Kein Folientitel - Universität Paderborn

Einige entscheidbare bzw. rekursiv
aufzählbare Sprachen
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Algorithmen und Komplexität
Entscheidbare Sprachen
Gödel
States
ist Gödelnummer einer DTM M}
besitzt mindestens d Zustände}
Friedhelm Meyer auf der Heide
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Einige entscheidbare bzw. rekursiv
aufzählbare Sprachen
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Algorithmen und Komplexität
Rekursiv aufzählbare Sprachen
Akzeptanzproblem:
Halteproblem:
Useful:
„Nicht-Leer“
- keine dieser Sprachen ist
entscheidbar ! -
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Eine nicht rekursiv aufzählbare Sprache
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Algorithmen und Komplexität
Wir fassen Gödelnummern als Zahlen auf.
Sei
die DTM, die jede Eingabe sofort ablehnt.
Satz: Diag
Diagonalisierung
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Eigenschaften entscheidbarer und
rekursiv aufzählbarer Sprachen
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Algorithmen und Komplexität
Abschlusseigenschaften für entscheidbare Sprachen:
Satz: Seien L1, L2 entscheidbar.
(i)
(ii)
(iii)
ist entscheidbar.
ist entscheidbar.
ist entscheidbar.
„Die Klasse der entscheidbaren Sprachen ist
abgeschlossen gegenüber Komplement, Durchschnitt und Vereinigung“
Friedhelm Meyer auf der Heide
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Eigenschaften entscheidbarer und
rekursiv aufzählbarer Sprachen
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Algorithmen und Komplexität
Abschlusseigenschaften für rekursiv aufzählbare
Sprachen:
Satz: Seien L1 und L2 rekursiv aufzählbar.
(i) L1 [ L2 ist rekursiv aufzählbar
(ii) L1 Å L2 ist rekursiv aufzählbar
!! Die Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen ist nicht
abgeschlossen gegenüber Komplement !!
Bew: Diag ist nicht rekursiv aufzählbar,
aber das Komplement von Diag ist rekursiv aufzählbar.
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Eigenschaften entscheidbarer und
rekursiv aufzählbarer Sprachen
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Algorithmen und Komplexität
Satz: L ist entscheidbar genau dann, wenn
L und
rekursiv aufzählbar sind.
Friedhelm Meyer auf der Heide
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Weitere unentscheidbare Probleme:
Reduktionen
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Algorithmen und Komplexität
Def:
heißt reduzierbar auf
falls es eine berechenbare, totale Funktion
gibt mit
- Für alle
Wir schreiben:
(mittels )
ist die Reduktion oder Reduktionsfunktion von
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Weitere unentscheidbare Probleme:
Reduktionen
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Algorithmen und Komplexität
Beispiel: Sei
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Weitere unentscheidbare Probleme:
Reduktion
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Algorithmen und Komplexität
Es gilt:
Was folgt daraus?
Wäre
rekursiv aufzählbar durch DTM M‘, so wäre auch
Diag rekursiv aufzählbar:
- bei Eingabe bin(i) berechne f(bin(i))
- starte M‘ mit Eingabe f(bin(i))
- akzeptiere bin(i), falls M‘ f(bin(i)) akzeptiert.
Da Diag nicht rekursiv aufzählbar ist, ergibt sich ein
Widerspruch.
Also:
ist nicht rekursiv aufzählbar.
Also: H nicht entscheidbar.
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Beweis für: „nicht entscheidbar“.
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Algorithmen und Komplexität
zu zeigen: L ist nicht entscheidbar
Wähle geeignetes nichtentscheidbares Problem
aus, z. B. Diag.
Zeige: „Wäre
entscheidbar, dann wäre auch Diag
entscheidbar“
mit anderen Worten: zeige :
Haben wir für
gemacht.
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Nicht entscheidbare Sprachen: Reduktion
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Allgemein:
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Weitere unentscheidbare Probleme
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Weitere unentscheidbare Probleme
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Algorithmen und Komplexität
Satz von Rice.
Sei R die Menge aller partiellen berechenbaren Funktionen,
S sei nichttriviale Teilmenge von R, d.h.
Dann ist
nicht entscheidbar.
Bsp: - S = alle totalen berechenbaren Funktionen
Totalitätsproblem
- S=
- S = Menge aller partiellen Funktionen, die nur auf endlich vielen
Argumenten definiert sind.
L (S) = Endlichkeitsproblem
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Einige weitere unentscheidbare Probleme …
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Algorithmen und Komplexität
... die nicht Eigenschaften von DTM‘s testen.
-
Diophantische Gleichungen:= {p | p Polynom in mehreren
Variablen mit Koeffizienz aus ,
-
Arithmetik:= {A | A ist arithmetische Aussage (Variablen,
Quantoren, Logische Verknüpfungen, =,
, >, <,
+,-, *), A ist wahr}
Achtung: Presburger Arithmetik: wie oben, aber ohne *
ist entscheidbar !!
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