Überblickswissen Reelle Zahlen

Überblickswissen: Rationale und Reelle Zahlen
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
21² = 441
22² = 484
23² = 529
24² = 576
25² = 625
Quadratzahlen:
Das Quadrat einer Zahl ist das Produkt der Zahl multipliziert mit sich selbst.
5 2 = 5 ⋅ 5 = 25
Beispiel:
Wichtig: Bei Quadratzahlen gilt: Das Quadrat (²) bezieht sich immer nur auf die Zahl, die
direkt unter ihr steht. Deshalb gilt:
a2
b
=
a2
b
, aber:
()
a 2
b
=
a2
b2
Will man den ganzen Bruch quadrieren, so muss er in Klammern stehen!
Für die Rechnung gilt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
()
3 2
4
Beispiel:
=
32
42
=
9
16
Wird eine Summe oder die Differenz zweier Zahlen quadriert, müssen die binomischen
Formeln beachtet werden!
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(
und a − b
)2 = a 2 − 2ab + b 2
Wurzeln:
Die Wurzel einer Zahl a ist diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
a = x; x⋅x = a
9 = 3 , denn 3 ⋅ 3 = 9
Beispiel:
Wichtig: Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzeln ziehen!
Für Wurzeln gilt: Die Wurzel aus dem Produkt zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der
Wurzeln der Zahlen:
a⋅b = a ⋅ b
3⋅4 = 3 ⋅ 4
Beispiel:
Die Wurzel aus dem Quotienten zweier Zahlen ist gleich dem Quotienten der
Wurzeln der Zahlen:
a
b
=
a
b
3
4
Beispiel:
=
3
4
Tipp: Beim Wurzelziehen aus Zahlen hilft oft die Zerlegung in bekannte
Quadratzahlen!
Beispiele:
0,64 =
=
64
N = Natürliche Zahlen, Z = Ganze Zahlen,
Q = Rationale Zahlen,
I = Irrationale Zahlen, R = Reelle Zahlen
= = 0,8
100
32400 = 324 ⋅ 100 = 324 ⋅ 100 = 18 ⋅ 10 = 180
64
100
8
10
Die Wurzeln vieler Zahlen zählen zu den irrationalen Zahlen. Sie lassen sich nicht als Bruch zweier ganzer
Zahlen darstellen und bilden nicht abbrechende und nichtperiodische Dezimalbrüche.
2 = 1,41421356 2373095048 8016887242 097...
Beispiel:
Perioden:
Unter Perioden versteht man Dezimalbrüche, bei denen sich eine Zahl oder eine Zahlenfolge ab einer
bestimmten Stelle hinter dem Komma unendlich wiederholt.
Beispiel: 0,2434343434 34... , man schreibt: 0,243 , man sagt: Null Komma Zwei Periode Vier Drei.
Jeder periodische Dezimalbruch lässt sich in einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen umwandeln, denn sie
gehören alle zu den rationalen Zahlen. Beim Umwandeln spielt der Nenner 9 eine wichtige Rolle.
Bei der Umwandlung von nicht reinperiodischen Dezimalbrüchen hilft es, die Zahl zu zerlegen.
Beispiele:
0, 7 = 79 ; 0,07 = 0, 7 : 10 = 79 ⋅ 101 =
0, 37 =
37
99
7
90
; 0,37 = 0, 7 : 10 + 0,3 =
; 2,4137 = 0, 37 : 100 + 2,41 =
37
99
1
241
⋅ 100
+ 100
=
37
9900
7
9
⋅ 101 + 103 =
241
+ 100
=
37
9900
+
7
90
+ 103 =
23859
9900
=
7
90
23896
9900
+
27
90
=
34
90