Wert einer Koalition

Spieltheoretische
Koalitionsverhandlungen
Thema:
Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen
Paper:
Coalitions among Computationally Bounded Agents
Themen




Grundlagen
Bedingungen für Koalitionsstrukturen
Core- Stabilität der Koalitionsstrukturen
Stabilität von Koalitionsstrukturen
Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk
1
Grundlagen

Set aller Agenten:
A
niedrigste Kosten, die eine Gruppe S erzielen kann:

Charakteristische Funktion, Wert einer Koalition S angibt:

Auszahlung eines Agenten i:

Allgemeinwohl ist die Summe der Auszahlung aller Agenten

xi Є R
wenn für alle disjunkte Koalitionen
gilt:
 

v
S T
SA C
v
S
S
 cS
S,T  A
v v
S
T
dann ist das Spiel superadditiv
sonst:
v
S T
 vS  vT
ist das Spiel subadditiv
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2
Grundlagen



Agenten koordinieren ihre Berechnungen und Weltaktionen
innerhalb jeder Koalition
keine Koordination zwischen Koalitionen
In verteilten, kooperativen Problemlösungssystemen bestimmt
ein Designer ein Interaktionsprotokoll und eine Strategie


Frage: welche Struktur bei gegebenem Protokoll und Strategie
In Multiagentensystemen können die Agenten jedoch ihre eigene
Strategie auswählen



Selbstorientierte Agenten wählen die beste Strategie, für sich selbst
Frage: Bei gegebenem Protokoll, welche Struktur entsteht, die
garantiert, dass die lokale Strategie eines jeden Agenten am besten
für ihn ist?
Diese Strategie wird somit von diesem Agenten benutzt.
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Grundlagen

Core C  {( x , CS ) | S  A,  xi  vS und  xi 
iS
i A
v
jCS
Wert jeder Teilgruppe S an Agenten ist nicht größer als die Summe der
Auszahlungen der Agenten in CS
perfekte Rationalität:
Algorithmen, die die optimale Lösung mit Null Berechnungskosten finden


Rationalität der Agenten ist jedoch durch die Berechnungskomplexität
begrenzt
 bei harten Problemen entstehen nicht zu begründende Kosten für die
optimale Lösung
 Folge: Qualität der Lösung wird gegen ihre Berechnungskosten
aufgewogen
Erweiterung der klassischen Spieltheorie, die perfekte Rationalität annimmt
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4
Sj
}
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Modell der beschränkten Rationalität
Berechnungsgrenzen quantitativ modelliert:
Berechnungskosteneinheiten:

ccomp ≥ 0
pro CPU Time
Koalitionkosten von S, nachdem
Berechnungsressourcen rS verbraucht wurden:
cS(rS) ≥ 0
cS(rS) entspricht dem Leistungsprofil für den
Problemlösungsalgorithmus
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Modell der beschränkten Rationalität

Jede Koalition minimiert die Summe aus den
Koalitionskosten und den Berechnungskosten
Wert einer Koalition S:
vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

Dieser Wert sinkt mit steigenden
Berechnungskosten ccomp
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Beispiele
vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]
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Koalitionen für das Allgemeinwohl
beschränkt rational superadditives Spiel (BRSUP)
Wenn für alle disjunkte Koalitionen S , T 
und Berechnungskosteneinheit ccomp
gilt:
(ccomp )  (ccomp )  (ccomp )
v
S T
v
S
A
v
T
dann ist das Spiel BRSUP


BRSUP Spiele sind immer Spiele, bei denen die große Koalition {A}
das Algemeinwohl maximiert
bei gegebenen ccomp kann ein Spiel entweder superadditiv, BRSUP,
beides oder keines von beiden sein
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Koalitionen für das Allgemeinwohl
beschränkt rational subadditives Spiel (BRSUB)
Wenn für alle disjunkte Koalitionen
und Berechnungskosteneinheit ccomp
gilt:
v
S T
S,T  A
(ccomp )  vS (ccomp )  vT (ccomp )
dann ist das Spiel BRSUB



In BRSUB Spielen arbeiten die Agenten am besten alleine.
{{a1},{a2},{a3},…,{a|A|},} maximiert das Algemeinwohl
nur einige nicht-BRSUP Spiele sind beschränkt rational subadditiv
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Beispiel
vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]
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Koalitionen für das Allgemeinwohl

Wenn die Leistungsprofile cS(rS) und die Berechnungskosten ccomp
bekannt sind, kann man den Ertrag einer jeden Koalitionsstruktur
über ihre Koalitionen berechnen mit:
vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

Es gibt jedoch einige generelle Ergebnisse, die diese Aufzählung
über alle Koalitionen unnötig machen
Frage: Welche Leistungsprofile machen ein Spiel zu einem BRSUP
oder BRSUB Spiel für beliebige Berechnungskosteneinheiten

Bei Ausführungen auf remote Rechnern sind die
Berechnungskosten unbekannt
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Garantie für Zusammenschlüsse

Hilfe bietet Theorem 3.1, dass eine hinreichende Bedingung darstellt, die
garantiert, dass 2 beliebige, disjunkte Koalitionen unabhängig von den
Berechnungskosteneinheiten ccomp fusionieren sollten
Theorem 3.1 BRSUP (hinreichende Bedingung):
Wenn für alle disjunkten Koalitionen S , T 
und alle Berechnungszuteilungen rS , rT  0
gilt:
A
cS  T (rS  rT )  cS (rS )  cT (rT )
dann ist das Spiel BRSUP für alle Berechnungskosteneinheiten ccomp
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Garantie für Zusammenschlüsse



In der Theorie ist Theorem 3.1 immer erfüllbar, da der
Problemlösungsalgorithmus c(r) zuerst rS verbrauchen kann um Problem
von S zu lösen und dann rT für T
Folge: beste Koalitionsstruktur ist die große Koalition {A}
Theorem 3.1 ist keine notwendige Bedingung im allgemeinen
Theorem 3.2:
Gilt: cS  T (rS  rT )  cS (rS )  cT (rT )
für alle disjunkten Koalitionen S , T  A
und alle Berechnungszuteilungen rS , rT  0


das Spiel ist BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp
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Garantie für Zusammenschlüsse
Theorem 3.3 BRSUP (notwendige und hinreichende Bedingung):
Ist cU(r) fallend und convex in r, für jedes U  A
und gilt: cS  T ( rS  rT )  cS ( rS )  cT ( rT )
cU(r)
r
für alle disjunkten Koalitionen S , T  A
und alle Berechnungszuteilungen rS , rT  0

genau dann ist das Spiel BRSUP für beliebige
Berechnungskosteneinheiten ccomp

cU(r ) ist oft konvex, da größere Verbesserungen am Anfang mit wenigen
Rechenschritten gefunden werden können, als später bei fast optimalen
Zuständen
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Beispiel Zusammenschlüsse
vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]
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Garantie für Aufteilungen
Theorem 3.4 BRSUB (hinreichende Bedingung):
Gilt: cS  T (rS  rT )  cS (rS )  cT (rT )
für alle disjunkten Koalitionen S , T  A
und alle Berechnungszuteilungen rS , rT  0
=>
dann ist das Spiel BRSUB für beliebige
Berechnungskosteneinheiten ccomp


Ein Spiel kann beschränkt rational subadditiv sein auch wenn
Theorem 3.4 nicht gilt
Anders als bei der beschränkt rationalen Supperadditivität wird
diese Implikation nicht zu einer Äquivalenz
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Beispiel
vU(ccomp)= minrU[cS(rU) + ccomp * rU]
Wenn z.B. Kosten bei Koalitionsbildung entstehen, die nicht
durch Optimierung der Kostenfunktion wieder weggemacht
werden können, dann ist dieses Spiel BRSUB
cS  T (rS  rT )  cS (rS )  cT (rT ) cJoin(rS , rT )
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Stabilität der Auszahlungskonfiguration analysiert
anhand des „Core“ –Lösungskonzepts

C  {( x , CS ) | S  A,  xi  vS und  xi 
iS
i A
v
jCS
Sj
}
Wiederholung:
Core: „Der Core eines Spiels ist ein Set von stabilen
Auszahlungskonfigurationen (x, CS), x ist ein Vektor von
Auszahlungen an die Agenten“
stabil: „Konfiguration wird als stabil angesehen, wenn keine
Untergruppe von Agenten ihre Auszahlung vergrößern kann,
indem sie die Koalition verlässt und eine neue Koalition gründet“
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
beschränkt rationale Core (BRC)
bei Berechnungskosteneinheiten ccomp
ist der

BRC (ccomp)  {( x , CS ) | S  A,  xi  vS (ccomp)
iS
und  xi 
i A

v
jCS
Sj
(ccomp)}
Wenn der BRC nicht leer ist, können beschränkt rationale Agenten
ihre Erträge untereinander verteilen, ohne dass eine Teilgruppe die
Koalitionsstruktur verlassen will
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
Theorem 4.1 BRC in BRSUB Spielen:
Wenn ein Spiel, bei gegebenen ccomp, BRSUB ist
=>
dann ist BRC (ccomp) 
 0

In Spielen, die nicht BRSUB sind ist BRC manchmal leer

Erinnerung BRSUB:
vS T (ccomp)  vS (ccomp)  vT (ccomp)
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Definitionen
Seien B1,…,Bp verschiedene, nicht leere Teilmengen von A.
Das Set B = {B1,…,Bp} nennt man balanciert,
wenn positive Koeffizienten existieren, sodass gilt:
i  A,

{ j|iB j }
i
1
ein minimal balanciertes Set enthält keine anderen balancierten
Sets
Ein minimal balanciertes Set wird proper genannt, wenn kein Paar
disjunkt ist.
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Beispiele
: proper sets
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
Theorem 4.3 BRC in BRSUP Spielen
(notwendige und hinreichende Bedingungen):
Wenn bei gegebenen ccomp, ein Spiel BRSUP ist,
und für jedes proper minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt:
p
 v
j 1
i Bj
(ccomp)  v A (ccomp)
<=>
genau dann ist

BRC (ccomp)  0
Dieses Set an Ungleichungen ist minimal, kein kleineres Set ist
ausreichend als Bedingung
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
Theorem 4.2 BRC in beschränkt rationalen großen
Koalitionsspielen
(notwendige und hinreichende Bedingungen):
Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert,
und für jedes minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt:
p
 v
j 1
i Bj
(ccomp)  v A (ccomp)
<=>
genau dann ist
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BRC (ccomp)  0
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
Theorem 4.5 BRC in BRSUP Spielen
(hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion):
Wenn bei gegebenen ccomp, das Spiel BRSUP ist,
und [für jedes proper minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp}
gilt:
p
p
j 1
j 1
(B   , rB  0)  j cB j (rB j )  c A (  j rB j )]
=>
dann ist
BRC (ccomp)  0
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Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
Theorem 4.4 BRC in beschränkt rationalen großen
Koalitionsspielen
(hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion):
Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert,
und [für jedes minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp}
gilt:
p
p
j 1
j 1
(B   , rB  0)  j cB j (rB j )  c A (  j rB j )]
=>
dann ist
BRC (ccomp)  0
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Zusammenfassung


Multiagentensysteme in denen Agenten ihre
Strategie selbst wählen dürfen
BRSUP
hinreichende, notwendige Bedingung die Garantie für
Zusammenschlüsse liefern

BRSUB
nur hinreichende Bedingung die Garantie für Aufteilungen
liefern

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur



BRC in BRSUB Spielen
BRC in BRSUP Spielen und großen Koalitionsspielen
BRC in BRSUP Spielen abhängig von Kostenfunktion
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit
Fragen?
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