MAPS – Multiresolution Adaptive Parametrization of Surfaces

Mesh Parametrisierung
Katja Bühler,
Mathematische Methoden der Computergrahik
Papers:
• MAPS – Multiresolution Adaptive
Parametrization of Surfaces
A. Lee, W. Swelden, P. Schröder, L. Cowsar, D. Dobkin
Siggraph 1998
• Hierarchical Parametrizations of Triangulated
Surfaces
K. Hormann, G. Greiner, Swen Campagna
Wozu Parametrisieren?
Surface fitting: Parametrische glatte Flächen
approximieren 3D Datenpunkte
Texture Mapping: Farbinformation / Texturen werden über
Parametergebieten definiert und auf die Fläche
abgebildet.
Morphing / Mesh editing
Remeshing: Die Triangulierung eines Meshes wird so
verändert, dass ein Mesh eine Unterteilungshierarchie
(subdivision connectivity) besitzt.
(z.B. i.A. nicht der Fall für 3D Scanner Output)
Parametrisierung erlaubt adaptives Remeshing ohne die
subdivision connectivity zu verlieren.
Beispiel für
Parametrisierungen
Arten von Parametrisierungsalgorithmen?
• 1. Ansatz:
Direkte Abbildung des Meshes in die Ebene. Dieses
Parameter-Mesh kann mittels Optimierungsalgorithmen
verbessert werden
• 2. Ansatz:
Eng verbunden mit Vereinfachungs-algorithmen:
– Zwei “Schulen”:
• Klassische Multiresolution Darstellungen
• Sequenzielle Vereinfachung (PMs)
• Optimale Parametrisierung:
– Hängt stark von der Anwendung ab, z.B. Minimierung der
#Dreiecke, Minimierung des Approximationsfehlers, Minimierung
der Verzerrung.
Allgemeine Problemstellung
• Gegeben:
– Ein Dreiecks-Mesh, d.h. eine Menge von Punkten pi
und dazugehörigen Dreiecken Ti im R3.
– Ein Parametergebiet G im R2.
• Gesucht:
– Parameterwerte (ui,vi) aus G für jeden Punkt pi, so
daß die Topologie des Meshes erhalten bleibt. D.h.
die den Dreiecken Ti entsprechenden Dreiecke ti im
Parametergebiet dürfen sich nicht überlappen.
Lokale Parametrisierung
• Parametrisierung der Nachbarschaft W0,…,Wn eines
Referenzknotens V durch “Plätten” der
Nachbarschaft.
• Die Abbildung hat folgende Eigenschaften
– || wi – vi || = || Wi – Vi ||
– Winkel zum Nachbarknoten im “geplättete” Dreieck:  i 
i
n

j 0
j
Globale Parametrisierung
• Komplexes Problem!
– Direkte Abbildung einer gerümmten Fläche in die
Ebene ist immer mit Verzerrungen verbunden.
– Manche Algorithmen zerstückeln die Fläche
– Was soll erhalten werden? (Flächeninhalt, Winkel,
geodätische Krümmung……)
– Optimierungsalgorithmen finden bezüglich
vorgegebener Randwerte optimale
Parametrisierungen.
Hierarchische Parametrizierungen
• Nutzen Mesh-Hierarchien aus, um “gute”
Parametrisierungen zu erhalten.
• Idee:
Gute Parametrisierungen lassen sich für
weniger komplexe Meshes leichter berechnen
und dann auf die feineren Levels übertragen.
• Wichtige Fragestellung:
Wie berechne ich sinnvoll die Parameter und
deren zusammenhänge in den einzelnen
Levels?
Hierarchical Parametrizations
Hormann et al.
• Relativ simples Paper
• Idee:
• Verwende Progressive Meshes um ein gute
Anfangsmesh für den Optimierungsprozess zu
bekommen und ihn so zu beschleunigen.
Hormann – Algorithmus 1
• Berechne alle Hierarchie-Levels.
• Bei jedem Half Edge Collaps berechne
außerdem die baryzentrischen Koordinaten des
eliminierten Punktes bezüglich der lokalen
Parametrisierung des umgebenden Dreiecks.
• Speichere baryzentrische Koordinaten und
Index des Mutterdreiecks.
Hormann – Algorithmus 2
• Parametrisierung:
– Beginne mit dem gröbsten Mesh und berechne eine
optimale Parametrisierung
– Verwende die gespeicherten baryzentrischen
Koordinaten um die fehlenden Dreiecke in das nächst
feineren Level einzufügen.
– Nehme diese Parametrisierung als Anfangswert für
die Optimierung des nächstfeineren Levels, usw.
Hormann - Ergebnisse
MAPS – Multiresolution Adaptive
Parametrization of Surfaces
Lee et. al.
• Ähnlicher Ansatz wie bei
Hormann
• Mesh-Hierarchie basiert auf
einem Algorithmus von
Dobkin und Kirkpatrick (DK),
der eine maximale Anzahl
von O(log N) Levels
garantiert.
Um was geht’s genau?
• Gegeben:
Irreguläre Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten vom Geschlecht
2, z.B. Daten aus einem Laserscanner, oder Ergebnis des Marching
Cubes-Algorithmus,….
• Gesucht:
“Glatte, schöne Parametrisierung” des original Meshes
• Ansatz:
– Hierarchische Vereinfachung induziert eine Parametrisierung
des originalen Meshes über einer kleinen Anzahl von Dreiecken
im Parameterraum
– Verbesserung der Parametrisierung durch hierarchisches
Glätten basierend auf Loop-Subdivision.
Aufbau der Mesh-Hierarchie:
Der DK-Algorithmus
• Ein Vereinfachungschrittbesteht daraus, soviele
Knoten wie möglich mit minimaler Valenz zu
eliminieren.
• Originalalgorithmus verwendet topologische
Information um die Knoten zu bestimmen.
• Hier: Priority Queue, die geometrische und
topolgische Information enthält.
Der DK-Algorithmus
1. Setze alle Knoten
unmarkiert
2. Bestimme zufällig einen
unmarkiert Knoten mit
Valenz < 12
3. Entferne den Knoten und retrianguliere das
entstandene Loch.
4. Markiere die Knoten der Nachbarschaft des entfernten
Knotens.
5. Wiederhole Schritt 2.-4. solange bis kein Knoten mehr
entfernt werden kann.
Verbesserung des DK-Algorithmus
- Auswahl der Knoten
• Die zufällige Auswahl der Knoten kann ersetzt
werden durch eine Priority Queue, die die
Krümmung der Nachbarschaft eines Knotens mit
in den Entscheidungsprozess einbezieht.
• Zuerst werden die Knoten mit Valenz < 12
ausgewählt, die eine “flache” Umgebung haben.
• Dadurch können wesentlich mehr Knoten
entfernt werden (~1/4 statt mindestens 1/24)
Verbesserung des DK-Algorithmus
- Retriangulierung
• Abbildung der Nachbarschaft auf die Ebene mit
Hilfe einer konformen Abbildung (winkeltreu,
minimale metrische Verzerrung, bijektiv)
• Retriangulierung in der Ebene mit “Constrained
Delaunay Triangulation”
DK Mesh - Hierarchie
Parametrisierung
• Beginne mit einer
Parametrisierung des feinsten
Meshes
• Falls ein Punkt einen Vereinfachungsschritt überlebt,
bleibt auch seine Parametrisierung bestehen
• Falls ein Punkt entfernt wird, so wird er bezüglich des
Dreiecks parametrisiert, in dem er liegt.
• Früher entfernte Punkte werden ebenfalls
entsprechend reparametrisiert.
Probleme
• Die Abbildung der einzelnen Knoten in das
Parametergebiet führt nicht unbedingt zu einer
Triangulierung, wenn die Knoten verbunden werden –
Dreiecke können z.B. auch auf nicht-konvexe Gebiete
abgebildet werden. Gerade Verbindung führen zu
überlappenden gebieten
• Lösungen:
– Unterteile das Mesh in den problematischen Gebieten weiter,
oder
– Führe Dreiecksflips durch.
Tagging and Feature Lines
• Die Nachbarschaft wird entlang der Feature Line
in zwei Bereiche aufgeteil und getrennt
retrianguliert.
Uniform Remeshing
• Baue eine 1:4 Unterteilungshierarchie des
Parametergebietes auf.
• Bestimme, in welchem Dreieck eines Levels ein Knoten
liegt.
• Verwende baryzentrischen Koordinaten bezüglich des
original Dreiecks um die Position des neuen Knotens im
Mesh zu bestimmen.
Glätten der Parametrisierung
• Problem:
Parametrisierung geht nicht glatt über die
Kanten der Basis-Dreiecke
• Lösung:
Verwende Modifizierte (flache) Loop
Subdivision.
• Details siehe Paper…..
Adaptive Remeshing
• Problem: Normalerweise wirde die komplette Hierarchie
eines Meshes aufgebaut und dann werden einzelne Äste
des Meshes abgeschnitte.
• Hier: Verfeinerung im Remeshing-Prozess findet nur
statt, wenn der Abstand zum “Mutter”-Dreieck eine
bestimmten Wert übersteigt.
Ergebnisse
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