Grundlagen einfache IT-Systeme

Grundlagen einfache IT-Systeme
Name
IT-Sys
Klasse
Datum
1 Einführung
IT Systeme bilden die Grundlage aller modernen Firmen. Sie wachsen in ihrer Komplexität rapide
an, basieren jedoch auf Grundlagen, welche zum Teil schon Jahrtausende alt sind. Ziel ist es nun,
sowohl ein Verständnis über die Basiselemente, als auch Wissen über die aktuellen Entwicklungen
zu erlangen.
Gordon Moore, ein Mitbegründer von Intel, formulierte 1965 in einer Fachzeitschrift eine Gesetzmäßigkeit zur Komplexitätssteigerung von integrierten Schaltkreisen, was bis heute erstaunlich
richtig ist:
„Die Komplexität integrierter Schaltkreise verdoppelt sich etwa alle zwei Jahre.“ Wobei hier
Schaltkreise mit minimalen Komponentenkosten gemeint sind.
Folgende Grafik verdeutlicht diese Vorhersage (Quelle: Wikipedia: Wgsimon):
Unsere Aufgabe ist es nun, mit dieser Entwicklung Schritt zu halten!
ITSYS_EinfuerungPlsZahlen_v01.docx
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IT-Sys
Um dies zu ermöglichen, müssen wir uns neben der aktuellsten Technologie vor allem die Grundlagen ansehen um diese zu verstehen. Trotz aller Fortschritte – die Grundlagen des ersten Computers
sind immer noch die gleichen, wie bei einem aktuellen Prozessor. Sei es das zugrundeliegende Zahlensystem, die Tatsache, dass alle wesentlichen Rechenoperationen auf der Addition basieren oder
Abbildung sämtlicher Informationen auf Zahlen.
Es wird zwar zu erwarten sein, dass die derzeitige Technologie irgendwann an die technisch realisierbaren Grenzen stößt – derzeit bewegen sich die minimalen Fertigungsgrößen bei ca. 20nm und
einem Silizium Gitterabstand von ca. 0,5 nm sind nur noch 40 Atome nebeneinander möglich. Die
Technologie wird sich somit irgendwann anders ausrichten, jedoch ist das derzeitige Ziel eine Fertigungsgröße von 11nm, was voraussichtlich noch 10 Jahre in Anspruch nehmen wird – also noch
genug Zeit das hier erlernte Wissen anzuwenden.
Eine weitere einschränkende Größe ist die Taktrate. Diese kann nicht beliebig hoch gewählt werden. Zum einen steigt die Wärmeerzeugung, welche irgendwie abgeführt werden muss. Zum anderen sind die Schaltgeschwindigkeiten der Transistoren begrenzt. Schließlich gibt es noch Probleme
bei der EMV (Elektromagnetische Verträglichkeit) zu nennen – also Elektromagnetische Wechselwirkungen aufgrund der hohen Frequenzen.
2 Zahlensysteme
Digitaltechnik basiert auf der Tatsache, dass die beiden Zustände „Spannung vorhanden“ und „Spannung
nicht vorhanden“ unterschieden, und auf dieser Basis Informationen abgelegt werden können. Um diese Informationen nun codieren zu können, ist ein Regelwerk notwendig, welche die Anzahl der unterscheidbaren
Zustände von 2 (an und aus) auf beliebig erweitern kann. Dies geschieht mittels des binären Zahlensystems.
2.1 Struktur des Dezimalsystems
Um das Binärsystem verstehen zu können, wird zuerst das bekannte Dezimalsystem untersucht. Das Dezimalsystem ist ein sog. „Stellenwertsystem“, bei dem nicht nur die Ziffer selbst, sondern auch die Position
den Wert bestimmt. Der Ziffernvorrat von 10 Zeichen kommt aller Wahrscheinlichkeit nach von den 10 Fingern des Menschen, welche ja auch als Rechenhilfe dienen.
Zur Ermittlung des tatsächlichen Wertes sind pro Position zwei Schritte notwendig:
1.: Multiplikation der Ziffer mit der Zehnerpotenz der eigenen Position, wobei die rechte Ziffer die Position
0 besitzt.
2.: Addition des Ergebnisses zum aktuellen Wert.
Beispiel:
Zahl 165 = 5 * 100 + 6 * 101 + 1 * 102
Das Zählen erfolgt also dergestalt, dass man beginnend mit 0 aufsteigend den Zeichenvorrat durchgeht, bis
man an der 9 angekommen ist. Danach zählt man die nächsthöhere Stelle mit dem gleichen System um eins
hoch und fängt an der aktuell betrachteten Stelle wieder mit der 0 an.
Merke:
Die kleinste Ziffer in der Mathematik ist die 0 – insofern ist die erste Zahl
beim Zählen auch die 0, nicht die 1!
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2.1 Struktur des Binärsystems
Das Binärsystem ist exakt wie das Dezimalsystem aufgebaut, jedoch mit dem Unterschied, dass es nicht 10
Zeichen, sondern nur zwei (0 und 1) gibt. Folgende Tabelle stellt Werte der beiden Zahlensysteme gegenüber.
Zur Unterscheidung von Zahlen verschiedener Zahlenformate müssen nun Zusatzinformationen angegeben
werden.
Dezimalzahl für den Wert 100: 10010
was somit heißen soll, „Zahl eins null null mit der Basis 10“ oder eben Hundert.
Entsprechend gilt für eine Binärzahl 100: 1002 also „Zahl eins null null“ mit der Basis 2“.
Es gibt noch weitere Notationen wie 100B (B für Binär), oder 0b100.
Dezimal:
1
Binär:
0
24
23
22
21
20
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
2
0
2
10
0
0
0
1
0
3
0
3
11
0
0
0
1
1
4
0
4
100
0
0
1
0
0
5
0
5
101
0
0
1
0
1
6
0
6
110
0
0
1
1
0
7
0
7
111
0
0
1
1
1
8
0
8
1000
0
1
0
0
0
9
0
9
1001
0
1
0
0
1
10
1
0
1010
0
1
0
1
0
11
1
1
1011
0
1
0
1
1
12
1
2
1100
0
1
1
0
0
13
1
3
1101
0
1
1
0
1
14
1
4
1110
0
1
1
1
0
15
1
5
1111
0
1
1
1
1
16
1
6
10000
1
0
0
0
0
1: Gegenüberstellung Dezimal, Binär
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2.2 Hexadezimalsystem
Leider kommt man im Binärsystem bei entsprechend großen Zahlen auf entsprechend riesige Ziffernkolonnen (bspw. Ist Bevölkerungsstand der BRD 2008 laut Statistisches Bundesamt 82 024 000 Binär ausgedrückt 100 1110 0011 1001 0110 0100 0000). Die Umrechnung zwischen den beiden Zahlensystemen ist
jedoch „per Hand“ eher umständlich. Um hier Abhilfe zu schaffen, wurde das Hexadezimalsystem eingeführt, bei dem die Basis eine Zweierpotenz (24 = 16) ist und somit eine einfache Umrechnung möglich ist.
Der Zeichenvorrat des Hexadezimalsystems wurde mit 0-9 plus A-F definiert. Hier eine Gegenüberstellung
der drei Zahlensysteme Hex, Bin, und Dezimal:
Dezimal:
1
Binär:
Hexadezimal:
0
4
161
160
0
0
0
1
1
0
1
1
0
2
0
2
0
1
1
3
0
3
0
1
0
0
4
0
4
0
0
1
0
1
5
0
5
110
0
0
1
1
0
6
0
6
7
111
0
0
1
1
1
7
0
7
0
8
1000
0
1
0
0
0
8
0
8
9
0
9
1001
0
1
0
0
1
9
0
9
10
1
0
1010
0
1
0
1
0
A
0
A
11
1
1
1011
0
1
0
1
1
B
0
B
12
1
2
1100
0
1
1
0
0
C
0
C
13
1
3
1101
0
1
1
0
1
D
0
D
14
1
4
1110
0
1
1
1
0
E
0
E
15
1
5
1111
0
1
1
1
1
F
0
F
16
1
6
10000
1
0
0
0
0
10
1
0
2
3
2
2
2
2
1
2
0
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
2
0
2
10
0
0
0
3
0
3
11
0
0
4
0
4
100
0
5
0
5
101
6
0
6
7
0
8
2: Gegenüberstellung Dezimal, Binär Hexadezimal
Folgendes Beispiel soll die Sinnhaftigkeit des Hexadezimalsystems darstellen:
Dezimal:
Binär:
4
78
1.251
20.025
320.406
5.126.500
82.024.000
100
100.1110
100.1110.0011
100.1110.0011.1001
100.1110.0011.1001.0110
100.1110.0011.1001.0110.0100
100.1110.0011.1001.0110.0100.0000
Hexadezimal:
4
4E
4E3
4E39
4E396
4E3964
4E39640
3: Systematik Hex/Bin Umrechnung
Die Notationen für Hexadezimalzahlen sind 100H (H für Hexadezimal), oder 0h100 bzw. in der Mathematik
10016
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2.3 Umrechnungen
Zum weiteren Verständnis werden hier nochmal kurz die manuellen Umrechnungen dargestellt:
2.3.1
Binär <-> Dezimal
Binärzahlen werden in Dezimalzahlen umgerechnet, indem man die einzelnen Stellen mit ihrer „Wertigkeit“
multipliziert und aufaddiert.
Die Werte der einzelnen Positionen können problemlos selbst errechnet werden, indem die Wertigkeit immer
wieder mit 2 multipliziert wird (also 128 * 2 = 256, 256 * 2 = 512, usw. usf.)
Umgekehrt werden Dezimalzahlen umgerechnet, indem man prüft, wie oft die Wertigkeit einer Binärstelle in
die entsprechende Dezimalzahl, bzw. des Restwertes passt, wobei man bei der höchsten Wertigkeit beginnt,
welche gerade noch passt. Für jede Wertigkeit die passt wird als Binärwert eine 1 gesetzt. Hier am Beispiel
der Dezimalzahl 119:
Position:
6
5
4
3
2
1
0
Wertigkeit:
128
64
32
16
8
4
2
1
Rechnung:
Rest:
Binärwert:
128 passt nicht in 118, also keine Rechnung.
64 passt in 118 ein mal hinein (118-64=54)
32 passt in 54 ein mal hinein (54-32=22)
16 passt in 22 ein mal hinein (22-16=6)
8 passt in 6 null mal hinein
4 passt in 6 ein mal hinein (6-4=2)
2 passt in 2 ein mal hinein (2-2=0)
1 passt in 0 null mal hinein (1-1=0)
118
54
22
6
6
2
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
4: Rechenbeispiel Umrechnung Dezimal in Binär (durch Abziehen)
Am Schluss muss immer der Rest 0 raus kommen, da sonst ein Rechenfehler unterlaufen ist (Wenn dem
nicht so wäre, dann könnte man mit dem Binärsystem nicht alle Dezimalzahlen darstellen).
Eine zweite Methode ist, über den Modulo Operator % also den Rest einer ganzzahligen Division:
Position:
0
1
2
3
4
5
6
Aktuelle
Zahl:
119
59
29
17
7
3
1
Rechnung:
Ergebnis:
118 / 2 = 59, Rest = 0
59 / 2 = 29 Rest = 1
29 / 2 = 14 Rest = 1
14 / 2 = 7 Rest = 0
7 / 2 = 3 Rest = 1
3 / 2 = 1 Rest = 1
1 / 2 = 0 Rest = 1
0
1
1
0
1
1
1
5: Rechenbeispiel Umrechnung Dezimal in Binär (durch Modulo 2)
Da bei der Modulooperation immer die Teilbarkeit durch 2 geprüft wird, ist das Ergebnis genau anders herum zu lesen, als bei der Subtraktionsmethode.
2.4 Umrechnen Binär <-> Hexadezimal
Wie bereits erwähnt, wurde das Hexadezimalsystem zur vereinfachten Darstellung von Binärzahlen „erfunden“. Dies beruht darauf, dass mit vier Binärstellen genau 16 Zahlen dargestellt werden können. Hierfür
reicht allerdings auch exakt eine Hexadezimalstelle aus.
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Dies führt zu folgender Vorgehensweise bei der Umrechnung von Binär auf Hexadezimal:
1.: Von rechts beginnend immer vier Stellen zu einer Gruppe zusammenfassen.
2.: Die letzte Gruppe links mit 0 auffüllen, bis sie vier Ziffern enthält
3.: Pro Gruppe die Hexadezimalstelle ermitteln
4.: Hexadezimalstellen zu einer Zahl zusammenfassen.
Im Beispiel bei der Zahl 10110100111:
Schritt 1.: 101.1010.0111
Schritt 2.: 0101.1010.0111
Schritt 3.: 0101-> 5 1010-> A 0111-> 7
Schritt 4.: Die Hexadezimalzahl lautet 5A7
Umgekehrt ist die Rechnung vergleichbar einfach:
1.: Jeder Hexadezimal die Binärzahl zuordnen (Hierzu muss man sich nur die Kombinationen der ersten 16
Zahlen herleiten oder merken.)
2.: Sämtliche Binärzahlen zusammenschreiben.
Im Beispiel bei der Zahl E8B:
Schritt 1.: E-> 1110 8-> 1000 B-> 1011
Schritt 2.: Die Binärzahl lautet: 111010001011
2.5 Umrechnung Hexadezimal <-> Dezimal
Nachdem die Rechnungen von Dezimal <-> Binär und Hexadezimal <-> Binär verstanden wurden, können
über den „Umweg“ Binär auch die Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen umgewandelt werden. Es ist
schlichtweg einfacher zuerst die Werte in Binär auszudrücken um sie dann in Hexadezimal oder Dezimal
umzurechnen. Trotzdem geht natürlich auch der direkte Weg (hier in aller Kürze):
Prinzipiell funktioniert die Umrechnung von Dezimal in Hexadezimal wie die Umrechnung von Dezimal in
Binär. Zuerst die Prüfung, wie oft eine Wertigkeit der Hexadezimalzahl in die Dezimalzahl passt. Hier am
Beispiel der Zahl 1034:
Passt 4096? -> nein, dann wird geprüft, wie oft die nächstkleinere Wertigkeit passt und mit dem Rest wird
weiter gerechnet:
256 * 4 = 1024 => 1034 – 1024 = 10 (also Position 2 ist die 4)
Passt die nächste Wertigkeit 16 in 10 -> nein! (also Position 1 ist die 0)
Passt die nächste Wertigkeit 1 in 10 -> Ja, also
10 * 1 = 10 => 10 – 10 = 0
(also Position 0 ist die A)
Also ist die Hexadezimalzahl 40A.
Wenn eine Hexadezimal in Dezimal umgerechnet werden muss, ist die Vorgehensweise wieder wie bei der
Umrechnung von Binär in Dezimal. Hier am Beispiel der Zahl A4C:
Position 2 mit der Wertigkeit 256 hat den Wert A (also Dezimal 10)
=> 10 * 256 = 2560
Position 1 mit der Wertigkeit 16 hat den Wert 4
=> 4 * 16 = 64
Position 0 mit der Wertigkeit 1 hat den Wert C (also Dezimal 12)
=> 12 * 1 = 12
Also ist die Dezimalzahl 2560 + 64 + 12 = 2636
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2.5.1 Übung:
Ergänzen sie bitte folgende Tabelle:
Dezimal
Binär:
Hexadezimal
101
100
27
26
25
24
23
22
21
20
161
160
10
1
128
64
32
16
8
4
2
1
16
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
A
1
6
0
0
1
1
0
0
1
0
1
F
9
9
3
2
6: Rechenübung Zahlensysteme
2.6 Binärpräfixe
Die IEC (Internationale Elektrotechnische Kommission) hat 1996 eine Norm für Binärpräfixe vorgestellt.
Diese berücksichtigen, dass die Zweierpotenzen nicht zu geraden Zehnerpotenzen führen und wurden begrifflich von den SI Einheiten abgeleitet.
Binärpräfixe
SI-Symbole
Name Symbol Wert
kibi
Ki
210 = 10241 = 1.024
Name
Kilo
Symbol
k
Wert
103 = 1.000
mebi
Mi
220 = 10242 = 1.048.576
Mega
M
106 = 1.000.000
gibi
Gi
230 = 10243 = 1.073.741.824
Giga
G
109 = 1.000.000.000
tebi
Ti
240 = 10244 = 1.099.511.627.776
Tera
T
1012
pebi
Pi
250 = 10245 = 1.125.899.906.842.624
Peta
P
1015
exbi
Ei
260 = 10246 = 1.152.921.504.606.846.976
Exa
E
1018
zebi
Zi
270 = 10247 = 1.180.591.620.717.411.303.424
Zetta
Z
1021
yobi
Yi
280 = 10248 = 1.208.925.819.614.629.174.706.176
Yotta
Y
1024
7: Gegenüberstellung Binärpräfixe und SI-Symbole
Ein Beispiel:
500 MiB = 500 · 220 Byte = 524.288.000 Byte (was somit ungefähr 534 MB entspricht)
Leider hat sich das MiB nicht wirklich im täglichen Leben durchgesetzt – man muss somit aus dem
Zusammenhang erkennen, ob man sich im Bereich der Binärpräfixe oder der SI-Symbole befindet.
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