Lecture4 - Universität Kassel

Numerical Methods of
Electromagnetic Field Theory II (NFT II)
Numerische Methoden der
Elektromagnetischen Feldtheorie II (NFT II) /
4th Lecture / 4. Vorlesung
Dr.-Ing. René Marklein
[email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Universität Kassel
Fachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71
Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
University of Kassel
Dept. Electrical Engineering / Computer Science
(FB 16)
Electromagnetic Field Theory
(FG TET)
Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115
D-34121 Kassel
1
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Ein
z (r,  )
PEC Cylinder /
IEL Zylinder
k in
Source /
Quelle
2-D Case /
2D-Fall
R  r e r ( )  z e r ( )
r
r
r cyl
0
r
r0
r
O

K TM
ez (r ,  )
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
rCsc Ssc


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
This is a Fredholm integral equation of the 1. kind in form of a closed line integral
for the unknown electric surface current density for a known incident field. /
Dies ist eine Fredholmsche Integralgleichung 1. Art in Form eines geschlossenen Linienintegrals
für die unbekannte elektrische Flächenladungsdichte für ein bekanntes einfallendes Feld.

j
G(r  r ,  )  H(1)
k0 r  r
0
4
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

2
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
rCsc Ssc


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
Discretization via MoM /
Diskretisierung durch MoM
Matrix Equation / Matrixgleichung
Z 
V / A
Impedance Matrix /
Impedanzmatrix


 
in
( ) K TM
e z ( )  E z ( )
A / m
V / m
Electric Field Strength Vector /
Elektrischer Feldstärkevektor
Electric Surface Current Density Vector /
Elektrischer Flächenstromdichtevektor
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
3
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
rCsc Ssc
Discretization via MoM /
Diskretisierung durch MoM
Matrix Equation / Matrixgleichung
Z 
V / A
Problem: Large Impedance Matrix /
Problem: Große Impedanzmatrix


 
in
( ) K TM
e z ( )  E z ( )
V / m
A / m
Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /
Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode
!
Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung
K  ( )   Z 
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
TM
ez
1
A / m
A / V
 
( ) Ein
z ( )
V / m
4
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
rCsc Ssc


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
Discretization via MoM /
Diskretisierung durch MoM
Matrix Equation / Matrixgleichung
in
 Z  ( ) KTM
e z  ( )  E z  ( )
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
Z1N ( ) 
Z 2 N ( ) 


Z NN ( )  N × N
 K TM

 Ein

e z1 ( )
z1 ( )




in
 K TM



(

)
E
(

)
e z2
z2

 





 TM

 in

K e zN ( )  N E zN ( )  N
Complex Symmetric N X N Matrix /
Komplexe symmetrische N X N Matrix
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
5
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
rCsc Ssc
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )

Z1N ( ) 
Z 2 N ( ) 


Z NN ( )  N × N
Ein
z (r,  )

K TM
e z (r ,  )
 j0 
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
rCsc Ssc

in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
  G  r  r  ,   d r
 K TM

 Ein

e z1 ( )
z1 ( )




in
 K TM



(

)
E
(

)
e z2
z2

 





 TM

 in

K e zN ( )  N E zN ( )  N
Ein
zm ( )
m  1,..., N
 K TM
e zn ( )
n  1,..., N


Z mn  
m, n  1,..., N
6
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
rCsc Ssc


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
We have to Consider Two Different Cases for the Elements of the Impedance Matrix /
Man unterscheidet zwei Verschiedene Fälle für die Elemente der Impedanzmatrix
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )





Z1N ( ) 


Z 2 N ( ) 





Z NN ( ) 



Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003














Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für:
r  r
(Self Cell / Eigenzelle)
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r  r
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
7
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Ein
z (r,  )
PEC Cylinder /
IEL Zylinder
k in
Source /
Quelle
r
r cyl
r0
r ( s )
O
K TM
ez
r ( s ),  


s
Contour Parameter = Integration Variable/
Konturparameter = Integrationsvariable
r  r ( s)
TM  


K TM
e z (r ,  )  K e z r ( s),  

G r  r , 
Ein
z (r,  )
  j0
se

s  sb
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003


 G r  r ( s), 
r ( s)  Csc
Csc : sb  s  se

r ( s),   dr ( s)
G r  r ( s),   K eTM

 z 

Begin of Contour /
Anfang der Kontur
End of Contour /

Ende der Kontur
sb(eginn ) 
r  Csc
se( nd )
8
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an
einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit
Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Ein
z (r,  )
  j0
se

s  sb
r ( s),   dr ( s)
G r  r ( s),   K eTM

 z 

r  Csc
Basis Function Expansion using Rectangular Pulse Basis / Basisfunktionsentwicklung mit Rechteckimpulsfunktionen
pn  s(r ); sb(n) , se(n) 


1
Rectangular Pulse
(or Piecewise-Constant) Function /
Rechteckimpuls-Funktion
(oder stückweise konstante Funktion)
se( n )
sb( n )
1 s ( n)  s  se( n)
b

B1( n) ( s )  p ( n)  s (r ); sb( n) , se( n )   
otherwise /


0
sonst

s (r  )
K TM(3)
 
ez
jk
in
Ein
z (r 0 ,  )  E z ( ) e
Source /
Quelle
k
r0
O
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
in
in
r0
K TM(4)
ez
K TM(2)
 
ez
n
PEC Cylinder /
IEL Zylinder
 
Integer Counter /
Ganzzahliger Zähler
K TM(1)
 
ez
r ( sb(5) )
r ( s )
K TM(5)
 
ez
r ( se(5) )
K TM(6)
 
ez
K TM(8)
 
ez
K TM(7)
 
ez
9
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Rectangular Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an
einem ideal elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit
Rechteckimpuls-Basisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Basis Function Expansion using Rectangular Pulse Basis / Basisfunktionsentwicklung mit Rechteckimpulsfunktionen
pn  s(r ); sb(n) , se(n) 


1
Rectangular Pulse
(or Piecewise-Constant) Function /
Rechteckimpuls-Funktion
(oder stückweise konstante Funktion)
Pulse Basis Expansion of /
Pulsbasisentwicklung von
Ein
z (r ,  )
KTM
ez
  j 0
sb( n )
r (s),  


se

s  sb
N
  j 0 
n 1
N
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
s (r  )
K TM
ez
r ( s),  

r ( s),   dr ( s)
G r  r ( s),   K TM

 ez 

n)
K eTM(
z
se
  
n)
  j 0  K eTM(
 
z
n 1
se( n )
1 s ( n )  s  se( n )
b
( n)
( n) 
( n) ( n)  

B1 ( s )  p
s (r ); sb , se

otherwise /

 0

sonst

s  sb

N
n)
  K TM(
  p( n)  s(r ); sb(n) , se( n) 
ez
n 1
r  Csc
G r  r ( s ),   p ( n)  s (r ); sb( n) , se( n)  dr ( s )




r  Csc
se( n )
G r  r ( s ),   dr ( s )


(n)

s  sb
The Rectangular Pulse Function Works
like a Filter Function /
Die Rechteckimpuls-Funktion arbeitet
wie eine Filterfunktion
10
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
se( n )
N
TM( n )
Ein
 
z (r,  )   j 0  K e z
n 1
G r  r ( s),   dr ( s)


(n)

s  sb
j
 k r  r ( s ) 
G r  r ( s),    H(1)
0
 0


 4
N
se( n )
n 1
s  sb( n )
TM( n )
Ein
 
z (r,  )   j 0  K e z

Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
4
N

j (1) 
H
k0 r  r ( s)  dr ( s)

4 0 
se( n )
 k r  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 
 0

(n)
n)
  
 K TM(
ez
n 1
s  sb
11
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Ein
z (r,  ) 
0
se( n )
N
 k r  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 

 0
(n)
n)
  
 K eTM(
z
4
n 1
s  sb
Testing Procedure with Delta Testing Functions /
Testprozedur mit Delta-Testfunktionen
wm , L  f   wm , g
wm (r)   (r  r ( m) )
wm , Ein
z (r,  )  wm ,
0
4
(m)
Ein
, ) 
z (r
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
4
 k r  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 
 0

(n)
n)
  
 K TM(
ez
n 1
( m)
 (r  r ( m) ), E in
),
z (r,  )   (r  r
N
se( n )
N
s  sb
0
4
se( n )
N
 k r  r  ( s )  d r ( s)
H (1)
0 
 0

(n)
n)
  
 K eTM(
z
n 1
s  sb
se( n )
 k r ( m )  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 

 0
(n)
n)
  
 K TM(
ez
n 1
s  sb
12
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
( m)
Ein
, ) 
z (r
Ein
zm ( )
0
4
se( n )
N
 k r ( m )  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 

 0
(n)
n)
  
 K TM(
ez
n 1
s  sb

in ( m )
Ein
, )
z (r,  )  E z (r
K TM
e zn   
n)
n)
K TM(
   K TM(
 
ez
ez
Z mn  


 Z r  r ( s ),  
0
4
m  1,..., N
n  1,..., N
se( n )
( m)
(1)
( n) H0 k0 r  r (s)  dr (s)
m, n  1,..., N
s  sb
V
m
 
A
m
 
V
A
 
nth Element – nth Cell /
n-tes Element – n-te Zelle
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
mn
 m1


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
Z1N ( ) 
Z mN ( ) 


Z NN ( )  N × N
 K TM

 Ein

e z1 ( )
z1 ( )




in
 K TM



(

)
E
(

)
e zn
zm

 





 TM

 in

K e zN ( )  N E zN ( )  N
13
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
mn
 m1


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
Z mn   
0
4
Z1N ( ) 
Z mN ( ) 


Z NN ( )  N × N
 K TM

 Ein

e z1 ( )
z1 ( )




in
 K TM


E zm ( ) 
e zn ( )

 





 TM

 in

K e zN ( )  N E zN ( )  N
se( n )
 k r ( m )  r  ( s )  d r ( s )
H(1)
0 

 0
(n)

m, n  1,..., N
s  sb
where the Phase of the Hankel Function is given by /
wobei die Phase der Hankel-Funktion geben ist über
2
r ( m )  r  ( s )   x ( m )  x ( s )    y ( m )  y  ( s ) 




where / wobei
2
r ( m) determines the Phase center / das Phasenzentrum angibt
The Solution of this Contour Integral cannot Formulated in a
Closed Form. We have to Introduce some further Approximations. /
Die Lösung dieses Konturintegrals kann nicht in einer geschlossenen Form
angegeben werden. Wir müssen weitere Approximationen einführen.
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
14
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Z mn   
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
4
( m)
(1) 
H
k
r
 r ( s)  dr ( s)
0
0
( n) 


m, n  1,..., N
s  sb





Z1N ( ) 



Z 2 N ( ) 





Z NN ( ) 


Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
se( n )








=?






Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für:
r  r
Self Cell / Eigenzelle
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r  r
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
15
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Z mn   
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
4
( m)
(1) 
H
k
r
 r ( s)  dr ( s)
0
0
( n) 

m, n  1,..., N
s  sb





Z1N ( ) 



Z 2 N ( ) 





Z NN ( ) 


Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
se( n )








=?





Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
For / Für:
r  r
Self Cell / Eigenzelle
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
16
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
Z mm   
se( m )
0
4
 k r ( m )  r  ( s )  dr ( s )
H(1)
0 

 0
(m)

s  sb
K TM(3)
 
ez
jk
in
Ein
z (r 0 ,  )  E z ( ) e
Source /
Quelle
k
in
r0
O
in
m  1,..., N
r0
K TM(4)
ez
K TM(2)
 
ez
n
PEC Cylinder /
IEL Zylinder
 
Integer Counter /
Ganzzahliger Zähler
K TM(1)
 
ez
r ( sb(5) )
r ( s )
K TM(5)
 
ez
r ( se(5) )
K TM(6)
 
ez
K TM(8)
 
ez
K TM(7)
 
ez
   
(5)  r se(5)  r sb(5)
r (5)  r ( s)  s
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
17
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
se( m )
(m)
(1) 
H
k
r
 r ( s)  dr ( s) 
0
0
( m) 

s  sb
r
( m)
 r ( s )  s
   
(m)  r se(m)  r sb(m)
s
r
 
sb(m)
O
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
sb( m )
s  r ( m)  r ( s )
r ( s )
r ( m)
se( m )

H (1)
0  k0 s  ds
s  sb( m )
2
( m )
2

H (1)
0  k0 s  ds
s 0
s  se( m)
 
r se(m)
Power Series Approximation of the
Hankel Function for Small Arguments z /
Potenzreihenapproximation der
Hankel-Funktion für kleine Argumente z
18
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
H (1)
0 ( z )  J 0 ( z )  jN 0 ( z ) ?
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Editors):
Handbook of Mathematical Functions,
with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
p. 1046, Dover Publications, New York, 1972.
www.amazon.de
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
19
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
H (1)
0 ( z )  J 0 ( z )  jN 0 ( z ) ?
1 2
z  O (z4 )
[Abramowitz & Stegun, p. 360, Eq. 9.1.12]
4
2  z

21 2
N 0 ( z )  ln      J 0 ( z ) 
z  O ( z 4 ) [Abramowitz & Stegun, p. 360, Eq. 9.1.13]
   2
 4

J0 ( z)  1 
Euler Constant /
Eulersche Konstante
  0.5772 15664 90153 28606 06512
[Abramowitz & Stegun, p. 3]
 1  e
 e0.5772 15664 90153 28606 06512
 1.7810 72428 ...
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
20
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
H (1)
0 ( z )  J 0 ( z )  jN 0 ( z ) ?
1 2
z  O (z4 )
4
2  z

21 2
N 0 ( z )  ln      J 0 ( z ) 
z  O (z4 )
   2 
 4
1
J0 ( z)  1 
1 z 2
4
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

2  z
 1 2 2 1 2
ln


1 z  
z  O (z4 )
 



   2  4   4

2 z
1  z
 2 2 1 2
z  O (z4 )
ln      ln      z  
   2
4   2
   4

2 z
1  z
 2
4
ln      ln      1  z  O ( z )
   2
4   2

21
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
1 2
z  O (z4 )
4
2 z
1 z

N0 ( z )  ln      ln      1  z 2  O ( z 4 )
   2
4   2

J0 ( z)  1 
Finally we find for the Power Series Approximation of the Hankel Function for Small Arguments z /
Letztendlich finden wir für die Potenzreihenapproximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente z
H (1)
0 ( z )  J 0 ( z )  jN 0 ( z )
 1
1 2
2 z
1 z
 
z  j ln      ln      1 z 2   O ( z 4 )
4
   2
4   2
 
 1
1 2
2 z
1 z
 
z  j ln      ln      1 z 2 
4
   2
4   2
 
 1 j
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
2  z
 1
1
ln




j

   2    4 2
 z
 2
ln



1
  2
 z
  

22
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
se( m )
 k r ( m )  r  ( s )  dr ( s )
H (1)
0 
 0

(m)

s  sb
2
( m )
2

H (1)
0 ( z)  1  j
H (1)
0  k 0 s  ds
s 0

2
 1 j
(m)
2

s 0

2
1  j


 z

ln





  ds
2
  

 ( m )
 2
2 
2


 2    1  j   ds  j
 

 s 0 


Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
( m )
2

s 0
2  z
 1
1
ln




j



   2    4 2
  z
 2
ln



1



 z
2
  

2  z

ln     

   2 


z 
ln   ds 
 2 


23
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
se( m )
 k r ( m )  r  ( s )  d r ( s )  2
H (1)
0 
 0

(m)

s  sb
( m )
2
2

s 0
( m )
2
2 
2 


1  j   ds  2 1  j   s
 
  s 0


2 

  ( m) 1  j  
 

( m )
2

s 0
j
4

2 
4

 1  j   ds  j
 


( m )
2

s 0
( m )
2

s 0
z
ln   ds
 2
4 2
k s
ln  0  ds  j
 k0
 2 
j
2


k0  ( m )
4
ln  d
 0
( m)
 ln x dx  x  ln x  1
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003

  k  ( m)
ln  0
  4
 
  1
 
 
x0
24
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

se( m )

s  sb( m )
H (1)
0
Main Diagonal Elements / Hauptdiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Power Series Expansion of the Hankel Function for Small Arguments /
Potenzreihen-Approximation der Hankel-Funktion für kleine Argumente
( m)
 
 k r ( m)  r ( s )  dr ( s)   ( m) 1  j 2    j 2  ( m) ln  k0 

 0

  

  4

(m)

2   k0  ( m )

1  j ln 
   4


 
  1
 
 



    1 

 


Main Diagonal Elements of the Impedance Matrix /
Hauptdiagonalelemente der Impedanzmatrix
Z mm   
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
4

( m)


2   k0  ( m ) 


    1 
1  j ln 
   4 
 



m  1,..., N
25
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Z mn   
 Z11 ( ) Z12 ( )
 Z ( ) Z ( )
22
 21


 Z N 1 ( ) Z N 2 ( )
4
( m)
(1) 
H
k
r
 r ( s)  dr ( s)
0
0
( n) 

m, n  1,..., N
s  sb





Z1N ( ) 



Z 2 N ( ) 





Z NN ( ) 


Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
0
se( n )








=?





Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
For / Für
r  r
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
26
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Z mn   
0
4
Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
se( n )
 k r ( m )  r  ( s )  d r ( s )
H (1)
0 

 0
(n)

s  sb

0 (1) 

H 0  k0 r ( m )  r ( n )
4


 r ( mn )

0
4
m, n  1,..., N
H (1)
0
 k0 r

( mn ) 




( n)
(n)
 r se  r sb


 ( n )
   
( n)
Position Vector Points to the Midpoint of the nth Cell /
r ( n) Ortsvektor zeigt auf den Mittelpunkt der n-ten Zelle
   
( n)  r se( n)  r sb(n)
Approximation of the Arc Length of the nth Cell /
Approximation der Bogenlänge der n-ten Zelle
r ( mn)  r ( m)  r ( n)
2
  x ( m)  x ( n)    y ( m)  y ( n) 




2
se( n )

s  sb( n )
   
dr ( s)  r se( n)  r sb( n)
 (n)
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
27
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen

Off Diagonal Elements / Nebendiagonalelemente
1. Flat Cell Approximation / Ebene-Zelle-Approximation
2. Application of the Midpoint Rule / Anwendung der Mittelpunktsregel
Off Diagonal Elements of the Impedance Matrix /
Nebendiagonalelemente der Impedanzmatrix
Z mn   
0
 ( mn)  ( n)
H(1)
0  k0 r

4
r ( mn)  r ( m)  r ( n)
2
  x ( m)  x ( n)    y ( m)  y ( n) 




Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
2
28
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
2-D PEC TM EFIE / 2D-IEL-TM-EFIE
 j0 
r Csc Ssc


in



K eTM
z (r ,  ) G r  r ,  dr  E z (r,  ), r  Csc
 Esc
z (r , )
Discretization via MoM /
Diskretisierung durch MoM
Matrix Equation / Matrixgleichung
in
 Z  ( ) KTM
e z  ( )  E z  ( )
Elements of the Impedance Matrix /
Elemente der Impedanzmatrix
Z mn ( ) 
K TM
e zn
  
0
4
( n)
n)
K TM(
ez

2   k ( n) 

 1  j ln       1
  4



 (1)
 H 0 (k rmn )
  
K TM
ez
r ( s),  


mn
mn
N
n)
  K TM(
  p( n)  s(r ); sb( n) , se( n) 
ez
n 1
in ( m )
Ein
,)
zm ( )  E z (r
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
29
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Elements of the Impedance Matrix /
Elemente der Impedanzmatrix
Z mn ( ) 
0
4

( n)

2   k (n) 

 1  j ln       1
  4



 (1)
 H 0 (k rmn )
mn
mn
Matrix Equation / Matrixgleichung
Z 
V / A
Problem: Large Impedance Matrix /
Problem: Große Impedanzmatrix


 
in
( ) K TM
e z ( )  E z ( )
V / m
A / m
Iterative Solution via Conjugate Gradient (CG) Method /
Iterative Lösung durch Konjugierte Gradienten (KG) Methode
!
Solution of the Matrix Equation / Lösung der Matrixgleichung
K  ( )   Z 
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
TM
ez
1
A / m
A / V
 
( ) Ein
z ( )
V / m
30
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case /
Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
31
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case /
Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
32
EM Scattering by a Perfectly Electrically Conducting Cylinder: EFIE Discretized in the 2-D
TM Case with Pulse Basis and Delta Testing Functions / EM-Streuung an einem ideal
elektrisch leitendem Zylinder: EFIE diskretisiert im 2D-TM-Fall mit ImpulsBasisfunktionen und Delta-Testfunktionen
Calculation of the Scattered Field /
Berechnung des Streufeldes
Esc
z (r,  )  j0 
rCsc Ssc





K TM
e z (r ,  ) G r  r ,  dr ,
r
3
\ C sc
Calculation of the Total Field /
Berechnung des Gesamtfeldes
sc
E z (r,  )  Ein
z (r,  )  E z (r,  ),
K TM(3)
 
ez
jk
in
Ein
z (r 0 ,  )  E z ( ) e
Source /
Quelle
k
in
r0
O
in
r0
K TM(4)
ez
 
3
K TM(2)
 
ez
n
PEC Cylinder /
IEL Zylinder
\ C sc
Integer Counter /
Ganzzahliger Zähler
K TM(1)
 
ez
r ( sb(5) )
r ( s )
K TM(5)
 
ez
r ( se(5) )
K TM(6)
 
ez
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
r
K TM(8)
 
ez
K TM(7)
 
ez
33
Diffraction of an EM Plane Wave on a Circular PEC Cylinder – TM Case /
Beugung einer EM Ebenen Welle an einem kreisrunden IEL-Zylinder – TM-Fall
Real Part / Realteil
Imaginary Part / Imaginärteil
Magnitude / Betrag
Incident Field /
Einfallendes Feld
Scattered Field /
Streufeld
Total Field /
Gesamtfeld
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
34
End of 4th Lecture /
Ende der 4. Vorlesung
Dr. R. Marklein - NFT II - SS 2003
35