Interferometer und Beugung

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK
Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften
Universität Hamburg, Jungiusstraße 11
Interferometer und Beugung
1. Motivation
In diesem Versuch sollen mit Hilfe eines Lasers verschiedene Beugungserscheinungen untersucht werden. Weiterhin ist ein Interferometer aufzubauen und mit einer speziellen Anwendung zu testen. Zuletzt wird ein Aufbau zur optischen Nachrichtenübertragung entwickelt.
2. Theorie
2.1 Beugung und Interferenz
2.1.1 Fraunhofersche Beugung an einem rechteckigen Spalt
Im ersten Teil des Versuches sollen verschiedene Beugungsphänomene betrachtet und erklärt
werden. Dazu wird zunächst die Beugung an einem schmalen Spalt beobachtet. Um die mathematische Behandlung dieses Problems zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die einfallende Welle senkrecht auf den Spalt trifft. Dabei wird nach dem Huygensschen Prinzip jeder
Punkt der Ebene zum Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle, die wir gebeugte Welle
nennen. Betrachten wir die gebeugten Wellen nun unter verschiedenen Winkeln  in Bezug
auf die Einfallsrichtung, so stellen wir fest, dass die Intensität in bestimmten Richtungen Null
ist. Diese Richtung wird für große Abstände vom Spalt (Fraunhofer-Bedingung) durch die
Beziehung
b  sin  n   mit n  0
(1)
beschrieben, wobei n eine positive oder negative ganze Zahl ist, b die Spaltbreite und  die
Wellenlänge der einfallenden Welle.
Abbildung 1: Beugung am Spalt
Der Wert n = 0 wird deshalb nicht zugelassen, da er einer Beobachtung in Einfallsrichtung
entspricht, was ein Intensitätsmaximum zur Folge hätte.
Abbildung 2: Intensitätsverteilung des Beugungsmusters an einem langen, engen Spalt
Aus Gl.1 erhält man also Intensitätsminima für
sin  

b

2
3
 
b
b
(2)
Zwischen den Intensitätsminima liegen Maxima, deren Intensität mit zunehmender Beugungsordnung n abnimmt. In Abb. 2 ist der Intensitätsverlauf der gebeugten Wellen  in
Abhängigkeit vom Winkel dargestellt.
Wenn die Wellenlänge  sehr klein gegen die Spaltbreite b ist, so ergibt sich für die ersten
Intensitätsminima zu beiden Seiten des Hauptmaximums ein Winkel
  sin  

b
(3)
den man erhält, wenn man n  ± 1 in (1) einsetzt. Anmerkung: Die Näherung  n  sin n   b
gilt allgemein für n  b
2.1.2 Fraunhofersche Beugung an zwei parallelen Spalten
Im nächsten Fall untersuchen wir, was passiert, wenn wir Licht durch zwei Spalte der Breite
b und Abstand a hindurchschicken. Betrachten wir wieder eine beliebige Richtung, die
durch den Winkel  charakterisiert wird, so sehen wir zwei Sätze gebeugter Wellen. Wir beobachten also die Interferenz dieser Wellen, genauer gesagt liegt eine Kombination aus Beugung und Interferenz vor.
Abbildung 3: Beugung an zwei parallelen Spalten
Man erhält in diesem Fall für die Maxima
a  sin  n
(4)
wobei a den Abstand zwischen den Spalten bezeichnet und für die Minima ergibt sich
1

a  sin   n    
2

(5)
Es ist als Ergebnis also festzuhalten, dass die Intensitätsverteilung des Interferenzmusters
zweier Spalte durch die Intensitätsverteilung für das Beugungsmuster an einem einzigen Spalt
moduliert wird.
Abbildung 4: Intensitätsverteilung, die durch zwei parallele, lange, enge Spalte erzeugt wird
Die Nullpunkte des Beugungsmusters sind dann durch
b  sin  n
(6)
gegeben, wobei b die Spaltbreite und n = 1, 2,... . Da a größer als b ist, haben die Nullpunkte des Beugungsmusters einen größeren Abstand voneinander als die Nullpunkte des
Interferenzmusters. Deshalb sind bei einer Beugung an zwei Spalten die hellen Streifen auch
viel schmaler und dichter beieinander als die, die durch einen einzigen Spalt erzeugt werden.
2.1.3 Beugung am Gitter
Der nächste Schritt zur Untersuchung von Beugungserscheinungen ist die Betrachtung von
vielen parallelen Spalten, einem Beugungsgitter. Das Gitter besteht aus einer Vielzahl (N) von
schmalen parallelen Stegen oder Gitteröffnungen gleicher Breite, die alle den gleichen Abstand voneinander haben (Gitterkonstante g ).
Wird nun monochromatisches Licht durch so ein Gitter geschickt, wird man auf dem Schirm,
im Falle sehr vieler Spalte, eine Reihe schmaler heller Streifen sehen, die den Hauptmaxima
des Interferenzmusters entsprechen.
Fällt das Licht senkrecht auf das Gitter, so erhält man für die Richtung der Hauptmaxima des
Interferenzmusters ( g : Gitterkonstante)
g  sin  n
(7)
Als Erklärung hierfür kann man vereinfacht wieder das Huygensche Prinzip anwenden. Dabei
sind die Gitteröffnungen Ausgangspunkte phasengleicher Elementarwellen deren Einhüllende
verschiedene Wellenfronten ergeben. Die Wellennormalen dieser Wellenfronten zeigen in die
Richtung der entstehenden Wellenbündel, die das Gitter in diesen Richtungen verlassen und
die scharfen Linien auf dem Schirm erzeugen.
Die dabei auftretende Abschwächung in der Intensität der Hauptmaxima kommt durch die
zusätzlich auftretende Beugung zustande. Zwischen den Hauptmaxima liegen bei der Beugung am Gitter noch ( N  2 ) Nebenmaxima (Doppelspalt: N  2 , also keine Nebenmaxima).
Abbildung 5: Intensitätsverteilung erzeugt von einem Beugungsgitters bei senkrechtem Lichteinfall (a bezeichnet hier die Gitterkonstante g)
Zur Durchführung des Versuchs wird ein sog. Kreuzgitter verwendet. Dieses entspricht zwei
normalen Gittern, die um 90° zueinander gedreht sind. Für das Beugungsmuster ergibt sich
somit nicht nur in x- sondern auch in y-Richtung eine Verteilung, so dass man ein Punktgitter
aus Interferenzmaxima erhält.
2.2 Michelson-Interferometer
Ein Interferometer ist ein optisches Instrument, dessen Messprinzip auf der Interferenz des
Lichtes beruht. Außer zur Winkel- und Längenmessung werden Interferometer besonders in
der Spektroskopie eingesetzt. Die wichtigsten Interferometer sind hierbei das MichelsonInterferometer, das Mach-Zehnder-Interferometer und das Fabry-Pérot-Interferometer.
Das 1881 von Michelson entwickelte Interferometer wurde zunächst eingesetzt, um die Existenz des lichtführenden Äthers zu testen, wobei dessen Existenz widerlegt wurde (MichelsonMorley-Experiment). Es wurde gemessen, dass die Lichtgeschwindigkeit eine vom Ort und
von der Relativgeschwindigkeit zwischen Lichtquelle und Beobachter unabhängige, konstante
Größe ist.
Abbildung 6: Aufbau und Funktionsweise eines Michelson-Interferometers
Die Abbildung 6 zeigt den prinzipiellen Aufbau: Der eintreffende Lichtstrahl wird durch den
Strahlteiler in zwei Teilstrahlen aufgespalten, die nachdem sie an den beiden Spiegeln reflektiert wurden, wieder am Strahlteiler überlagert und auf einen Schirm abgebildet werden. Ist
die Differenz  s des optischen Weges in beiden Zweigen exakt gleich oder ein Vielfaches
der Lichtwellenlänge  ,
s  n n  01 2
(8)
so überlagern sich die Teilstrahlen konstruktiv (konstruktive Interferenz  große Intensität).
Im Falle von
s  (2n  1)

(9)
2
löschen sich die Teilstrahlen aus (destruktive Interferenz). Die Interferenz zeigt also empfindlich an, wenn die Länge eines Seitenarmes um  /4 geändert wird (L=  /4 also  s=  /2).
Wird einer der Spiegel um eine bekannte Strecke L bewegt, so kann man aufgrund der gezählten Interferenzmaxima die Wellenlänge des eingestrahlten Lichtes bestimmen. Umgekehrt
kann die Längenänderung hochpräzise ausgemessen werden, wenn die Wellenlänge  (hier
von einem Laser) bekannt ist. Durch Mehrfachreflexion in den einzelnen Armen kann die
Messgenauigkeit gesteigert werden.
2.3 Magnetostriktion
Jeder Körper aus einem ferro- oder ferrimagnetischen Werkstoff erfährt beim Ummagnetisieren eine Gestaltsänderung, d.h. eine Änderung seiner Geometrie. Diese Erscheinung wird als
Magnetostriktion bzw. magnetostriktiver Effekt bezeichnet.
Die Magnetostriktion ist bedingt durch die Änderung der Magnetisierungsrichtungen der
Weiß´schen Bezirke. Die Magnetostriktion ist bei einem Einkristall in verschiedenen Achsrichtungen unterschiedlich groß. Das anisotrope Verhalten von Kristallen zeigt sich auch bei
diesem Effekt. Die Magnetostriktion tritt jedoch ebenfalls bei polykristallinen Ferro- und Ferrimagnetika auf. Als Maß für die Größe der Magnetostriktion wird die relative Längenänderung L  L0 gewählt. Dieser Quotient wird als Magnetostriktionskoeffizient bezeichnet.
Der Magnetostriktionkoeffizient ist eine feldstärkenabhängige Werkstoffkenngröße.
Der Magnetostriktionskoeffizient kann bei den einzelnen Werkstoffen sowohl positiv als negativ sein. Werkstoffe die eine starke Magnetostriktion zeigen, sind u.a. die Legierungen FeNi, Fe-Co und Fe-Al sowie die Ferrite.
2.4 Laser
Ein Laser (Abk. für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) ist eine Lichtquelle, die Strahlung mit hoher spektraler Dichte in einen sehr kleinen Raumwinkel emittiert.
Bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung (Photonen) mit Materie unterscheidet man zwischen Absorption und Emission.
Trifft ein Photon auf ein Ion und gibt dabei seine Energie an dieses ab, so dass das Ion einen
höheren energetischen Zustand annimmt, so spricht man von Absorption (Abbildung 7).
Abbildung 7: Schematische Darstellung aller strahlenden intraionischen Prozesse
Befindet sich ein Ion in einem angeregten Zustand E2  E1 , so ist es stets bestrebt in den Zustand kleinster Energie E1 zurückzukehren. Das Ion kann unter Aussendung eines Photons
der Energie
E  E2  E1   
(10)
in den Zustand E1 relaxieren.
Der Zustand kleinster potentieller Energie wird im Festkörper als Grundzustand bezeichnet
und ist im ungestörten Fall am stärksten besetzt. Entspricht die Energie eines Photons exakt
dem Energieunterschied zwischen dem Grundzustand und einem energetisch höherliegenden
Zustand, so ist eine Absorption des Photons möglich. Das Ion geht dabei in einen angeregten
Zustand über.
Bei der stimulierten Emission induziert ein eingestrahltes Photon mit der Energie
E  E2  E1 die Emission eines weiteren, in Ausbreitungsrichtung, Frequenz, Phase und
Polarisation identischen, also kohärenten Photons.
Während bei konventionellen Strahlungsquellen (Glühlampen, Gasentladungslampen) die
Strahlung durch spontane Emission entsteht und somit in einen großen Raumwinkel und
spektral breitbandig emittiert wird, findet beim Laser vorrangig stimulierte Emission statt.
Die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Übergänge in Abb. 7 hängt von der Besetzung n 1
und n 2 der Energieniveaus und von der Intensität des Strahlungsfeldes ab. Damit die stimulierte Emission größer als die Absorption ist, muss n 2  n 1 sein, d.h. das energetisch höhere
Niveau 2 muss stärker besetzt sein als das niedrigere Niveau 1.
Weil bei einer thermischen Besetzung nach dem Boltzmannschen Energieverteilungsgesetz
stets n 1  n 2 gilt, wird die Situation n 2  n 1 als Besetzungsinversion bezeichnet. Es ist
nicht möglich, durch Strahlung Besetzungsinversion in einem 2-Niveau-System (Abb. 7) zu
erreichen; es muss sich mindestens um ein 3-Niveau-System (Abb. 8) oder besser um ein 4Niveau-System handeln. Wenn der Übergang 3 nach 2 sehr schnell ist, reichert sich im Niveau 2 eine große Besetzung an. Das Niveau 1 sollte im Idealfall ebenfalls wieder schnell
entleert werden.
Abbildung 8:Schematische Darstellung eines 4-Niveau- (links) und 3-Niveau-Lasers (rechts).
P
und
L
ste-
hen dabei für die Pump- bzw. Laserwellenlänge.
Abbildung 9: Schematische Darstellung eines Laser-Resonators.
Der prinzipielle Aufbau eines Lasers besteht aus einem optischen Verstärker und einem Laserresonator (Abb. 9). Durch Einkoppeln von Energie wird Besetzungsinversion erzeugt. Zunächst findet spontane Emission statt, wobei auch einige Photonen entstehen, die durch die
Spiegel des Resonators reflektiert werden, sich dann in dem angeregten Medium vervielfachen und so dafür sorgen, dass die stimulierte Emission dominant gegenüber der spontanen
ist.
Damit ein Laser kohärente Strahlung emittiert, muß die Verstärkung größer sein als die Verluste, welche durch resonatorinterne Reflexion und Absorption sowie durch den Auskoppelspiegel verursacht werden.
2.5 Kerr-Effekt
Zur elektrooptischen Modulation kann der Kerr-Effekt ausgenutzt werden. Dabei ändert sich
unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes die Doppelbrechung des Mediums (z.b. Nitrobenzol). Es treten daraufhin senkrecht zur Strahlrichtung zwei Polarisationsrichtungen auf, für
die sich die Lichtgeschwindigkeit und der Brechungsindex unterscheiden. Der Unterschied im
Brechungsindex n ist dem Quadrat der anliegenden Feldstärke E proportional (quadratischer elektrooptischer Effekt).
(11)
n  K    E 2
wobei K die Kerr-Konstante ist.
Durch das Anlegen eines elektrischen Feldes (z.b. Spannung eines Lautsprecherausgangs) an
eine Kerr-Zelle wird also die Polarisation des Strahls umso stärker gedreht, je größer die angelegte Spannung ist. In Kombination mit einem Polarisator und einem Analysator kann somit recht einfach eine Amplitudenmodulation vorgenommen werden (Abb. 10).
Der Effekt soll benutzt werden, um einen Aufbau zur optischen Nachrichtenübertragung zu
erstellen.
Abbildung 10: Schematische Darstellung einer Kerr-Zelle
3. Durchführung
Verwendet wird ein He-Ne-Laser mit einer Wellenlänge von  = 632.8 nm.
Achtung: Auch bei Lasern dieser niedrigen Leistungsklasse darf nicht in den Primärstrahl
geschaut werden!
1.
Vermessen von Beugungsbildern
a) Beugung am Einfachspalt (Spaltbreite bestimmen): Minima ausmessen
b) Beugung am Doppelspalt (Abstand der Spalte bestimmen): Minima ausmessen.
c) Beugung am Gitter (Gitterkonstante bestimmen): Maxima ausmessen.
Jeweils für drei Abstände: Objekt - Schirm
1.
2.
Die Magnetostriktion soll mit einem Michelson-Interferometer nachgewiesen werden.
Als Ergebnis gebe man die relative Längenänderung L  L pro Ampere an.
Um eine weitere Anwendungsmöglichkeit eines Lasers vorzustellen, soll ein Experiment zur optischen Nachrichtenübertragung aufgebaut werden.
4. Begriffe zur Vorbereitung






Was ist das Besondere an einem Laser (Monochromasie, Kohärenz)?
Wie erklärt man Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter?
Wie funktioniert ein Michelson-Interferometer?
Was ist Magnetostriktion?
Was ist Polarisation?
Was ist eine Kerr-Zelle (Kerr-Effekt)?
5. Anfertigen des Versuchsprotokolls



Einleitung (Motivation, Versuchsziel)
Theoretische Grundlagen (Einführung aller relevanten Messgrößen sowie Herleitung
aller verwendeten Formeln)
Durchführung (Beschreibung des Versuchsaufbaus, Skizze, Beschreibung der Aufgaben)


Ergebnisse (Messwerttabellen, Graphen) + Diskussion der Ergebnisse (Fehlerrechung,
mögliche Fehlerquellen, Vergleich der erhaltenen Werte mit Literaturangaben falls
möglich)
Zusammenfassung