13 – Licht: Reflexion und Brechung Licht ist eine EMWelle und

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13 – Licht: Reflexion und Brechung
Licht ist eine EM­Welle und unser Seheindruck basiert auf der im Lichtfeld vorhandenen Energie, die auf die Sehzellen unserer Netzhaut übertragen wird – und zwar je nach Lichtfarbe eine verschiedene Energiemenge. Im nachgeschalteten visuellen Kortex entsteht unser (sehr subjektiver) Farbeindruck.
Unter welchen Bedingungen aber sehen wir ein Objekt? ­ Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
Das Objekt ist selbst eine Lichtquelle
● Licht wird vom Objekt in unser Auge reflektiert.
●
Der zweite Punkt wird uns im folgenden interessieren.
13.1 – Das Strahlenmodell des Lichts
In sehr vielen Situation lässt sich Evidenz dafür finden, dass folgendes gilt:
Licht breitet sich geradlinig aus.
Darauf basiert das Strahlenmodell der Lichtausbreitung. Ein Lichtstrahl möge dabei ein (beliebig) enges “Lichtbündel” darstellen. Der Lichtstrahl ist stets geradlinig. Licht erreicht in diesem Modell dann unser Auge, wenn von einem Objektpunkt ausgehend ein Lichtstrahl unser Auge trifft.
Die Behandlung optischer Phänomene im Strahlenmodell wird auch geometrische Optik genannt. Das Modell trägt dem Wellencharakter des Lichts in keinster Weise Rechnung, ist aber für viele Probleme hinreichend genau. Seine Grenzen werden wir später diskutieren.
13.2 – Lichtgeschwindigkeit und Brechungsindex
Die erste erfolgreiche Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit wurde von Ole Roemer (1644­
1710), einem dänischen Astronom, durchgeführt. Er maß dazu die Umlaufperiode eines der Jupitermonde (Io) in Abhängigkeit der Relativstellung von Erde und Jupiter. Bewegte sich die Erde von Jupiter entfernte, war die Io­Periode geringfügig länger. Bewegte sich die Erde auf Jupiter zu, so war sie geringfügig kürzer. Dies assoziierte Roemer mit einer endlichen Geschwindigkeit des Lichts, das von Io ausgehend auf die Erde gelangt. Seit damals sind die Messmethoden erheblich verfeinert worden.
Der heute akzeptierte Wert für die Lichtgeschwindigkeit ist
c = 2,99792458⋅108 m / s
In (dielektrischen) Medien ist die Lichtgeschwindigkeit v reduziert. Dies wird durch den Brechungsindex n zum Ausdruck gebracht
n=
c
v
In Diamant ist der Brechungsindex (für sichtbares Licht) n = 2,42, für Gläser liegt er im Bereich 1,4 bis 1,6. n ist im allgemeinen von der Lichtwellenlänge abhängig. Dazu später mehr.
13.3 – Reflexion
An der Grenzfläche zwischen zwei Medien wird ein Lichtstrahl ganz oder teilweise reflektiert.
Diese Reflexion erfolgt in der selben Weise, wie die eines elastisch an einer Wand reflektierten Balls, d.h.
Einfallswinkel  = Ausfallswinkel 
α
β
Trifft Licht auf eine (auch mikroskopisch) rauhe Oberfläche, so wird es in alle Richtungen reflektiert. Man nennt dies diffuse Reflexion. Im Gegensatz dazu liefert ein Spiegel ein ideales Spiegelbild (spiegelnde Reflexion), weil seine Oberfläche glatt ist.
Wie entsteht das Bild “in” einem Spiegel betrachtet im Rahmen des Strahlenmodells?
­ Wir betrachten den Spiegel von der Seite und zeichnen die von seiner Oberflächen reflektierten Strahlen.
Wir betrachten Strahlen, die vom obersten und untersten Punkt des Objekts ausgehen, reflektiert werden und ins Auge gelangen. Im Gehirn erfolgt die Interpretation des Gesehenen derart, dass die Strahlen als geradlinig von einem Punkt kommmend erscheinen. Zu jedem Objektpunkt, von dem Strahlen auszugehen scheinen gehört ein entsprechender Bildpunkt.
Auge
B'
B
Spiegelbild
Objekt
D
A
dO
C
dB
Betrachten wir zwei Strahlen, die von A ausgehen, bei B bzw. B' reflektiert werden und ins Auge gelangen. Die rückwärtige Verlängerung der reflektierten Strahlen trifft sich in C. Nun sind die zwei Dreiecke ADB und CBD kongruent und damit die Strecken AD und CD gleich lang.
Wir halten fest:
Die Bildweite dB (Abstand Spiegel:Spiegelbild) ist bei der Reflexion am Spiegel
gleich der Objektweite dO (Abstand Objekt­Spiegel).
Das Licht kommt keineswegs tatsächlich von unserem konstruierten Bildpunkt, schließlich kann Licht den Spiegel ja gar nicht durchdringen. Es handelt sich vielmehr um eine Konstruktion zur Ermittelung des Bildeindrucks, den das Gehirn erzeugt. Deshalb kann auch auf einer Mattscheibe am Ort des Auges kein Bild sichtbar werden. Es bedarf vielmehr der abbildenden Eigenschaften des Auges (oder eines Objektivs, wenn man das Bild fotografieren möchte). Ein solches Bild wird virtuell genannt.
Bei einem reellen Bild hingegen geht das Licht tatsächlich durch das Bild und demnach kann es direkt auf einer Mattscheibe abgebildet werden. Dazu gleich mehr im Abschnitt über gekrümmte Spiegel.
Hörsaal­Übung: Wie hoch muss ein Spiegel sein, und wie muss er angebracht werden,
damit eine 1,6 m große Frau sich vollständig darin sehen kann?
Welche Höhe müsste ein Spiegel haben, damit sich Personen zwischen 1,5 m und 2 m
Körpergröße darin vollständig sehen könnten? Wie hoch müsste dieser angebracht sein?
13.4 – Bildentstehung in sphärischen Spiegeln
Gekrümmte Spiegel haben meist eine sphärische (kugelflächenartige) Form. Ein Spiegel wird konvex genannt, wenn sich die Spiegelfläche dem Beobachter hinwölbt. Wölbt sie sich weg, wird der Spiegel konkav genannt.
Wie entsteht das Bild in einem Spiegel? ­ Dazu betrachten wir zunächst das Bild eines sehr weit von einem konkaven Spiegel wegstehenden Objektes (bspw. die Sonne). Wegen des großen Abstandes sind die auf den Spiegel treffenden Strahlen parallel.

Optische Achse, Hauptachse
Die Anwendung des Reflexionsgesetzes ergibt, dass sich von der Hauptachse (=Symmetrieachse) des Spiegels verschieden weit entfernte Strahlen nicht in einem Punkt treffen. Ein scharfes Bild unseres Objektes in großem Abstand kann deshalb so nicht entstehen.
Wenn allerdings der Spiegel nur einen sehr kleinen Kugelausschnitt darstellt, die reflektierten Strahlen und die zugehörigen einfallenden Strahlen also einen kleinen Winkel  einschließen, dann werden alle Strahlen (in guter Näherung) in einem Punkt auftreffen – dem Brennpunkt des Spiegels. Der Abstand zwischen dem Brennpunkt und dem Zentrumspunkt A des Spiegels wird Brennweite f genannt.
B



C
F
f
A
r
Betrachten wir also nur solche Strahlen, für die  sehr klein ist.
Ein Strahl trifft den Spiegel bei B. Die Winkelhalbierende zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl trifft im Krümmungsmittelpunkt bei C die Hauptachse des Spiegels. CB steht senkrecht auf der Spiegelfläche. Die Strecken CF und FB sind gleich lang.
Wenn  sehr klein ist gilt in guter Näherung FA = FB und damit auch FA = FC. Da FA = f und CA = 2FA = r folgt daraus
f=
r
2
Das gilt auch für alle anderen achsparallelen Strahlen, solang für diese  klein ist. Also werden alle reflektierten Strahlen im Brennpunkt vereint.
Das Bild wird im Spiegel immer unschärfer, je stärker die Bedingung eines kleinen  verletzt wird. Man bezeichnet diesen Bildfehler als sphärische Aberration. Ein Parabolspiegel hingegen wird alle achsparallelen Strahlen in exakt einem Punkt vereinen. Solche Spiegel sind aber schwer herstellbar und werden im allgemeinen nicht eingesetzt – ausser für teure Spiegelteleskope in der Astronomie.
Wir beschränken uns im folgenden auf Kugelspiegel mit der Einschränkung kleiner .
Wie ist das Bild für ein Objekt zu konstruieren, das nicht im unendlichen steht?
O'
C
B
Bild
F
hO
A
O
hB
B'
f
dO
dB
B
In der Abbildung sind zwei charakteristische Strahlen für einen Objektpunkt gezeichnet.
1. Ein achsenparalleler Strahl, der nach Reflexion durch den Brennpunkt läuft.
2. Ein durch den Brennpunkt laufenden Strahl, der nach Reflexion achsenparallel läuft.
Der Schnittpunkt der Strahlen ergibt den zugehörigen Bildpunkt.
Ein dritter charakteristischer Strahl ist der, der in sich selbst reflektiert wird und deshalb durch den Krümmungsmittelpunkt C geht. Auch dieser geht durch den Bildpunkt.
Zusätzlich ist noch der Strahl gezeigt, der bei A reflektiert wird (gestrichelt).
Aus der Abbildung können wir durch die Ähnlichkeit der Dreiecke BB'A und OO'A schließen:
hO d 0
=
hB d B
Dabei stehen hO und hB für die Objekt­ und Gegenstandsgröße.
Die Dreiecke OO'F und AFB sind (für kleine ) ebenfalls ähnlich, so dass gilt
hO d O− f
=
hB
f
Diese beiden Gleichungen haben identische linke Seiten und es gilt deshalb
d o d O− f
=
dB
f
Wir formen dies um und erhalten Abbildungsgleichung für den sphärischen Spiegel
1
1
1
 =
dO d B f
Die Vergrößerung m des Spiegels wird als das Verhältnis Bildgröße zu Objektgröße definiert. Wir erhalten dafür
hB
dB
m = =−
hO
dO
Das negative Vorzeichen ist Konvention. Wir müssen eine Vorzeichenkonvention festlegen, um eine korrekte Lage und Größe des Bildes zu erhalten.
Unsere Vorzeichenkonvention ist die folgende:
Die Bildgröße hB ist positiv, wenn das Bild die gleiche Orientierung wie das Objekt hat. Andernfalls ist die Bildgröße negativ. hO wird dabei positiv angenommen.
● Bildweite und Gegenstandsweite sind positiv, wenn Objekt und Bild auf der reflektierende Seite des Spiegels stehen. Stehen Bild oder Objekt hinter dem Spiegel, so sind die entsprechenden Längen dB oder dO negativ.
●
Demzufolge bedeutet eine negative Vergrößerung, dass das Bild auf dem Kopf steht, wenn das Objekt aufrecht steht.
Die Abbildungsgleichung gilt auch für einen ebenen Spiegel. In diesem Fall ist f = .
Auch kann unsere Analyse für konvexe Spiegel angewendet werden, wenn die Brennweite f negativ angenommen wird.
Hörsaal­Übung: Das Bild eines Objektes vor einem Konvexspiegel ist zu konstruieren
und zu zeigen, dass die Abbildungsgleichung mit f < 0 gültig ist.
Problemlösung – Sphärische Spiegel
1. Zeichne ein Diagramm des Strahlenverlaufs, auch wenn die Lösung der Aufgabe
unter Verwendung der Abbildungsgleichung durchgeführt. Die Zeichnung dient als
Referenz. Verwende dazu mindestens zwei charakteristische und einfach zu zeichnende
Strahlenverläufe.
h B −d B
1
1
1
2. Verwende die Zusammenhänge
und m = =
 =
hO
dB
dO d B f
3. Berücksichtige die Vorzeichenkonvention!
13.5 – Brechung: Snellsches Gesetz
Beim Übergang von Licht zwischen zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindizes wird ein Teil des Lichts an der Grenzfläche reflektiert, ein anderer Teil tritt in das andere Medium ein unter Änderung seiner Ausbreitungsrichtung. Diese Ablenkung von der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung wird Brechung genannt.
In der Abbildung trifft das Licht unter dem Winkel 1 (gemessen zum Lot) auf die Grenzfläche auf. Medium 1
Es tritt unter dem Winkel 2 in das Medium 2 hinein gebrochen. Gemäß der Zeichnung hat das Licht im Medium 2 die kleinere (Phasen­) Geschwindigkeit. Dies gilt immer:
α1
n1
Medium 2
n2
α
Licht wird zum Lot hin gebrochen, wenn es beim Übergang in das andere Medium eine Reduktion der Lichtgeschwindigkeit erfährt. Im anderen Fall wird es vom Lot weg gebrochen.
Willebrord Snell (1591­1626) hat dies wie folgt formuliert:
n1 sin 1 = n 2 sin  2 
Wir werden später das Snellsche Gesetz, ebenso wie das Reflexionsgesetz, aus der Wellentheorie des Lichts ableiten.
Lichtbrechung ist für viele optische Pekularitäten verantwortlich, wie bspw. das scheinbare Abknicken eines Stifts, der in ein mit Wasser gefülltes Glas taucht.
Hörsaal­Übung: Wie ist der Strahlenverlauf beim Lichtdurchgang von Luft durch eine
planparallele Glasplatte mit Brechungsindex n.
13.6 – Sichtbares Spektrum und Dispersion
Licht hat die (offensichtliche) Eigenschaft von Farbe. Farbe ist Ausdruck der verschiedenen in einer Lichtwelle vorhandenen Wellenlängen bzw. Frequenzen des EM­Spektrums. Sichtbares Licht deckt den Wellenlängenbereich von ca. 400 nm bis 750 nm ab. Das längerwellige Licht ist rot, das kurzwelligere Licht blau.
Mittels eines Prismas lässt sich das Spektrum von Licht “aufspreizen”. Dabei wird ausgenutzt, dass der Brechungsindex von bspw. Glas von der Lichtwellenlänge abhängt. Dieses Phänomen nennt man Dispersion. Es wird in einem Prismenspektralapparat ausgenutzt, um die in dem Licht einer Lichtquelle vorhandenen spektralen Komponenten zu identifizieren.
Spektrum des Lichts einer Hg­haltigen Leuchtstoffröhre
Dispersion im Prisma
Wie anhand der Dispersion im Prisma gezeigt, wird kurzwelliges Licht stärker gebrochen, als langwelliges Licht. n(f) ist also eine in der Regel mit der Frequenz (monoton) wachsende Funktion. Der Regenbogen ist eine Folge der Dispersion. Die kurzwelligen Anteile im (weissen) Sonnenlicht werden in Regentropfen stärker gebrochen, als die langwelligen Anteile. Dies führt in Verbindung mit der fokussierenden Wirkung durch die Kugelform der Regentropfen zu folgendem Phänomen: Schaut ein Beobachter mit der Sonne im Rücken vom Horizont aus nach oben unter einem Winkel von 40°, so sieht er vornehmlich den blauen Lichtanteil. Hebt er den Blick weiter, so folgen grüne, gelbe, orange und rote Lichtanteile. Bei 42° ist der Rotanteil am größten. Alle Punkte am Himmel, die unter dem gleichen Winkel zum Auge liegen, zeigen den gleichen Farbton. Der Regenbogen bildet deshalb einen Halbkreisbogen. Wird das Licht mehr als einmal reflektiert (und ist seine Intensität dann noch hoch genug), kommt es auch auch noch zur Ausbildung eines Nebenregenbogens. Für diesen sind die Winkel hoher Intensität 53° (blau) und 50° (rot), d.h. die Farbfolge ist im Vergleich zum Hauptregenbogen invertiert.
Haupt­ und Nebenregenbogen
Lichtbrechung im Regentropfen im Intensitätsmaximum für Rot
13.7 – Totalreflexion und Glasfaseroptik
Beim Übergang in ein “optisch dünneres” Material (n2 < n1) wir der Strahl vom Lot weggebrochen. Es kann also der Fall eintreten, dass der gebrochene Strahl parallel zur Grenzfläche verläuft bzw. auch gar nicht mehr in das andere Medium eindringt. Dies definiert den Grenzwinkel der Totalreflexion αT über die Bedingung
n1 sin 1 = n 2 sin 90 °  1= arcsin

n2
n1
Diamanten erhalten ihren Glanz daher, dass der Brechungsindex von Diamant sehr groß ist (um 2,4). Der Grenzwinkel für Totalreflexion ist deshalb nur 24,6°. Licht wird deshalb im Inneren des Diamants mehrfach reflektiert, bevor es wieder austritt. Dabei wird aufgrund der Dispersion eine ausreichend große Winkelaufspreizung der Farbanteile entstehen, so dass man diese mit bloßem Auge erkennen kann, wenn man einen Diamant betrachtet. Im Brillantschliff wird versucht, die Lichtausbeute in der Reflexion zu maximieren.
Auch in Glasfasern und Umlenkprismen wird die Totalreflexion ausgenutzt.
Glasfasern sind wenige Mikrometer dünnen Glas­ oder Kunststofffasern, die zu Bündeln zusammengefasst werden. Ein solches Faserbündel kann Licht über lange Distanzen weiterleiten, ohne das dieses aus dem Bündel austreten kann, solange der Auftreffwinkel des Lichts auf die Innenfläche der Einzelfaser jeweils unter dem Grenzwinkel für (innere) Totalreflexion bleibt. Glasfasern werden unter anderem in der Kommunikationstechnik und in der Medizin (Endoskopie) eingesetzt.
Ein 45°­Prisma reflektiert Licht besser als jeder Spiegel. Derartige Prismen werden deshalb als Umlenkprismen in optischen Geräte (bspw. Feldstechern) eingesetzt.
Glasfaserbündel
90°­Ablenkung
180°­Ablenkung
13.8 – Brechung an sphärischen Grenzflächen
Wir betrachten nun die Brechung von Licht an der sphärischen Oberfläche eines transparenten Materials. Wir bereiten damit das nächste Kapitel zum Thema Linsen und optische Geräte vor.
Wir zeigen, dass alle von einem Objektpunkt O ausgehenden Strahlen in einen Bildpunkt B fokussiert werden, sofern wir nur paraxiale Strahlen verwenden. Paraxiale Strahlen sind solche, die unter einem sehr flachen Winkel zur optischen Achse auf die Oberfläche treffen.
Nach Snell gilt
n1 sin 1 = n 2 sin 2 
Für paraxiale Strahlen gilt näherungsweise
sin 1 ≈ 1 , sin 2 ≈ 2
P
2
h
1
O



R
dO
C
dB
n1
n2

B
Wir erhalten demnach für Paraxialstrahlen
n 1 1 = n 2  2
Aus der Zeichnung lesen wir ab
=180 ° = 2   
Demnach ergibt sich für 
2 =  − 
Das Dreieck OPC liefert uns weiterhin
 180 ° − 1  =180 °  1 =   
Die Ausdrücke für 1 und 2 in das Brechungsgesetz eingesetzt liefert
n1   = n 2 −   n1   n 2  =n 2 − n1  
Nun kommen die Längen ins Spiel. Dabei berücksichtigen wir wieder die kleinen Winkel:
=
h
h
h
, = ,  =
dO
R
dB
Wir setzen ein, kürzen durch h und erhalten
n1
dO

n2
dB
=
n 2 − n1
R
Bei gegebenem Objektabstand dO ist dB nicht von abhängig. Das zeigt, dass alle paraxialen Strahlen in einem Punkt (B) gesammelt werden.
n1
O
B C
dO
R
n2
Bei einer konkav geformten Grenzfläche ist der Krümmungsradius R negativ einzusetzen. Das Bild ist virtuell und auf der selben Seite, wie das Objekt. Deshalb ist auch dB negativ einzusetzen. Ansonsten gilt der gleich Zusammenhang.
dB
Anmerkung: Falls das Objekt nicht auf der Seite ist, wo das Licht herkommt, ist dO negativ anzusetzen. Das kann bspw. bei der Brechung an mehreren Oberflächen relevant sein.
Hörsaal­Übung: Eine Person schaut in einen 1 m tiefen Teich. Wie tief erscheint der
Teich, wenn der Brechungsindex des Wassers n = 1,33 ist?
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