245 Transformator

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245 Transformator
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Verständnisfragen:
x Wie lautet das Induktionsgesetz?
x Leiten Sie die Gleichung für die Spannungstransformation eines Transformators
her.
x Wie lautet die Formel für das Magnetfeld einer unendlich ausgedehnten Spule?
x Wie groß ist die Selbstinduktionsspannung in einer Spule?
x Wie sieht das Zeigerdiagramm für einen idealen Transformator aus?
Zubehör: eine Drehtrafo/Trenntrafo-Kombination 0 - 60 V, 5 A
ein LEYBOLD-Transformatorkern, mittlere Feldlinienlänge l = 49 cm,
Eisenquerschnitt A = 15.2 cm2.
eine Spule 250 Wdg, 0.6 Ÿ
eine Spule 120 Wdg, 0.1 Ÿ
zwei Amperemeter 1.2 A / 6 A, 0.5 % Genauigkeit
zwei Voltmeter 15-30-60 Volt bzw. 30-60-120-240 Volt, 0.5 %
ein Wattmeter 60 V / 5 A
ein Stromwandler 10 A / 5 A
Die genauen Werte der Innenwiderstände der Instrumente sind auf einer
Tabelle beim Versuch angegeben.
Ziel des Versuchs:
Das Verhalten eines Transformators wird untersucht. Die charakteristischen Größen
eines Transformators sowie die mittlere Permeabilität des Transformatorkerns
werden gemessen.
Literatur:
Bergmann-Schäfer, Lehrbuch der Physik Bd. 2; Gerthsen, Physik; und fast alle
Lehrbücher.
Aufgaben:
1.) In Abhängigkeit von der Primärspannung ist die Sekundärspannung, der
Leerlaufstrom und die Primärleistung Ppl zu messen (Leerlaufversuch).
2.) Bei fester Primärspannung sind als Funktion des Sekundärstromes Is zu messen:
Ip, Pp, Us. Daraus sind zu berechnen: Die Sekundärleistung Ps, der Wirkungsgrad Kund der Phasenwinkel Mzwischen Up und Ip.
3.) Als Funktion von Is sind bei kurzgeschlossenem Sekundärkreis zu messen: Up,
Ip , Ppk .
4.) Aufgaben 1 und 2 sind teilweise für einen Transformator zu wiederholen, dessen
Kern mit einem Luftspalt versehen ist.
5.) Die Induktivität der Primärspule und die mittlere Permeabilität µ des Kerns sind
aus den Messungen 1 bzw. 4 zu berechnen.
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Durchführung:
Vorbemerkung
Bei dem Versuch werden Präzisionsinstrumente benutzt. Insbesondere das Wattmeter kann bei falscher Schaltung überlastet werden, ohne dass sich ein verdächtiger
Zeigerausschlag ergibt: Es müssen stets Strom (5 A) und Spannungspfad (60 V)
angeschlossen (und nicht vertauscht!) sein, damit man etwas sieht.
Daher drehen Sie vor dem Einschalten den Drehtrafo auf Null.
Das Einfügen eines Wattmeters in eine Schaltung ist auch erfahrenen Leuten nur
nach Nachdenken möglich; daher lassen Sie sich dabei helfen.
Aus den Spulen mit np = 250 Windungen und ns = 120 Windungen bauen Sie einen
Transformator auf. Das Joch ist - ohne Zwischenlagen - auf dem U-förmigen Unterteil festzuschrauben. (Kontrollieren, sonst passieren Unglücke!). Bauen Sie dann die
untenstehende Schaltung komplett auf. Die Zahlen bei den Messinstrumenten geben
die Messbereiche an.
Überlegen Sie sich aus den Angaben über den Innenwiderstand bzw. den
Stromverbrauch der Messinstrumente, worin die Vor- und Nachteile der gewählten
Schaltung bestehen, und notieren Sie dies im Protokoll. Das Wattmeter misst die
Leistungsaufnahme in seinem Spannungspfad mit; dies ist aber bei den meisten
Messungen eine konstante Größe und kann den Leerlaufverlusten zugeschlagen
werden. Um den Sekundärstrom zu messen, wird ein Stromwandler 10A/5A
zwischengeschaltet.
Bei RL ~ 3 Ÿ drehen Sie den Drehtrafo zunächst auf null; dann schalten Sie ein und
erhöhen die Spannung langsam, wobei Sie die Messinstrumente auf "extreme"
Ausschläge beobachten! Bei Up § 10 V sollten Sie überall eine deutliche Anzeige
sehen.
Falls nicht: Sofort abschalten und Fehler suchen!
**Beim Wattmeter auf den Umrechnungsfaktor achten.**
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Nach dem Vorversuch werden dann die einzelnen Aufgaben erledigt.
1.) Leerlaufversuch / Übersetzungsverhältnis
Die Widerstände auf der Sekundärseite werden abgehängt. Für Up = 10 V,
20 V....60 V werden Us und - soweit ablesbar - Pp gemessen. Bei 60 V werden
zusätzlich Pp und Ip ohne das Voltmeter im Sekundärkreis gemessen: Leerlaufverlust Pp und Leerlaufstrom Ip. (Falls Ip zu klein ist, stecken Sie für diese
Messung das Amperemeter von 6 A auf 1.2 A um; bei Ppl und cosMstört der
große Fehler nicht.)
Als Funktion von Up wird das Übersetzungsverhältnis Us / Up aufgetragen. Was
erwartet man? Bei 60 V sollen auch der cos M und die Leerlaufinduktivität
berechnet werden (siehe hierzu auch die Erläuterung auf Seite 245/13).
Verbinden Sie den Triggerausgang des Drehtrafos mit dem "Sync.ext." Eingang
des Oszillographen, um diesen extern, und damit in fester Phasenlage, zu
triggern. Schlingen Sie um den Kern des Trafos als kleine Sekundärspule zwei,
drei Windungen mit einem Kabel und schließen Sie dieses an den einen Kanal an.
Bei den folgenden Messungen beobachten Sie dieses Signal, wie (bzw. ob) es
sich bei konstanter Primärspannung in Größe und Phasenlage verändert. Ist die
Größe kritisch von der Lage des Kabels um den Kern abhängig? Was wird damit
gemessen?
2.) Verhalten bei Belastung.
Für Up = 60 V (Wert durch Nachregeln konstant halten!) wird für Sekundärströme von 1 A bis 10 A in Schritten von 1 A gemessen (Faktor 2 von Wandler
beachten!)
Us , Ip , Pp
Bei hohen Strömen müssen Sie die Festwiderstände parallel zum SchiebeWiderstand schalten.
Aus den Messwerten werden berechnet:
Sekundärleistung Ps Is ˜ Ps
Wirkungsgrad K P s / P p
cos M
P p / (U p ˜ I p )
Stromübersetzung Ü I Is / I p
In Diagrammen werden Us , ÜI , Pp , Ps , K , cos M als Funktion von Is
aufgetragen. In diese Diagramme werden später noch das erwartete K sowie die
Daten von Messung 4 eingetragen.
Aus dem Verlauf von Ps sieht man, dass diese bei hohen Strömen wieder
abnimmt. Da die Leistungsabgabe bei Ri = Rlast maximal ist (Vers. 23 I,
Zusatzaufgabe), bestimme man den effektiven Innenwiderstand der Sekundär-
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seite. Aus den Widerständen der Spulen und Amperemeter berechne man diesen
auch. Wegen der Streuinduktivitäten ergibt sich keine Übereinstimmung.
Feld im Luftspalt HL = µ (Eisen) HEisen , also
3
(15) n p ˜ I pl (0. 490 10 P1 )H Eisen
Da aber bei gleicher Primärspannung Up (Bemerkung nach Gl.7) der Flussdichte
B und damit das Feld HEisen gleich sein muss
L(ohne) I pl (mit) 0. 49 10 3 P1 P1
3.) Kurzschlussmessung
**** Zunächst Up auf null zurückdrehen.****
Die Sekundärseite des Trafos wird (über den Stromwandler) mit dem
Amperemeter kurzgeschlossen. Durch Variation von Up werden für Is = 2, 4, . . .
10 A die zugehörigen Up, Ip, Ppk gemessen und Ü I Is / I p berechnet. Up und
Ü I werden über Is , Ppk über Is 2 aufgetragen. Wie kann man das Ergebnis inter-
0. 49
P4
Vergleichen Sie mit der Messung!
Die Induktivität einer Spule mit Luftspalt ist allgemein wegen )(mit) = )(ohne),
wegen Gl. (5), (9) und (15)
pretieren? Ein Stromwandler ist ein Transformator hoher Induktivität, der
sekundärseitig durch das Amperemeter kurzgeschlossen wird. Er darf nie
unbelastet betrieben werden.
Aus dem Leerlaufversuch bei 60 V und dem Kurzschlussversuch beim jeweiligen
Is sind die Verluste bei diesem Is in Versuch 2 bekannt.
>
I pl (ohne)
L(mit)
ZL
@
Man kann Kerw. P s(erw.) / P p P p P pl (60 V) P pk (Is ) / P p berechnen
und in das Diagramm mit einzeichnen. Da bei unserem Trafo die Kurzschlussspannungen recht hoch sind, hat man beim Kurzschlussversuch noch merklich
Eisenverluste, d.h. man korrigiert zu stark.
Up
I pl
Z ˜ P1P o ˜ n p ˜ H E ˜ A
l E l L ˜ P1 HE
np
Also
L~
P
lE lL P 1
1 § 1 lL ·
¨ ¸
l E ©P lE ¹
4.) Transformator mit Luftspalt
Spannung Up zurückdrehen.
Schrauben Sie das Joch des Transformators ab, legen Sie links und rechts ein
Pappstück von 0.5 mm Dicke unter und schrauben Sie das Joch wieder fest (das
Wort "fest" ist wesentlich).
Danach wird Versuch 2 wiederholt und die Ergebnisse in die Diagramme
eingetragen. (Es genügen Werte für Is = 2 , 5 , 10 A)
Führen Sie auch hier einen Leerlaufversuch durch (Up = 30 u. 60 V). Aus den
beiden Leerlaufversuchen bestimme man jeweils die Induktivität des Transformators (d.h. der Primärwicklung). Mit (10'') berechnet man daraus das mittlere P
in den beiden Fällen:
P1 P(ohne) = P(Eisen)
P 4 P(mit)
Da B = µ·µo·H überall längs einer Feldlinie im Kern konstant ist (quellenfreies
Feld), ist HL im Luftspalt µ l mal größer als im Eisen. Dieses Feld HL trägt daher
trotz der geringen Dicke des Spaltes (2 x 0,5 mm) wesentlich zu den Integralen
(1) bzw. (4) bei.
Feldlänge im Eisen lE = 0.49 m im Luftspalt lL = 10 -3 m
Solange also das Verhältnis der Länge in Luft/Länge in Eisen groß ist gegen l/µ
hängt die Induktivität nur von der Dicke des Luftspaltes ab, und nicht von µ. Das
nutzt man beim Bau von Induktivitäten aus, da µ z.B. von der Feldstärke und der
Temperatur abhängt.
------ Falls Sie noch Zeit haben -------Zum Schluss simulieren Sie die Erwärmung eines Körpers mit Induktion.
Drehtrafo abschalten, Spule n = 120 Wdg. ausbauen und statt dieser n = 2 Wdg.
einbauen und Joch (ohne Kartonstücke) wieder fest machen. Der Stromwandler
wird auf den runden Kupferstab aufgesteckt und die Manschette am oberen Ende
der Spule auf dem Stab festgeklemmt. Der Wandler transformiert 600 A auf 5 A.
Messen Sie für Up = 20 , 40 , 60 V: Ip , Is und Pp .
Beachten Sie, dass selbst hier gut gilt Ip / Is = 2/250.
ACHTUNG DIE SPULE WIRD HEISS.
NACH DER MESSUNG AUSSCHALTEN !
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Grundlagen
Wir wollen die Maxwell'schen Gleichungen in der Integralform ausnutzen:
Der Transformator ist eine Anwendung des Induktionsgesetzes. Er funktioniert nur
mit Wechselstrom (oder mit Impulsen).
Zunächst soll (1) der sog. ideale Transformator beschrieben werden, dann sollen in
(2) die einzelnen Verslustquellen des realen Transformators behandelt werden.
& &
& & &
(1) ³ ( H dS) ³ (i dF (i Stromdichte )
F
& &
&
d)
(2) Uind ³ ( E ds ) ( E Elektrische Feldstärke)
dt
& &
(3) ) ³ ( B df )
1. Idealer Transformator
1.0 Aufbau
Auf einem Kern (siehe Bild 1), der aus gegeneinander isolierten Weicheisenblechen
aufgebaut ist, sind die beiden Spulen für Primärund Sekundär-Wicklung aufgebracht; die Windungszahlen seien np und ns. Die beiden Wicklungen sollen vorläufig als widerstandslos angenommen werden (Rp = Rs = 0). Die Länge der
gestrichelt eingezeichneten "mittleren Feldlinie"
sei l, der Kernquerschnitt und die Spulenfläche A.
Wir wollen auch annehmen, dass die relative
Permeabilität µ des Eisens unabhängig von B ist
(was nicht stimmt) und sehr groß gegen 1 ist (was
ziemlich richtig ist). Das zweite bedeutet: Alle
Induktionsflusslinien B laufen innerhalb des
Kerns und keine außerhalb.
1.1 Transformator allgemein
(Falls Sie mit Maxwell'schen Gleichungen nicht vertraut sind, beginnen Sie mit Formel 4.)
Außer den oben genannten Größen führen wir noch ein:
Up, Us
Ip, Is
Hp, Hs
Bp, Bs
)
Spannung an den Klemmen der Primär-, Sekundärspule
Stromstärke in Primär-, Sekundärkreis
die von Primär-, Sekundärspulen erzeugten Feldstärken (Einheit A/m)
Induktionsflussdichte (Einheit 1V·s/m2 = 1 T = 10 4 Gauss)
Induktionsfluss im Kern (Einheit 1 Vs = 1Wb)
V ˜s
P 0 4 S ˜10 7
A ˜m
In Gl. (1) ist F eine Fläche, die von der geschlossenen Kurve S umlaufen wird, dF ein
Vektor senkrecht zur Fläche, dS ein Vektor tangential
zur Kurve. H·dS, i·dF usw. sind Skalarprodukte.
(Entsprechendes gilt für die Gleichungen (2) und (3).)
In Worten heißt Gleichung (1): Das Linienintegral der
magnetischen Feldstärke längs des Umfangs von F ist
gleich der Gesamtstromstärke, die durch F fließt. F
liegt in der Papierebene von Bild 1.
Aus den eingangs gemachten Vereinfachungen (und
der Quellenfreiheit von B !) folgt, dass die magnetische Feldstärke in Bild 1 längs der gestrichelten Linie
- und auch einigermaßen über den Kernquerschnitt konstant ist. Nehmen wir diese Linie als die Kurve S,
dann hat man also
( vgl. Feld in homogener Spule H I p ˜ (n / l) )
H p ˜ l np ˜ Ip
(4)
(denn der Strom fließt ja np mal durch die eingeschlossene Fläche!)
np I p
(5)
) P ˜ P 0 ˜ Hp ˜ A P ˜ P0 ˜ A
v Ip
l
Die Spannung, die in den n hintereinandergeschalteten Windungen der Primär- bzw.
Sekundär-Spule induziert wird ist (f ist senkrecht zur Papierebene, A der Querschnitt
des Eisenkerns))
d)
U ind, p n p
dt
d)
U ind,s n s
dt
Nun hält aber Uind,p gerade der angelegten Betriebsspannung das Gleichgewicht, also
d)
(6)
U p Uind,p n p
dt
und weiterhin ist die abgegebene Spannung
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n
s ˜Up
np
(Spannungstransformation; Us und Up gegenphasig!)
Aus (6) und (7) folgen die wesentlichen Dinge zum Verständnis des (idealen)
Transformators, auch bei nichtsinusförmiger Spannung:
i. ) d.h. Ip muss sich immer so einstellen, dass (6) erfüllt wird.
ii. Es gilt stets Gleichung (7), da ) beiden Spulen gemeinsam ist.
Im Diagramm 3 sind die Ströme und die Spannungen in ihrer Phasenlage eingezeichnet (durchgezogene Linien; komplexe
Zahlenebene!). Wird an den Transformator
sekundär ein Widerstand (Last) RL angeschlossen, dann fließt ein Sekundärstrom
Us
U
Is
so sin Zt
RL
RL
der mit Us in Phase ist und einen
zusätzlichen Fluss )s mit gleicher Phasenlage erzeugt (vergl. Formeln 5, 10")
(7)
Us
U ind,s
1.2 Transformator mit sinusförmiger Spannung
Beim Versuch im Praktikum handelt es sich um einen Transformator für Wechselspannung (wie z.B. in der Energieversorgung). Man hat also
Up
U po sin Zt
Im Leerlauf, d.h. Is = 0 gilt dann, wie man durch Einsetzen nachrechnen kann
(Formel 7 bzw. 6 bzw. 5).
n
(8)
U s Uso sin Zt
mit U so U po s
np
(9)
(10)
) o cos Zt
)
I pl
mit
)o
U po
n p ˜Z
I plo cos Zt
Der Strom Ip ist gegen die Spannung um 90o in der Phase zurück, d.h. im Leerlauf
nimmt der - ideale - Transformator keine Leistung auf (reine Induktivität).
Dabei ist (vgl. (5) )
U po
l )0
)0
(10' )
I plo
˜n p
P P 0 A n p L pp
Z L pp
(10' ' )
A
,
l
(Lpp Selbstinduktionskoeffizient der Primärspule.)
L pp
n 2p ˜ P ˜ P 0 ˜
Das L wird für Wechselströme in der Beziehung
dI p
(11)
U p L pp
dt
analog zum Ohm'schen Gesetz definiert.
Lss
˜I
l
ns s
Dieser Fluss würde in der Primärspule eine Spannung induzieren (vergl. relative
Lage von ) und Uind,p), die in der Figur 3 nach oben gerichtet wäre. Dadurch wäre
die Gleichung Up = - Uind,p gestört. Zur Kompensation fließt beim belasteten Transformator ein zusätzlicher Primärstrom Ip' in Phase mit Up, der ein )' erzeugt, so dass
(entsprechend 10')
Lpp
(13) ) s ) ' I '
np p
(12) ) s
n I
P Po A s s
d.h. )total (belastet) = )total (unbelastet) = )
in Größe und Phasenlage. Diese überraschende und für das Verständnis fundamentale
Beziehung ist sogar beim realen Transformator sehr gut erfüllt, wie Sie später
experimentell nachprüfen werden. Aus (13) erhält man mit (12)
n
(14) I p ' Is s
np
(Stromtransformation), wobei
2
Lss § ns ·
¨ ¸
L pp ©n p ¹
(vergl. 10'') benutzt wurde.
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Der Leerlaufstrom Ipl und Ip' addieren sich zum gesamten Primärstrom Ip und es
gelten die Beziehungen
I plo
I po '
2
tg M
;
I po
I plo 2 I po '
I po '
cos M
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2.)
Sog. "Eisenverluste"
a. Hysterese-Verluste (Ummagnetisierungsverluste): In jeder Periode wird die
Hysteresiskurve (Kurve von B gegen H im Eisen) einmal umfahren. Das
Integral œ BdH ~ Fläche der Kurve hat die Dimension V s/m2 · A/m = J/m3
= Energie/Volumen.
Dass B nicht eindeutig von H abhängt, liegt daran, dass die einzelnen
vormagnetisierten Bereiche (Weiß'sche Bezirke) ihrer Umorientierung
Widerstand entgegen setzen.
b. Wirbelstromverluste: Die Querschnitte der Eisenbleche wirken jeweils als
sekundäre Kurzschlusswindungen, wobei allerdings jedes Blech nur einen Teil
des Flusses kurzschließt. Besteht der Kern aus N Blechen der Dicke d, dann ist
die Spannung pro Blech ~ d ~ 1/N, der Widerstand ~ 1/d ~ N, die Leistung U
2 / R also pro Blech ~ 1/N 3 und somit die Verlustleistung im ganzen Kern ~
1/N 2. Eine feine Unterteilung ist also wesentlich!
Die Eisenverluste wirken sich so aus, als wäre parallel zur Induktivität der
Primärspule ein ohmscher Widerstand RE geschaltet. Dieser Widerstand
bestimmt den cos M im Leerlauf und nicht der ohmsche Widerstand der Spule,
d.h. tg M § RE / (ZL ). Das vollständige Ersatzschaltbild (und damit das
Zeigerdiagramm) des realen Transformators ist zu verwickelt und somit
jenseits eines Versuchs im Anfängerpraktikum.
3.)
Weitere Verluste
Hier sind vor allem zu nennen: Die Wirbelstromverluste im Kupfer der Wicklungen. Dann die sog. Streuverluste, d.h. dass nicht der ganze in der Primärspule erzeugte Fluss durch die Sekundärspule geht und umgekehrt, was sich
jeweils wie eine in Serie geschaltete Drossel auswirkt.
M = Winkel zwischen Up und Ip .
Für die primärseitig aufgenommene Leistung Pp und die abgegebene Leistung Ps
gelten
Pp
U p ˜ I p ˜ cos M
Ps
U s ˜ Is
Pp
U p ˜ I p'
wegen (14) und (7).
Dass Ps = Pp sein muss, folgt natürlich auch aus dem Energiesatz! Ein Widerstand
RL = Us / Is im Sekundärkreis bewirkt im Primärkreis den gleichen Strom wie ein
dort eingefügter Widerstand RL'
R L'
Up
I'
2
§n p ·
¨ ¸ R L
©ns ¹
(Widerstandstransformation; z.B. bei Anpassung von Lautsprechern, Antennen etc.)
Da in der Regel Lpp so groß ist, dass im Betrieb Ipl << Ip' ist, gilt näherungsweise
Ip' |Ip und man kann in (14) links den Strich weglassen. Beim Stromwandler wird
dies ausgenutzt, um mit einem Messinstrument für kleine Ströme große Ströme zu
messen.
2.0 Realer Transformator
Hier müssen folgende Verlustquellen berücksichtigt werden:
1.)
Ohmsche Verluste
Der endliche Widerstand der beiden Spulen bewirkt, dass je ein zusätzlicher
Spannungsabfall eintritt. Statt (6) bzw. (7) gelten nun für die Klemmenspannungen
dI
U p R p ˜ I p Uind,p ( L pp p im Leerlauf )
dt
U s Uind,s Rs Is
Der Primärstrom hat dadurch auch im Leerlauf eine Komponente in Phase mit
der Spannung (siehe jedoch 2.).
Die Verluste können einigermaßen getrennt bestimmt werden. Die Eisenverluste
(+Wirbelstromverluste in den Wicklungen) hängen (etwa quadratisch) nur von der
Größe von )d.h. Up) ab; sie treten also auch im Leerlauf auf. Zur Bestimmung
misst man die Leistungsaufnahme bei offenen Sekundärklemmen (also kleinem Ip)
und bei der normalen Betriebsspannung.
Die ohmschen Verluste beider Wicklungen bei einem Strom Ip' werden in einem sog.
Kurzschlussversuch bestimmt: Der Transformator wird über ein Amperemeter
sekundär kurzgeschlossen, wobei die Primärspannung (und damit )!) soweit reduziert ist, dass nur der Strom Ip' (bzw. Is) fließt, bei dem man die Verluste
bestimmen möchte. Die Primärspannung, bei der unter diesen Bedingungen der
Nennstrom fließt, für den der Trafo konstruiert wurde, heißt Kurzschlussspannung;
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bei Trafos der Energieversorgung liegt sie unter 10% der Nennspannung.
Zur Berechnung der Leerlaufinduktivität (Aufgabe 1 und 4):
Beim Leerlaufversuch wird ein M gemessen, was deutlich von dem M einer
idealen Spule (90°) abweicht. Ursache hierfür sind die Eisenverluste des
Transformatorkerns. Diese wirken sich so aus, als wäre parallel zur Spule ein
ohmscher Widerstand geschaltet. Dieser Effekt muss genaugenommen bei der
Berechnung der Induktivität berücksichtigt werden. Dies kann gemäß folgendem
Zeigerdiagramm geschehen:
IL
IP
I
L
UP
Z ˜ IL
IR
mit I L
UP
I P ˜ sin I .