Der Satz von Rado ()
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vollkommene Zahlen
Definition:
Eine Zahl n heißt vollkommen,
wenn sie die Summe ihrer echten
Teiler ist (ohne n, mit 1).
Beispiel: 6=1+2+3.
Beispiele
6
=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62
+ 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
+ 127 + 254 + 508 + 1016
+ 2032 + 4064
Die ersten 10 vollkommenen Zahlen
6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
2.305.843.008.139.952.128
2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.
130.997.321.548.169.216
palindromerzeugende Zahlen
Definition:
Eine Zahl n heißt palindromerzeugend,
wenn das folgende Verfahren abbricht:
1. a(0) = n, k = 0.
2. a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild)
3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp,
4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.
palindromerzeugende Zahlen
sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen,
also ihr Spiegelbild:
sp(417) = 714, sp(5296) = 6925.
Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts
wie vorwärts gelesen gleich ist,
d.h. es gilt p=sp(p):
727, 3, 4774
Beispiele
59: 59+95=154, 154+451=605,
605+506=1111.
67: 67+76=143, 143+341=484.
89: 89+98=187, 187+781=968,
968+869=1837, 1837+7381=9218,
9218+8129=17347, ...
Beispiele
89, 187, 968, 1837, 9218,
17347, 91718, 173437, 907808,
1716517, 8872688, 17735476,
85189247, 159487405, 664272356,
1317544822, 3602001953, 7193004016,
13297007933, 47267087164, 93445163438,
176881317877, 955594506548,
1801200002107, 8813200023188.
Beispiele
196, 887, 1675, 7436, 13783,
52514, 94039, 187088, 1067869,
10755470, 18211171, 35322452,
60744805, 111589511, 227574622,
454050344, 897100798, 1794102596,
8746117567, 16403234045, 70446464506,
130992928913, 450822227944, …
nach 10.000 Schritten noch kein Palindrom!
Eine nicht berechenbare Funktion
f(n) sei maximale Anzahl |,
die eine Turingmaschine mit n Zuständen
und A={b,|} (Busy Beaver) schreiben kann.
Satz von Rado:
Die Funktion f ist nicht berechenbar.
berechenbare Funktionen
Definition:
Eine Funktion f(n) heißt berechenbar,
wenn es eine Turingmaschine gibt,
die bei Eingabe von n
die Ausgabe f(n)
auf das Band schreibt.
1. TM: BBn
Busy Beaver mit n Zuständen
| | | | | |
BBn
2. TM: F
berechnet die Funktion f
4
13
dezimal
F
3. TM: WRITEn
schreibt die Zahl n
4
dezimal
WRITEn
4. TM: CONVERT
konvertiert von dezimal nach unär
13
| | | | | | | | | | | | |
CONVERT
Frage:
Was macht
WRITEn F CONVERT ?
4 Turingmaschinen
Nr.
Name
Eingabe Ausgabe Zustände
1
BBn
-
f(n) (unär)
n
2
F
n
f(n) (dez.)
p
3
WRITEn
-
n (dez.)
log10 n
4
CONVERT
dezimal
unär
q
… und nun?
Wähle n derart, dass
n > log10 n + p + q
gilt.
