Matrizen - Mathematik
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Matrizen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 1 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von Fernsehzeitschriften zu untersuchen. Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen liefern. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 2 / 56 Modell Vereinfachungen 2 Zeitschriften A und B die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant der Marktmechanismus bleibt konstant M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 3 / 56 Daten Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten: Zeitschrift A hat 2000 Kunden Zeitschrift B hat 3000 Kunden pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 4 / 56 Diskussion Wie entwickeln sich die Kundenzahlen über einen längeren Zeitraum? irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B die Kundenzahlen oszillieren es stellt sich ein Gleichgewicht ein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 5 / 56 Übergangstabelle von A von B nach A 80% 5% nach B 20% 95% M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 6 / 56 Übergangsgraph M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 7 / 56 Baumdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 8 / 56 Erste Prognose Nach zwei Wochen A: 1280 + 20 + 120 + 142,5 = 1562,5 B: 320 + 380 + 30 + 2707,5 = 3437,5 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 9 / 56 Entwicklung Untersuchen Sie die Entwicklung der Kundenzahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen. Verwenden Sie Excel !!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 10 / 56 Excel-Eingabe =B5*(1-$B$1)+C5*$B$2 =C5*(1-$B$2)+B5*$B$1 Kopieren Einfügen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 11 / 56 Excel-Ergebnis M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 12 / 56 Excel-Grafik 5000 4000 3000 A 2000 B 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 13 / 56 Zwischenbilanz 5000 4000 3000 A 2000 B 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen. Fragen Hält diese Tendenz an? Hat A irgendwann keine Kunden mehr? Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ? M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 14 / 56 Dynasys Modell Definitionen Startwerte A:=2000 B:=3000 Ventile A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 15 / 56 Dynasys Simulationsparameter M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 16 / 56 Dynasys Zeitdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 17 / 56 Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 18 / 56 Dynasys Tabelle M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 19 / 56 Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 20 / 56 Dynasys Simulation über 50 Wochen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 21 / 56 Dynasys Anfangswerte A=4000 ; B=1000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 22 / 56 Dynasys Anfangswerte A=0 ; B=5000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 23 / 56 Dynasys Zeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 24 / 56 Dynasys Vergleich von A und dA bei gleicher Skalierung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 25 / 56 Dynasys Vergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 26 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 27 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 von A von B nach A nach B 0,8 0,2 0,05 0,95 0,8 0,05 0,2 0,95 Matrix M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 28 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 29 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 Aalt : Balt : 2000 3000 2000 3000 Vektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 30 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: 0,8 0,05 2000 3000 0,2 0,95 = 0,8·2000 + 0,05·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 31 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: 0,8 0,05 2000 3000 0,2 0,95 = 0,8·2000 + 0,05·3000 0,2·2000 + 0,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 32 / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: 0,8 0,05 2000 3000 0,2 0,95 Übergangsmatrix alter Kundenvektor = 1760 3250 neuer Kundenvektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 33 / 56 Definition Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix. a11 . . an1 . . a1m . . . . . . . . anm Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch Spaltenvektor a1 : an bzw. Zeilenvektor a 1 .. am M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 34 / 56 Multiplikation Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir a11 a12 k1 a11·k1 a12·k 2 · : a21 a22 k 2 a21·k1 a22·k 2 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 35 / 56 Symbolisierung Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben. 2000 k0 3000 Anfänglicher Kundenvektor: Übergangsmatrix: Damit ergibt sich 0,8 0,05 M = 0,2 0,95 k1 M·k 0 bzw. kn M·k n 1 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 36 / 56 Eingabe bei Derive Eingabe Zeilenvektor [1,2,3] Spaltenvektor [1;2;3] Matrix [1,2,3;4,5,6] Anzeige M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 37 / 56 Berechnung mit Derive Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix. Initialisierung des Kundenvektors k. Berechnung des neuen Kundenvektors Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren. Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 38 / 56 Berechnung mit Derive Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 39 / 56 Iteration Bei der iterativen Berechnung von z.B. k2 haben wir gerechnet ? k 2 M k 1 M (M k 0 ) M k 0 2 Sollte man das vielleicht auch so berechnen können? Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 40 / 56 Matrizenmultiplikation Wir berechnen k1 a1 b1 x a1 x b1 y a2 b2 y a2 x b2 y M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 41 / 56 Matrizenmultiplikation und dann k2 a1 b1 a1 x b1 y a1 a1 x a1 b1 y b1 a2 x b1 b2 y a2 b2 a2 x b2 y a2 a1 x a2 b1 y b2 a2 x b2 b2 y (a1 a1 b1 a2) x (a1 b1 b1 b2) y (a2 a1 b2 a2) x (a2 b1 b2 b2) y a1 a1 b1 a2 a1 b1 b1 b2 x a2 a1 b2 a2 a2 b1 b2 b2 y Das sollte dann M2 sein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 42 / 56 Matrizenmultiplikation Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen: a1 b1 a1 b1 a1 a1 b1 a2 a1 b1 b1 b2 : a2 b2 a2 b2 a2 a1 b2 a2 a2 b1 b2 b2 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 43 / 56 Prognose Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträume auch ohne Iteration berechnen. Nach 10 Wochen: k10 M k 0 10 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 44 / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 45 / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 46 / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 47 / 56 Stabiler Kundenvektor 1000 eine stabile Situation Offenbar beschreibt der Vektor ks= 4000 bzw. ein dynamisches Gleichgewicht. Mathematisch bedeutet dies M ks ks Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich ks auch direkt berechnen lassen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 48 / 56 Berechnung von ks Aus M k s k s folgt 0.8 0.05 x x 0.2 0.95 y y Und daraus das LGS 0.8x + 0.05y = x 0.2x + 0.95y = y bzw. -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 49 / 56 Berechnung von ks -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0 Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar! Wir müssen aber auch noch x + y = 5000 berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS 0.2x - 0.05y = 0 x + y = 5000 mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 50 / 56 Lösung mit Derive Eingabe Mit Mausklick auf „Eingeben und Vereinfachen“ erhält man die Lösung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 51 / 56 Ergebnis Die Kundenverteilung stabilisiert sich. Der stabile Kundenvektor ks lässt sich mit Hilfe der Gleichung M·ks=ks und der konstanten Kundensumme berechnen. Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also ist auch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 52 / 56 Grenzmatrix Untersucht man mit Derive Potenzen der Überführungsmatrix, so stellt man fest, dass auch hier eine Stabilisierung stattfindet. 0,8 0,05 n 0,2 0,2 : MG Offenbar gilt n lim 0,2 0,95 0,8 0,8 mit der Grenzmatrix MG. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 53 / 56 Grenzmatrix Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direkt in den stabilen Vektor. MG·k0 k s Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig. Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 54 / 56 Grenzmatrix Der Anfangsvektor kann dann in der Form 1 oder 0 0 1 geschrieben werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 55 / 56 Grenzmatrix Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix: a b 1 a ks c d 0 c Daraus folgt: bzw. a b 0 b ks c d 1 d a b k s c d Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 56 / 56
