PowerPoint-Präsentation

Prof. Dr. Johann Graf Lambsdorff
Universität Passau
WS 2007/08
z
5. Spekulationskasse und
Portfolio-Theorie
zˆ  2.4
Fn
F  115
F
Pflichtlektüre:
Jarchow, H.-J.: Theorie und Politik des Geldes, 11.
überarb. und wesentl. erw. Aufl., Göttingen: UTB, 2003,
S. 40-67.
• Die Ertrags- und Risikoraten ew und sw sind wichtige
Elemente für ein Entscheidungsmodell, das die
Zusammensetzung der (finanziellen)
Vermögensbestandteile unter dem Gesichtspunkt mit
Risiko behafteter Erwartungen analysiert.
• Dieser Ansatz wird in der angelsächsischen
Terminologie als portfolio selection bezeichnet.
• In einer einfachen Variante entscheidet ein
Wirtschaftssubjekt, wie ein verfügbarer Kassenbestand
ls auf Kasse und Schuldverschreibungen mit
einheitlicher Ausstattung aufgeteilt werden soll.
• Die Wirtschaftseinheit investiert den Anteil x0 des
Anfangsvermögen ls als risikolose Anlage in
(unverzinsliche) Kasse und den Anteil (1-x0) in ein
risikobehaftetes Wertpapier.
• Aus dem Portefeuille ergibt sich der Ertrag e=ew(1-x0)
und das Risiko s=sw(1-x0).
• Aus diesen beiden Gleichungen folgt:
e=s·ew/sw.
(1)
• Der Ertrag lässt sich nur vergrößern (bei gegebenem
erwarteten Ertrag und Risiko einer in Wertpapieren
angelegten Geldeinheit), wenn eine Zunahme des
Risikos in Kauf genommen wird.
• Aus den verschiedenen durch Gleichung (1)
beschriebenen Kombinationen von Ertrag und Risiko ist
diejenige Kombination auszuwählen, die den
individuellen Präferenzen für Ertrag und Risiko am
besten entspricht.
• Wir legen der weiteren Analyse folgende
Nutzenfunktion zugrunde:
u=u(e,s), wobei ue>0, us<0.
• Es wird also unterstellt, dass der Grenznutzen des
Ertrages positiv, der Grenznutzen des Risikos negativ
ist. Letzteres bedeutet risikoaverses Verhalten.
• Weiter wollen wir annehmen, dass das Nutzenniveau bei
einer Zunahme von Ertrag und Risiko nur
aufrechterhalten werden kann, wenn das marginale
Risiko durch immer größer werdende Ertragszuwächse
kompensiert wird, die Grenzrate de/ds mit steigendem s
also zunimmt.
• Diese Annahme bedeutet, dass die entsprechenden
Indifferenzkurven in einem e/s-Diagramm konvex
verlaufen.
• Das Optimierungskalkül kann mit Hilfe des
Lagrangeschen Multiplikators bestimmt werden:
u=u(e,s)+l(e-s·ew/sw) Max!
• Hierbei bezeichnet l den noch unbestimmten
Lagrangeschen Multiplikator.
• Die ersten Ableitungen müssen im Nutzenmaximum
Null werden:
ue+l0,
us-l·ew/sw0,
e=s·ew/sw.
• Division der beiden ersten Gleichungen erbringt:
us/ue-ew/sw  ueew= -ussw
• Im Optimum muss der marginale Nutzenzuwachs aus
dem Ertrag einer in Wertpapieren investierten
Geldeinheit gerade den marginalen Nutzenrückgang
durch das hiermit verbundene zusätzliche Risiko
kompensieren.
• Diese Lösung lässt sich graphisch darstellen.
e
e  ew
u3  u2  u1
e  s ew sw
u3
u2
u1
ê
P
s
x0
1
x̂0
x0  1 - s sw
s  sw
s
• Kasse und Wertpapiere können im PortefeuilleGleichgewicht nebeneinander als Vermögensobjekte
gehalten werden.
• In besonderen Fällen kann ein optimales Portefeuille nur
Kasse oder nur Wertpapiere enthalten.
e u3  u2  u1
e  ew
u3
u2 u
1
e u3  u2  u1
e  ew
u3
u2
u1
s s
s s
• Im ersten Fall wird im Portefeuille-Optimum nur Kasse
gehalten. Dies tritt um so eher ein, je schwächer die
Möglichkeitskurve ansteigt, d. h. je geringer der mit der
Risikoerhöhung verbundene Ertragszuwachs ist, und je
stärker die Indifferenzkurven ansteigen, d.h. je größer
der negative Grenznutzen des Risikos (absolut
genommen) im Verhältnis zum Grenznutzen des Ertrags
ist.
• Im zweiten Fall werden im Portefeuille-Optimum nur
Wertpapiere gehalten. Dies tritt um so eher ein, je
stärker die Möglichkeitskurve ansteigt und je schwächer
die Indifferenzkurven ansteigen.
• Eine Erhöhung von ew bedeutet in der graphischen
Darstellung eine Linksdrehung der Möglichkeitskurve.
e
u3  u2  u1
u3
u2
u1
P1
P0
s
x0
1
x̂00
x̂01
x0  1 - s sw
ŝ0 ŝ1
s  sw
s
• Die Erhöhung von ew bewirkt bei dem im Diagramm
angenommenen Indifferenzkurvensystem, dass ein
höheres Risiko hingenommen wird.
• Bei anders verlaufenden (aber weiterhin konvexen)
Indifferenzkurven ergibt sich u.U. auch eine Senkung
des Risikos.
• Dass das Ergebnis nicht eindeutig ist, lässt sich mit
einem aus der Haushaltstheorie bekannten Konzept
erklären: dem Substitutions- und Einkommenseffekt.
• Der Substitutionseffekt beinhaltet, dass eine Erhöhung
der Ertragsrate (ew) einen Anreiz darstellt, den
Wertpapieranteil zu vergrößern, d.h. mehr Risiko (s) auf
sich zu nehmen.
• Der Einkommenseffekt beinhaltet, dass Ertrag und
Sicherheit als „normale Güter“ angesehen werden. Dies
impliziert, dass sich die Nachfrage nach Sicherheit mit
steigendem Einkommen erhöht. Lässt eine steigende
Ertragsrate das Einkommen ansteigen, so wird daher
mehr Sicherheit nachgefragt und ein geringeres Risiko
eingegangen.
• Wir gehen davon aus, dass der Substitutionseffekt
bezüglich des Risikos nicht durch den
Einkommenseffekt kompensiert wird.
• Unter dieser Annahme führt ein Anstieg von ew zu
einem erhöhten Risiko (s) und dementsprechend zu
einem verminderten Anteil von Kasse am
(unveränderten) Anfangsvermögen. Dieser Fall wurde
graphisch dargestellt.
• Eine Erhöhung von sw bedeutet in der graphischen
Darstellung eine Rechtsdrehung der Möglichkeitskurve.
e
u3  u2  u1
u3
u2
P0
u1
P1
s
x0
1
x̂01
x̂00
ŝ1 ŝ0
s  sw0
s
s  sw1
• Der Einkommenseffekt bewirkt hier, dass eine
Erhöhung der Risikorate (sw) den Nutzen des Anlegers
reduziert und dieser daher von dem normalen Gut
Sicherheit weniger nachfragt, d.h. mehr Risiko auf sich
nimmt.
• Ist der Substitutionseffekt (wie angenommen) stärker als
der Einkommenseffekt, dann führt ein Anstieg von sw,
wie in der Abbildung, zu einem niedrigeren Risiko.
• Der Anteil von Kasse erhöht sich hierbei zusätzlich, da
ein konstantes Niveau an Risiko bereits bei einem
geringeren Wertpapierbestand erreicht wird.
• Zwischen der Ertragsrate ew und der gegenwärtigen
Rendite (i) besteht ein direkter Zusammenhang.
• Sofern im Mittel keine Änderung des Kurses und damit
der Rendite erwartet wird, gilt:
 g* 
ew  E 
  i.
 pw q 
• Es folgt, dass die optimale Kassenhaltung mit steigender
gegenwärtiger Rendite, i, sinkt und umgekehrt. Anders
als bei sicheren Erwartungen ergibt sich bereits für den
einzelnen Anleger eine kontinuierlich fallende
Nachfragefunktion für Spekulationskasse.