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Graphalgorithmen ( elementare A. )
Graphen sind zur Repräsentation von Problemen vielseitig
verwendbar, etwa
Städte
- Verbindungswege
Personen - Relationen zwischen ihnen
Rechner - Verbindungen
Aktionen - zeitliche Abhängigkeiten
Grundlegende Konzepte (Whlg.)
Gerichteter Graph (Digraph) G = (V,E)
V: Menge von Knoten (vertices)
E  V x V: Menge von (gerichteten) Kanten (edges)
wenn v und v' Anfangs- und Endknoten einer Kante sind, so
heißen sie adjazent
G.Heyer
1
Algorithmen und Datenstrukturen II
Eingangsgrad: indeg(v) = |{v' | (v', v) E}|
Ausgangsgrad: outdeg(v) = |{v' | (v, v')  E}|
G' = (V', E') heißt Teilgraph von G = (V, E), gdw. V'  V und
E'  E.
G' = (V', E') heißt Untergraph von G = (V, E), gdw.
V'  V und E' ={(v,v') E | v, v'  V'}.
Eine Folge von Knoten (v0, v1, ..., vk) heißt Weg (der Länge k)
von v0 nach vk, wenn gilt: für alle i, 0  i < k, (vi,vi+1) E.
Ein Zyklus ist ein Weg von v nach v.
Baum: gerichteter Graph, so daß es einen Knoten v gibt mit
1) indeg(v) = 0 und
2) v v impliziert indeg(v') = 1.
G heißt ungerichteter Graph wenn gilt (v,v') E impliziert
(v',v) E.
G.Heyer
2
Algorithmen und Datenstrukturen II
Speicherung von Graphen
a) Adjazenzmatrix
Speichere Graphen G durch |V| x |V| -Matrix AG,
wobei Aij = 1 falls (vi,vj) E, 0 sonst.
Beispiel:
Speicherbedarf: O(|V|2)
b) Adjazenzlisten
Array A[1 .. |V|] von Zeigern. Jeder Zeiger A[ i ] zeigt auf
eine verkettete Liste, die alle direkten Nachfolger von vi
enthält.
Beispiel:
Speicherbedarf: O(|V| + |E|)
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Welche Repräsenation geeigneter ist, hängt von dem Problem ab:
Frage: Gibt es Kante von a nach b: Matrix
Durchsuchen von Knoten in durch Nachbarschaft gegebener
Reihenfolge: Listen
Breitensuche:
Bearbeite einen Knoten, der in n Schritten von u erreichbar
ist, erst, wenn alle Knoten, die in n-1 Schritten erreichbar
sind, abgearbeitet wurden.
Kann einfach verwendet werden zur Berechnung der Länge
des kürzesten Wegs von vorgegebenem v0 zu anderen Knoten
Adj(u) bezeichnet direkte Nachbarn von u;
Q ist FIFO-Warteschlange.
G.Heyer
4
Algorithmen und Datenstrukturen II
Abstände werden in array d gespeichert
for (v in V ) d [v] = °;
d [v0] = 0;
Q = {v0};
while (Q {})
u = pop(Q); /*erstes Element aus Q entfernt und an v zugewiesen*/
for (v in Adj(u) )
{ if (d [v] == ° )
{ d [v] = d [u] + 1;
Q = push (v,Q);
}
}
Komplexität: jede Kante und jeder Knoten einmal besucht,
deshalb O(|V| + |E|),
falls G zusammenhängend |E| > |V| -1, damit Komplexität
O(E).
G.Heyer
5
Algorithmen und Datenstrukturen II
Tiefensuche:
Bearbeite einen Knoten v erst dann, wenn alle seine Söhne
bearbeitet sind (außer wenn ein Sohn auf dem Weg zu v
liegt)
Tiefensuche ( Knoten u )
{ farbe [u] = „grau“;
while (v in Adj(u))
if (farbe[v] == „weiss“) Tiefensuche(v);
farbe[u] = „schwarz“;
}
weiss: noch nicht besucht
grau: besucht, noch nicht abgeschlossen
schwarz: abgeschlossen
Komplexität O(E)
G.Heyer
6
Algorithmen und Datenstrukturen II
Topologisches Sortieren:
Eine topologische Sortierung eines gerichteten Graphen ist
eine Sortierung der Knoten, d.h. eine bijektive Abbildung ord:
V -> {1,...,|V|}, so daß gilt: (v,v')  E impliziert
ord(v) < ord(v').
Satz: Ein Graph G ist azyklisch gdw er sich topologisch
sortieren läßt.
Beweis: <= klar
=> Induktion über |V|.
Induktionsanfang: |V| = 1, keine Kante, bereits topologisch
sortiert
Induktionsschluß: |V| = n. Da G azyklisch ist, muß es einen
Knoten v ohne Vorgänger geben. Setze ord(v) = 1. Durch
Entfernen von v erhalten wir einen azyklischen Graphen G'
mit |V'| = n-1, für den es nach Induktionsvoraussetzung
topologische Sortierung ord' gibt. Die gesuchte topologische
Sortierung für G ergibt sich durch ord(v') = ord'(v') + 1, für
alle v' v.
G.Heyer
7
Algorithmen und Datenstrukturen II
Aus dem Beweis ist rekursiver Algorithmus abzuleiten.
Eleganter: Verwendung von Tiefensuche
n = |V|;
while (v in V) farbe[v] = „weiss“ ;
{ while ( v in V )
if (farbe[v] == „weiss“ ) Tiefensuche(v);
}
dabei muss Tiefensuche ergänzt werden um:
ord[u] = n;
n = n-1;
Komplexität wieder O(|V| + |E|)
Bemerkung: Algorithmus setzt voraus, daß Graph azyklisch
ist. Soll zusätzlich Test auf Azyklizität vorgenommen werden:
ergänze while-Schleife in Tiefensuche um
if (farbe[v] == „grau“ ) { „Abbruch, Graph nicht azyklisch“}
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Transitive Hülle: Warshall-Algorithmus
Sei G = (V, E) ein Graph. Die (reflexive) transitive Hülle von
G ist der Graph G* = (V, E*) mit (u,v) E* gdw es gibt
Pfad von u nach v in G (einschließlich Pfade Länge 0).
Sei V = {1,...,n}. Definiere Boolesche Variable mi,jk wie folgt:
mi,jk = 1 wenn es Pfad von i nach j über Knoten aus
{1,...,k} gibt, 0 sonst.
Es gilt offensichtlich mi,j0 = 1 gdw. (i,j) in E oder i=j.
Außerdem:
mi,jk = mi,jk-1 v (mi,kk-1 & mk,jk-1)
( i,j )  E* gdw mi,jn = 1.
Idee: berechne Matrizen mi,jk für k = 0,1,...n.
G.Heyer
9
Algorithmen und Datenstrukturen II
Sei A[i,j] Adjazenzmatrix.
Algorithmus berechnet Adjazenzmatrix von G*.
for ( k = 1; i = n ; i++) A[k,k] = 1;
for ( k = 1; k = n ; k++)
{ for (i = 1; i = n; i++)
{ if (A[i,k])
{ for (j = 1; j = n; j++)
if ( A[k,j] ) A[i,j] = 1;
}
}
}
Fehler bei Schöning: Diagonale muß mit 1 vorbelegt sein
(reflexive transitive Hülle enthält Kante ( i, i ) auch wenn
E ( i, i ) nicht enthält).
Komplexität: Offensichtlich Q(n3)
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Läßt sich einfach modifizieren,
um kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren zu berechnen.
Kanten erhalten Werte > 0, die "Länge, Kosten" der Kante
repräsentieren. Werden in Matrix E gespeichert,
° in Matrix bedeutet "keine Kante". E[i,i] mit 0 vorbelegt.
for ( k = 1; k = n; k++)
{ for (i = 1; i = n; i++)
{ for (j = 1; j = n ; j++ )
{ if (E[i,k] + E[k,j] < E[i,j] )
E[i,j] = E[i,k] + E[k,j] ;
}
}
}
Algorithmus beruht auf
ei,jk = min( ei,jk-1, ei,kk-1 + ek,jk-1)
wobei ei,jk = die kürzeste Weglänge von i nach j mit
Zwischenknoten aus {1,...,k}.
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel: Kürzeste Wege von einem Knoten
(Dijkstra-Algorithmus)
gegeben: kanten-bewerteter Graph G = (V,E) mit
w: E -> R+, Kantengewichte
In folgendem Algorithmus ist:
W:
Liste der noch zu behandelnden Knoten
F:
Liste von Kanten, die auf kürzestem Weg von u zu
anderen Knoten liegen
l(v): kürzeste bisher gefundene Weglänge von u nach v
k(v): optimale zu v führende Kante
G.Heyer
12
Algorithmen und Datenstrukturen II
for (v in V )
{ if ((u,v) in E )
{ l(v) = w((u,v));
k(v) = (u,v) ;
}
else l(v) = °;
W = V; F = {}; l(u) = 0;
for (i = 1; i= n ; i++)
{ (finde einen Knoten v in W mit l(v) minimal;)
W = W - {v};
if (v u) F = F + k(v);
for (alle Nachfolger v' von v mit v' in W )
if (l(v) + w((v,v')) < l(v') )
{ l(v') = l(v) + w((v,v'));
k(v') = {v,v'};
}
} }
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel: Kürzeste Wege von einem Knoten
w((1,2)) = 2
w((2,3)) = 4
w((2,4)) = 1
w((3,2)) = 4
w((4,3)) = 1
alle anderen °
u =1
W = {1,2,3,4}, gestrichen wird in der Reihenfolge 1, 2, 4, 3
F = {(1,2), (2,4), (4,3)}
l[1]: °, 0,
l[2]: 2
l[3]: °, 6, 4
l[4]: °, 3
G.Heyer
k[1]:
k[2]: (1,2)
k[3]: (2,3),(4,3)
k[4]: (2,4)
14
Algorithmen und Datenstrukturen II
Korrektheitsbeweis:
nach i Schleifendurchgängen sind die Längen von i Knoten,
die am nächsten an u liegen, korrekt berechnet und diese
Knoten sind aus W entfernt.
Induktionsanfang: u wird gewählt, l(u) = 0
Induktionsschritt: Nimm an, v wird aus W genommen.
Der kürzeste Pfad zu v gehe über Vorgänger v' von v.
Da v' näher an u liegt, ist v' nach Induktionsvoraussetzung
mit richtiger Länge bereits entfernt.
Da der kürzeste Weg zu v die Länge l(v') + w((v',v)) hat und
dieser Wert bei Entfernen von v' bereits v zugewiesen
wurde, wird v mit der richtigen Länge entfernt.
Schleife muß bis n gehen, sonst F unvollständig.
Komplexität: O(|V|2)
G.Heyer
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Algorithmen und Datenstrukturen II
Flüsse in Netzen: Ford-Fulkerson
Anwendungsprobleme:
Wieviele Autos können durch ein Straßennetz fahren?
Wieviel Abwasser fasst ein Kanalnetz?
Wieviel Strom kann durch ein Leitungsnetz fließen?
Probleme als Graphen repräsentieren:
Def.: Ein (Fluß-) Netzwerk ist ein gerichteter Graph
G = (V,E) mit ausgezeichneten Knoten
q (Quelle) und s (Senke), sowie einer
Kapazitätsfunktion c : E -> Z+.
Ein (zulässiger) Fluss für das Netzwerk ist eine
Funktion f: E -> Z, so daß gilt:
Kapazitätsbeschränkung: f(e)  c(e), für alle e in E.
Flußerhaltung: für alle v in V\{q,s}:
S(v',v)  E f((v',v)) = S(v,v')  E f((v,v'))
Der Wert von f, w(f), ist die Summe der Flußwerte der q
verlassenden Kanten: S(q,v)  E f((q,v))
G.Heyer
16
Algorithmen und Datenstrukturen II
Gesucht: Fluß mit maximalem Wert
Def.: Ein Schnitt (A,B) eines Fluß-Netzwerks ist eine
Zerlegung von V in disjunkte Teilmengen A und B, so dass
q  A und s  B. Die Kapazität des Schnitts ist
c(A,B) = SuA,vB c((u,v)).
Def.: Sei f ein zulässiger Fluß für G = (V,E).
Sei E^ = {(v,w) | (v,w)  E oder (w,v)  E}
Wir definieren die Restkapazität einer Kante e = (v,w)  E^
wie folgt:
rest(e) =
c(e) - f(e)
f((w,v))
falls
eE
falls (w,v)  E
Der Restgraph von f (bzgl. G) besteht aus den Kanten e  E^,
für die rest(e) > 0 .
Jede Kante e des Restgraphen ist mit rest(e) markiert.
G.Heyer
17
Algorithmen und Datenstrukturen II
Jeder gerichtete Pfad von q nach s im Restgraphen heißt
zunehmender Weg.
Beispiel:
Kante
(q,v)
(q,w)
(v,w)
(v,s)
(w,s)
Kapazität
5
5
2
5
5
Fluß
5
3
2
3
5
w(f) = 8, nicht maximal
Restgraph:
Kante
Restkap
(q,w)
2
(w,v)
2
(v,s)
2
G.Heyer
18
Algorithmen und Datenstrukturen II
f
kann so abgeändert werden:
Kanten aus Restgraph, die in E sind, werden um 2 erhöht,
Kanten, deren Umkehrungen in E sind, um 2 erniedrigt.
Kante
(q,v)
(q,w)
(v,w)
(v,s)
(w,s)
Kapazität
5
5
2
5
5
neuer Fluß
5
5
0
5
5
Theorem (Min-Cut-Max-Flow-Theorem):
Sei f zulässiger Fluß für G.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
1) f ist maximaler Fluß in G.
2) Der Restgraph von f enthält keinen zunehmenden Weg.
3) w(f) = c(A,B) für einen Schnitt (A,B) von G.
G.Heyer
19
Algorithmen und Datenstrukturen II
Daraus ergibt sich folgender Algorithmus:
for (alle e in E ) f(e) = 0;
while ( es gibt zunehmenden Weg p im Restgraphen Gf )
{
r = min{rest(e) | e liegt in p};
for (alle e = (v,w) auf Pfad p )
if (e in E)
f(e)= f(e) + r ;
else f((w,v)) = f((w,v)) - r;
}
G.Heyer
20
Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel:
Kante
(q,v)
(q,w)
(v,w)
(v,s)
(w,s)
Kapazität
5
5
2
4
6
f0
0
0
0
0
0
f1
4
0
0
4
0
f2
4
5
0
4
5
f3
5
5
1
4
6
1. Pfad: q,v,s
2. Pfad: q,w,s
3. Pfad: q,v,w,s
Laufzeit kann erheblich sein, schlimmstenfalls O(|f*| * |E|),
wobei f* maximaler Fluß.
Günstig ist, jeweils einen kürzesten Pfad
(minimale Kantenzahl) von q nach s in Gf zu wählen.
Edmonds und Karp haben gezeigt, daß die Komplexität dann
O(|V| * |E|2 ) ist.
G.Heyer
21
Algorithmen und Datenstrukturen II
Maximales Matching
Beispiel: Eine Gruppe von Erwachsenen und eine Gruppe von
Kindern besuchen Disneyland. Auf der Achterbahn darf ein
Kind jeweils nur in Begleitung eines Erwachsenen fahren. Nur
Erwachsene/Kinder, die sich kennen, sollen zusammen fahren.
Wieviele Kinder können maximal eine Fahrt mitmachen?
Def.: Ein bipartiter Graph ist ein Graph, dessen Knotenmenge
V in zwei disjunkte Teilmengen V1 und V2 aufgeteilt ist, und
dessen Kanten jeweils einen Knoten aus V1 mit einem aus V2
verbinden.
Ein Matching ist eine Teilmenge der Kanten, so daß jeder
Knoten in V in höchstens einer Kante vorkommt. Ein
Matching M ist maximal, wenn es kein Matching M' gibt mit
|M| < |M'|.
Beispiel: Erwachsene bilden V1, Kinder V2, Kanten
beschreiben, wer wen kennt.
G.Heyer
22
Algorithmen und Datenstrukturen II
Maximales Matching kann auf maximalen Fluß
zurückgeführt werden:
1) Quelle und Senke hinzufügen.
2) Kanten von V1 nach V2 richten.
3) Jeder Knoten in V1 erhält eingehende Kante von der Quelle.
4) Jeder Knoten in V2 erhält ausgehende Kante zur Senke.
5) Alle Kanten erhalten Kapazität c(e) = 1.
Jetzt kann Ford-Fulkerson-Algorithmus angewendet werden.
G.Heyer
23
Algorithmen und Datenstrukturen II
Aufspannende Bäume: Kruskal-Algorithmus
Ein weiteres Beispiel, wo Matroide in natürlicher Weise
verwendet werden können, stammt aus dem Bereich der
Graphentheorie.
Sei G = ( V, E ) ein gegebener ungerichteter,
zusammenhängender Graph.
Einem solchen Graphen kann man ein Matroid zuordnen,
das wir Graph-Matroid nennen, wie folgt:
Die Grundmenge ist die Menge aller Kanten E; und als
Teilmengensystem U über E nehmen wir alle solche
Kantenmengen, die keinen Kreis enthalten. Dieses
Teilmengensystem ist tatsächlich ein Matroid, denn seien A
und B zwei zyklenfreie Teilmengen von E mit |A| < |B|.
G.Heyer
24
Algorithmen und Datenstrukturen II
Sowohl A als auch B zerlegen die zugrundeliegende
Knotenmenge V in disjunkte Knotenbereiche:
zwei Knoten gehören zum selben Bereich, wenn sie durch
einen Weg in A (bzw. in B) miteinander verbunden sind.
Sei V = V1  V2  ...  Vk die durch A induzierte Zerlegung.
Jede Kante in B verbindet entweder zwei Knoten im selben
Bereich Vi oder in zwei verschiedenen Bereichen Vi und Vj.
In B können höchstens i (|Vi| - 1 ) = |A| viele Kanten vom
ersten Typ vorkommen, da B zyklenfrei ist. Da |B| > |A| , muss
es also mindestens eine Kante in B - A geben, die zwei
verschiedene Bereiche verbindet. Eine solche Kante kann zu A
hinzugefügt werden, ohne das ein Zyklus entsteht. Also haben
wir es mit einem Matroid zu tun.
G.Heyer
25
Algorithmen und Datenstrukturen II
Nächste Annahme, es sei eine Gewichtsfunktion w : E  
gegeben, also eine Gewichtung der Kanten des zugrundeliegenden Graphen.
Der kanonische Greedy-Algorithmus berechnet eine maximale
Menge von Kanten mit maximalem Gewicht ( oder
minimalem Gewicht - je nachdem, ob wir die Kanten
absteigend oder aufsteigend anordnen). Da die Kantenmenge
maximal ist, besteht diese nur noch aus einer
Zusammenhangs-komponente, das heißt, das Ergebnis ist ein
sogenannter aufspannender Baum des Graphen G. Also ein
zusammenhängender Teilgraph, auf dem alle Knoten
vorkommen, und der keinen Zyklus enthält.
Dieser Algorithmus (normalerweise in der Variante, dass ein
aufspannender Baum mit minimalem Gewicht gefunden
wird) heißt auch Kruskal-Algorithmus.
G.Heyer
26
Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispiel: Gegeben sei folgender kanten-bewerteter Graph:
4
5
3
3
2
5
6
5
6
8
7
2
4
G.Heyer
6
27
Algorithmen und Datenstrukturen II
Der Kruskal-Algorithmus wählt nun
- nach aufsteigenden Kantengewicht - Kante für Kante aus solange diese Kante keinen Kreis schließt. Das Ergebnis ist
folgender aufspannender Baum mit minimalem
Kantengewicht, nämlich 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 = 24
(gestrichelt dargestellt).
4
5
3
3
2
5
6
5
6
8
2
4
G.Heyer
7
6
28
Algorithmen und Datenstrukturen II
Sofern man nach absteigendem Kantengewicht die Kanten
auswählt, erhält man einen aufspannenden Baum mit
maximalem Kantengewicht, nämlich
8 + 7 + 6 + 6 + 6 + 5 + 5 = 43 (wieder gestrichelt gezeichnet).
4
5
3
3
2
5
6
5
6
8
7
2
4
G.Heyer
6
29
Algorithmen und Datenstrukturen II
Kürzeste Wege: Dijkstra-Algorithmus
Gegeben sei wieder ein kanten-bewerteter Graph,
G = (V, E) und w : E + , wobei ein Knoten u  V
besonders ausgezeichnet ist.
Gesucht sind alle kürzesten Wege von u aus zu jedem
beliebigem Knoten v  V.
Der Algorithmus von Dijkstra löst dieses Problem wie folgt:
Hierbei ist W eine Liste der noch zu sondierenden Knoten
(am Anfang ist W = V , am Ende ist W = 0 ) ;
F ist eine Auswahl an Kanten, welche die kürzesten Wege von
u aus zu allen anderen Knoten ausmachen;
l (v) ist die kürzestmögliche Weglänge von u nach v und
k( v ) ist die optimale zu v führende Kante.
G.Heyer
30
Algorithmen und Datenstrukturen II
Dijkstra-Algorithmus
for ( v  V ) l (v) =
w ( { u, v } ) , { u, v }  E,
,
sonst
{ W = V ; F = 0 ; l (u) = 0 ; }
for ( i = 1 ; i = n - 1 ; i++ )
{ Finde einen Knoten v  W mit l (v) minimal ;
W=W-{v};
if ( v  u ) F = F  { k (v) } ;
for ( alle Nachbarn v‘ von v  W )
{
if ( l(v) + w ( { v, v‘ }) < l ( v‘ ) )
{
l ( v‘) = l (v) + w ( { v,v‘ }) ;
k ( v‘) = { v, v‘ } ;
}
}
}
G.Heyer
31
Algorithmen und Datenstrukturen II
Beispielgraph (wie oben)
4
v
w
5
3
3
2
u
x
5
y
6
5
6
8
z
4
6
7
s
2
t
u ist Startknoten
G.Heyer
32
Algorithmen und Datenstrukturen II
Vom Startknoten u aus entwickelt der Dijkstra-Algorithmus
die folgenden (gestrichelten ) Pfade (dies sind die Kanten
in F).
Hierbei werden die Knoten in folgender Reihenfolge
aus W entfernt: u, x, v, w, y, s, z, t .
4
v
w
5
3
3
2
u
x
5
y
6
8
z
G.Heyer
5
6
6
7
s
4
33
2
t
Algorithmen und Datenstrukturen II
Diese Pfade bilden wieder einen aufspannenden Baum,
der allerdings nicht minimales Gewicht hat; was
stattdessen minimiert wird, sind die Wegstrecken von u aus
gesehen.
Was die Komplexität des Dijkstra-Algorithmus bestrifft,
so sieht man, dass eine äußere Schleife durchlaufen werden
muss; diese liefert den Faktor O(|V|).
Im Inneren dieser Schleife ist aber eine weitere, die für das
Auffinden des Minimums zuständig ist.
( Komplexität O(|V|)).
Das Aufsuchen aller Nachbarn von v kann mit O(|V|)
abgeschätzt werden.
Daher ist die Komplexität des Dijkstra-Algorithmus
beschränkt durch O(|V|2).
G.Heyer
34
Algorithmen und Datenstrukturen II
Die Korrektheit des Dijkstra-Algorithmus‘ kann man sich
durch Aufzeigen der entsprechenden Matroid-Struktur
klarmachen, und somit auf die Korrektheit des kanonischen
Greedy-Algorithmus‘ für Matroide zurückführen. Man wählt
dieses Mal als Grundmenge die Menge aller zyklenfreien Pfade
vom Startknoten u aus.
Das Teilmengensystem U über dieser Grundmenge besteht aus
allen solchen Pfadmengen, die auf verschiedene Endknoten
führen.
Man sieht leicht ein, dass diese Struktur ein Matroid ist, denn
wenn A und B Pfadmengen aus U sind mit |A < |B| , dann gibt
es in A genau |A| verschiedene Endknoten und in B befindet
sich mindestens ein Pfad mit einem weiteren Endknoten, der
in A nicht vorkommt.
Daher kann A um diesen Pfad erweitert werden.
G.Heyer
35
Algorithmen und Datenstrukturen II
Notwendig ist noch eine geeignete Gewichtsfunktion w‘
auf der Grundmenge, also auf den von u ausgehenden
Pfaden.
Sei p ein solcher Pfad.
Dann setzen wir
w‘( p ) =  w( k )
k liegt auf p
Man überzeugt sich leicht, dass der kanonische GreedyAlgorithmus für dieses Matroid und diese Gewichtsfunktion w‘
im Ablauf und im erzeugten Ergebnis exakt mit dem DijkstraAlgorithmus übereinstimmt.
Der Dijkstra-Algorithmus ist nur effizienter formuliert; man
muss nicht alle zyklenfreien Pfade, die von u ausgehen,
erzeugen und nach aufsteigenden w‘-Werten sortieren, wie
dies beim kanonischen Greedy-Algorithmus vorgesehen ist.
G.Heyer
36
Algorithmen und Datenstrukturen II
Im Beispiel oben wählt der kanonische Greedy-Algorithmus
der Reihe nach folgende Pfade:
Pfad p
w‘(p)
u
0
u -- x
2
u -- v
3
u -- x -- w
5
u -- x -- y
7
u -- x -- s
7
u -- z
8
u -- x -- s -- t
9
G.Heyer
37
Algorithmen und Datenstrukturen II
Nachbemerkung:
Zum Schluss kann man noch anmerken, dass man den
Dijkstra-Algorithmus durchaus auch als einen einfachen
dynamischen-Programmier-Algorithmus ansehen kann, denn
es wird die zunächst leere ( eindimensionale) Tabelle
der l-Werte aufgebaut, die die kürzesten Weglängen angibt.
In jedem Erweiterungsschritt wird auf die bereits berechneten
l-Werte zurückgegriffen.
Es gilt auch das Bellmannsche Optimierungsprinzip:
Die kürzeste Wegstrecke von u nach v erhält man, indem
man denjenigen Vorgänger v‘ von v auswählt, der den
Wert l (v‘) + w ({ v‘ , v }) minimiert. Dieses Vorgehen
entspricht also dem dynamischen Programmier-Paradigma.
G.Heyer
38
Algorithmen und Datenstrukturen II