Sheet10_solution

TU München
Physik Department, T33
http://www.wsi.tum.de/T33 (Teaching)
Prof. Dr. Peter Vogl, Thomas Eissfeller, Peter Greck
Übung in Thermodynamik und Statistik 4B
Blatt 10
(Abgabe Di 17. Juli 2012)
Beispiel 1: Teilchenzahlschwankung im groÿkanonischen Ensemble
Zeigen Sie mit der Teilchenzahlschwankung im groÿkanonischen Ensemble
(∆N )2 = kB T
dass die isotherme Kompressibilität
1
κT = −
V
∂V
∂P
∂N
∂µ
T,V
>0
N,T
positiv ist. Hilfe: Schreiben Sie dazu in der Beziehung
N dµ = V dP − SdT
das Dierenzial dP für P (T, V, N ) aus. Hieraus können Sie (∂N/∂µ)T,V ablesen. Verwenden Sie dann P =
P (T, V /N ) = P (T, v) um eine Beziehung zwischen (∂P/∂N )T,V und ∂P (T, v)/∂v herzuleiten.
Lösung:
Es gilt
N dµ = V
∂P
∂T
dT +
V,N
∂P
∂V
dV +
T,N
∂P
∂N
!
dN
− SdT
T,V
Daraus kann man ablesen
N
∂µ
∂N
=V
T,V
∂P
∂N
T,V
Der Druck ist intensiv, d.h. die extensiven Gröÿen V und N können nur als Quotient vorkommen
∂P
∂N
=−
T,V
V ∂P (T, v)
N2
∂v
Zusammen ergibts sich dann
V2
1
=− 3
∂P (T, v)/∂v
N
∂N
∂µ
T,V
Für die isotherme Kompressibilität ergibt sich dann mit der angegebenen Teilchenzahlschwankung
κT = −
N
V
∂v
∂P
=−
N,T
N
1
V (∆N )2
= 2
≥0
V ∂P (T, v)/∂v
N kB T
Die Breite ∆N könnte für T = 0 verschwinden. Für T 6= 0 haben wir gezeigt, dass die isotherme Kompressibilität
positiv ist. Die Kompressibilität ist eine intensive Gröÿe, κ ∝ N 0 . Daraus folgt
∆N
1
∝√
N
N
Dies entspricht dem Gesetzt der groÿen Zahlen.
1
Beispiel 2: Wärmekapazität für N Oszillatoren
Berechnen Sie die Wärmekapazität dfür N unabhängige hamronische Oszillatoren. Der zugehörige Hamiltonoperator
H=
N
X
p~2
mω 2 2
( n +
~x )
2m
2 n
n=1
beschreibt N unabhängige, unterscheidbare Teilchen. Sie mögen in Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T stehen. Die Energie des Systems ist E(T, N ). Zeigen Sie durch Berechnung der Wärmekapazität
C(T, N ), dass für groÿe Temperaturen der Gleichverteilungssatz gilt. Hilfe: Aus den Einteilchenenergien können
Sie die kanonische Zustandssumme eines Teilchens z(T ) berechnen und daraus erhalten Sie sofort die kanonische
Zustandssumme des Systems. Daraus können Sie E(T, N ) und C(T, N ) berechnen.
Lösung:
Die Einteilchenenergien des harmonischen Oszillators sind
nx ,ny ,nz = ~ω(nx + 1/2) + ~ω(ny + 1/2) + ~ω(nz + 1/2)
Wegen der Unabhängigkeit der Teilchen gilt Z(T, N ) = z(T )N . Die Zustandssumme eines Teilches lautet
z(T ) =
∞
X
!3
exp −β~ω(n + 1/2)
=
n=0
exp(−β~ω/2)
1 − exp(−β~ω)
3
=
1
8sinh (β~ω/2)
3
Hier aus folgt für die Energie
E(T, N ) = −
d ln Z
3
~ω
∂ ln Z(T, N )
= −N
= N
∂β
dβ
2 tanh(β~ω/2)
und für die Wärmekapazität
C(T, N ) =
∂E(T, N )
β ∂E
3N kB
=−
=
∂T
T ∂β
4
~ω
kB T
2
1
sinh (β~ω/2)
2
Für kleine und groÿe Temperaturen folgt
C(T, N ) = 3N kB
~ω
kB T
2
~ω
exp −
kB T
kB T ~ω
kB T ~ω
C(T, N ) = 3N kB
Beispiel 3: Quantenzahlen im unendlichen Potenzialkasten
Der Hamiltonoperator eines Teilchens im unendlich hohen Kasten lautet
~2
∆ + U (~x), U (~x) = 0 für |~x| ∈ Kasten, U (~x) = ∞ sonst
2m
Das kubische Volumen des Kastens sei V = L3 . Geben Sie die normierten Eigenfunktionen ψp~ (~x) an. Welche
Werte kann der Impuls p~ annehmen?
H=−
Lösung:
Die Eigenfunktionen lauten
r
ψp~ (~x) = ψnx ,ny ,nz (x, y, z) =
πn x πn y πn z 8
1
2
3
sin
sin
sin
V
L
L
L
Die Quantenzahlen ni nehmen die Werte 1,2,3,... an. Die möglichen Impulswerte sind
p~ = p~n1 ,n2 ,n3 =
π~
(n1~ex + n2~ey + n3~ez )
L
Die Energieeigenwerte lauten
En1 ,n2 ,n3 =
π 2 ~2 2
(n + n22 + n23 )
2mL2 1
2
Beispiel 4: Zustandssummen für 3 Teilchen
Drei Teilchen benden sich in zwei Niveaus mit de Energien ε0 = 0 und ε1 = ε. Es handelt sich um (i) klassische,
unterscheidbare Teilchen, die der Maxwell-Boltzmannstatistik genügen, (ii) Bosonen mit Spin 0, (iii) Fermionen
mit Spin 1/2. Geben Sie die jeweiligen Zustandssummen an. Der Einfachheit halber setzen wir das chemische
Potential in allen Fällen Null.
Lösung:
Für Bosonen können 0,1,2 oder 3 Teilchen in einem Niveau sein. Für Fermionen können maximal 2 Teilchen
in einem Niveau sein (mit den Spineinstellungen ±1/2). Im Gegensatz zu Fermionen und Bosonen kann man
klassische Teilchen unterscheiden, man kann also sagen, welches Teilchen in welchem Niveau sitzt. Daher tritt
hier eine Verteilung mit genau 2 Teilchen im oberen/unteren Niveau mit dem Gewicht 3 auf.
Fermi-Dirac Statistik:
Z = 2 exp(−βε) + 2 exp(−2βε)
Bose-Einstein Statistik:
Z = 1 + exp(−βε) + exp(−2βε) + exp(−3βε)
Maxwell-Boltzmann Statistik:
Z = 1 + 3 exp(−βε) + 3 exp(−2βε) + exp(−3βε)
Beispiel 5: Bosegas im Oszillator
Das Kondensat eines idealen Bosegases im Harmonischen Oszillator besteht aus N0 Teilchen im Grundzustand.
Wenn ein Kondensat vorliegt, dann lautet die Teilchenzahlbedingung
Z
N = N0 +
∞
Z
∞
dnx
0
Z
∞
dny
0
dnz
0
1
.
exp[β~ω(nx + ny + nz )] − 1
Die Oszillatorenergien sind ε = ~ω(nx + ny + nz + 3/2). In den Ausdruck für mittlere Teilchenzahlen wurde
µ = 3~ω/2 eingesetzt; dies gilt, wenn einP
endlicher Bruchteil aller Teilchen im Grundzustand ist. Schreiben Sie
den Integranden als geometrische Reihe ∞
l=1 exp(−[...]l und führen Sie die Integration aus. Bestimmen Sie N0
als Funktion der Temperatur.
Lösung:
Der Integrand ist
1
exp[−β~ω(nx + ny + nz )]
=
exp[β~ω(nx + ny + nz )] − 1
1 − exp[−β~ω(nx + ny + nz )]
∞
X
=
exp(−β~ωnx l) exp(−β~ωny l) exp(−β~ωnz l)
(1)
l=0
Jetzt kann jede einzelne Integration elementar ausgeführt werden und ergibt 1/(β~ωl). Damit lautet das Ergebnis
3
3
∞
X
1 kB T
kB T
N = N0 +
= N0 + ξ(3)
l3
~ω
~ω
l=1
Numerisch gilt ξ(3) ≈ 1.202. Auösen nach N0 ergibt
N0 = N
ξ(3)
1−
N
kB T
~ω
3 !
=N
T3
1− 3
Tc
Für T → Tc geht der Kondensatanteil gegen null, d.h. Tc ist die Übergangstemperatur.
3