Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3

TM II SS 11
Prof. Ostermeyer
Übungsblatt 9. Woche
Aufgabe 1
Das dargestellte System besteht aus einer Walze und einer Feder. Die Feder ist in der
skizzierten Lage entspannt.
x
m, Θ
g
r
c
reines Rollen
1) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems für auf!
2) Ermitteln Sie die Eigenkreisfrequenz , die zugehörige Frequenz und die Schwingungsdauer !
3) Lösen Sie die homogene Schwingungsdifferentialgleichung!
4) Passen Sie die Lösung aus 3) an die Anfangsbedingungen 0 0 und
0 an!
5) Skizzieren Sie den Zeitverlauf der Lösung !
Gegeben: , , , , , .
Aufgabe 2
Bestimmen Sie für eine harmonische Schwingung der Frequuenz 10 und der Amplitude 5 a) Die Periodendauer
b) Die Amplitude der Geschwindigkeit
c) Die Amplitude der Beschleunigung
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Eigenfrequenz der skizzierten
schwingenden Scheibe.
Gegeben: 1200 , 20, 30°, 1.
m
c
r
α
Reines Rollen
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Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für das
skizzierte System bei kleiner Amplitude und
geben Sie die Eigenfrequenz an. Die Feder ist in
der skizzierten Lage entspannt.
EA, l2
EI, l1
c
bm
g
b
Gegeben: b , c , EI , EA , g , m , l1 , l2 .
Aufgabe 5
c
Berechnen Sie die Eigenfrequenz des
r
skizzierten schwingungsfähigen Systems.
Gegeben: , , ,
R
s
3, .
!
m
Aufgabe 6
Ein homogener Stab der Masse m ist wie skizziert gelagert.
a) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung unter
Verwendung des Prinzips von d’Alembert oder
des Arbeitssatzes und linearisieren Sie sie.
l
a
c
m
T
b
g
b) Wie groß muss die Dämpfungskonstante b mindestens sein, damit eine Bewegung im
Form des aperiodischen Grenzfalls abläuft ?
c) Berechnen Sie die statische Auslenkung ϕs.
Gegeben: a, l, cT, m, g.
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Aufgabe 7
Die Masse des skizzierten Einmassenschwingers wird zum Zeitpunkt t=0 angeschlagen
und dessen Ausschwingkurve wird aufgezeichnet.
4
b
c
Auslenkung x [mm]
3
m
x
2
1
0
-1
-2
-3
0
0,5
Berechnen Sie:
1
1,5
Zeit [s]
a) das logarithmische Dekrement Λ,
b) das Lehr`sche Dämpfungsmaß D,
c) die Abklingkonstante δ,
d) die Kreisfrequenz des gedämpften Systems ωd,
e) die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems ω,
f) die Federsteifigkeit c,
g) die Dämpferkonstante b.
Gegeben: m = 1kg.
Aufgabe 8
Für das skizzierte System werden bei einem Ausschwingversuch zwei aufeinanderfolgende maximale
g
c
Amplituden x1 und x 2 sowie die Schwingungsdauer
Td gemessen.
Man ermittle hieraus die Dämpfung und die Eigenkreisfrequenz ωd des
Systems.
Zusatzaufgabe: Man stelle die Bewegungsgleichung für das System auf.
Gegeben: x1 , x 2 , T d, c, b, g, m, Θ S , r.
b
S
statische
Ruhelage
x
m,Θ S
r
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Aufgabe 9
Der skizzierte Schwinger besteht aus einer homogenen Kreisscheibe (Masse: ", Ra-
dius: ), die an einer Feder (Steifigkeit: ) hängt. Über die Scheibe ist ein undehn-
bares Seil gelegt, welches an einem Ende die Masse m trägt. Man bestimme
a) die Bewegungsgleichungen für die Masse m,
b) die Lösung der Bewegungsgleichung, wenn m aus
c
der Ruhelage durch einen Stoß (Anfangsgeschwindigkeit v 0 ) in Bewegung gesetzt wird.
M
r
A
m
Gegeben: g, r, m, M, c, v 0 .
Kurzlösungen:
Aufgabe 1:
1.) &x& +
c
Θ

m + 
r² 

2.) ω =
c
Θ
m+
r²
x=0
, f =
1
2π
c
Θ
m+
r²
,
T=
2π
c
m+
Θ
r²
3.) x(t ) = A cos(ω ⋅ t ) + B sin(ω ⋅ t )
4.) x(t ) =
v0
ω
5.)
v0
sin(ω ⋅ t )
x(t)
ω
t
T=const.
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Aufgabe 2:
0,1#; | | 3,1416
; |(| 197,393 +
#
#
Aufgabe 3:
1,01 Aufgabe 4:
1.) &x& +
c
b
x& + ges x = g ; mit cges
m
m
2.) , -
Aufgabe 5:
./01
2
 EA 3EI 
c ⋅ 
+ 3 
l2
l1 

=
EA 3EI
c+
+ 3
l2
l1
34
54
+
6 !
78 9 +
Aufgabe 6
l
2
a)
θ Aϕ&& + ba 2ϕ& cos 2 ϕ + cT ϕ − mg cos ϕ = 0
b)
b=
2l cT m
a2
3
Aufgabe 7
a) : 0,38
b) < 0,06
c)
ϕS =
mgl
2cT
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c) = 0,95
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>
!
d) , 15,71
e) 15,74
f) 247,7
g) A 1,89
?@,
!
?@,
!
BC
!
Aufgabe 8:
b=
2m  x1 
ln 
Td  x 2 
ωd =
2π
Td
Aufgabe 9:
a)
&&x +
c
3

 M + 4m 
2

x=
2M + 4m
g
3

 M + 4m 
2

b)
x( t ) =
v0
sin ωt
ω