Optische Fouriertransformation

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Angewandte Physik
Experimentelle Übungen für Fortgeschrittene
Optische Fouriertransformation
Juli 2004
Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich in der modernen Optik viele Probleme elegant
darstellen. Die Fouriertransformation beschreibt z. B. das Fraunhofersche Beugungsbild eines
beliebigen zweidimensionalen Objektes. Die Fouriertransformierte eines Objektes, genauer gesagt ihr Betragsquadrat, kann man in der Optik experimentell sichtbar machen. Auf diese Weise
erhält man einen anschaulichen Zugang zu ihrer physikalischen Bedeutung, nämlich der harmonischen Analyse des Objektes. Im Versuch wird das Beugungsbild (Fourierspektrum) eines
Gitters näher untersucht.
Die Fouriertransformation beschreibt auch die räumliche Filterung, d. h. wie sich die Abbildung
eines Objektes ändert, wenn man das Fraunhofersche Beugungsbild manipuliert. Fällt eine ebene
Welle auf eine Linse so erzeugt diese in ihrer Brennebene eine Beugungs-Amplitudenstruktur,
welche als Fouriertransformierte der Amplitudenverteilung in der Objektebene aufgefasst werden
kann. Zwei Linsen mit gemeinsamen Brennpunkt bilden einen optischen Filter, weil man in der
Fourierebene durch Blenden oder Filter das Beugungsbild verändern kann. In diesem Versuch
werden verschiedene Bilder mit einem Tiefpass, Hochpass und Bandpass gefiltert.
Kenntnisse
• Mathematische Beschreibung der Fouriertransformation
• Skalare Beugungstheorie
• Beugung am Spalt und am Gitter, Transmissionsfunktion
• Fraunhofer-Beugung, Fresnel-Beugung
• Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral
• Fouriertransformation mit einer Linse
• Raumfrequenz
• Optische Fourier-Filterung mit Linsen: Tiefpassfilter, Hochpassfilter
Literatur
[1] W. Lauterborn, T. Kurz, M. Wiesenfeldt: Kohärente Optik, Springer-Verlag, 1993
Kapitel 9 Fourieroptik
ULB Lehrbuch-Sammlung, Phy 6:Lau
[2] W. Stößel: Fourieroptik, Springer-Verlag, 1993
Kapitel 2 Fraunhoferbeugung
Kapitel 5 Räumliche Filterung
1
1
Grundlagen
1.1
Lineare Systeme
In der Fourieroptik werden die in der Signalverarbeitung zur Beschreibung linearer Systeme
entwickelten Methoden erweitert. Die Behandlung eindimensionaler zeitlicher Signale wird im
Folgenden kurz wiederholt und auf zwei Dimensionen verallgemeinert.
1.1.1
Fouriertransformation
Bei zeitlichen Signalen sind Zeit- und Frequenzfunktionen durch die eindimensionale Fouriertransformation
+∞
Z
F (ν) = F[f (t)](ν) =
f (t) e−2πiνt dt
−∞
bzw. die entsprechende Rücktransformation
f (t) = F
−1
+∞
Z
[F (ν)](t) =
F (ν) e2πiνt dν
−∞
miteinander verknüpft.
In der Fourieroptik ist das Analogon zum zeitlich variierenden Signal eine zweidimensionale
ortsabhängige Funktion. Die korrespondierenden Variablen, d. h. der Ort r⊥ = (x, y) und die
Raumfrequenz ν⊥ = (νx , νy ), sind hier durch die zweidimensionale Fouriertransformation
+∞
+∞ Z
Z
f (x, y) e−2πi(νx x+νy y) dx dy
F (νx , νy ) = F[f (x, y)](νx , νy ) =
−∞ −∞
bzw. die entsprechende Rücktransformation
+∞
+∞ Z
Z
F (νx , νy ) e2πi(νx x+νy y) dνx dνy
f (x, y) = F −1 [F (νx , νy )](x, y) =
−∞ −∞
miteinander verbunden.
1.1.2
Lineare Systemtheorie
Ziel der Systemtheorie ist es, die Wirkung eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems S
(LSI-Systems1 ) auf ein Eingangssignal f durch einen funktionalen Zusammenhang
g =S◦f
zu beschreiben. Verschiebungsinvariant ist ein System mit der Eigenschaft
g(r) = S ◦ f (r) ⇒ g(r − r0 ) = S ◦ f (r − r0 ) ,
wobei r ein Ortsvektor ist. Für zeitliche Signale bedeutet dies, dass die Antwort des Systems
auf die Funktion f nicht vom Startzeitpunkt abhängt. Der absolute Zeitpunkt, an dem mit dem
Experiment begonnen wird, ist nicht von Bedeutung.
1
Linear shift invariant
2
Das System S ist linear, wenn
S ◦ (af + bg) = aS ◦ (f ) + bS ◦ (g)
gilt. Diese Eigenschaften eines Systems haben folgende Konsequenz: Kennt man eine Funktion,
aus der sich jede beliebige Funktion durch Summation, Multiplikation mit einer Konstanten
und Verschiebung konstruieren lässt, so genügt es, zur Beschreibung des Systems die Antwort
auf diese eine Funktion zu kennen. Die Delta-Distribution ist gerade so definiert, dass sie die
entsprechende Eigenschaft hat:
+∞
Z
δ(x0 ) : f → f (x0 ) =
f (x) δ(x0 − x) dx .
−∞
Mit der Definition des Faltungsprodukts2
+∞
Z
f ∗g =
f (x) g(x0 − x) dx
−∞
lässt sich die Definition auch kürzer als f ∗ δ = f schreiben. Die Antwort h = S ◦ δ des Systems
auf die δ-Distribution wird als Stoßantwort oder Impulsantwort bzw. im Zweidimensionalen als
Punktantwort bezeichnet, da die δ-Distribution einem Impuls bzw. einem Punkt mit unendlich
großer Höhe und unendlich kleiner Breite entspricht, dessen Integral gleich eins ist. Sie entsteht
z. B. aus der Rechteckfunktion
1/∆x : |x| ≤ ∆x/2
rect(x) =
0 : sonst
im Grenzübergang ∆x → 0.
Aufgrund der Linearität und der Verschiebungsinvarianz des Systems S lässt sich nun die Antwort g des Systems auf jede beliebige Funktion f als Faltung mit der Impulsantwort berechnen:
!
g = S ◦ f = f ∗ h.
Die Berechnung des Faltungsintegrals kann im Einzelfall schwierig sein. Im Fourierraum ist sie
deutlich einfacher3 :
G=F ·H,
wobei die Großbuchstaben die jeweiligen Fouriertransformierten der mit den Kleinbuchstaben
bezeichneten Funktionen kennzeichnen. D. h. eine Faltung im Ortsraum wird zu einem Produkt
im Fourierraum.
Bei den hier vorgestellten Überlegungen gingen keine Eigenschaften der Variablen r ein. Diese
kann i. A. ein n-dimensionaler Vektor sein. Bei zeitlichen Signalen handelt es sich um die Variable
t. In der Fourieroptik ist r ein zweidimensionaler Vektor, der in einer Ebene senkrecht zur
optischen Achse, der Vorzugsausbreitungsrichtung des Lichtfeldes, liegt.
1.2
Skalare Beugungstheorie
Bei der folgenden Behandlung der Beugung wird der Vektorcharakter der elektromagnetischen
Feldes nicht berücksichtigt. Die Feldstärke des elektrischen Feldes wird immer durch einen Skalar
E beschrieben, es handelt sich daher um eine skalare Theorie.
2
3
Das Faltungsprodukt ist kommutativ, assioziativ und distributiv.
Die Fouriertransformierte von g berechnen und die Darstellung der δ-Distribution δ(x) =
+∞
R
−∞
3
ei2πxν dν benutzen!
y’
y
(x,y)
einlaufende
(x’,y’)
ebene Welle
x’
x
z
z=z’
z=0
Abbildung 1: Beugung einer ebenen Welle an einer Struktur τ (x, y)
Eine monochromatische, ebene Welle
E e (x, y, z) = E0 · ei(kz−ωt)
breitet sich in z-Richtung aus und trifft am Ort z = 0 auf ein ebenes Hindernis (vgl. Abbildung 1).
Dieses wird durch die komplexe Transmissionsfunktion τ (x, y) beschrieben. Das transmittierte
Feld ist
E t (x, y, z = 0) = τ (x, y) E e (x, y, z = 0).
Nach dem Huygensschen Prinzip kann die weitere Ausbreitung durch die Annahme beschrieben
werden, dass von jedem Punkt (x,y,0) unmittelbar hinter der beugenden Struktur eine Kugelwelle ausgeht. Um die Feldamplitude an einem Ort (x′ , y ′ , z) hinter dem beugenden Objekt zu
erhalten, muss daher über alle Kugelwellen summiert (integriert) werden. Diese Beschreibung ist
jedoch unvollständig. Sie führt insbesondere dazu, dass auch eine Welle in negativer z-Richtung
abgestrahlt würde, die nicht beobachtet wird. Die erzeugten Wellen werden gerichtet, d. h. mit
einer von der Richtung abhängigen Amplitude, abgestrahlt. Dies spiegelt sich in der FresnelKirchhoffschen Beugungsformel, die aus der skalaren Wellengleichung abgeleitet werden kann4 ,
in einem Richtungsfaktor wider. Für den hier diskutierten Fall einer von einer ebenen Welle
beleuchteten beugenden Struktur vereinfacht sich die Fresnel-Kirchhoffsche Beugungsformel zu
1
E(x , y , z) =
iλ
′
′
+∞ Z
+∞
Z
E t (x, y, z = 0)
−∞ −∞
eikr
r
|{z}
Kugelwelle
1
[1 + cos(~ez , ~r)] dx dy ,
|2
{z
}
(1)
Richtungsfaktor
wobei ~ez der Einheitsvektor in z-Richtung und ~r = (x′ − x, y ′ − y, z ′ ) ist.
1.2.1
Fresnel-Näherung
Die Gleichung (1) ist im Allgemeinen zu kompliziert, um konkrete Beugungsprobleme analytisch
zu behandeln, so dass Näherungen notwendig sind. Sind die transversalen Abmessungen der
beugenden Struktur und des Beugungsbildes klein im Vergleich zu dem Abstand zwischen Objekt
und Beugungsbild, d. h. gilt |x|, |y|, |x′ |, |y ′ | ≪ z, dann spricht man von der paraxialen Näherung.
In diesem Fall können in Gleichung (1) folgende Vereinfachungen vorgenommen werden:
• Der Winkel zwischen der z-Achse und ~r ist klein, so dass cos(~ez , ~r) ≈ 1 gilt.
q
p
′
′
• Für den Abstand r = (x′ − x)2 + (y ′ − y)2 + z 2 = z 1 + ( x z−x )2 + ( y z−y )2 kann die
Entwicklung der Wurzel nach der ersten Ordnung abgebrochen werden: r ≈ z +
(y ′ −y)2
2z .
4
(x′ −x)2
2z
Diese Entwicklung wird im Exponenten der Exponentialfunktion verwendet.
vgl. z.B. Hecht, Optik, Kap. 10.4.
4
+
• Die Amplitude ist weit weniger empfindlich auf Abstandsänderungen als die Phase, bei
der es wegen der Interferenz auf Abweichungen von der Größe einer Wellenlänge ankommt.
Daher genügt für den Nenner die gröbere Abschätzung r ≈ z.
Damit folgt:
eikz
E(x′ , y ′ , z) =
iλz
+∞ Z
+∞
Z
ik
′
2
′
2
E t (x, y, z = 0) e 2z ((x −x) +(y −y) ) dx dy.
(2)
−∞ −∞
Diese Gleichung lässt sich auch als Faltung des transmittierten Feldes mit der Stoß- bwz. Punk2
2
ikz ik
tantwort hz (x, y) = eiλz e 2z (x +y ) für die Ausbreitung im Vakuum über die Strecke z schreiben:
E(x′ , y ′ , z) = E t (x, y, 0) ∗ hz (x, y) .
Durch Ausmultiplizieren der quadratischen Ausdrücke im Exponenten von Gleichung (2), wird
der Zusammenhang mit der Fouriertransformierten bei der Fresnelnäherung deutlich:
′
′
E(x , y , z) =
eikz ik (x′2 +y′2 )
e 2z
iλz
+∞ Z
+∞
Z
ik
ik
2
2
′
′
E t (x, y, z = 0) e 2z (x +y ) e− z (xx +yy ) dx dy
−∞ −∞
+∞ Z
+∞
Z
y′
iπ
x′
2
2
eikz ik (x′2 +y′2 )
e 2z
E t (x, y, z = 0) e λz (x +y ) e−2πi λz x e−2πi λz y dx dy
iλz
−∞ −∞
iπ
2
2
= A(x′ , y ′ , z)F E t (x, y, z = 0) e λz (x +y ) (νx , νy )
(3)
=
′2
′2
ikz ik
y′
x′
mit A(x′ , y ′ , z) = eiλz e 2z (x +y ) und νx = λz
bzw. νy = λz
. νx und νy werden analog zu den
Frequenzen der Fouriertransformation zeitlicher Signale als Raumfrequenzen bezeichnet.
Zu Beginn dieses Abschnitts wurde vorausgesetzt, dass das Objekt mit einer ebenen Welle
ausgeleuchtet wird. Dies entspricht der Beleuchtung mit einer Punktquelle aus unendlich großer
Entfernung und ist für die Fraunhofer Näherung Voraussetzung (s. u.). Andererseits wird unter
den Begriff der Fresnelbeugung i. A. auch die Situation gefasst, in der die Punktquelle sich in
endlicher Entfernung vor dem beugenden Objekt befindet. Die Krümmung der Wellenfront wird
in diesem Fall berücksichtigt und führt auf die sogenannten Fresnelzonen.
1.2.2
Fraunhofer Näherung
Die Fresnelsche Näherung liefert bereits bei kleinen Abständen (z > 10λ) vom beugenden Objekt
gute Ergebnisse. Oft interessiert man sich jedoch für das Beugungsbild, das erst in sehr großen
Entfernungen eines begrenzten Objektes entsteht, für das sogenannte Fernfeld. Dieser Fall der
Fraunhofer-Näherung ist gegeben, wenn die Bedingung
(x2 + y 2 )
π
≪z
λ
(4)
erfüllt ist und das Objekt mit einer ebenen Welle beleuchtet wird. Damit gilt
iπ
e λz (x
2 +y 2
)≈1
und kann im Integral in Gleichung (3) eingesetzt werden. Für Beugung in der Fraunhoferschen
Näherung gilt also
E(x′ , y ′ , z) = A(x′ , y ′ , z)F E t (x, y, z = 0) (νx , νy )
(5)
5
y
y’
x
x’
β
α
z
z=0
Abbildung 2: Zur Definition der Beugungswinkel zu den Raumfrequenzen
′2
′2
ikz ik
mit A(x′ , y ′ , z) = eiλz e 2z (x +y ) . In der Fraunhofer Näherung ist das Fernfeld damit durch die
Fouriertransformierte der sich ausbreitenden Feldverteilung gegeben. Die Raumfrequenzen
νx =
x′
λz
und
νy =
y′
λz
der beugenden Struktur erzeugen Strahlen, die unter den Winkeln
α ≈ tan α =
x′
= λνx
z
bzw.
β ≈ tan β =
y′
= λνy
z
vom beugenden Objekt ausgehen.
1.2.3
Die Fouriertransformation mit einer Linse
Die soeben beschriebene Fraunhofer Beugung erzeugt die Fouriertransformierte einer Feldverteilung in großer Entfernung. Dies ist für Anwendungen sehr unpraktisch, so dass die Idee naheliegt,
das Beugungsbild aus dem Unendlichen mit einer Linse in eine endliche Entfernung zu bringen.
Licht, das durch eine Linse geht, erfährt eine vom Ort abhängige Phasenverschiebung5 Φ:
φ=−
k 2
(x + y 2 ).
2f
Der Durchgang einer Feldverteilung durch eine Linse kann also durch die Multiplikation mit der
k
2
2
Linsentransmissionsfunktion τLinse (x, y) := e−i 2f (x +y ) beschrieben werden. Es stellt sich die
Frage, ob und wenn ja in welcher Entfernung ∆z von der Linse die Fouriertransformierte der
Feldverteilung entsteht. Hierzu muss die Ausbreitung des Lichtfeldes nach dem Durchgang durch
die Linse berechnet werden. Da das Ziel ist, die Beugung in endlicher Entfernung von der Feldverteilung zu berechnen, ist die Beschreibung der Beugung in der Fresnelnäherung notwendig.
Die Feldverteilung in der Entfernung ∆z ist dann gegeben durch
E(x′ , y ′ , ∆z) = [(E(x, y, 0)τLinse (x, y)) ∗ h∆z (x, y)] (x′ , y ′ ),
einsetzen liefert
eikz
E(x , y , ∆z) =
iλ∆z
′
′
+∞ Z
+∞
Z
−i k (x2 +y 2 ) ik ((x−x′ )2 +(y−y ′ )2 )
E(x, y, 0) e 2f
e 2∆z
dx dy.
−∞ −∞
5
Mögliche Herleitung: Achsenparallele Strahlen werden von einer Linse in ihrem Brennpunkt gesammelt. Der Gangunterschied der parallelen Strahlen wird durch die Phasenverschiebung der Linse kompensiert.
6
Die Exponenten der e-Funktionen sind sehr ähnlich. Durch Einsetzen von ∆z = f , d. h. durch
das Verlegen der Beobachtungsebene in den Brennpunkt der Ebene, lassen sich die Exponenten
zusammenfassen und vereinfachen. Es folgt
′
′
E(x , y , f ) =
eikf i 2fk (x′ 2 +y′ 2 )
e
iλf
+∞ Z
+∞
Z
ik
′
′
E(x, y, 0) e− f (xx +yy ) dx dy
−∞ −∞
=
eikf
iλf
′2
′2
k
i 2f
(x +y )
e
F[E](
x′ y ′
,
).
λf λf
(6)
In der Brennebene einer Linse entsteht damit eine Feldverteilung, die gleich der Fouriertransformierten der Feldverteilung vor der Linse multipliziert mit einem Phasenfaktor ist. Es wird
daher eine Intensitätsverteilung beobachtet, die proportional zum Betragsquadrat der Fouriertransformierten ist.
Häufig ist es nicht möglich oder nicht erwünscht, die Feldverteilung des zu verarbeitenden Bildes
am Ort der Linse zu erzeugen. Insbesondere bei dem im Experiment verwendeten Aufbau eines
Teleskops soll eine scharfe Abbildung eines Objekts gewährleistet sein. Hierzu ist es notwendig,
das Objekt mindestens im Abstand f vor die Linse zu stellen. Es soll nun untersucht werden,
inwieweit die Ausbreitung des Lichtes vor der Linse die Feldverteilung in der Brennebene der
Linse beeinflusst. Hierzu wird wiederum die Fresnel-Näherung verwendet. Es habe sich also die
Feldverteilung E in Gleichung (6) bereits um eine Strecke s ausgebreitet, bevor sie auf die Linse
trifft. In Gleichung (6) muss also E durch hs ∗ E ersetzt werden:
E(x′ , y ′ , f ) =
x′ y ′
eikf i 2fk (x2 +y2 )
F[hs ∗ E]( ,
e
).
iλf
λf λf
Da eine Faltung im Ortsraum einer Multiplikation im Fourierraum entspricht (vgl. Kap. 1.1.2),
führt die Ausbreitung um eine Strecke s zur Multiplikation mit der Fouriertransformierten Hs
der Stoßantwort hs des Laufweges s im Vakuum. Für diese gilt6
Hs (νx , νy ) = eiks e−2π
2 i s (ν 2 +ν 2 )
y
k x
Eine Ausbreitung des Feldes vor der Linse führt damit zu einer Phasenänderung in der Brennebene, die bei der Betrachtung mit einem Schirm nicht zu beobachten ist. Eine Verschiebung
des Objekts vor der Linse führt daher zu keiner auf dem Schirm beobachtbaren Änderung. Es
ändert sich jedoch die Phase der Feldverteilung.
Für die Ausbreitung um die Strecke f vor der Linse, d. h. wenn das beobachtete Objekt sich
gerade in der Brennebene der Linse befindet, folgt:
E(x′ , y ′ , f ) =
eik2f
x′ y ′
F[E(x, y, 0)]( ,
).
iλf
λf λf
(7)
Bei einer f -f -Anordnung ist damit die Feldverteilung in der Brennebene hinter der Linse genau
die Fouriertransformierte des Feldverteilung in der Brennebene vor der Linse (abgesehen, von
dem nicht von x und y abhängenden, die longitudinale Ausbreitung beschreibenden Vorfaktor
exp(ik2f )/iλf ). Beim Aufbau eines Fourierfilters, eines Teleskops, bestehend aus zwei solchen
2f -Anordnungen, macht man sich dies zunutze. Die zweite 2f -Anordnung erzeugt hier die Fouriertransformierte der Fouriertransformierten und somit das Originalbild (bis auf einen kleinen
Unterschied, welchen?). In der gemeinsamen Brennebene der beiden Linsen kann nun das durch
das Teleskop übertragene Bild direkt im Fourierraum verändert werden.
6
Unter Ausnutzung von
+∞
R
−∞
cos x2 dx =
p
π/2 und
+∞
R
sin x2 dx =
−∞
7
p
π/2.
2
Geräte und Zubehör
• Laserdiode
• optische Bank
• Linsen
• Gitter
• Kamera
3
Aufgaben & Hinweise
3.1
Übergang zwischen Nahfeld und Fernfeld
Wie in Abschnitt 1.2.2 gezeigt wurde, entspricht das Lichtfeld, das an einem Objekt gebeugt
wird, der Fouriertransfomierten der Transmissionsfunktion des Objekts. Bei der Herleitung wurde die Näherung (4) verwendet. In diesem Versuchsteil soll die Frage geklärt werden, ab wann
diese Näherung im Experiment erfüllt ist. Hierzu wird die Ausbreitung eines Laserstrahls (Diodenlaser λ = 635 nm) nach Durchgang durch ein Gitter beobachtet. Es sind folgende Fragen
zu beantworten:
• Wie ändert sich die Intensitätsverteilung des transmittierten Lichts durch die Beugung?
• Woran erkennt man das Fernfeld?
• Bei welcher Entfernung s vom Gitter ist die Näherung (4) erfüllt?
• Wie hängt diese Entfernung s von der Größe des beugenden Objektes ab?
Anschließend sollen Gitterkonstanten einiger Gitter bestimmt werden, indem für das transmittierte Feld die Gültigkeit von (4) sichergestellt und das Beugungsbild vermessen wird.
3.2
Fouriertransformation mit einer Linse
Wie in der Theorie beschrieben, kann mit Hilfe einer Linse das Fernfeld aus dem Unendlichen
ins Endliche geholt werden. Unter Verwendung dieser Technik werden die Gitterkonstanten aus
dem ersten Versuchsteil neu bestimmt. Hierzu ist es notwendig, das Beugungsbild mit einer
Abbildung zu vergrößern und die Vergrößerung zu bestimmen.
3.3
Fourierfilterung
Durch die doppelte Anwendung der Fouriertransformation mit einer Linse entsteht ein sogenannter Fourierfilter. Im gemeinsamen Brennpunkt der Linsen kann das beobachtete Objekt im
Frequenzraum manipuliert werden. Es werden folgende Filterexperimente durchgeführt:
• Auf einem Gitter steht ein Schriftzug. Nach der Filterung soll nur noch die Schrift zu sehen
sein.
• Ein Gitter deckt den Nenner des Bruches
nicht aber die ’1’ zu sehen sein.
1
2
ab. Nach der Filterung soll nur noch die ’2’,
• Ein Quadratgitter wird mit Hilfe eines Spaltes unter 0◦ , 45◦ und 90◦ gefiltert und die
Wellenlänge der entstehenden Gitter bestimmt.
• Ein beliebiges Objekt wird ’hochpassgefilter’.
• Luftströmungen oberhalb einer Kerzenflamme werden hochpassgefilter.
8
4
Fragen zur Vorbereitung
• Was versteht man bei der Beugung unter Fresnel- und Fraunhofer-Näherung?
• Wie sieht die Fourier-Transformierte eines Gitters im Fernfeld aus?
• Woran erkennt man das Fernfeld?
• Wie kann man das Strahlprofil eines aufgeweiteten Gaußschen Laserstrahls verbessern?
• Was für einen Filter setzt man zur Kantenverstärkung ein?
9