Microsoft PowerPoint Presentation: 06_Greedy_Verfahren
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Algorithmentheorie
6 – Greedy-Verfahren
Tobias Lauer
WS 06/07
Greedy-Verfahren
1. Allgemeine Vorbemerkungen
2. Einfache Beispiele
• Münzwechselproblem
• Handlungsreisenden-Problem
3. Das Aktivitäten-Auswahlproblem
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Greedy-Verfahren zur Lösung eines
Optimierungsproblems
Treffe in jedem Verfahrensschritt diejenige
Entscheidung, die im Moment am besten ist!
Möglichkeiten:
1. Wir erhalten stets die optimale Gesamtlösung.
2. Wir erhalten eine Lösung, die zwar nicht immer optimal ist, aber
vom Optimum stets nur wenig abweicht.
3. Die berechnete Lösung kann beliebig schlecht werden.
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Einfaches Beispiel: Münzwechselproblem
EUR Bargeld-Werte:
500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1
Beobachtung
Jeder ganze EUR Betrag kann durch Münzen und Banknoten
mit diesen Werten bezahlt werden.
Ziel
Bezahlung eines Betrages n mit möglichst wenig
Münzen bzw. Banknoten
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Münzwechselproblem
Greedy-Verfahren
Wähle die maximale Zahl von Banknoten und
Münzen mit jeweils größtmöglichem Wert,
bis der gewünschte Betrag n erreicht ist.
Beispiel: n = 487
500
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200
100
50
20
10
5
2
1
5
Allgemeines Münzwechselproblem
Werte von Münzen und Banknoten: n1, n2, ..., nk
n1 > n2 > ... > nk , und nk = 1.
Greedy-Zahlungsverfahren:
1. w = n
2. for i = 1 to k do
mi = # Münzen mit Wert ni = w / ni
w = w – m i∙ni
Jeder Geldbetrag kann bezahlt werden!
Liefert das Greedy-Verfahren immer eine optimale Lösung?
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Land Absurdia
Drei Münzen:
n3 = 1, n2 > 1 beliebig, n1 = 2 n2 + 1
Beispiel: 41, 20, 1
Zu zahlender Betrag: n = 3 n2 (z.B. n = 60)
Optimale Zahlungsweise:
Greedy-Zahlungsverfahren:
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Handlungsreisenden-Problem (TSP)
Gegeben: n Orte und Kosten c(i, j), um von Ort i nach j
zu reisen
Gesucht: Eine billigste Rundreise, die alle Orte genau
einmal besucht.
Formal: Eine Permutation p von {1, 2, ..., n}, so dass
c(p(1), p(2)) + ... + c(p(n-1), p(n)) + c(p(n), p(1))
minimal ist.
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Handlungsreisenden-Problem (TSP)
Greedy-Verfahren zur Lösung von TSP
Beginne mit Ort 1 und gehe jeweils zum nächsten bisher noch
nicht besuchten Ort. Wenn alle Orte besucht sind, kehre zum
Ausgangsort 1 zurück.
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Handlungsreisenden-Problem (TSP)
Beispiel:
c(i, i+1) = 1
c(n,1) = M
c(i, j) = 2
für i = 1, ..., n - 1
für eine sehr große Zahl M
sonst
Vom Greedy Verfahren berechnete Tour:
1
2
3
n–2
n–1
n
Optimale Tour:
1
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2
3
n–2
n–1 n
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Das Aktivitäten-Auswahl-Problem
Gegeben:
S = {a1,...,an}
benötigen,
Menge von n Aktivitäten, die alle eine Ressource
z.B. einen Hörsaal.
Aktivität ai: Beginn bi und Ende ei
Aktivitäten ai und aj heißen kompatibel, falls
[bi, ei) [bj, ej) =
Gesucht:
Eine größtmögliche Menge A S paarweise kompatibler Aktivitäten.
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1. Versuch
Sortiere die Aktivitäten nach Anfangszeitpunkt, d.h.
b1 b2 b3 ... bn
und nimm immer die nächste Aktivität hinzu, die zur bisherigen
Menge kompatibel ist.
Beispiel:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
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0
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Das Aktivitäten-Auswahl-Problem
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bi
1
ei
3
1
0
6
1
4
2
13
3
5
3
8
5
7
5
9
6
10
8
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8
12
12
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4
1
5
1
6
1
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1
8
1
9
1
8
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1
8
11
0
1
2
1
8
1
8
3
4
5
6
7
8
11
9
10
11
12 13
14
13
1. Versuch
Sortiere die Aktivitäten nach Anfangszeitpunkt, d.h.
b1 b2 b3 ... bn
und nimm immer die nächste Aktivität hinzu, die zur bisherigen
Menge kompatibel ist.
Problem: Dieses Verfahren ist nicht optimal!
Beispiel:
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2. Versuch
Greedy-Strategie zur Lösung des Aktivitäten-Auswahl-Problems:
Sortiere die Aktivitäten nach aufsteigendem Endzeitpunkt:
e1 e2 e3 ... en
Wähle immer die Aktivität mit frühestem Endzeitpunkt,
die legal eingeplant werden kann!
Insbesondere ist die erste gewählte Aktivität die mit
frühestem Endzeitpunkt.
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2. Versuch
Sortiere die Aktivitäten nach Endzeitpunkt, d.h.
e1 e2 e3 ... en
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
0
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Das Aktivitäten-Auswahl-Problem
bi
ei
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4
3
5
0
6
5
7
3
8
5
9
6
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8
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8
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2
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2
1
3
1
5
1
4
6
1
4
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1
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8
1
4
9
1
4
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4
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6
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8
9
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11
10
11
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Aktivitäten-Auswahl
Algorithmus Greedy-Aktivitäten
Input: n Aktivitätenintervalle [bi, ei), 1 i n mit ei ei+1
Output: Eine maximal große Menge von paarweise kompatiblen
Aktivitäten
1 A1 = {a1}
2 last = 1
/* last ist Index der zuletzt hinzugefügten Aktivität */
3 for i = 2 to n do
4 if bi < elast
5
then Ai = Ai-1
6
else /* bi elast */
7
Ai = Ai-1 {ai}
8
last = i
9 return An
Laufzeit: O(n)
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Optimalität des Greedy-Verfahrens
Satz
Das Greedy-Verfahren liefert eine optimale Lösung.
Beweis Wir zeigen: Für alle 1 i n gilt:
Es gibt eine optimale Gesamtlösung A* mit
A* {a1 ,...., ai} = Ai
i = 1:
Wähle A* {a1 ,...., an}, A* ist optimal, A* = {ai1 ,...., aik}
A* =
a i1
a i2
a i3
a ik
a1
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Optimalität des Greedy-Verfahrens
i –1 i:
wähle A* {a1, ..., an}, A* ist optimal mit A* {a1,...,ai-1 } = Ai-1
betrachte R = A* \ Ai-1
Beobachtung:
R ist eine optimale Lösung für die Menge der Aktivitäten
in {ai, ..., an}, die zu den Aktivitäten in Ai-1 kompatibel sind.
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Optimalität des Greedy-Verfahrens
Fall 1: bi < elast
Ai-1 =
elast
alast
ai
bi
ai ist nicht kompatibel zu Ai-1
ai ist nicht enthalten in A*
A* {a1,...,ai} = Ai-1 = Ai
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Optimalität des Greedy-Verfahrens
Fall 2: bi elast
elast
Ai-1=
alast
ai
bi
ai ist kompatibel zu Ai-1
Es gilt: R {ai, ..., an}
R=
c1
c2
c3
cl
ai
A*neu = Ai-1 (R \ {c1}) {ai} ist optimal
A*neu {a1,...,ai} = Ai-1 {ai} = Ai
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Greedy-Verfahren
Greedy-Wahl-Eigenschaft:
Wenn man optimale Teillösung hat und man trifft eine lokal
optimale Wahl, dann gibt es eine global optimale Lösung,
die diese Wahl enthält.
Optimalität von Teillösungen:
Eine Teillösung einer optimalen Lösung ist eine optimale
Lösung des Teilproblems.
nach jeder lokal optimalen Wahl erhalten wir ein zur
Ausgangssituation analoges Problem
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