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Kapitel 8: Graphalgorithmen
8.1 Grundlagen
8.2 Tiefen- und Breitensuche
8.3 Prim- und Kruskal-Algorithmus
8.4 Kürzeste Wege in Graphen
8.5 Eulersche und Hamiltonsche Graphen
1
8.3.2 Greedy-Verfahren
Greedy-Verfahren: zum Finden der Lösung eines Problems
beginnen mit der leeren Lösung und bauen diese in
jedem Schritt mit der derzeit optimal erscheinenden
Möglichkeit aus.
Der Algorithmus von Prim ist ein Greedy-Verfahren: Er
beginnt mit einer Ecke und fügt zum schon konstruierten
Baum immer eine Kante mit dem kleinsten Gewicht
hinzu (die genau ein Ende im schon konstruierten Baum
hat).
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Huffmancode
Gegeben: eine Quelle/ein Alphabet A.
Präfixcode: Abbildung von A auf die Menge aller
Binärwörter mit:
kein Codewort (=Element der Bildmenge) ist Präfix eines
anderen Codewortes.
Ein Präfixcode kann durch einen Binärbaum dargestellt
werden: die Codewörter entsprechen den Blättern und
sind durch den Weg von der Wurzel zum jeweiligen Blatt
gegeben:
nach links = 0, nach rechts = 1.
Ein Präfixcode ermöglicht eine eindeutige Decodierung.
3
Jetzt:
Quelle/Alphabet A mit Häufigkeitsverteilung, d.h. mit
Funktion f:A  [0,1] mit
{a in A} f(a) = 1.
Optimaler Präfixcode zu (A,f): Präfixcode zu A mit minimaler
Durchschnittslänge der Codewörter:
{a in A} f(a) l(a) = min!
( l(a):= die Länge des Codewortes für a).
Idee: oft vorkommende Zeichen: kurze Codewörter,
selten vorkommende Zeichen: längere Codewörter.
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Buchstabenhäufigkeit
a) alphabetisch sortiert ohne Leerzeichen
b) nach Häufigkeit sortiert
5
Buchstabenhäufigkeit 2
6
Greedy-Algorithmus zur Erstellung eines
optimalen Präfixcodes: Huffmancode
Erzeuge für jedes Zeichen aus dem Alphabet (für jede
Häufigkeit) einen Knoten.
Starte mit den beiden Zeichen x und y mit den kleinsten
Häufigkeiten f(x) und f(y), ersetze x und y durch ein
neues Zeichen z mit der Häufigkeit f(z)=f(x)+f(y),
erzeuge einen neuen Knoten für z und füge an diesen
die beiden Knoten für x und y an. Wiederhole dies mit
dem Alphabet A´ := A \ {x,y} U {z}.
Iteriere dies, bis nur noch ein Zeichen (automatisch mit
Häufigkeit =1) übrig ist.
Der Binärbaum kann nun so angeordnet werden, dass die
Häufigkeiten auf jeder Ebene von links nach rechts fallen
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oder gleich bleiben.
Konstruktion eines
optimalen
Präfixcodes zu:
Alphabet
a1
a2
a3
a4
a5
a6
Häufigkeit
0.5
0.2
0.1
0.1
0.06
0.04
8
Korrektheit des Verfahrens
Erste Hilfsaussage:
In jedem optimalen Präfixcodebaum mit mind. zwei
Codewörtern gibt es zwei tiefste Blätter (= längste
Codewörter), die Brüder sind.
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Korrektheit des Verfahrens (2)
Dann zeigt man:
Seien x und y zwei Zeichen in A geringster Häufigkeit f(x)
und f(y).
Dann gibt es zu A einen optimalen Präfixcode, in dem x
und y durch zwei gleich lange, längste Codewörter
(=zwei tiefste Bruderblätter) codiert werden.
Denn wenn x und y nicht in zwei solchen Blättern stehen,
kann man sie mit den Zeichen dort vertauschen.
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Korrektheit des Verfahrens (3)
Dann zeigt man: Sei A´ := A \ {x,y} U {z} mit einem
neuen Zeichen z mit Häufigkeit f(z) = f(x)+f(y).
Man erhält durch Weglassen der Blätter x und y
einen optimalen Präfix-Code zu A´.
Insbesondere ist
MCL(A) – MCL(A´) = f(x) + f(y).
Dabei sei MCL(A) := mittlere Codewortlänge eines
optimalen Präfixcodes zu A.
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Optimalitätsbeweis
Nun Beweis dafür, dass das Verfahren wirklich einen
optimalen Präfixcode liefert: durch Induktion über die
Zahl der Zeichen im Alphabet.
Induktionsanfang: klar für Alphabet mit einem Zeichen.
Induktionsschluss: Sei A ein Alphabet mit mindestens zwei
Zeichen und A´ := A \ {x,y} U {z} wie oben.
Nach Induktionsannahme liefert das Verfahren einen
optimalen Präfixcode für A´. Anhängen zweier Blätter für
x und y an z liefert einen Präfixcode für A, dessen
mittlere Codewortlänge nur um f(x) + f(y) größer ist. Also
ist es ein optimaler Präfixcode für A.
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Anwendungen
Anwendungsbereiche der
Huffmankodierung: z.B.
• Textkompression,
• Bildkompression, z.B. in JPEG.
• Faxkodierung, CCITT Standard
Jede Linie des Bildes wird als eine Folge von Codeworten mit variabler Länge kodiert.
Dabei geht es um die Länge der wechselnden Weiß-, Schwarzfolgen. Ist die Länge
kleiner als 64, so wird ein modifizierter Huffman-Code einer Standardtabelle 1 genutzt.
Ist die Länge größer als 63, so wird die Zahl n in einen Teil modulo 64 und einen Teil
n div 64 aufgespalten und dann der entsprechende Code aus Tabelle 2 gewählt.
Jede Zeile beginnt man einem weißen Paketwort, das eventuell der Länge Null entspricht.
Schließlich ist der eindeutige Code 000000000001 als EOL-Code zu benutzen.
Ein neues Bild beginnt ebenfalls mit diesem Code und eine Serie von Bildern mit
drei EOLs. Die Methode ist übrigens auf eine 2D-Kompression erweitert worden.
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8.3.2 Greedy-Verfahren
Greedy-Verfahren: zum Finden der Lösung eines Problems
beginnen mit der leeren Lösung und bauen diese in
jedem Schritt mit der derzeit optimal erscheinenden
Möglichkeit aus.
Der Algorithmus von Prim ist ein Greedy-Verfahren: Er
beginnt mit einer Ecke und fügt zum schon konstruierten
Baum immer eine Kante mit dem kleinsten Gewicht
hinzu (die genau ein Ende im schon konstruierten Baum
hat).
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8.4 Kürzeste Wege in Graphen
„Single source shortest path problem“
Gegeben:
• Gerichteter, gewichteter (alle Gewichte 0)
Graph,
• Ein Knoten („Quelle“, „Startknoten“) v0 in dem
Graphen.
Gesucht: kürzeste Wege von v0 zu allen anderen
Knoten (sofern es überhaupt jeweils einen Weg
gibt).
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Dijkstra Algorithmus
Algorithmus Dijkstra (v0,G)
// vereinfacht: berechnet Länge der kürzesten Wege in G von v0 aus
für alle u
{ dist(u) := maxint };
gruen :=leer; gelb:= {v0}; dist(v0):=0;
While gelb != leer do
{ wähle w aus gelb, so dass dist(w) minimal;
färbe w grün;
für jedes u aus succ(w) do
{ falls u aus V\(gruen oder gelb)
{ färbe u gelb;
dist(u):= dist(w)+ cost(w,u);}
falls u aus gelb
{ wenn dist (u) > dist(w)+cost(w,u) dann
dist(u):=dist(w)+cost(w,u) }
}
}
end;
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Korrektheitsnachweis:
Behauptung: zu jedem Zeitpunkt gilt für jeden grünen
Knoten u:
• Es gibt einen kürzesten Weg von v0 nach u, der nur
grüne Knoten enthält.
• Seine Länge ist dist(u).
Beweis: durch Induktion. Man muss die Behauptung jeweils
für den Knoten zeigen, der von gelb nach grün
umgefärbt wird.
Aus dieser Behauptung folgt die Korrektheit des
Algorithmus.
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Beispiel
Gegeben sei der folgende bewertete ungerichtete Graph A, bei dem bereits ein
minimaler Spannbaum in roten Kanten ausgegeben ist.
A
5
B
7
5
6
D
2
F
3
2
E
4
3
1
2
5
C
3
G
18
Beispiel (2)
A
5
B
7
5
6
D
2
F
2
2
E
3
1
G
3
4
3
Wir wollen in einer Array-Implementation den kürzesten Wegebaum
von A aus berechnen. Hier werden die Entfernungen von A in die erste Zeile
eingetragen. Sodann wird das Minimum 5 gewählt. Dieser Abstand und der
neue Punkt B werden in die zweite Zeile eingetragen, die Abstände upgedatet.
Sodann wählen wir das nächste Minimum in der Tabelle mit 6 und den
zugehörigen Punkt D. Auch jetzt werden die Abstände angepasst. In der ersten
Spalte stehen die Abstände im Nächste-Wege-Baum von A.
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5
C
Dijkstra-Algorithmus
Algorithmus Dijkstra (v0,G)
// vereinfacht: berechnet Länge der kürzesten Wege in G von v0 aus
für alle u
{ dist(u) := maxint };
gruen :=leer; gelb:= {v0}; dist(v0):=0;
While gelb != leer do
{ wähle w aus gelb, so dass dist(w) minimal;
färbe w grün;
für jedes u aus succ(w) do
{ falls u aus V\(gruen oder gelb)
{ färbe u gelb;
dist(u):= dist(w)+ cost(w,u);}
falls u aus gelb
{ wenn dist (u) > dist(w)+cost(w,u)
dann dist(u):=dist(w)+cost(w,u) }
}
}
end;
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Korrektheitsnachweis:
Behauptung: zu jedem Zeitpunkt gilt für jeden grünen
Knoten u:
• Es gibt einen kürzesten Weg von v0 nach u, der nur
grüne Knoten enthält.
• Seine Länge ist dist(u).
Beweis: durch Induktion. Man muss die Behauptung jeweils
für den Knoten zeigen, der von gelb nach grün
umgefärbt wird.
Aus dieser Behauptung folgt die Korrektheit des
Algorithmus.
21
Beispiel
C
D
40
30
40
10
A
B
30
10
100
90
F
E
20
Kürzester Wegebaum von A gesucht
22
Beispiel (2)
C
D
C
D
30
A
B
A
100
B
100
90
E
40
10
30
F
90
E
F
23
Beispiel (3)
C
40
40
D
40
10
C
40
30
D
40
10
30
A
B
A
B
10
100
10
100
90
E
40
F
90
F
E
50
20
24
Beispiel (4)
C
40
D
C
40
D
70
40
70
40
10
40
30
30
A
30
30
B
B 30
A
10
100
40
10
10
100
90
90
F
E
50
20
70
F
E
20
70
25
50
Beschreibung:
Idee: Lasse Teilbaum mit bereits ermittelten kürzesten
Wegen wachsen.
Grüne Knoten:
die Knoten, deren Nachfolger schon betrachtet wurden.
= die Knoten, zu denen schon ein kürzester Weg ermittelt
ist.
Gelbe Knoten: die Nachfolger von grünen Knoten, die
nicht selbst grün sind.
Rote Kanten: Kanten, die auf mindestens einem zur Zeit
optimal erscheinenden Weg liegen.
Gelbe Kanten: Kanten, die als nicht optimal erkannt
wurden.
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Schleife
Eine Schleife des Algorithmus:
• Färbe den v0 nächsten gelben Knoten w grün.
• Färbe alle seine ungefärbten Nachfolger gelb.
• Trage ein/korrigiere die kürzesten Wege von v0
zu jedem der Nachfolger von w, ebenso ihre
jeweilige Länge (dadurch werden ungefärbte
Kanten evtl. rot, und rote Kanten evtl. gelb).
Korrektheit: siehe vereinfachter Algorithmus.
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8.4.2 Implementierung des Algorithmus
a) Implementierung mit einer Adjazenzmatrix
Sei V={1,...,n} und sei cost(i,j) die Kostenmatrix mit
Einträgen unendlich in Elementen, in denen keine Kante
vorhanden ist. Man benutzt dann:
Type node = 1..n;
var dist : array[node] of real;
var father: array[node] of node;
var grün: array [node] of boolean;
Der Array father stellt den Baum der roten Kanten dar, in
dem zu jedem Knoten sein Vaterknoten festgehalten
wird.
Die gelben Knoten werden nicht explizit dargestellt.
28
Jeder Schleifendurchlauf besteht dann aus folgenden
Teilschritten:
• Der gesamte Array dist wird durchlaufen, um den gelben
Knoten w mit minimalem Abstand zu finden.
Aufwand: O(n).
• Die Zeile cost(w,*) der Matrix wird durchlaufen, um für
alle Nachfolger von w ggf. den Abstand (dist) und den
Vater (father) zu korrigieren.
Aufwand: O(n).
Gesamtaufwand: O(n²), da n Schleifendurchläufe.
Ineffizient, außer wenn n sehr klein oder e nahe n² !
29
b) Implementierung mit Adjazenzlisten und
Heap
Graph: gegeben durch durch Adjazenzliste mit
Kosteneinträgen.
Wie eben:
• Array dist
• Array father
Außerdem:
• Heap (als Array implementiert) aller gelben Knoten,
geordnet nach Abstand vom Ausgangsknoten,
• Array heapaddress, der für jeden gelben Knoten die
Heapposition enthält.
30
Schleifendurchlauf
Jeder Schleifendurchlauf besteht dann aus folgenden Teilschritten:
1. Entnimm den gelben Knoten w mit minimalem Abstand aus dem Heap
Aufwand: O(log n).
2. Finde in der Adjazenzliste die m(w) Nachfolger von w.
Aufwand: O(m(w)).
(i) Für jeden ,,neuen" gelben Nachfolger erzeuge einen Eintrag im Heap
(ii) Für jeden ,,alten" gelben Nachfolger korrigiere ggf. seinen Eintrag im
Heap. Seine Position dort ist über heapaddress zu finden. Da
sein Abstandswert bei der Korrektur sinkt, kann der Eintrag im Heap ein
Stück nach oben wandern. Die Heap-Adressen der vertauschten
Einträge können in O(1) Zeit geändert werden.
Aufwand für (i) und (ii): insgesamt O(m(w) log n).
Aufwand für (2) insges.: O( log n • {Knoten w} m(w)) = O( e log n).
Aufwand für (1) insges.: O(min{n,e} log n), da ein Element nur aus dem Heap
entnommen werden kann, wenn es vorher eingefügt wurde.
Gesamtaufwand: O(e log n)
(Gesamter Platzbedarf: O(n+e))
31
8.5 Eulersche und Hamiltonsche Graphen
Ein zusammenhängender Graph G=(V,E) mit
|E|  0 heißt Eulerscher Graph, wenn es einen
geschlossenen Kantenzug gibt, der jede Kante
von G enthält; ein solcher Kantenzug heißt
geschlossener Eulerscher Kantenzug oder
Eulertour.
Satz:
Ein zusammenhängender Graph G mit |E|  0 ist
genau dann eulersch, wenn der Grad jeder Ecke
gerade ist.
32
Beweis des Satzes:
Erste Richtung: Besitzt der Graph eine Eulertour, so wird
jede Ecke bei einem Durchlauf von einer ankommenden
und einer ausgehenden Kante getroffen. Alle diese
Kanten sind verschieden, und damit ist der Eckengrad in
jeder Ecke gerade.
Umgekehrte Richtung:
Laufe von einer Ecke los, bis eine Ecke zum zweiten Mal
erreicht wird. Dann eliminiere diesen Zyklus (d.h. seine
Kanten).
Man erhält einen oder mehr kleinere zusammenhängende
Graphen mit geradem Eckengrad in jeder Ecke. Nach
Induktionsannahme haben diese je eine Eulertour.
Aus diesen kann mit dem eliminierten Zyklus eine GesamtEulertour konstruiert werden (verklebe die einzelnen
Zyklen in gemeinsamen Ecken).
33
Beispiel: Königsberger Brückenproblem:
gibt es einen Rundweg, der genau einmal über jede Brücke
führt?
34
Hamiltonkreisproblem
Ein zusammenhängender Graph G = (V,E) heißt
Hamiltonscher Graph, wenn es einen
geschlossenen Weg gibt, der durch jede Ecke
von G führt. Ein derartiger Weg heißt
Hamiltonkreis.
8.5.2 Satz (Ore 1960)
Sei G = (V, E) ein Graph ohne Schlingen und
Mehrfachkanten mit |V| >2. Gilt für die
Eckengrade g aller nicht adjazenten Ecken a
und b die Ungleichung g(a) + g(b) > |V| -1, so ist
G hamiltonscher Graph.
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Problem:
Gegeben:
• ein gewichteter Graph und
• eine Zahl L >0.
Frage: gibt es einen Hamiltonkreis mit
Gesamtlänge  L ?
Mögliche Lösungsstrategie: alle Wege ausprobieren
(Backtracking)  exponentieller Aufwand.
Ein deterministischer Algorithmus, der das Problem in
besserer als exponentieller Zeit löst, ist nicht bekannt!
Dieses Problem ist NP-vollständig!
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Jetzt: Möglichst kurzen Hamiltonkreis berechnen.
Annahmen:
• Der Graph ist vollständig.
• Die Kantenbewertung erfüllt die Dreiecksungleichung.
Selbst dann: Greedy-Verfahren (wähle billigste nächste
Kante) liefert nicht immer eine optimale Lösung. Der von
dem Greedy-Verfahren produzierte Hamiltonkreis kann
sogar um einen Faktor log(|V|) von einer optimalen
Lösung entfernt sein!
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Bessere Strategien
Bessere Strategie (unter den obigen Annahmen):
• Ermittle zunächst einen minimalen Spannbaum.
• Durch Duplizieren der Kanten erhält man eine Eulertour.
Dabei werden die Doppel-Kanten im Baum einmal, jeder
Knoten jedoch zweimal durchlaufen.
• Aus dieser Tour kann man jedoch einen Hamiltonkreis
konstruieren, indem man im Kurzschlussverfahren zur
nächsten noch nicht benutzten Ecke springt, bzw. falls
es keine mehr gibt, zum Ausgangspunkt.
Dann ist der konstruierte Hamiltonkreis höchstens doppelt
so lang wie ein kürzester Hamiltonkreis.
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Beispiel:
In diesem Beispiel ist der
Spannbaum durch die fetten
Kanten gegeben.
Wir duplizieren sie, starten im
unteren rechten Knoten D und
durchlaufen die Kanten 2 nach
C , 1 nach F, 1 nach B, 2 nach
E, überspringen den Rückweg
nach B und wählen die
gestrichelte Kante 2 nach A,
schließen dann mit der
gestrichelten Kante 3 ab zum
Anfangsknoten D mit
Gesamtgewicht des Kreises
11.
39
8.6 Bipartite Graphen, Heiratssatz
Definition Bipartite Graphen
Sei G = (V, E) ein Graph ohne Schlingen. Existiert eine
Zerlegung der Ecken in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen
V1 und V2, so dass für beliebige a und b aus Vi dann a und b
nicht adjazent sind, so heißt G bipartiter Graph mit der
Zerlegung (V1, V2).
Ist G zusätzlich ohne Doppelkanten und sind alle Ecken a
und b aus verschiedenen Teilmengen adjazent, so heißt G
vollständig bipartit.
Heiratssatz (König, Hall)
Genau dann gibt es für einen bipartiten Graph G mit der
Zerlegung V1 , V2 eine Menge von Verbindungskanten von
allen Elementen aus V1 nach V2, wenn für alle Teilmengen
V ' aus V1 die Kardinalzahl |N(V ')| der Menge der Nachbarn
N(V ') nicht kleiner ist als |V '|. Jedes Element aus V1 findet
somit einen Partner aus V2.
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Exkurs: Das P-NP-Problem
Entscheidungsprobleme: algorithmische Probleme mit
einer Ja/Nein-Antwort.
Sei f: N  N eine Zahlenfunktion.
TIME(f) := {jedes Entscheidungsproblem derart, dass es
einen Algorithmus gibt, der bei einer
Eingabe der Größe n die
Antwort in höchstens f(n) Schritten berechnet.}
P := {p Polynom} TIME(p)
(P enthält die „(deterministisch) in Polynomzeit lösbaren
Probleme“).
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Klasse NP
Sei f: N  N eine Zahlenfunktion.
NTIME(f) := {jedes Entscheidungsproblem derart, dass es
einen „ratenden“ Algorithmus gibt, der bei einer
Eingabe der Größe n die
Antwort in höchstens f(n) Schritten berechnet.}
NP :=  {p Polynom} NTIME(p)
(NP enthält die „nichtdeterministisch in Polynomzeit
lösbaren Probleme“).
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NP-Klasse Erläuterung
Eine „ratender“ Algorithmus darf während der Berechnung etwas
„raten“, z.B. ein Binärwort, und zur weiteren Berechnung
verwenden.
Er „löst“ ein Entscheidungsproblem, wenn er
• durch Raten zur Antwort JA gelangen kann,
wenn JA stimmt,
und
• bei jedem Raten zur Antwort NEIN gelangt,
wenn NEIN stimmt.
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Problem des Handlungsreisenden
(Traveling Salesman):
Gegeben:
• ein gewichteter Graph und
• eine Zahl L >0.
Frage: gibt es einen Hamiltonkreis mit
Gesamtlänge  L ?
Mögliche Lösungsstrategie: alle Wege ausprobieren
(Backtracking) -> exponentieller Aufwand.
Ein deterministischer Algorithmus, der das Problem in
besserer als exponentieller Zeit löst, ist nicht bekannt!
Also offene Frage: ist das Problem des
Handlungsreisenden in P?
44
Handlungsreisenden-Problem
Das Problem des Handlungsreisenden ist in NP:
Ein ratender, in Polynomzeit arbeitender
Algorithmus für das Problem ist z.B:
1. Rate eine Reiseroute.
2. Prüfe, ob sie jede Stadt genau einmal enthält
und nicht länger als die Schranke L ist.
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P-NP-Problem
Klar: P ist eine Teilmenge von NP.
Das P-NP-Problem:
ist P eine echte Teilmenge von NP oder
sind P und NP gleich?
Siehe dazu: http://www.claymath.org/millennium
46
Reduktion eines Problems auf eine anderes
Problem
Seien P1 und P2 zwei
Entscheidungsprobleme.
Dann ist P1 polynomiell auf P2 reduzierbar,
wenn es eine in Polynomzeit
berechenbare Funktion
f: {Eingaben für P1}  {Eingaben für P2}
gibt mit
P1(w) =JA  P2(w) = JA
für alle Eingaben w für P1.
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NP-vollständig
Ein Entscheidungsproblem P2 heißt NPvollständig, wenn
1. es in NP ist, und
2. jedes Problem P1 in NP auf P2 polynomiell
reduzierbar ist. .
Beispiel: das Problem des Handlungsreisenden ist
NP-vollständig.
48
Bedeutung der NP-vollständigen Probleme
Sei P1 ein beliebiges NP-vollständiges Problem.
Dann ist:
P = NP  P1 ist in P.
49
NP-vollständige Probleme
50
Auszug: Schöning
Theoretische Informatik
51