Visualisierung algebraischer Zusammenhänge

Visualisierung
algebraischer
Zusammenhänge
Addition ungerader Zahlen
Addiert man die ersten ungeraden Zahlen, so
erhält man immer eine Quadratzahl.
Addition ungerader Zahlen
Addiert man die ersten ungeraden Zahlen, so
erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addition ungerader Zahlen
Addiert man die ersten ungeraden Zahlen, so
erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen,
so ist die Summe n2.
Addition ungerader Zahlen
Addiert man die ersten ungeraden Zahlen, so
erhält man immer eine Quadratzahl.
Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Addiert man die ersten n ungeraden Zahlen,
so ist die Summe n2.
1+ 3 + 5 + ...+ 2n − 1 = n
2
Addition ungerader Zahlen
Hilfsüberlegung:
Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in
zwei aufeinander folgende Zahlen.
Addition ungerader Zahlen
Hilfsüberlegung:
Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in
zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Addition ungerader Zahlen
Hilfsüberlegung:
Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in
zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Nummer
unger. Zahl
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
9
17
10
19
11
21
Addition ungerader Zahlen
Hilfsüberlegung:
Jede ungerade Zahl kann man zerlegen in
zwei aufeinander folgende Zahlen.
Beispiel: 11 = 5 + 6
Nummer
unger. Zahl
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
9
17
10
19
Die n. ungerade Zahl kann man zerlegen in
die Summe aus n und n-1.
11
21
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Addition ungerader Zahlen
u1=1
u2=3
u3=5
u4=7
u5=9
u6=11
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also:
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅ Dn = n ( n + 1)
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅ Dn = n ( n + 1)
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅ Dn = n ( n + 1)
Dreieckszahlen
1
1+ 2 + 3 + ...+ n = Dn = n ( n + 1)
2
Also: D1 = 1 , D2 = 3 , D3 = 6 , D4 = 10 , D5 = 15
2 ⋅ Dn = n ( n + 1)
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
n = Dn + Dn−1
2
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 36=62 = 15 + 21 =D5 + D6
n = Dn + Dn−1
2
Dn + Dn−1 =
n ( n + 1) ( n − 1) n
+
= ... = n 2
2
2
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Dreieckszahlen Dnund Quadratzahlen
Jede Quadratzahl kann man zerlegen in zwei
aufeinander folgende Dreieckszahlen.
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dreieckszahl
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
Quadratzahl
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
Beispiel: 49=72 = 21 + 28 =D6 + D7
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
zweidimensional
dreidimensional
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
zweidimensional
dreidimensional
Folgerung für die Visualisierung:
quadratische Platten, die geschickt zu einem
Körper zusammengesetzt werden
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
Bielefelder Lösung
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
Bayreuther Lösung
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Fläche, zweidimensional
n ( n + 1)
Dn =
2
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Fläche, zweidimensional
n ( n + 1)
Dn =
2
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Fläche, zweidimensional
n ( n + 1)
Dn =
2
= 1+ 2 + 3 + ...+ n
Die Dreieckszahlen als Dimensionswandler
Fläche, zweidimensional
n ( n + 1)
Dn =
2
aneinander gelegte Längen,
eindimensional
= 1+ 2 + 3 + ...+ n
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
∑k
k=1
2
=
1
6
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
∑k
k=1
2
=
1
3⋅2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
n
3⋅ ∑ k 2 =
k=1
Dn
⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
n
3⋅ ∑ k 2 =
k=1
Dn
Länge
⋅(2n + 1)
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
n
3⋅ ∑ k 2 =
k=1
Dn
⋅(2n + 1)
Länge
Länge
Summe der Quadratzahlen
n
1
∑ k = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
k=1
2
n
3⋅ ∑ k =
2
k=1
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(2n + 1)
n
3⋅ ∑ k 2 =
k=1
Dn
⋅(2n + 1)
Länge
Länge
zweidimensional!
Summe der Quadratzahlen
3⋅1 = 1⋅ 3 = 1⋅(2 ⋅1+ 1)
Das ist für n = 1
2
n
3⋅ ∑ k 2 = Dn ⋅(2n + 1)
k=1
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
D1 füllt die Lücke links.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
D1 füllt die Lücke links.
D2 ergibt eine neue Schicht.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
D1 füllt die Lücke links.
D2 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 = 3⋅ 5 = 3⋅(2 ⋅ 2 + 1)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
D1 füllt die Lücke links.
D2 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 = 3⋅ 5 = 3⋅(2 ⋅ 2 + 1)
Das ist für n = 2
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D2 und D1 .
D2 wird in Streifen geschnitten.
D1 füllt die Lücke links.
D2 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 = 3⋅ 5 = 3⋅(2 ⋅ 2 + 1)
Das ist für n = 2
n
3⋅ ∑ k 2 = Dn ⋅(2n + 1)
k=1
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D2 füllt die Lücke links.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D2 füllt die Lücke links.
D3 ergibt eine neue Schicht.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D2 füllt die Lücke links.
D3 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 + 32 = 3⋅14 = 6 ⋅ 7 = 6 ⋅(2 ⋅ 3 + 1)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D2 füllt die Lücke links.
D3 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 + 32 = 3⋅14 = 6 ⋅ 7 = 6 ⋅(2 ⋅ 3 + 1)
Das ist für n = 3
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D3 und D2 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D2 füllt die Lücke links.
D3 ergibt eine neue Schicht.
(
)
3⋅ 12 + 2 2 + 32 = 3⋅14 = 6 ⋅ 7 = 6 ⋅(2 ⋅ 3 + 1)
Das ist für n = 3
n
3⋅ ∑ k 2 = Dn ⋅(2n + 1)
k=1
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D3 füllt die Lücke links.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D3 füllt die Lücke links.
D4 ergibt eine neue Schicht.
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D3 füllt die Lücke links.
D4 ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) = 3⋅ 30 = 10 ⋅ 9 = 10 ⋅(2 ⋅ 4 + 1)
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D3 füllt die Lücke links.
D4 ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) = 3⋅ 30 = 10 ⋅ 9 = 10 ⋅(2 ⋅ 4 + 1)
Das ist für n = 4
Summe der Quadratzahlen
(
3⋅ 12 + 2 2 + 32 + 4 2
)
Zu den bisherigen Quadraten werden zwei neue dazugelegt.
Das dritte Quadrat…
…wird zerlegt in D4 und D3 .
Beide werden in Streifen geschnitten.
D3 füllt die Lücke links.
D4 ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) = 3⋅ 30 = 10 ⋅ 9 = 10 ⋅(2 ⋅ 4 + 1)
Das ist für n = 4
n
3⋅ ∑ k 2 = Dn ⋅(2n + 1)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4:
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
n
∑D
k
k=1
=
1
6
n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
n
∑D
k
k=1
=
1
3⋅2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
n
3⋅ ∑ Dk =
k=1
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
n
3⋅ ∑ Dk =
k=1
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
Summe der Dreieckszahlen
n
1
∑ Dk = 6 n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
k=1
Beispiel für n = 4: D1 + D2 + D3 + D4 = 1+ 3 + 6 + 10 = 20
n
3⋅ ∑ Dk =
k=1
1
⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6/ = 20
6/
1
2
n ⋅ ( n + 1) ⋅(n + 2)
n
3⋅ ∑ Dk =
k=1
Dn
⋅(n + 2)
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ D1 = 3⋅1 = 1⋅ 3 = 1⋅(1+ 2)
Das ist für n = 1
n
3⋅ ∑ Dk = Dn ⋅(2n + 1)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3) = 3⋅ 4 = 3⋅(2 + 2)
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3) = 3⋅ 4 = 3⋅(2 + 2)
Das ist für n = 2
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 ) = 3⋅ (1+ 3)
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3) = 3⋅ 4 = 3⋅(2 + 2)
Das ist für n = 2
n
3⋅ ∑ Dk = Dn ⋅(n + 2)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 ) = 3⋅10 = 6 ⋅ 5 = 6 ⋅(3 + 2)
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 ) = 3⋅10 = 6 ⋅ 5 = 6 ⋅(3 + 2)
Das ist für n = 3
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 ) = 3⋅10 = 6 ⋅ 5 = 6 ⋅(3 + 2)
Das ist für n = 3
n
3⋅ ∑ Dk = Dn ⋅(n + 2)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 ) = 3⋅ 20 = 10 ⋅ 6 = 10 ⋅(4 + 2)
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 ) = 3⋅ 20 = 10 ⋅ 6 = 10 ⋅(4 + 2)
Das ist für n = 4
Summe der Dreieckszahlen
3⋅ ( D1 + D2 + D3 + D4 ) = 3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 )
Zu den bisherigen Dreieckszahlen werden zwei neue dazugelegt.
Die dritte Dreieckszahl wird in Streifen geschnitten…
… und ergibt eine neue Schicht.
3⋅ (1+ 3 + 6 + 10 ) = 3⋅ 20 = 10 ⋅ 6 = 10 ⋅(4 + 2)
Das ist für n = 4
n
3⋅ ∑ Dk = Dn ⋅(n + 2)
k=1
Summe der Dreieckszahlen
Die$Summe$von$Dreieckszahlen$
!
Addiert!man!Dreieckszahlen,!so!erhält!man!die!Tetraederzahlen.!Für!die!explizite!Formel!
der!Tetraederzahlen!!
1
Tn = n n +1 n + 2 !
6
!
gibt!es!verschiedene!Herleitungen!und!Begründungen.!
Hier!wollen!wir!analog!zur!Idee!des!jungen!Gauß!(Summe!1!bis!100)!arbeiten.!
!
Vorüberlegung!
!
(
Tn = D1 + D2 + D3 + D4 + ... + Dn−1 + Dn
= !1! + !1! + !1! + !1! + ... + !1! + !1!
+
2! + !2! + !2! + ... + !2! + !2
+
+
!
3! + !3! + ... + !3! + !3
4! + ... + !4! + !4
...
n −1+ n −1
n
+
+
!
)(
)
!
!
= n⋅1
!
+ n −1 ⋅2
das!kann!man!
zeilenweise!
+ n − 2 ⋅3
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!
zusammenfassen!
+ n − 3 ⋅4
(
(
(
!!!!!...
(
+2⋅ n −1
!
Grafisch:!In!der!Abbildung!rechts!sehen!wir!den!
Tetraeder!der!Stufe!4.!Die!Schichten!von!links!hinten!
nach!rechts!vorn!sind!die!Dreieckszahlen!D4,!dahinter!
D3,!D2!und!D1.!
Betrachtet!man!die!Schichten!von!vorn!links!nach!
rechts!hinten,!so!hat!man!Rechtecke!der!Form!1x4,!2x3,!
3x2!und!4x1.!
!
1.Variante!
!
Nun!addieren!wir!dreimal!die!Summe!der!DreiecksS
zahlen,!ein!Mal!in!der!neu!hergeleiteten!Form!und!zwei!
Mal!in!der!direkten.!
Tn = n⋅1+ n −1 ⋅2+ n − 2 ⋅3+ n − 3 ⋅4 + ... + 2⋅ n −1 +1⋅n
(
) (
) (
)
(
)
Tn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!! + !!!!!!D3 !!!! + !!!!!!D4 !!!!! + ... + !!!!Dn−1 !!! + !!Dn
Tn = !D1 + !!!!!!!D2 !!!!! + !!!!!!D3 !!!! + !!!!!!D4 !!!!! + ... + !!!!Dn−1 !!! + !!Dn !
n
( ( ))
)
)
)
3Tn = ∑ ⎡ n − k −1 ⋅k + 2Dk ⎤
⎣
⎦
k=1
!
Erläuterung:!Jeder!Dreiersummand!in!einer!Spalte!hat!
die!Form,!wie!sie!in!der!eckigen!Klammer!hinter!dem!
Summenzeichen!steht.!
!
Grafisch:!Auf!jeder!!horizontalen!Ebene!werden!zwei!
Dreieckszahlen!addiert!(oben!D1,!ganz!unten!D4).!
!+1⋅n
(
)
Sie!formen!Rechtecke!der!Struktur! k ⋅ k +1 .!
!
Fügt!man!nun!den!dritten!Tetraeder!an,!so!addiert!
man!Rechtecke!der!Struktur! n − k +1 ⋅k .!Das!
!
Gesamtgebilde!besteht!aus!Dreiecken!(hier!Stufe!4),!
von!denen!n+2!(hier!6)!nebeneinander!liegen.!
!
Den!Term,!über!den!summiert!wird![eckige!Klammer],!
können!wir!zusammenfassen.
k k +1
n − k −1 ⋅k + 2Dk = n − k −1 ⋅k + 2
2
= n − k +1 ⋅k + k k +1
!
(
( ( ))
)
(
( ( ))
(
(
(
)
(
= k ⋅ n − k +1+ k +1
)
)
)
)
= k⋅ n+2
!
!
Setzen!wir!das!in!die!Summe!ein!und!lösen!den!Laufindex!k!auf,!erhalten!wir:!
n
(
)
3Tn = ∑ ⎡⎣k n + 2 ⎤⎦
k=1
)
(
) (
)(
) (
)
(
) (
)
= 1⋅ n + 2 + 2⋅ n + 2 + 3⋅ n + 2 + ... +(n −1)⋅ n + 2 + n⋅ n + 2
(
!
)
= n + 2 ⋅ 1+ 2+ 3+ 4 + ... +(n −1)+ n
!####
#"#####
$
!
n n +1
) (2 )
(
!
n*te!Dreieckszahl
= n+2 ⋅
!
Nun!muss!man!die!Gleichung!nur!noch!durch!3!teilen!und!leicht!ordnen.!
1
Tn = n n +1 n + 2 !
6
(
)(
)
!
!
!
!
2.Variante!
!
Diese!Variante!wollen!wir!grafisch!beginnen.!Man!
verwendet!die!gleichen!Teile!wie!bei!der!ersten!
Variante,!baut!sie!aber!etwas!anders!zusammen.!
!
Wieder!werden!zwei!Teile!zusammengefügt,!so!dass!
die!Dreiecke!in!jeder!horizontalen!Ebene!Rechtecke!
der!Struktur! k ⋅ k +1 !formen!(oben!1!x!2,!ganz!unten!
!
4!x!5).!
!
!
!
!
!
!
(
)
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
∑ k = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = Dn
k=1
2
n
3
Beispiele:
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
∑ k = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = Dn
k=1
2
n
3
Beispiele:
n=2:
2
∑k
k=1
3
= 1 + 2 = 1+ 8 = 9 = 3 = (1+ 2 )
3
3
2
2
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
∑ k = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = Dn
k=1
2
n
3
Beispiele:
n=2:
2
∑k
3
= 1 + 2 = 1+ 8 = 9 = 3 = (1+ 2 )
3
3
2
2
k=1
n=5:
5
3
3
3
3
3
3
k
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
∑
k=1
= 1+ 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = 15 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 )
2
2
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 = 9
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 = 9
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 = 9
1
1
Dreieck: A = gh = ⋅ 3⋅ 2 ⋅ (1+ 2 ) = 9
2
2
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 = 9
1
1
Dreieck: A = gh = ⋅ 3⋅ 2 ⋅ (1+ 2 ) = 9
2
2
1
1
n = 2 : A = gh = ⋅ ( n + 1) n ⋅ Dn = Dn 2
2
2
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 + 3⋅ 32 + 4 ⋅ 4 2 = 100
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 + 3⋅ 32 + 4 ⋅ 4 2 = 100
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 + 3⋅ 32 + 4 ⋅ 4 2 = 100
1
1
Dreieck: A = gh = ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ (1+ 2 + 3 + 4 ) = 10 ⋅10 = 100
2
2
Summe der Kubikzahlen
⎛ n ( n + 1) ⎞
2
k
=
=
D
∑ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
n
k=1
2
n
3
13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 1⋅12 + 2 ⋅ 2 2 + 3⋅ 32 + 4 ⋅ 4 2 = 100
1
Dreieck: A = gh =
2
1
n = 4 : A = gh =
2
1
⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ (1+ 2 + 3 + 4 ) = 10 ⋅10 = 100
2
1
⋅ ( n + 1) n ⋅ Dn = Dn 2
2
Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
Beweis zum Fingerrechnen
10
7
5
5
8
10
10
7
5
<abgeknickt> <––– gestreckt ––>
Beweis zum Fingerrechnen
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
5
8
10
10
7
5
<abgeknickt> <––– gestreckt ––>
Beweis zum Fingerrechnen
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
5
8
10
10
7
5
<abgeknickt> <––– gestreckt ––>
Beweis zum Fingerrechnen
Behauptung
grün
+ gelb
+ rot
= Ergebnis
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
5
8
10
10
7
5
<abgeknickt> <––– gestreckt ––>
Beweis zum Fingerrechnen
Behauptung
grün
+ gelb
+ rot
= Ergebnis
<–– abgeknickt ––> <gestreckt>
5
8
10
Verallgemeinerung
2H
b
H
H
a
2H
2H
b
H
<nach unten> <–– nach oben -–>
Verallgemeinerung
<—nach <–– nach unten -–> oben—>
H
a
2H
2H
b
H
<nach unten> <–– nach oben -–>
Verallgemeinerung
<—nach <–– nach unten -–> oben—>
H
a
2H
2H
b
H
<nach unten> <–– nach oben -–>
Verallgemeinerung
Behauptung
grün
+ gelb
+ rot
= Ergebnis
<—nach <–– nach unten -–> oben—>
H
a
2H
2H
b
H
<nach unten> <–– nach oben -–>
Verallgemeinerung
Behauptung
grün
+ gelb
+ rot
= Ergebnis
<—nach <–– nach unten -–> oben—>
H
a
2H
Quadratzahlen und Teilbarkeit durch 4