wenn eine passende Belegung gefunden
wurde. Im Beispiel:
x=
x=
x=
x=
...
x=
0;
1;
-1;
0;
y
y
y
y
=
=
=
=
0;
0;
0;
1;
1;
y = 2;
z
z
z
z
=
=
=
=
0:
0:
0
0
z = -2
nein
nein
nein
nein
ja
Ausgabe: Lösbarkeit; im Beispiel: ja
Beachte: Der Algorithmus liefert nur in den Fällen, in denen eine Lösung
existiert, ein positives Ergebnis, in anderen Fällen hält er nicht.
127
Teil 7
Ein Blick in die Geschichte
128
David Hilbert
129
Hilbert´s Rede
Wer von uns würde nicht gern den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen
liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unsrer
Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwickelung während der künftigen
Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden
mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? welche neuen
Methoden und neuen Thatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken - auf
dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens?
Die Geschichte lehrt die Stetigkeit der Entwickelung der Wissenschaft. Wir wissen,
daß jedes Zeitalter eigene Probleme hat, die das kommende Zeitalter löst oder als
unfruchtbar zur Seite schiebt und durch neue Probleme ersetzt. Wollen wir eine
Vorstellung gewinnen von der muthmaßlichen Entwickelung mathematischen
Wissens in der nächsten Zukunft, so müssen wir die offenen Fragen vor unserem
Geiste passiren lassen und die Probleme überschauen, welche die gegenwärtige
Wissenschaft stellt, und deren Lösung wir von der Zukunft erwarten. Zu einer
solchen Musterung der Probleme scheint mir der heutige Tag, der an der
Jahrhundertwende liegt, wohl geeignet; denn die großen Zeitabschnitte fordern uns
nicht blos auf zu Rückblicken in die Vergangenheit, sondern sie lenken unsere
Gedanken auch auf das unbekannte Bevorstehende.
[...]
130
Hilbert´s Rede
2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome
Wenn es sich darum handelt, die Grundlagen einer Wissenschaft zu untersuchen, so
hat man ein System von Axiomen aufzustellen, welche eine genaue und vollständige
Beschreibung derjenigen Beziehungen enthalten, die zwischen den elementaren
Begriffen jener Wissenschaft stattfinden. Die aufgestellten Axiome sind zugleich die
Definitionen jener elementaren Begriffe und jede Aussage innerhalb des Bereiches
der Wissenschaft, deren Grundlagen wir prüfen, gilt uns nur dann als richtig, falls
sie sich mittelst einer endlichen Anzahl logischer Schlüsse aus den aufgestellten
Axiomen ableiten läßt. Bei näherer Betrachtung entsteht die Frage, ob etwa gewisse
Aussagen einzelner Axiome sich untereinander bedingen und ob nicht somit die
Axiome noch gemeinsame Bestandteile enthalten, die man beseitigen muß, wenn
man zu einem System von Axiomen gelangen will, die völlig von einander
unabhängig sind.
Vor Allem aber möchte ich unter den zahlreichen Fragen, welche hinsichtlich der
Axiome gestellt werden können, dies als das wichtigste Problem bezeichnen, zu
beweisen, daß dieselben untereinander widerspruchslos sind, d.h. daß man auf
Grund derselben mittelst einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals zu
Resultaten gelangen kann, die miteinander in Widerspruch stehen.
[...]
131
Hilbert´sches Programm
Hilbert´sches Programm:
Formalisierung der Mathematik
Widerspruchsfreiheit:
Die Formalisierung soll widerspruchsfrei sein (d. h.: keine zwei sich
ausschließenden Aussagen können hergeleitet werden).

Vollständigkeit:
Jede wahre mathematische Aussage kann hergeleitet werden.

Entscheidbarkeit:
Es gibt ein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich
vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.

132
Hilbert´sches Programm
Hilbert´sches Programm:
Formalisierung der Mathematik
Widerspruchsfreiheit:
Die Formalisierung soll widerspruchsfrei sein (d. h.: keine zwei sich
ausschließenden Aussagen können hergeleitet werden).

Vollständigkeit:
Jede wahre mathematische Aussage kann hergeleitet werden.

Entscheidbarkeit:
Es gibt ein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich
vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.

Das Hilbert´sche Entscheidungsproblem verlangt den Nachweis, dass es
einen Algorithmus gibt, mit dessen Hilfe man die Wahrheit
mathematischer Aussagen "berechnen" kann.
133
Ergebnisse von Gödel
Gödelsche Unvollständigkeitssätze (1931)
In jedem formalen System, das widerspruchsfrei ist, existieren Aussagen, die wahr
sind, aber innerhalb des Systems nicht hergeleitet werden können. Das bedeutet,
es bleiben immer wahre Aussagen übrig, die nicht herleitbar sind.
Wenn ein formales System widerspruchsfrei ist, dann kann man innerhalb des
Systems nicht herleiten, dass es widerspruchsfrei ist.
 Widerspruchsfreiheit:
Die Formalisierung soll widerspruchsfrei sein (d. h.: keine zwei sich
ausschließenden Aussagen können hergeleitet werden).
 Vollständigkeit:
Jede wahre mathematische Aussage kann hergeleitet werden.
Entscheidbarkeit:
Es gibt ein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich
vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.

134
Ergebnisse von Church und Turing
Church / Turing (1936)
Es gibt kein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich vielen
Schritten entscheiden kann, ob sie ableitbar ist oder nicht.
 Widerspruchsfreiheit:
Die Formalisierung soll widerspruchsfrei sein (d. h.: keine zwei sich
ausschließenden Aussagen können hergeleitet werden).
 Vollständigkeit:
Jede wahre mathematische Aussage kann hergeleitet werden.
 Entscheidbarkeit:
Es gibt kein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich
vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.
135
Ergebnisse von Church und Turing
Church / Turing (1936)
Es gibt kein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich vielen
Schritten entscheiden kann, ob sie ableitbar ist oder nicht.
Um nachzuweisen, dass es keinen Algorithmus zur Entscheidung über den
Wahrheitsgehalt mathematischer Aussagen gibt, musste zunächst
präzisiert werden, was ein Algorithmus ist.
Turing führte zu diesem Zweck die später nach ihm benannte
Turingmaschine ein, Church entwickelte unabhängig hiervon eine
zuordnungsbasierte Präzisierung. Beide Präzisierungen wurden später als
gleichwertig erkannt.
Interessant ist in diesem Zusammenhang auch, dass die "Idee Computer"
präzisiert wurde, bevor die ersten praktikablen Computer gebaut wurden.
136



Ein Blick über den Zaun
Informatik:
 Methode: Ein Problem mit Hilfe eines Algorithmus lösen.
 Grenze der Methode: Das Entscheidungsproblem (... Halteproblem
...) ist algorithmisch nicht lösbar. (Turing)
Mathematik:
 Methode: Einen Satz beweisen.
 Grenze der Methode: In jedem formalen System, das
widerspruchsfrei ist, existieren Aussagen, die wahr sind, aber
innerhalb des Systems nicht hergeleitet werden können. Das
bedeutet, es bleiben immer wahre Aussagen übrig, die nicht
beweisbar sind. (Gödel)
Physik:
 Methode: Eigenschaften eines Systems messen.
 Grenze der Methode: Man kann Ort und Impuls eines Teilchens
nicht gleichzeitig exakt bestimmen. (Heisenberg)
137
Literaturhinweise
U. Schöning: Theoretische Informatik – kurzgefasst. Spektrum
Akademischer Verlag 2001.
Gasper, Leiß, Spengler, Stimm: Technische und theoretische Informatik.
Bayerischer Schulbuch-Verlag 1992.
Reichert, Nievergelt, Hartmann: Programmieren mit Kara. Springer-Verlag
2004.
D. Harel: Das Affenpuzzle und weitere bad news aus der Computerwelt.
Springer-Verlag 2002.
J. Casti: Das Cambridge Quintett. Berlin Verlag 1998.
D. R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Klett-Cotta 1985.