Kapitel 1: Gauss Strahlen

1 Gauss Strahlen
1.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum
1.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral
Es zeigt sich, dass die Intensitätsverteilung eines Laserstrahls in der Grundmode quer
zur Ausbreitungsrichtung gaussförmig ist. Nicht nur in der Laseroptik, sondern auch
im Bereich der Millimeter- und Submillimeterwellen begegnet man gaussförmigen Intensitäts- resp. Feldverteilungen. Im Mikrowellenbereich1 wird eine gaussförmige Verteilung
des elektrischen Feldes mittels einer Hornantenne erzeugt. Besonders geeignet sind hierzu sog. corrugated“ Hornantennen oder Rillen-Hornantennen. Auf die Theorie solcher
”
Antennen wird in einem späteren Kapitel eingegangen. Ein Beispiel eines Rillenhorns ist
in Abbildung 1.1 dargestellt. Die zugehörige Intensitätsverteilung sowie die Verteilung
der Phase zeigt Abbildung 1.2. Wir nehmen nun an, dass eine gaussförmige Feldvertei-
Abbildung 1.1: Rillenhorn zur Erzeugung einer gaussförmigen Feldverteilung
lung auf irgend eine Art erzeugt worden sei, also z.B. mit einem Laser oder mit einem
Rillenhorn. Wir nehmen zusätzlich an, dass in einer Bezugsebene die Phasenfront eben
sei. Eine solche Feld- und Phasenverteilung ist in Abbildung 1.2 illustriert. Wir fragen uns, wie die Feldverteilung dann in einem Abstand z aussieht. Ist sie immer noch
gaussförmig, ändert die Phase etc.?
1
Unter Mikrowellen, resp. dem Mikrowellenbereich, verstehen wir im Rahmen dieser Vorlesung sozusagen den Oberbegriff von Millimeter- und Submillimeterwellen, dies etwa auch als Gegensatz zum
Begriff Optik, wobei sichtbare Optik gemeint ist.
1
1 Gauss Strahlen
SMILES Horn Antenna
Amplitude [dB]
270
−10
225
−20
180
−30
135
−40
90
−50
45
−60
0
−40
−30
−20
−10
0
Theta [deg]
10
20
30
Phase [deg]
Amplitude
Phase
Model
0
40
Abbildung 1.2: Intensitäts- und Phasenverteilung eines Rillenhorns bei 650 GHz.
Überlagert sind theoretische Werte. Die Messungen wurden mit einem
vektoriellen Netzwerk Analysator (ABmillimetrique) von A.Murk durchgeführt.
In der Ebene z = 0 sei die Verteilung des E-Feldes gegeben durch
E(x, y, 0) = Ae−(x
2 +y 2
)/w02 .
(1.1)
Dabei ist w0 der Abstand von der z-Achse, bei welchem das E-Feld auf 1/e abgefallen
ist. Um heraus zu finden, wie sich die Feldverteilung bei einer Ausbreitung in z-Richtung
ändert, setzen wir 1.1 in das Huygens-Fresnel Beugungsintegral ein, und erhalten so die
Verteilung an der Stelle x" , y ", z.
Das Huygens Integral basiert auf einem intuitiven physikalischen Prinzip: Die Feldverteilung E(x, y, 0) über eine geschlossene Fläche S0 sei gegeben. Das Feld an jedem Punkt
der Fläche S0 kann dann als Quelle einer Kugelwelle, einer Huygens-Welle betrachtet
werden, die von eben diesem Punkt ausgeht. Das totale Feld an irgend einem anderen
Punkt kann dann durch Summation aller dieser Teilwellen berechnet werden. Eine mathematische Formulierung des Huygens Prinzip erfolgte durch Fresnel und Kirchhoff. In
der Näherung von Fresnel werden die Kugelwellen durch paraxiale sphärische, d.h. paraboloide Wellen angenähert. Wie wir noch sehen werden, gilt diese paraxiale Näherung
für Ausbreitungsrichtungen, die bis ca. 30° zur Achse geneigt sind.
Das Huygens-Fresnel Integral lässt sich wie folgt schreiben, was im übrigen der Im-
2
1 Gauss Strahlen
pulsantwort des freien Raumes entspricht:
jA −jkz
E(x , y , z) =
e
λz
"
"
! +∞
!
k
! 2 +(y−y ! )2 ))
E(x, y, 0)e−j 2z ((x−x )
dxdy.
(1.2)
−∞
Damit erhalten wir für die Verteilung der ursprünglich gaussförmigen Verteilung in der
Ebene z = 0 nun für eine Ebene im Abstand z:
jA −jkz
E(x" , y ", z) =
e
λz
! +∞
!
e−(x
2 +y 2 )/w 2
0
k
! 2 +(y−y ! )2 ))
e−j 2z ((x−x )
dxdy.
(1.3)
−∞
Dieses Doppel-Integral kann als Produkt eines Integrals in x und eines Integrals in y
geschrieben werden, wobei beide Integrale dieselbe Form haben. Betrachten wir nur das
Integral über x, so erhalten wir
!+∞
k
2
2
! 2
Ix =
e−x /w0 e−j[ 2z ](x−x ) dx.
(1.4)
−∞
Dieses Integral lässt sich relativ leicht, z.B. mit dem Programm Maple, lösen. Wird dies
auch für das Integral in y durchgeführt und ersetzt man noch
2
2
2
r " = x" + y " ,
(1.5)
so erhält man schliesslich für das elektrische Feld im Abstand z von der Ausgangsebene
z = 0:
"
#
2jπw02
2kzr " 2
"
−jkz
E(r , z) =
Ae
· exp −j 2
λ(2z + jkw02 )
4z + (kw02 )2
"
#
(kw0 r " )2
·exp − 2
.
(1.6)
4z + (kw02 )2
Die Gleichung besteht aus drei Exponentialtermen. Der erste beschreibt die Phase
einer ebenen Welle. Der zweite Term ist verantwortlich für eine Krümmung der Phasenfront und der letzte Exponentialterm beschreibt die Feldverteilung und damit die
Intensität transversal zur Ausbreitungsrichtung. Dieser Sachverhalt wird nun im einzelnen diskutiert.
Wir haben oben gesehen, dass das Feld bei z = 0 für einen Wert w0 von der z−Achse
auf 1/e abfällt. Dies ist übrigens leicht durch Einsetzen von z = 0 in 1.6 zu sehen:
E(r " , z = 0) = Ae−r
! 2 /w 2
0
.
(1.7)
Analog fällt E auf 1/e ab an der Stelle z für einen Abstand von r " = w(z) von der Achse.
Wenn wir den dritten Teil somit gleichsetzen mit e−1 , so erhalten wir
(kw0 w)2 = 4z 2 + (kw02 )2 ,
3
(1.8)
1 Gauss Strahlen
was nach Auflösung nach w 2 zu
2
w =
w02
+
"
2z
kw0
#2
(1.9)
führt und wir somit für den Abstand w von der Ausbreitungsachse an der Stelle z, wo
das Feld auf e−1 abgefallen ist, erhalten
$
w(z) = w0 1 +
"
2z
kw02
#2 %1/2
.
(1.10)
Wenn wir noch k = 2π/λ setzen, so erhalten wir schliesslich
$
w(z) = w0 1 +
"
λz
πw02
#2 %1/2
.
(1.11)
An der Stelle z = 0 hat der Strahl eine e-Wertsbreite w0 und eine ebene Phasenfront.
Der Krümmungsradius ist dort somit unendlich. Von da aus breitet sich der Strahl in
zunehmender Richtung von z mit zunehmender Breite w(z) aus. Wir hätten ebenso gut
das Beugungsintegral für Werte links von z = 0 schreiben können, d.h. für negative
z und hätten genau dasselbe herausgefunden. Das heisst aber, dass der Punkt z = 0
der Punkt ist, wo der Strahl am schmälsten ist, und dass die Strahlbreite für grössere
z−Werte zunimmt (gemäss 1.11) und zwar abhängig von w0 . Abbildung 1.3 illustriert
diesen Zusammenhang.
Ein Gauss-Strahl2 wird jedoch nicht allein durch seine Breite an einem bestimmten Ort
definiert. Für die komplette Beschreibung braucht es noch einen zusätzlichen Parameter,
beispielsweise den Krümmungsradius der Phasenfront. Dieser kann aus dem zweiten
Term in Gleichung 1.6 abgeleitet werden.
Als nächstes wollen wir untersuchen, wie sich die Phase verhält und widmen uns
daher dem zweiten Term. Der Phasenunterschied zwischen einer ebenen Welle und einer
sphärischen Welle im Abstand r " von der Achse sei d (Abbildung 1.4), resp. kd
2kzr " 2
kd = 2
.
4z + (kw02 )2
(1.12)
In der paraxialen Näherung ist zudem
2
r " + R2 = (R + d)2
und damit
R=
2
r"2
.
2d
(1.13)
(1.14)
Mit Gauss-Strahl meinen wir im Folgenden immer eigentlich ein ganzes Paket oder Bündel (engl.
beam) von Strahlen, nicht einen einzelnen geometrischen Strahl im wörtlichen Sinne.
4
1 Gauss Strahlen
20
w =1mm
0
18
1.5
2.0
2.5
3.0
f=300 GHz
16
Strahlradius [mm]
14
12
10
8
6
4
2
0
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Distanz auf der Achse [mm]
20
30
40
50
Abbildung 1.3: Räumliche Ausdehnung eines Gauss Strahles für verschiedene Taillengrössen w0 .
d
R
r´
R
phase
front
Abbildung 1.4: Phasenunterschied zwischen einer ebenen und einer sphärischen Welle
5
1 Gauss Strahlen
Damit erhalten wir für den Krümmungsradius des Gauss Strahles
$
" 2 #2 %
πw0
R(z) = z 1 +
.
λz
(1.15)
Das Verhalten des Krümmungsradius R als Funktion des Abstandes ist in Abbildung
1.5 dargestellt. Wir gehen noch ausführlicher auf diesen Parameter im Abschnitt 1.2.4
ein. Mittels des Ausdrucks für R(z) lässt sich das E-Feld nun einfacher schreiben:3
200
w =1.0mm
0
150
1.5
2.0
2.5
3.0
f=300GHz
Krümmungsradius R [mm]
100
50
0
−50
−100
−150
−200
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Distanz auf Achse [mm]
20
30
40
50
Abbildung 1.5: Krümmungsradius eines Gauss Strahles für verschiedene Taillengrössen
w0 .
& '
"
#()
w0
πr 2
λz
2
2
E(r, z) =
A exp −j kz +
− arctan
e−r /w(z) .
2
w(z)
λR(z)
πw0
(1.16)
Dabei haben wir den komplexen Vorfaktor in Gleichung 1.6 noch in die polare Form
umgeschrieben, d.h.:
λz
1 + j πw2
2jπw02
1
w0
=
=
e
* 0+2 =
2z
2
λ(2z + jkw0 )
w(z)
1 − j kw2
λz
1 + πw2
0
i arctan(
λz
2
πw0
)
.
(1.17)
0
Damit haben wir einen weiteren Exponentialterm, der eine Phase darstellt. Auf diesen
λz
arctan( πw
2 ) Term werden wir weiter unten in Abschnitt 1.2.4 noch genauer eingehen. Wir
0
3
entspricht Formel (2.25b) in Goldsmith, allerdings dort mit A(0) = 1
6
1 Gauss Strahlen
wollen nun das E-Feld noch so normieren, dass die gesamte Leistung, welche proportional
zu E 2 ist, im Strahl eins wird
!∞
0
| E |2 2πr dr = 1.
(1.18)
Dieses Integral muss natürlich auch für z = 0 normiert sein. Damit können wir aber A
bestimmen:
!∞
2 −2r 2 /w02
A e
2
2πr dr = 2πA
0
!∞
e−2r
2 /w 2
0
1
r dr = πA2 w02 = 1,
2
(1.19)
0
d.h.
A=
,
2 1
.
π w0
(1.20)
Damit wird das normierte elektrische Feld4
,
πr 2
2 1 −r2 /w2 −j(kz− λR(z)
+φ0 )
E(x, y, z) =
e
e
,
π w(z)
wobei
φ0 = arctan
"
λz
πw02
#
.
(1.21)
(1.22)
Wir führen noch den sog. konfokalen Parameter zc ein
zc =
und erhalten
πw02
,
λ
"
z
φ0 = arctan
zc
(1.23)
#
.
(1.24)
Eine Diskussion der Bedeutung der Phase in einem Gauss Strahl wird in Abschnitt 1.2.4
gegeben.
Mit dem Parameter zc lassen sich auch w(z) und R(z) etwas kompakter schreiben:
$
w(z) = w0 1 +
"
R(z) = z +
4
entspricht Formel (2.26a) in Goldsmith
7
z
zc
#2 %0.5
zc2
.
z
,
(1.25)
(1.26)
1 Gauss Strahlen
1.1.2 Herleitung mit Helmholtz-Gleichung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Ausbreitung eines Gauss-Strahles zu beschreiben.
Wir haben in Abschnitt 1.1.1 untersucht, wie sich eine gaussförmige Feldverteilung im
freien Raum ausbreitet. Wir haben uns dabei auf die Impulsantwort des freien Raumes
abgestützt. Wir hätten eben so gut die Transferfunktion des Raumes nutzen können,
d.h. die Ausbreitung als eine Summe von ebenen Wellen unter unterschiedlichen Winkeln betrachten können. In der Literatur wird meistens nach paraxialen Lösungen der
Helmholtz-Gleichung gesucht. Dieser Ansatz führt aber auf komplexe Ortskoordinaten,
die physikalisch nicht einfach zu interpretieren sind. Aus dem Grund wurde hier der anschaulich einfachere Zugang mittels des Beugungsintegrals gewählt. (Allerdings wurden
die Begriffe Impulsantwort resp. Transferfunktion vorausgesetzt, die in der Fourieroptik
Verwendung finden.) Der Vollständigkeit halber, wird aber in diesem Abschnitt die andere Herleitung skizziert. Für Details wird auf die Literatur verwiesen.
Basis ist die Helmholtz Gleichung, welche aus der allgemeinen Wellenfunktion mit
einem harmonischen Ansatz, d.h. ejωt , resultiert
(∇2 + k 2 )E(x, y, z) = 0.
(1.27)
Es wird nun für das elektrische Feld ein paraxialer Ansatz gewählt. Eine paraxiale
Welle ist eine ebene Welle e−jkz , welche mit einem komplexen Amplitudenfaktor u(x, y, z)
moduliert wird, der eine langsam ändernde Funktion des Ortes ist:
E(x, y, z) = u(x, y, z)e−jkz .
(1.28)
Als Näherung wird angenommen, dass u in der Umgebung etwa einer Wellenlänge λ
konstant ist, so dass die Welle lokal wie eine ebene Welle ist, mit Wellenfront-Normalen,
die paraxiale Strahlen sind.5 Mathematisch ausgedrückt:
- 2 -∂ u- ∂u (1.29)
- ∂z 2 - # -2k ∂z - .
Mit diesem paraxialen Ansatz wird die Helmholtz Gleichung modifiziert
∂2u ∂2u
∂u
+
−
2jk
= 0.
∂x2 ∂y 2
∂z
(1.30)
Es werden nun Lösungen der paraxialen Helmholtz Gleichung gesucht. Eine mögliche
Lösung ist eine parabolische Welle:
u(x, y, z) =
A −jk x2 +y2
2z
e
.
z
(1.31)
Die parabolische Welle ist die paraxiale Näherung einer sphärischen Welle. Eine andere
Lösung der paraxialen Helmholtz Gleichung ist die gaussförmige Welle (engl. Gauss
beam), wie wir sie in Gleichung 1.21 erhalten haben. Wie wir in Abschnitt 1.3 sehen
5
Strahl wird hier ausnahmsweise im Sinne eines geometrischen Strahles verstanden
8
1 Gauss Strahlen
werden, sind auch andere kompliziertere Wellen, sog. höhere Moden, ebenfalls Lösungen.
Sie werden durch Gauss-Laguerre und Gauss-Hermite Polynome beschrieben. Man kann
zeigen, dass die Gauss Lösung aus der parabolischen Welle durch eine Transformation der
Ortskoordinate z hervorgeht. Wenn eine Lösung in z vorliegt, muss auch eine Schiebung
gemäss q(z) = z − ξ eine Lösung sein, wobei ξ eine Konstante ist. Falls ξ komplex ist,
d.h. ξ = −jzc , resp.
q(z) = z + jzc ,
(1.32)
so führt das auf die Lösung
u(x, y, z) =
2 +y 2
A −jk x2q(z)
e
.
q(z)
(1.33)
Amplitude und Phase dieser komplexen Amplitude können separiert werden, wenn die
komplexe Funktion 1/q(z) = 1/(z + jzc ) in ihren Real- und Imaginärteil zerlegt wird, so
dass
1
1
λ
=
−j 2 .
(1.34)
q(z)
R(z)
πw (z)
Dabei sind w(z) und R(z) die Strahlweite (engl. beam waist) und der Krümmungsradius
der Phasenfront, so wie in Gleichung 1.11 und 1.15 bereits hergeleitet.
1.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
Nachdem wir das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Gauss-Strahlen zurecht gelegt haben, wollen wir uns den physikalischen Eigenschaften zuwenden. Vorderhand betrachten wir einen Gauss Strahl in der Grundmode und wir wollen untersuchen,
wie er sich praktisch betrachtet ausbreitet. Wir wollen uns also beispielsweise fragen,
wie divergiert der Strahl, wie gross muss eine Apertur sein, etc.
1.2.1 Intensität, Leistung und Randbelegung Te
Das elektrische Feld in der Grundmode, vgl. Gleichung 1.21 weist ein Maximum auf
sowohl für z = 0 als auch für r = 0. Sobald z oder r von 0 abweichen, nimmt das
elektrische Feld ab, damit aber auch die Leistungsdichte, welche proportional zu E 2 ist.
Die Leistungsdichte oder Intensität hat die Dimension [W/m2 ]. Häufig wird die Intensität
normiert. Allerdings muss man aufpassen auf was normiert wird. Eine Möglichkeit ist
auf das Maximum bei z = 0 und r = 0 zu normieren. Eine andere Art ist lediglich auf
r = 0 bei der momentan interessierende Distanz z zu normieren.
Wir betrachten zuerst den ersten Fall. Hierzu bestimmen wir E(0, 0) mittels Gleichung
1.21 und erhalten
"
#1/2
2
E(0, 0) =
= E0 ,
(1.35)
πw02
und für die normierte Intensität somit
Inorm =
I(r, z)
w02 −2r2 /w(z)2
=
e
,
I(0, 0)
w(z)2
9
(1.36)
1 Gauss Strahlen
resp. für die Intensität
I(r, z) = I0
"
#
w02 −2r2 /w(z)2
e
.
w(z)2
(1.37)
Mittels der konfokalen Länge zc lässt sich die Intensität auch schreiben
3
2
0.1
1
0.
0.3
rel. Abstand
w/w0
2
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
rel. Distanz
z/zc
1
2
3
Abbildung 1.6: Konturen der relativen Leistungsdichte in der Grundmode
I(r, z)norm =
.
1+
"
z
zc
#2 /−1
“
−2r 2 /w02 1+( zz
e
c
2
”
) .
(1.38)
Man sieht, dass die Intensität entlang der Achse im Abstand z = zc auf die Hälfte
absinkt, und dass für sehr grosse Werte von√|z| $ zc die Intensität mit 1/z 2 abnimmt.
Interessant ist, dass für Werte von r > w0 / 2 die Intensität entlang z zuerst zunimmt
und erst nach Erreichen eines Maximums abnimmt6 . Dieser Sachverhalt wird in Figur
1.6 und in Figur 1.7 veranschaulicht.
Häufig stellt sich die Frage nach der Leistungsdichte in einem bestimmten Abstand
r von der Ausbreitungsachse, bezüglich dem Wert auf der Achse für irgend ein z. Jetzt
wird also bezüglich E(0, z) normiert:
|E(0, z)| =
6
"
2
πw 2
#1/2
.
Als Übung bestimmen für welche Werte von z das Maximum auftritt
10
(1.39)
1 Gauss Strahlen
1
0.9
0.8
rel. Leistung
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3
2
3
1
2
rel. Abstand
w/w
0
0
1
0
−1
rel. Distanz
z/zc
−1
−2
−3
−2
−3
Abbildung 1.7: Relative Leistungsdichte in der Grundmode
Für das Intensitätsverhältnis7 erhalten wir nun
2r 2
I(r)
= e− w2 .
I(0)
(1.40)
Als Randbelegung, oder engl. edge taper“ Te bezeichnet man das Verhältnis des Wertes
”
an der Stelle r = re zu demjenigen bei r = 0 , d.h.
−
Te (re ) = e
„
2
2re
w(z)2
«
.
(1.41)
Häufig wird die Randbelegung in dB ausgedrückt
Te (dB) = −10 log(Te ) = 8.686
* r +2
e
w
.
(1.42)
Aus der Randbelegung lässt sich andererseits der entsprechende Radius re bestimmen
re
= 0.3393[Te (dB)]0.5 ,
w
7
(1.43)
Goldsmith verwendet für dieses Verhältnis P (r)/P (0), (Gleichung (2.33b)), was auf ein Leistungsverhältnis schliessen lässt. Er unterscheidet in seiner Nomenklatur nicht zwischen Leistungsdichte
resp. Intensität und Leistung
11
1 Gauss Strahlen
Dabei ist 0.3393 = (20 log(e))−1/2 .
Wir können nun auch bestimmen, welcher Teil Fe (re ) der Leistung eines Gauss-Strahls
durch eine Apertur mit Durchmesser 2a = 2re hindurch geht:
2
Fe (re ) =
πw 2
!re
0
2
2re
2r 2
2πre− w2 dr = 1 − e− w2 = 1 − Te (re ).
(1.44)
Als Faustregel merke man sich, dass eine Apertur mit Durchmesser D = 2w 86% der
Leistung im Gauss Strahl durchlässt. Ein Durchmesser der Grösse D = πw lässt immerhin schon 99% durch. Ist der Durchmesser D = 4w, so passieren 99.97% des Strahles
das Hindernis. Optische Komponenten sollten also mindestens eine Öffnung haben, die
dem 4w-Kriterium entsprechen. Das Bestimmen der Leistung welche durch die Apertur
geht ist nur ein Aspekt. Es ist zu beachten, dass Aperturen, insbesondere scharfkantige,
zu Beugungseffekten führen, auch wenn der abgeschnittene Teil der Leistung noch so
gering ist. Das Intensitätsprofil wird dann nicht mehr schön Gauss förmig sein, sondern
einen überlagerten Rippel aufweisen. Damit diese Rippel auf einen Wert von 1% herunter
kommen, muss die Apertur mindestens einen Durchmesser von D = 4.6w aufweisen.
1.2.2 Rayleigh Länge zc
Über welche Distanz breitet sich ein Gauss Strahl aus, bevor er signifikant zu divergieren
beginnt? Die Änderung der Strahlweite w(z) bei Ausbreitung entlang z ist gegeben durch
den Ausdruck 1.11. Wir sehen, dass der Strahl umso schneller √
divergiert, je kleiner die
Strahltaille w0 ist. Die Distanz bis zu der w auf einen Faktor 2 angewachsen ist und
damit die Fläche auf einen Faktor 2 zugenommen hat, ist durch den Parameter
zc =
πw02
λ
(1.45)
gegeben. Der Parameter zc wird häufig auch als Rayleigh-Länge bezeichnet. Die RayleighLänge bezeichnet auch etwa den Übergangsbereich vom Fresnel- zum Fraunhofer-Bereich,
oder vom Nahfeld zum Fernfeld. In der Antennentheorie bezeichnet man den Abstand
von einer Antenne bis zum Bereich, wo das Fernfeld8 beginnt mit zF ernf eld = 2D 2 /λ.
Der Parameter zc wird zudem auch als konfokale Länge bezeichnet. Die Fokustiefe
entspricht dann 2zc . Mit anderen Worten, über einen Bereich von rund zwei RayleighLängen divergiert der Strahl unwesentlich. Das bedeutet aber auch, dass je kleiner w0 ,
resp. der Brennfleck, desto genauer muss seine Lage bekannt sein.
1.2.3 Strahldivergenz θ0
Für sehr grosse Abstände z $ zc von der Strahltaille wird der Strahlradius
w(z) ≈ w0
8
z
.
zc
Als Übung zeigen, wie die beiden Grössen korrespondieren
12
(1.46)
1 Gauss Strahlen
Wir definieren den Strahldivergenz Winkel9 θ0 durch
"
#
* +
λ
λ
−1 w
−1
θ0 = lim tan
= tan
'
.
z$zc
z
πw0
πw0
(1.47)
Abbildung 1.8 illustriert, wie sich mit zunehmender Distanz auf der Ausbreitungsachse
der Strahl asymptotisch dem Grenzwinkel θ0 annähert. Aus Gleichung 1.47 sieht man
4.5
4
3.5
rel. Abstand w/w
0
3
2.5
2
1.5
1
0.5
θ0
0
0
0.5
1
1.5
2
rel. Distanz z/z
2.5
3
3.5
4
c
Abbildung 1.8: Grenzwinkel θ0 eines Gauss Strahles
deutlich, dass der Strahl um so mehr divergiert, je enger er in der Taille ist. Zudem sei
in Erinnerung gerufen, dass sich θ0 auf das elektrische Feld und nicht auf die Intensität
bezieht, und dass es sich jeweils um den halben Winkel handelt. Häufig ist aber von
Interesse bei welchem Winkel die Leistung auf die Hälfte abgefallen ist. Wir bezeichnen
diesen Winkel mit θ1/2 und bestimmen ihn aus
„
−2
P (θ1/2 )
=e
P (θ = 0)
θ1/2
θ0
«2
=
1
2
(1.48)
und anschliessendem Auflösen nach θ1/2 . Die gesamte Breite des Strahls auf halber Leistung entspricht dann zwei mal diesem Wert:
,
ln(2)
θHP BW = θf whm = 2θ1/2 = 2
θ0 = 1.18θ0 .
(1.49)
2
9
Es versteht sich von selbst, dass θ0 in radian ist.
13