isentropisch

Thermische Prozesse in der Energietechnik
Wesen und Formen von Energie:
Systemenergie: systemimmanente (im System enthaltene) Energie
Prozessenergie: systemüberschreitende (zwischen Systemen übertragene) Energie
(gerichtete Energieströme) Æ Ungleichgewicht zwischen Zustände der
beteiligten Systeme.
Energieerhaltungssatz:
∑ Φ = ∑ E
Sy
∑ Φ : zugeführter Strom an Prozessenergien
∑ E : Zuwachs der verschiedenen Systemenergien je Zeiteinheit
Sy
Systemenergie: ESy = ∫∫∫ eSy dV
eSy : Energiedichte ⎡⎣ J/m 3 ⎤⎦
G G
Prozessenergiestrom: Φ = ∫∫ ϕ da
G
VSy
G
∑ ( −divϕ ) = ∑ e
Sy
ϕ : Energiestromdichte ⎡⎣ W/m ⎤⎦
2
A
Systemenergie:
Thermische Energie:
Mittlere fühlbare Teilchenenergie: E (füT ) =
1
fkT
2
f : Freiheitsgrad
k : Boltzmann-Konstante (1,38 ⋅10−23 J / K )
Die thermische Energie (Innere Energie U ) einer Stoffmenge ergibt sich somit aus der
Summe der fühlbaren und latenten Energien ihrer N-Teilchen.
(T )
U = Eth = ∑ E (füT ) + ∑ Elat
N
U=
∫
N
u : spezifische Innere Energie [ J/g ]
udm = u ⋅ m
System
eth = ρ m ⋅ u
eth : räumliche Dichte der thermischen Energie
ρ m : lokale Massendichte
deth = ρ m cv dT
⎛ ∂u ⎞
cv = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠v = ρm−1 =const
Verschiebearbeit (Volumenänderungsarbeit): WVer = p ⋅V
Enthalpie: H = U + WVer
Chemisch gebundene Energie:
Ech = ∑ μi ni = G
i
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μ : chemisches Potential
n : molare Stoffmenge
Stand: 07.02.2006
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Elektrische Feldenergie:
1
Energiedichte des elektrischen Feldes: eel = ε E 2
2
Magnetische Feldenergie:
Energiedichte des magnetischen Feldes: ema =
ε : Permittivität
E : Elektrische Feldstärke
μ : Permeabilität
1
μH 2
2
H : Magnetische Feldstärke
Elastisch gespeicherte Energie:
Normalspannung: σ = E ⋅ ε
Schubspannung: τ = G ⋅ γ
1
1
(σε + τγ ) = ( Eε 2 + Gγ 2 )
2
2
Geodätisch gespeicherte Energie:
ρ m : Massendichte
GG
egeo = ρ m gr
G
g : Fallbeschleunigung
Energiedichte: eelast =
ε : Dehnung
γ : Scherung
E : Elastizitätsmodul
G : Schubmodul
Kinetisch gespeicherte Energie:
ekin =
1 G 2
ρm r
2
Prozessenergie:
Arbeit: Φ mech
GG ⎛⎜ σ x τ xy τ xz ⎞⎟
Spannungstensor (Spannungszustand eines Raumelements): T = ⎜τ yx σ y τ yz ⎟
⎜τ
⎟
⎝ zx τ zy σ z ⎠
GGG
G
Arbeitsstromdichte: ϕmech = −Tr
ϕmech; x = − (σ x rx + τ xy ry + τ xz rz )
Arbeitsstrom: Φ mech = Fx = pst Ax = pstV = M ⋅ ω
Strahlung: Φ rad
G G G
G
Energiestromdichte: ϕrad = S = E × H
G
S : Poynting-Vektor
Plancksches Strahlungsgesetz: Le,λ , S (T ) =
2hc 2
⎡
⎛ hc ⎞ ⎤
n 2 λ 5 ⎢ exp ⎜
⎟ − 1⎥ Ω 0
⎝ nλ kT ⎠ ⎦
⎣
M = εσ T 4
σ = 5, 67 ⋅10−8Wm−2 K −4
Wärme:
ν ⋅ λ = c0
Ω0 : Einheitsraumwinkel
Φ th
G
ϕth = −λ ⋅ grad (T )
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λ : Wärmeleitfähigkeit
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Interaktionen zwischen Prozess- & Systemenergien:
Wechselwirkungen eines Arbeitsstromes:
GG G GG G
G
− div (ϕ mech ) = ∇ ⋅ T r + T ∇ ⋅ r
( )
GG G
∇ ⋅T = f
G
G
f geo = ρ m g
G
G
f kin = ρ m r
G
G
fCb = ρ el E
G
G G
f Lz = J × B
G G
egeo = f geo r
G G
ekin = f kin r
GG GG
eelast = T ε
G
eth = [ − divϕ mech ]diss
Wechselwirkungen elektromagnetischer Strahlung:
G
G
G
G
G G
G G G G
G
− div (ϕ rad ) = − div ( E × H ) = Erot H − Hrot E = ε EE + μ HH + EJ
( )
eel = ε EE
ema = μ HH
( )
G
G
G ∂D
rot H = J +
∂t
G
G
∂B
rot E = −
∂t
( )
( )
J = ρ el v = κ E
κ = ρel b
eth = EJ = κ E 2
ekin = f Cb v = EJ
f Lz r = EJ
Wechselwirkungen eines Wärmestroms:
G
− div (ϕth ) = eth = + λ ⋅ div ( gradT )
Wärmeübertragung:
Mechanismen:
Wärmeleitung:
λ : Wärmeleitfähigkeit
G
Wärmestrom: ϕth = −λ ⋅ gradT
G
Dichte des Wärmestroms: c ρT = − divϕ
c : spez. Wärmekapazität
ρ m : Massendichte
th
Fourier’sches Gesetz der Wärmeleitung: T = α ⋅ div ( gradT )
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α=
λ
c ⋅ ρm
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Konvektion:
Fester Körper und Fluid unterschiedlicher Temperatur grenzen aneinander Î Konvektion!
TOb : Oberflächentemp des festen Körpers
Dichte des Wärmestroms: ϕth , konv = α konv (TOb − TFl )
TFl : Temp des Fluids in einiger Entfernung von der Oberfläche
α konv : konvektionsbedingter Wärmeübergangskoeffizient
Wärmestrahlung:
ε : Emissionsgrad
Wärmeabstrahlung: Φ = Aεσ T 4
r : Reflexionsgrad
Strahlungsaustausch:
α + r =1
α =ε
α : Absorbtionsgrad
σ : Stefan-Boltzmann-Konstante
Strahlungsfluss von Körper 1 zu Körper 2: Φ12 =
σ (T14 − T24 )
⎞
1
1 ⎛ 1
+ ⎜ − 1⎟
A1α1 A2 ⎝ α 2 ⎠
⎛ ⎛ T1 ⎞ 4 ⎛ T2 ⎞ 4 ⎞
Strahlungsfluss Körper 1 mit Umgebung: Φ12 = A1α1resσ (T − T ) = A1α1res Cs ⎜ ⎜
−
⎜ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 ⎟⎠ ⎟⎟
1
⎝
⎠
resultierender Absorbtionsgrad: α1res =
⎛
⎞
1 A1 1
+
−1
W
Cs = 5, 67 2 4
α1 A2 ⎜⎝ α 2 ⎟⎠
m K
Wärmefluss: ϕ = (α konv + α rad )(TOb − TU )
4
1
4
2
Wärmeübergangskoeffizient: α rad = ε1resσ (TOb2 + TU2 ) (TOb + TU )
Prozesse:
Stationärer Wärmedurchgang: T = 0
Wärmedurchgang durch Wände:
D
A:
λA
D:
⎛ D⎞ r
⎛ D⎞
r
Rth , Zyl = i ⋅ ln ⎜ 1 + ⎟ = i ⋅ ln ⎜ 1 + ⎟ ⋅ Rth , Eb ri :
λ Ai ⎝ ri ⎠ D ⎝ ri ⎠
Ai :
R
r
D
⋅ i = th , Eb
Rth , Kug =
λ Ai ri + D 1 + D
ri
Wärmewiderstand der Wand: Rth , Eb =
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Durchtrittsfläche
Dicke der Wand
Innenradius
innere Oberfläche
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Ti − Ta
Wärmestrom durch die Wand: Φ =
1
Aiα ges ,i
+ ∑ Rth +
= A0 k (Ti − Ta )
1
α ges ,i : Wärmeübergangskoeff. für Innenseite
Aaα ges ,a
α ges ,i : Wärmeübergangskoeff. für Aussenseite
k : Wärmedurchgangskoeff.
Ebene Wand (Alle Flächen gelich groß): k =
1
α ges ,i
1
D
+∑
λ
A 0 : Bezugsfläche
+
1
α ges ,a
Paradoxe Erhöhung des Wärmedurchgangskoeff. durch hinzufügen zusätzlicher Schichten bei
gekrümmten Wänden.
λ
Zylinder : ra <
αa
Æ Grenzbedingungen:
λ
Kugel : ra < 2
αa
Wärmeableitung über Kühlkörper:
Bolzen :
− d Φ = Udxα (T − TU )
Φ = − Aλ
Rippe :
dT
dx
A D
=
U 4
A D
=
U 2
ϑ = T − TU
d 2 ( Φ, ϑ )
= ( Φ,ϑ )
δ
dx 2
2
Charakteristisches Distanzmaß: δ =
Mit RB: Φ ( 0 ) = Φ 0 , Φ ( L ) = 0
Aλ
Uα
ϑ ( 0 ) = ϑ0 ,
dϑ ( L )
=0
dx
⎛ L−x⎞
⎛ L−x⎞
sinh ⎜
cosh ⎜
⎟
⎟
ϑ
Φ
⎝ δ ⎠
⎝ δ ⎠
Î Wärmestrom:
Übertemperatur:
=
=
ϑ0
Φ0
⎛L⎞
⎛L⎞
sinh ⎜ ⎟
cosh ⎜ ⎟
⎝δ ⎠
⎝δ ⎠
Φ
L
⎛
⎞
Wärmeleitwert eines Kühlkörpers: Gth = 0 = UAαλ ⋅ tanh ⎜ ⎟
ϑ0
⎝δ ⎠
Gth , grenz = UAαλ
Quasistationäre Erwärmung:
ϑ ( x, t ) = const.
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Örtliche Zusammenhänge bei quasistationärer Erwärmung:
Zeitlicher Verlauf der Temperaturen: ϑ ( x, 0 ) = 0
Normierung :
2λ
Θ=
⋅ϑ
ϕ zu D
τ=
4α
⋅t
D2
Verlauf der Temperatur an der Oberfläche für zeitlich konstanten Wärmestrom über eine
ebene Oberfläche in den unendlichen Halbraum:
τ
Θa = 2
π
Thermische Ausgleichsvorgänge:
Körper ohne inneren Wärmewiderstand:
c : spez. Wärmekapazität
Energiebilanz: V ρ cϑ = Φ = − Aαϑ
α : charakteristischer Wärmeübergangskoeff
τ : normierte Zeit
Aα
ϑ = ϑ0 ⋅ e−τ
⇒
τ=
V ρc
⋅t
Körper mit innerem Wärmewiderstand:
Normierungen: Ort : ξ =
x
D2
μ
Bi
4a
Zeit : τ = 2 t
D
Differenztemperatur : Θ =
Î DGL für Platte:
(
Dα
2λ
)
ϕ D 2 , t = αϑ0 ⋅ Θ (1,τ )
∞
Î Lösung der DGL: Θ (ξ ,τ ) = ∑ M j ⋅ e
j =1
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Bi =
ϑ
ϑ0
∂Θ ∂ 2 Θ
=
∂τ ∂ξ 2
= cot μ
− μ 2j τ
⋅ cos ( μ jξ )
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Mj =
2 ⋅ sin μ j
μ j + sin μ j ⋅ cos μ j
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Energiebilanz von Systemen:
Energie ist Erhaltungsgröße Î Möglichkeit für Energiebilanzen
Geschlossenes System:
Ein geschlossenes System steht mit seiner Umgebung nicht im
Stoffaustausch.
Von außen zugeführte Arbeit: dWa = − Fa dx
Reduzierte innere Komprimierungskraft: Fi = Fa − Ffr
Volumenänderungsarbeit: dWvol = − Fi dx
p=
Fi
A
A
= − pdV
A
dV = Adx
Dissipationsarbeit: dWdiss = dWa − dWvol = − Ffr dx ≥ 0
Differenzielle Energiebillanz: dEPr = dEzu − dEab = dESy
dEPr = dWa + dQ
dESy = dU
Energiebillanz: dU + pdV = dQ + dWdiss
Offenes System:
Einschieben eines Volumenelements:
Behälter kann mit Umgebung nicht in
Wärmeaustausch treten (adiabates System).
dWVol = dWVer
Spezifische Verschiebearbeit: wVer =
Spezifische Enthalpie: h = u + pv
dWVer
= pv
dm
dH = hdm
u=
dU
dm
Offenes System als Black Box:
Kinetische Energie der Massenelemente:
x 2
dEkin = dm
2
Energiebilanz:
dH1 + dEkin,1 + dWa + dQ = dH 2 + dEkin,2 + dESy
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2
⎛
x12 ⎞
+ Q = ⎛ h + x2 ⎞ m + E
h
+
m
+
W
⎜ 1
⎟ 1
⎜ 2
⎟ 2
a
Sy
2⎠
2⎠
⎝
⎝
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Stationärer Fließprozess:
m 1 = m 2 = m
W = w m
a
a
Q = qm
E = 0
Sy
h1 +
x12
x 2
+ wa + q = h2 + 2
2
2
2
2
2
1
1
1
h2 − h1 = ∫ dh = ∫ ( du + pdv + vdp ) = q + wdiss + ∫ vdp
Technische Arbeit: dWt = Vdp
x22 − x12
Arbeitsbilanz: wa =
+ wt + wdiss
2
Irreversible Vorgänge, Entropie:
Zweiter Haupsatz der Thermodynamik: Jedes abgeschlossene System strebt dem Zustand
(makroskopisch) größter Wahrscheinlichkeit zu.
Alle Systeme streben danach, bestehende Ungleichgewichte von Zuständen zu beseitigen. Das
Bestehen von Ungleichgewichten wird durch die Entropie S ausgedrückt.
S = k ⋅ ln P
P : Anzahl möglicher mikroskopischer Konstellationen, die durch den betrachteten
makroskopischen Zustand des Systems abgebildet werden können
k = 1,38 ⋅10−23 J / K
Entropiesatz: dS =
dU + pdV dQ + dWdiss dH − Vdp
=
=
T
T
T
Spezifische Entropie: s = S m
dS = sdm
Zunahme der Entropie:
•
Durch Dissipation von Arbeit, die auf ein System übertragen wird (Reibung,
Dissipationsterm in der elektromagnetischen Strahlung). Die Entropiezunahme je
dissipiertem Arbeitsquantum ist umso größer, je geringer das Temperaturniveau ist.
∂S
1
=
∂Wdiss T
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•
Φ th =
Durch Strömen von Wärme.
λA
d
(T1 − T2 ) = −Q1 = Q 2
Q
S1 = 1
T1
Q
S2 = 2
T2
T ( x ) = T1 − (T1 − T2 )
x
d
T
1− 2
Φ
T1
λ
A
⋅
S ( x ) = th =
T ( x ) d 1 − ⎛1 − T2 ⎞ x
⎜
T1 ⎟⎠ d
⎝
⎛1 1⎞
ΔS |12 = ⎜ − ⎟ ⋅ Φ th
⎝ T2 T1 ⎠
Das ideale Gas:
Die thermische Zustandsgleichung:
Ideales Gas: Gasteilchen treten nur im Augenblick der Kollision miteinander in
Wechselwirkung (elastischer Stoß).
einatomig :
Voraussetzungen für ideales Gas:
• Je kleiner der Druck und damit der mittlere Abstand der Teilchen
• Je kleiner das einzelne Teilchen (weniger Atome) ist
• Je höher die Temperatur
Druck des Gases (Gesamtimpuls auf Wandfläche pro Zeit und pro Fläche): p =
( )
Kinetische Energie eines Teilchens: Ekin
=
T
pV = NkT
2 N (T )
Ekin
3V
Thermische Zustandsgleichung für Molmenge n : pV = nN A kT = nR0T = mRT
N = n ⋅ NA
m = M ⋅n
R = R0 M
N A = 6, 022 ⋅1023 mol −1
R0 = N A k = 8,3145 J / mol / K
R : individuelle Gaskonstante
N A : Avogadro Konstante
R0 : universelle Gaskonstante
Thermische Zustandsgleichung (massenspezifisch): pv = RT
V
Spezifisches Gasvolumen: v = = ρ m−1
m
Änderung des spezifischen thermischen Energieinhalts: du = cv dT
Zusammenhang zwischen Enthalpie- & Temperaturänderung:
dh = du + d ( pv ) = cv dT + RdT = c p dT
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N
x (T ) 1
T
T
⋅ 2m( ) x ( ) ⋅
6
a a2
(T )
1
1
mx 2 ) = fkT
(
2
2
Zusammenhang von Druck und mittlerer Teilchenenergie: p =
Î mit f = 3 :
f =3
zweiatomig : f = 5
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f
⎛ ∂q ⎞
R=⎜
⎟
2
⎝ ∂T ⎠V =const
⎛ ∂q ⎞
cp = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ p =const
cv =
R = c p − cv
κ=
cp
cv
= 1+
2
R
= 1+
f
cv
c p : spezifische isobare Wärmekapazität
cv : spezifische isochore Wärmekapazität
κ : Isentropenexponent
9/29
Aus der thermischen Zustandsgleichung folgt:
• Boyle-Mariotte ( p ∝ V −1 )
•
Gay-Lussac
( p ∝ T )V =const
T = const
Zusammenhänge zwischen Temperatur und Entropie:
dT
dp
ds = c p
−R
T
p
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟
κ⎠
T ⎛ p ⎞⎝
=⎜ ⎟
T0 ⎝ p0 ⎠
Î
⋅e
s − s0
cp
T ⎛v⎞
=⎜ ⎟
T0 ⎝ v0 ⎠
(1−κ )
⋅e
s − s0
cv
Polytropische Zustandsänderungen: n : Polytropen-Exponent − ∞ < n < ∞
Zustandsänderungen idealer Gase in realen Maschinen: pv n = const
Zusammenhang zwischen Temperatur und Entropie:
⎛ s − s0 n − 1 ⎞
T
= exp ⎜
⋅
⎟
T0
⎝ cv n − κ ⎠
Besondere Zustandsänderungen beim idealen Gas:
n=
0
1
κ
∞
Konstanter Parameter
Druck p
Temperatur T
Spezifische Entropie s
Spezifisches Volumen v
Bezeichnung
Isobare
Isotherme
Isentrope
Isochore
Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck:
dT ⎛ 1 ⎞ dp
= ⎜1 − ⎟
T ⎝ n⎠ p
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟
T2 ⎛ p2 ⎞⎝ n ⎠
=⎜ ⎟
T1 ⎝ p1 ⎠
Zusammenhang zwischen Druck und spezifischem Volumen:
dp
dv
= −n
p
v
p2 ⎛ v2 ⎞
=⎜ ⎟
p1 ⎝ v1 ⎠
−n
Zusammenhang zwischen spez. Enthalpie und spez. technischer Arbeit:
dh =
1−
1−
h2 − h1 =
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1
n dw
1 t
κ
1−
1−
1
n w |2
1 t 1
κ
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10/29
Prozesse mit Druckabbau:
Zustandsänderung und Energiebilanz:
Stationäre Fließprozesse bei denen der Druck zwischen Eintritt
und Austritt abnimmt.
p
Druckverhältnis: Ψ = 2 < 1
p1
Teilentspannung des Massenstroms m :
I:
II:
Das Aufkommen technischer Arbeit wird durch
den Druckabbau des Mediums bewirkt (primärer
Abbau von Enthalpie; keine Entropieänderung)
dwt = vdp < 0
Dissipation eines Teils der technischen Arbeit.
(Enthalpie wieder erhöht bei gleichbleibendem
dw
Druck)
dsdiss = diss
T
Extremfall: Technische Arbeit dissipiert
Komplett und wird damit wieder vollständig auf
das Medium zurückübertragen: dwdiss = − dwt
Î Keine Energie übrig für Abgabe äußerer
Arbeit oder Erhöhung der kin. Energie.
Zusätzlich Unterbindung von III):
Î Äußere Energiebilanz:
dwa + dq = dh + d ( x 2 / 2 )
III:
Abfuhr von Wärme bei gleichbleibendem
Druck vermindert spezifische Enthalpie.
− dq
− dsQ =
T
Dissipierte Arbeit kommt am Ende der betrachteten
Teilentspannung wieder der Enthalpie des Stoffstroms zugute.
(Æ Interne Energierückgewinnung)
Gesamtvorgang der Entspannung:
Aneinanderreihung vieler infisitimaler Teilentspannungen.
2
wdiss + q = ∫ Tds
1
⎛
⎛ x 2 ⎞ ⎞
⎛ x 2 ⎞ 2
dq
dw
d
q
w
−
−
+
=
−
−
+
Δ
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ |1 = h1 − h2
a
a
∫1 ⎝
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ 2⎠
2
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11/29
Vergleich realer mit idealer (isentropischer wdiss = 0, q = 0 ) Prozess:
Die Ausbeute an äußerer Arbeit bzw. kinetischer Energie ist beim
Realen Prozess geringer als beim entsprechenden idealen.
Äußere Energiebilanz: h1 +
x12
x 2
= h2 + 2 + ( − wa ) + ( − q )
2
2
⎛ x 2 ⎞ 2
−
w
=
w
+
−
w
+
Δ
( a ) ⎜ ⎟ |1
Arbeitsbilanz:
t
diss
⎝ 2⎠
Innere Energiebilanz: h1 − h2 + wdiss = − wt + ( − q )
Turbine:
wa < 0 kontinuierliche Abgabe äußerer Arbeit
Druckabbau eines Gasstromes in einer Turbine
ist eine polytrope Zustandsänderung.
Austrittstemperatur: T2 = T1 ⋅ Ψ
RT1
Enthalpieabbau: h1 − h2 =
1
1−
κ
q ≤ 0 Wärmeabfuhr (bis adiabat. Grenzfall)
x1 = x2
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
⎛ 1⎞
⎛
⎜ 1− ⎟ ⎞
⎜1 − Ψ ⎝ n ⎠ ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Wärmeabgabegrad: kQ =
−q
h1 − h2
⎛ 1⎞
⎜ 1− ⎟ ⎞
RT1 ⎛
⎝ n⎠
1
−
Ψ
⎜
⎟
⎟
1⎜
⎠
1− ⎝
n
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟ ⎞
RT1 ⎛
Abgegebene äußere Arbeit: ( − wa ) =
⎜1 − Ψ ⎝ n ⎠ ⎟ (1 − kQ )
⎟
1⎜
⎠
1− ⎝
Aufgebrachte technische Arbeit:
( − wt ) =
κ
1
Innerer Wirkungsgrad (thermodynamische Güte):
( − wa ) = 1 − n 1 − k
ηi =
( Q)
( − wt ) 1 − 1
κ
Idealfall ‚reversibler Prozess’ Æ keine Arbeit wird dissipiert Î ηi = 1
Höhere Ausbeute an äußerer Arbeit durch:
- Vergrößerung des Druckabbaus
- Höherer innerer Wirkungsgrad
- Niedrigerer Wärmeabgabegrad
⎡⎛ 1 ⎞ η i ⎤
⎛
⎢⎜ 1− ⎟
⎥ ⎞
− wa 1 − kQ ⎜
⎢⎣⎝ κ ⎠1− kQ ⎥⎦ ⎟
Ausbeute äußerer Arbeit:
1− Ψ
=
⎟
RT1 1 − 1 ⎜
⎝
⎠
κ
Effizienz des Turbinenprozesses aus Relation der Ausbeute des Prozesses zur Ausbeute eines
reversiblen, adiabatischen Referenzprozesses zwischen den gleichen Druckniveaus und bei
gleicher Eintrittstemperatur.
Isentropischer Vergleichswirkungsgrad: ηis =
( − wa ) = 1 − Ψ
*
( − wa )
⎡ ⎛ 1 ⎞ ηi ⎤
⎢⎜1− ⎟
⎥
⎣⎢⎝ κ ⎠1− kQ ⎦⎥
1− Ψ
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⎡⎛ 1 ⎞ ⎤
⎢⎜1− κ ⎟ ⎥
⎠⎦
⎣⎝
(1 − k )
Q
12/29
Düse und Drossel:
Strömungsprozess mit veränderlichen Fließquerschnitt, ohne äußere Arbeitsabgabe ( wa = 0 )
und vernachlässigbarer Wärmeabgabe ( q = 0 ) Æ adiabatischer Prozess
⎛ x 2 ⎞
Differentielle Arbeitsbilanz: − dwt = d ⎜ ⎟ + dwdiss
⎝ 2⎠
Düsenprozess:
Æ Entstehende technische Arbeit dient zur Erhöhung der kinetischen Energie des strömenden
Mediums.
Ax
Kontinuitätsbedingung:
= const
v
Kompressible Gase: Im Geschwindigkeitsbereich unterhalb der Schallgeschwindigkeit muss
für Zunahme der Geschwindigkeit der Düsenquerschnitt abnehmen. Oberhalb der
Schallgeschwindigkeit muss er wieder zunehmen.
Ausbeute & Effizienz sind analog zum Turbinenprozess. Die äußere Arbeit ist hier der
Zuwachs an kinetischer Energie des strömenden Mediums.
Drosselprozess:
Kinetische Energie des strömenden Mediums hat am Austritt nicht zugenommen. Auch
Enthalpie und Temperatur haben am Austritt die gleichen Werte wie am Eintritt.
(Æ Maximale Entropiezunahme) Î Beim Druckabbau entstandene technische Arbeit wurde
vollständig dissipiert.
2 Dro
2 Dro
p
dp
Technische Arbeit: ( − wt ) Dro = ∫ −vdp = − RT ∫
= RT ⋅ ln 1 = ( wdiss ) Dro
p
p2
1
1
Rohrströmung:
Stationärer Fließprozess ohne äußere Arbeitsabgabe ( wa = 0 ).
2
1
⎛D⎞
Fließquerschnitt: AQ = π ⎜ ⎟ = const Î x ∝
v
⎝2⎠
Differentielle Arbeitsbilanz: − dwt = dwdiss = −vdp
1 2
ρ x Staudruck des fließ. Mediums
2
dAM = π Ddx Für Reibung wirksame Fläche
pdy =
Widerstandskraft für Druckänderung: dFW = AQ dp = − pdy dAM cW
Druckänderung je Längeneinheit: dp = −
ρ x 2λ
2D
dx
cW :
Widerstandsbeiwert
λ = 4 ⋅ cW :
ρm :
Rohrreibungskoeffizient
Z:
Realgasfaktor
konstante Massendichte
2
Inkompressible Flüssigkeiten:
Differenz zwischen Eintritts- & Austrittsdruck: p1 − p2 =
Kompressible Gase:
Differenz zwischen Eintritts- & Austrittsdruck: p12 − p22 =
ρ m x λ L
2
2D
=
8 ⋅ ρmλ L 2
V
π 2 D5
16 ⋅ RTZ λ L 2
m
π 2 D5
pv = RT ⋅ Z ( p, T )
pdp = −
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8 RTZ λ ⋅ m 2
dx
π 2 D5
⎛D⎞
V = π ⎜ ⎟ x
⎝2⎠
2
⎛ D ⎞ x
m = π ⎜ ⎟
⎝2⎠ v
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Prozesse mit Druckerhöhung:
Zustandsänderung und Energiebilanz:
Stationäre Fließprozesse bei denen der Druck des durchgesetzten
Stoffes zwischen Eintritt und Austritt zunimmt.
Abgabe von Wärme und Zufuhr äußerer Arbeit.
p
Druckverhältnis: Ψ = 2 > 1
p1
Infinitesimale Kompression des Massenstroms m :
I:
Zur Druckerhöhung des Mediums ist technische
Arbeit erforderlich (Aus zugeführter äusserer
Arbeit und Abbau kinetischer Energie; keine
Entropieänderung)
dwt = vdp > 0
II:
Dissipation von Arbeit durch Fluidreibung.
(Enthalpie wird bei gleichbleibendem Druck
weiter erhöht; Entropie nimmt zu)
dw
dsdiss = diss
T
Abfuhr von Wärme bei gleichbleibendem Druck
Vermindert spezifische Enthalpie des Mediums
wieder.
− dq
− dsQ =
T
III:
Î Äußere Energiebilanz: dwa + dq = dh + d ( x 2 / 2 )
Î Arbeitsbilanz: dwt = dwa − d ( x 2 / 2 ) − dwdiss
Technische Arbeit und dissipierte Arbeit vermehren am Ende
der infinitesimalen Kompression die Enthalpie des Stoffstroms,
abzüglich der Wärmeabgabe.
Gesamtvorgang der Kompression:
Aneinanderreihung vieler infisitimaler Vorgänge.
2
wdiss + q = ∫ Tds
1
2
∫ ( dw + dw
t
1
diss
2
+ dq ) = wt + wdiss + q = h2 − h1 = ∫ Tds
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2*it
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Vergleich realer mit reversiblem Prozess:
Vergleich hinsichtlich Eintritts-/Austrittsdruck,
Eintrittstemperatur und abgeführte Wärme.
wmehr = wt − ( wt )kü
*
Î Der Bedarf an technischer Arbeit zur
Druckerhöhung nimmt zu.
Insgesamt verursacht also die Dissipation bei einem
Prozess mit Druckerhöhung eine größere Zunahme
des Energiebedarfs, als es der betreffenden
Dissipationsarbeit entspricht:
*
⎡
x 2 ⎤ ⎡
x 2 ⎤
w
−
Δ
−
w
−
Δ
= wdiss + wmehr
a
⎢ a
2 ⎥⎦ ⎢⎣
2 ⎥⎦ kü
⎣
Die Abfuhr einer zusätzlichen Wärmemenge verringert
den Bedarf an technischer Arbeit. Î Günstig für den
Bedarf an technischer Arbeit sind Vermeidung von
Dissipation und Kühlung des Prozesses.
Äußere Energiebilanz: h1 +
x12
x 2
+ wa = h2 + 2 + ( − q )
2
2
⎛ x 2 ⎞ 2
Arbeitsbilanz: wa − Δ ⎜ ⎟ |1 = wt + wdiss
⎝ 2⎠
Innere Energiebilanz: wt + wdiss = Δ ( h ) |12 + ( − q )
Gasverdichter:
Polytropische Zustandsänderung ( wa > 0, q ≤ 0, x2 = x1 ).
Austrittstemperatur: T2 = T1 ⋅ Ψ
Enthalpiezunahme: h2 − h1 =
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
RT1
1
1−
κ
⎛ ⎛⎜1− 1n ⎞⎟ ⎞
⎜ Ψ ⎝ ⎠ − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Zur Druckerhöhung notwendige technische Arbeit: wt =
Zuzuführende äußere Arbeit: wa =
⎛ 1⎞
⎜1− ⎟
⎝ n⎠
RT1 Ψ
−1
⋅
1 1 − kkü
1−
⎛ 1⎞
RT1 ⎛ ⎜⎝1− n ⎟⎠ ⎞
− 1⎟
⎜Ψ
⎟
1⎜
⎠
1− ⎝
n
Kühlungsgrad: kkü =
κ
1−
−q
wa
1
wt
κ (1 − k )
=
kü
wa 1 − 1
n
Der Polytropenexponent n kann aus dem inneren Wirkungsgrad und Kühlungsgrad berechnet
werden.
Innerer Wirkungsgrad (thermodynamische Güte des Prozesses): ηi =
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⎡⎛ 1 ⎞1− kkü ⎤
⎢⎜ 1− ⎟
⎥
⎣⎝ κ ⎠ η i ⎦
wa
Ψ
−1
=
RT1 ⎛ 1 ⎞
⎜1 − ⎟ (1 − kkü )
⎝ κ⎠
Geringerer Bedarf an äußerer Arbeit durch kleineres
Druckverhältnis, höherer innerer Wirkungsgrad und
intensivere Kühlung.
Um die Effizienz des Kompressionsprozesses auszudrücken, muss der Antriebsbedarf mit
dem eines idealen Referenzprozesses (Beim Verdichterprozess nicht eindeutig vorgegeben)
verglichen werden.
Referenz: reversibler, adiabatischer Kompressionsprozess:
Bei gleichen Druckniveaus und gleicher Eintrittstemperatur. Isentropisch ( n = κ ).
( h2 − h1 )ad = ( wt )ad = ( wa )ad
*
*
*
RT1
=
1
1−
κ
( wa )ad
⎛ ⎛⎜1− κ1 ⎞⎟ ⎞
⎜ Ψ ⎝ ⎠ − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
*
Isentropischer Vergleichswirkungsgrad: ηis =
wa
Ψ
=
Ψ
⎛ 1⎞
⎜ 1− ⎟
⎝ κ⎠
−1
⎡⎛ 1 ⎞1− kkü ⎤
⎢⎜ 1− ⎟
⎥
⎣⎝ κ ⎠ η i ⎦
(1 − kkü )
−1
Referenz: reversibler, isothermer Kompressionsprozess:
So intensive Kühlung, dass gesamte zugeführte äußere Arbeit als Wärme wieder abgeführt
wird ( kkü = 1 ). Î n = 1
( wa )it = ( wt )it = RT1 ⋅ ln Ψ
*
*
( h2 − h1 )it = 0
*
Kreisprozesse:
Das allgemeinste Modell eines Kreisprozesses besteht aus zwei Teilprozessen (I), (II), die
sich auf unterschiedlichen Temperaturniveaus abspielen.
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Beziehungen der Kenngrößen:
ηth ⋅ εWP = 1
ε WP = 1 + ε KP
Carnot-Prozess:
Beim Carnot Prozess sind sämtliche Vorgänge reversibel. Die Wärmeaufnahme und -abgabe
findet jeweils bei konstanter Temperatur statt.
Wärmeaustausch des rechtslüfigen Carnot-Prozesses:
(C )
qob
= Tob ( s2 − s1 ) > 0
(C )
qunt
= Tunt ( s1 − s2 ) < 0
Arbeitsabgabe:
− wa(C ) = − wt = (Tob − Tunt )( s2 − s1 )
Carnot-Faktor (max mögliche Arbeitsausbeute eines Prozesses zwischen 2 Temperaturen):
ηth(C ) = 1 −
Tunt
Tob
Wärmepumpe:
Kreisprozess Kompressionswärmepumpe
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Gasturbine als Kraftmaschine:
Offener Einwellen-Prozess:
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Zweikreis-(ZTL)-Triebwerk:
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Energiefluss TL-Triebwerk:
Energiefluss ZTL-Triebwerk:
Verbrennungsmotoren:
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Resultierende Technische Arbeit:
Wt = − v∫ dWVol = − v∫ pdV < 0
Idealer Kreisprozess des OTTO-Motors:
Abgegebene Arbeit (Saldo):
*
4*
wab
= wa |1*2* + wa |3*
Thermischer Wirkungsgrad:
η =
*
th
*
− ( wab
)
3*
2*
q|
= 1−
1
ε
(κ −1)
Idealer Kreisprozess des DIESEL-Motors:
Abgegebene Arbeit:
*
4*
wab
= wa |1*2* + wa |3*
2* + wa |3*
Thermischer Wirkungsgrad:
η =
*
th
*
− ( wab
)
q |3*
2*
= 1−
1
κ ⋅ε
⋅
(κ −1)
ϕκ −1
ϕ −1
Einspritzverhältnis:
ϕ=
v3*
v2*
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Einfluss der Drosselung beim Ladungswechsel:
Zugeführte Kolbenarbeit von der Kurbelwelle:
Zum Füllen: WFü = − ( pFü − p0 )(VUT − VOT ) > 0
Zum Ausschieben: WAus = − ( p Aus − p0 )(VOT − VUT ) > 0
Insgesamt für Ladungswechsel: WLW = WFü + WAus = ( p Aus − pFü ) VH > 0
Realer und idealer Druckverlauf eines OTTO-Motors:
Ursachen für verringerte Arbeitsausbeute:
a) Gasreibung vor Verdichtung; Zündung vor OT
b) Verzögert ablaufende Verbrennung
c) Wärmeübertragung an Zylinderwände während
Verbrennung und Expansion
d) Beginn des Ausströmens vor UT und verzögerter Verlauf
e) Ladungswechsel (Druckabfälle, Drosselung)
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Energiebilanz eines Verbrennungsmotors:
η LW =
Pi
PIKP ,aus
Pzu = m K ⋅ H K
m L
m K =
⎛ mL ⎞
⋅λ
⎜
⎟
⎝ mK ⎠ Stöch
⇒ Pzu ≈
m L ≈
n VH
⋅
a v1*
n p1*
HK
⋅
⋅ VH ⋅
*
a RT1
⎛ mL ⎞
⋅λ
⎜
⎟
⎝ mK ⎠ Stöch
Spezifische Nutzarbeit je Arbeitshub :
Pab
p1*
HK
= ηe ⋅
⋅
we =
*
n
RT1 ⎛ mL ⎞
⋅VH
⋅λ
⎜
⎟
a
⎝ mK ⎠
Stöch
Änderung der idealen Kreisprozesse bei Teillast:
T2*
= ε (κ −1)
*
T1
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Trocknungsprozesse:
Entfernen einer Flüssigkeit aus einem festen Stoff (Trocknungsgut). Massenverhältnis
zwischen im Trocknungsgut enthaltener Flüssigkeit und der Trockensubstanz wird als
Beladung (Feuchte) bezeichnet.
Die thermische Trocknung ist die Überführung der Flüssigkeit in die Dampfphase. Dabei wird
das Abführen des Dampfes durch einen Luftstrom bewirkt.
Eigenschaften feuchter Luft:
Feuchte Luft ist ein Gemsich aus Luft und Wasserdampf, auf das mit hinreichender
Genauigkeit die Gesetzte für ideale Gase Anwendung finden können. p : Teildruck der trockenen Luft
L ,tr
pW : Teildruck des Wasserdampfes
Nach dem Dalton’schen Gesetz gilt dür den Gesamtdruck des Gemisches: p = pL ,tr + pW
Wasserdampf lässt sich nur in solcher Menge einem Gemsichvolumen beigeben, bis sein
Teildruck gleich dem Sättigungsdruck pW ,S ist. Die Temperatur bei der dies der Fall ist
bezeichnet man als Sättigungstemperatur.
Für die rechnerische Betrachtung wählt man als Bezugsgröße die trockenen Luft und definiert
ihren Feuchtigkeitsgehalt durch die Wasserbeladung.
Für die Feuchtigkeitsmenge je kg trockener bzw je (1+x)kg feuchter Luft gilt:
x=
mW
pW
pW
R
= L ⋅
= 0, 622 ⋅
mL ,tr RW p − pW
p − pW
Sättigung:
xS = 0, 622 ⋅
Relative Feuchte: ϕ =
RL = 287,1 J / kg / K
mL ,tr : trockene Luftmenge
RW = 461,5 J / kg / K
mW : Feuchtigkeitsmenge
pV = mRT
pW , S
p − pW , S
pW
x
p
=
⋅
pW , S 0, 622 + x pW , S
Spezifische Enthalpie der feuchten Luft (Buzugspunkt 0°C):
h = hL + x ⋅ hW ,vap
hL = c p , L ⋅ ϑ
(spezifische Enthalpie der trockenen Luft)
hW ,vap = r0 + c p ,W ,vap ⋅ ϑ (spezifische Enthalpie des Wasserdampfes)
c p , L = 1, 00 kJ / kg / K
c p ,W ,vap = 1,86 kJ / kg / K
r0 = 2500 kJ / kg (spezifische Verdampfungsenthalpie)
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Arten der Flüssigkeitsbindung:
Der größte Teil befindet sich in Poren und Kapillaren. Dabei kann das Abtropfwasser aus den
größten Zwischenräumen aufgrund der Schwerkraft von selbst abfließen. Aus kleineren Poren
und Zwickeln können die Haltekräfte durch mechanische Entwässerung überwunden werden.
Je dünner die Kapillare, desto stärker wird die Flüssigkeit darin festgehalten.
Energiebedarf bei thermischer Trocknung:
Thermische Trocknung beruht auf Verdunstung bzw. Verdampfung von im Trocknungsgut
enthaltener Flüssigkeit. Dabei muss die der jeweiligen Temperatur entsprechende
Verdampfungsenthalpie aufgewendet werden. Für hygroskopisch, adsorptiv oder chemisch
gebundene Flüssigkeitsteilchen muss noch zusätzlich Energie aufgewendet werden, um die
höheren Haltekräfte zu überwinden.
Zusätzlich wird Energie benötigt für:
• Erwärmung des Trocknungsgutes auf Prozesstemperatur
• Erwärmung der Luft, um verdampfte Flüssigkeit abzutransportieren
• Deckung von Wärmeverlusten der Trocknungsanlage
Energieübertragung auf das Trocknungsgut:
• Konvektion (Trocknungsgut wird von heißer Luft durch-/umströmt)
• Wärmeleitung (Trocknungsgut berührt Oberflächen heißer Körper)
• Strahlung (hauptsächlich IR)
• Elektrische Hochfrequenzfelder (Mikrowellen)
Prozessverlauf:
Dabei ist entscheidend, ob die Energieaufnahme
des Trocknungsgutes flächig oder volumetrisch ist.
Trocknungsvorgang bei flächiger Energieaufnahme:
Durch die Grenzschicht finden zwei Übertragungsvorgänge statt:
Wärmestrom fließt vom Luftstrom zur Oberfläche:
(Æ spezifische Enthalpie des Wasserdampfluftgemsiches verringert sich durch die
Grenzschicht hindurch nicht!)
Φ = Aα (TL − TOb )
xOb − xL ≈
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c p,L
r
(TL − TOb )
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Massenstrom verdunsteten Wassers fließt von der Oberfläche zum Luftstrom:
m W = A
D pW ,Ob − pW , L
⋅
s
RW Täq
Täq ≈ TL
D : Diffusionskoeffizient
Trocknungsabschnitte:
1.Abschnitt:
Beginnt, sobald die Oberfläche des Trocknungsgutes die
Temperatur TOb , I (Kühlgrenztemperatur) erreicht hat.
Dabei findet der Phasenübergang (Verdunstung)
ausschließlich an der Oberfläche statt.
Wärmestrom: Φ = m W ⋅ r
m W = A
α
r
(TL − TOb )
Stoffübergangskoeffizient: β =
r : Verdampfungsenthalpie
D
α
≈
s c p,L ⋅ ρL
Wärmestrom und Trocknungsgeschwindigkeit sind im 1.Abschnitt konstant.
Das Ende des 1.Abschnitts (Knickpunkt) ist erreicht, sobald die Oberfläche ganz trocken ist
(kritische Restfeuchte), ab der sich der Dampfdruck merklich erniedrigt. Das Trocknungsgut
weißt dann noch die sog. Knickpunktsfeuchte auf.
2./3.Abschnitt:
Die Verdunstung verlagert sich nach Passieren des
Knickpunktes zunehmend nach innen. Man nimmt
vereinfachend an, dass sich die Verdunstung zu jedem
Zeitpunkt in einer bestimmten Ebene abspielt, die von
der Oberfläche aus langsam nach innen wandert.
Dabei muss der entstandene Dampf über eine
wachsende Strecke bis zur Oberfläche diffundieren.
Insgesamt ist der 2.Abschnitt meist durch einen
näherungsweise linearen Zusammenhang zwischen
Trocknungsgeschwindigkeit und integraler
Flüssigkeitsbeladung gekennzeichnet.
Bei hygroskopischem Trocknungsgut gibt es zusätzlich
einen 3.Abschnitt, indem die hygroskopisch
gebundenen Feuchteanteile verdampft werden.
Die Trocknung endet, wenn das Gut insgesamt den
hygroskopischen Gleichgewichtszustand der Luft
erreicht hat.
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Trocknungsvorgang bei volumetrischer Energieaufnahme:
Trocknung mit Energiezufuhr durch Hochfrequenzfelder. Dabei erwärmt sich zunächst das
gesamte Gutsvolumen auf ca. 100°C, so dass überall Wasserverdampfung einsetzt. Der
entstandene Dampf diffundiert durch das Trocknungsgut hindurch. Auf dem Weg nach außen
findet eine teilweise Rückkondensation statt.
Die erreichbaren Trocknungsgeschwindigkeiten sind generell viel größer als bei flächiger
Energieaufnahme
Æ kürzere Trocknungszeiten (Angestrebte Endfeuchte wird wesentlich rascher erreicht)
Unterschiede in der Endfeuchte an verschiedenen Stellen des Gutes sind sehr gering, auch
wenn das Gut am Anfang kein gleichmäßiges Feuchteprofil hat.
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