Kapitel 4: Gauss Beams

4 Gauss Strahlen
4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum
4.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral
Es zeigt sich, dass die Intensitätsverteilung eines Laserstrahls in der Grundmode quer
zur Ausbreitungsrichtung gaussförmig ist. Nicht nur in der Laseroptik, sondern auch im
Bereich der Millimeter- und Submillimeterwellen begegnet man gauss förmigen Intensitäts- resp. Feldverteilungen. Im Mikrowellenbereich1 wird eine gaussförmige Verteilung
des elektrischen Feldes mittels einer Hornantenne erzeugt. Besonders geeignet sind hierzu sog. corrugated“ Hornantennen oder Rillen-Hornantennen. Auf die Theorie solcher
”
Antennen wird in einem späteren Kapitel eingegangen. Ein Beispiel eines Rillenhorns ist
in Abbildung 4.1 dargestellt. Die zugehörige Intensitätsverteilung sowie die Verteilung
der Phase zeigt Abbildung 4.2. Wir nehmen nun an, dass eine gaussförmige Feldvertei-
Abbildung 4.1: Rillenhorn zur Erzeugung einer gaussförmigen Feldverteilung
lung auf irgend eine Art erzeugt worden sei, also z.B. mit einem Laser oder mit einem
Rillenhorn. Wir nehmen zusätzlich an, dass in einer Bezugsebene die Phasenfront eben
sei. Eine solche Feld- und Phasenverteilung ist in Abbildung 4.2 illustriert. Wir fragen uns, wie die Feldverteilung dann in einem Abstand z aussieht. Ist sie immer noch
gaussförmig, ändert die Phase etc.?
1
Unter Mikrowellen, resp. dem Mikrowellenbereich, verstehen wir im Rahmen dieser Vorlesung sozusagen den Oberbegriff von Millimeter- und Submillimeterwellen, dies etwa auch als Gegensatz zum
Begriff Optik, wobei sichtbare Optik gemeint ist.
87
4 Gauss Strahlen
SMILES Horn Antenna
Amplitude [dB]
270
−10
225
−20
180
−30
135
−40
90
−50
45
−60
0
−40
−30
−20
−10
0
Theta [deg]
10
20
30
Phase [deg]
Amplitude
Phase
Model
0
40
Abbildung 4.2: Intensitäts- und Phasenverteilung eines Rillenhorns bei 650 GHz.
Überlagert sind theoretische Werte. Die Messungen wurden mit einem
vektoriellen Netzwerk Analysator (ABmillimetrique) von A.Murk durchgeführt.
In der Ebene z = 0 sei die Verteilung des E-Feldes gegeben durch
E(x, y, 0) = Ae−(x
2 +y 2
)/w02 .
(4.1)
Dabei ist w0 der Abstand von der z-Achse, bei welchem das E-Feld auf 1/e abgefallen
ist. Um heraus zu finden, wie sich die Feldverteilung bei einer Ausbreitung in z-Richtung
ändert, setzen wir 4.1 in das Huygens-Fresnel Beugungsintegral ein, und erhalten so die
Verteilung an der Stelle x0 , y 0 , z.
Das Huygens Integral basiert auf einem intuitiven physikalischen Prinzip: Die Feldverteilung E(x, y, 0) über eine geschlossene Fläche S0 sei gegeben. Das Feld an jedem Punkt
der Fläche S0 kann dann als Quelle einer Kugelwelle, einer Huygens-Welle betrachtet
werden, die von eben diesem Punkt ausgeht. Das totale Feld an irgend einem anderen
Punkt kann dann durch Summation aller dieser Teilwellen berechnet werden. Eine mathematische Formulierung des Huygens Prinzip erfolgte durch Fresnel und Kirchhoff. In
der Näherung von Fresnel werden die Kugelwellen durch paraxiale sphärische, d.h. paraboloide Wellen angenähert. Wie wir noch sehen werden, gilt diese paraxiale Näherung
für Ausbreitungsrichtungen, die bis ca. 30° zur Achse geneigt sind.
Das Huygens-Fresnel Integral lässt sich wie folgt schreiben, was im übrigen der Im-
88
4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum
pulsantwort des freien Raumes entspricht:
+∞
k
jA −jkz x
0 2
0 2
E(x, y, 0)e−j 2z ((x−x ) +(y−y ) )) dxdy.
e
E(x , y , z) =
λz
−∞
0
0
(4.2)
Damit erhalten wir für die Verteilung der ursprünglich gaussförmigen Verteilung in der
Ebene z = 0 nun für eine Ebene im Abstand z:
+∞
jA −jkz x −(x2 +y2 )/w02 −j k ((x−x0 )2 +(y−y0 )2 ))
e 2z
e
e
dxdy.
E(x , y , z) =
λz
−∞
0
0
(4.3)
Dieses Doppel-Integral kann als Produkt eines Integrals in x und eines Integrals in y
geschrieben werden, wobei beide Integrale dieselbe Form haben. Betrachten wir nur das
Integral über x, so erhalten wir
Z+∞
k
0 2
2
2
Ix =
e−x /w0 e−j[ 2z ](x−x ) dx.
(4.4)
−∞
Dieses Integral lässt sich relativ leicht, z.B. mit dem Programm Maple, lösen. Wird dies
auch für das Integral in y durchgeführt und ersetzt man noch
2
2
2
r 0 = x0 + y 0 ,
(4.5)
so erhält man schliesslich für das elektrische Feld im Abstand z von der Ausgangsebene
z = 0:
2kzr0 2
2jπw02
−jkz
0
Ae
· exp −j 2
E(r , z) =
λ(2z + jkw02 )
4z + (kw02 )2
(kw0 r0 )2
·exp − 2
.
(4.6)
4z + (kw02 )2
Die Gleichung besteht aus drei Exponentialtermen. Der erste beschreibt die Phase
einer ebenen Welle. Der zweite Term ist verantwortlich für eine Krümmung der Phasenfront und der letzte Exponentialterm beschreibt die Feldverteilung und damit die
Intensität transversal zur Ausbreitungsrichtung. Dieser Sachverhalt wird nun im einzelnen diskutiert.
Wir haben oben gesehen, dass das Feld bei z = 0 für einen Wert w0 von der z−Achse
auf 1/e abfällt. Dies ist übrigens leicht durch Einsetzen von z = 0 in 4.6 zu sehen:
E(r0 , z = 0) = Ae−r
0 2 /w 2
0
.
(4.7)
Analog fällt E auf 1/e ab an der Stelle z für einen Abstand von r0 = w(z) von der Achse.
Wenn wir den dritten Teil somit gleichsetzen mit e−1 , so erhalten wir
(kw0 w)2 = 4z 2 + (kw02 )2 ,
(4.8)
89
4 Gauss Strahlen
was nach Auflösung nach w2 zu
2
w =
w02
+
2z
kw0
2
(4.9)
führt und wir somit für den Abstand w von der Ausbreitungsachse an der Stelle z, wo
das Feld auf e−1 abgefallen ist, erhalten
"
w(z) = w0 1 +
2z
kw02
2 #1/2
.
(4.10)
Wenn wir noch k = 2π/λ setzen, so erhalten wir schliesslich
"
w(z) = w0 1 +
λz
πw02
2 #1/2
.
(4.11)
An der Stelle z = 0 hat der Strahl eine e-Wertsbreite w0 und eine ebene Phasenfront.
Der Krümmungsradius ist dort somit unendlich. Von da aus breitet sich der Strahl in
zunehmender Richtung von z mit zunehmender Breite w(z) aus. Wir hätten ebenso gut
das Beugungsintegral für Werte links von z = 0 schreiben können, d.h. für negative
z und hätten genau dasselbe herausgefunden. Das heisst aber, dass der Punkt z = 0
der Punkt ist, wo der Strahl am schmälsten ist, und dass die Strahlbreite für grössere
z−Werte zunimmt (gemäss 4.11) und zwar abhängig von w0 . Abbildung 4.3 illustriert
diesen Zusammenhang.
Ein Gauss-Strahl2 wird jedoch nicht allein durch seine Breite an einem bestimmten Ort
definiert. Für die komplette Beschreibung braucht es noch einen zusätzlichen Parameter,
beispielsweise den Krümmungsradius der Phasenfront. Dieser kann aus dem zweiten
Term in Gleichung 4.6 abgeleitet werden.
Als nächstes wollen wir untersuchen, wie sich die Phase verhält und widmen uns
daher dem zweiten Term. Der Phasenunterschied zwischen einer ebenen Welle und einer
sphärischen Welle im Abstand r0 von der Achse sei d (Abbildung 4.4), resp. kd
2kzr0 2
.
kd = 2
4z + (kw02 )2
(4.12)
In der paraxialen Näherung ist zudem
2
r0 + R2 = (R + d)2
und damit
R=
2
r0 2
.
2d
(4.13)
(4.14)
Mit Gauss-Strahl meinen wir im Folgenden immer eigentlich ein ganzes Paket oder Bündel (engl.
beam) von Strahlen, nicht einen einzelnen geometrischen Strahl im wörtlichen Sinne.
90
4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum
20
w =1mm
0
18
1.5
2.0
2.5
3.0
f=300 GHz
16
Strahlradius [mm]
14
12
10
8
6
4
2
0
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Distanz auf der Achse [mm]
20
30
40
50
Abbildung 4.3: Räumliche Ausdehnung eines Gauss Strahles für verschiedene Taillengrössen w0 .
d
R
r´
R
phase
front
Abbildung 4.4: Phasenunterschied zwischen einer ebenen und einer sphärischen Welle
91
4 Gauss Strahlen
Damit erhalten wir für den Krümmungsradius des Gauss Strahles
"
2 2 #
πw0
.
R(z) = z 1 +
λz
(4.15)
Das Verhalten des Krümmungsradius R als Funktion des Abstandes ist in Abbildung
4.5 dargestellt. Wir gehen noch ausführlicher auf diesen Parameter im Abschnitt 4.2.4
ein. Mittels des Ausdrucks für R(z) lässt sich das E-Feld nun einfacher schreiben:3
200
w =1.0mm
0
150
1.5
2.0
2.5
3.0
f=300GHz
Krümmungsradius R [mm]
100
50
0
−50
−100
−150
−200
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Distanz auf Achse [mm]
20
30
40
50
Abbildung 4.5: Krümmungsradius eines Gauss Strahles für verschiedene Taillengrössen
w0 .
w0
πr2
λz
2
2
E(r, z) =
A exp −j kz +
− arctan
e−r /w(z) .
2
w(z)
λR(z)
πw0
(4.16)
Dabei haben wir den komplexen Vorfaktor in Gleichung 4.6 noch in die polare Form
umgeschrieben, d.h.:
λz
1 + j πw2
w0
2jπw02
1
=
=
e
02 =
2z
2
λ(2z + jkw0 )
w(z)
1 − j kw2
λz
1 + πw2
0
i arctan(
λz
2)
πw0
.
(4.17)
0
Damit haben wir einen weiteren Exponentialterm, der eine Phase darstellt. Auf diesen
λz
arctan( πw
2 ) Term werden wir weiter unten in Abschnitt 4.2.4 noch genauer eingehen. Wir
0
3
entspricht Formel (2.25b) in Goldsmith, allerdings dort mit A(0) = 1
92
4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum
wollen nun das E-Feld noch so normieren, dass die gesamte Leistung, welche proportional
zu E 2 ist, im Strahl eins wird
Z∞
| E |2 2πr dr = 1.
(4.18)
0
Dieses Integral muss natürlich auch für z = 0 normiert sein. Damit können wir aber A
bestimmen:
Z∞
−2r2 /w02
A2 e
2πr dr = 2πA2
0
Z∞
e−2r
2 /w 2
0
1
r dr = πA2 w02 = 1,
2
(4.19)
0
d.h.
r
A=
2 1
.
π w0
(4.20)
Damit wird das normierte elektrische Feld4
r
πr 2
2 1 −r2 /w2 −j(kz− λR(z)
+φ0 )
E(r, z) =
e
e
,
π w(z)
(4.21)
wobei
φ0 = arctan
λz
πw02
.
(4.22)
Wir führen noch den sog. konfokalen Parameter zc ein
zc =
πw02
,
λ
(4.23)
und erhalten
φ0 = arctan
z
zc
.
(4.24)
Eine Diskussion der Bedeutung der Phase in einem Gauss Strahl wird in Abschnitt 4.2.4
gegeben.
Mit dem Parameter zc lassen sich auch w(z) und R(z) etwaskompakter schreiben:
"
w(z) = w0 1 +
R(z) = z +
4
z
zc
2 #0.5
zc2
.
z
,
(4.25)
(4.26)
entspricht Formel (2.26a) in Goldsmith
93
4 Gauss Strahlen
4.1.2 Herleitung mit Helmholtz-Gleichung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Ausbreitung eines Gauss-Strahles zu beschreiben.
Wir haben in Abschnitt 4.1.1 untersucht, wie sich eine gaussförmige Feldverteilung im
freien Raum ausbreitet. Wir haben uns dabei auf die Impulsantwort des freien Raumes
abgestützt. Wir hätten eben so gut die Transferfunktion des Raumes nutzen können,
d.h. die Ausbreitung als eine Summe von ebenen Wellen unter unterschiedlichen Winkeln betrachten können. In der Literatur wird meistens nach paraxialen Lösungen der
Helmholtz-Gleichung gesucht. Dieser Ansatz führt aber auf komplexe Ortskoordinaten,
die physikalisch nicht einfach zu interpretieren sind. Aus dem Grund wurde hier der anschaulich einfachere Zugang mittels des Beugungsintegrals gewählt. (Allerdings wurden
die Begriffe Impulsantwort resp. Transferfunktion vorausgesetzt, die in der Fourieroptik
Verwendung finden.) Der Vollständigkeit halber, wird aber in diesem Abschnitt die andere Herleitung skizziert. Für Details wird auf die Literatur verwiesen.
Basis ist die Helmholtz Gleichung, welche aus der allgemeinen Wellenfunktion mit
einem harmonischen Ansatz, d.h. ejωt , resultiert
(∇2 + k 2 )E(x, y, z) = 0.
(4.27)
Es wird nun für das elektrische Feld ein paraxialer Ansatz gewählt. Eine paraxiale
Welle ist eine ebene Welle e−jkz , welche mit einem komplexen Amplitudenfaktor u(x, y, z)
moduliert wird, der eine langsam ändernde Funktion des Ortes ist:
E(x, y, z) = u(x, y, z)e−jkz .
(4.28)
Als Näherung wird angenommen, dass u in der Umgebung etwa einer Wellenlänge λ
konstant ist, so dass die Welle lokal wie eine ebene Welle ist, mit Wellenfront-Normalen,
die paraxiale Strahlen sind.5 Mathematisch ausgedrückt:
2 ∂u ∂ u
(4.29)
∂z 2 2k ∂z .
Mit diesem paraxialen Ansatz wird die Helmholtz Gleichung modifiziert
∂ 2u ∂ 2u
∂u
+
−
2jk
= 0.
∂x2 ∂y 2
∂z
(4.30)
Es werden nun Lösungen der paraxialen Helmholtz Gleichung gesucht. Eine mögliche
Lösung ist eine parabolische Welle:
u(x, y, z) =
A −jk x2 +y2
2z
e
.
z
(4.31)
Die parabolische Welle ist die paraxiale Näherung einer sphärischen Welle. Eine andere
Lösung der paraxialen Helmholtz Gleichung ist die gaussförmige Welle (engl. Gauss
beam), wie wir sie in Gleichung 4.21 erhalten haben. Wie wir in Abschnitt 4.3 sehen
5
Strahl wird hier ausnahmsweise im Sinne eines geometrischen Strahles verstanden
94
4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
werden, sind auch andere kompliziertere Wellen, sog. höhere Moden, ebenfalls Lösungen.
Sie werden durch Gauss-Laguerre und Gauss-Hermite Polynome beschrieben. Man kann
zeigen, dass die Gauss Lösung aus der parabolischen Welle durch eine Transformation der
Ortskoordinate z hervorgeht. Wenn eine Lösung in z vorliegt, muss auch eine Schiebung
gemäss q(z) = z − ξ eine Lösung sein, wobei ξ eine Konstante ist. Falls ξ komplex ist,
d.h. ξ = −jzc , resp.
q(z) = z + jzc ,
(4.32)
so führt das auf die Lösung
u(x, y, z) =
2 +y 2
A −jk x2q(z)
e
.
q(z)
(4.33)
Amplitude und Phase dieser komplexen Amplitude können separiert werden, wenn die
komplexe Funktion 1/q(z) = 1/(z + jzc ) in ihren Real- und Imaginärteil zerlegt wird, so
dass
1
λ
1
=
−j 2 .
(4.34)
q(z)
R(z)
πw (z)
Dabei sind w(z) und R(z) die Strahlweite (engl. beam waist) und der Krümmungsradius
der Phasenfront, so wie in Gleichung 4.11 und 4.15 bereits hergeleitet.
4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
Nachdem wir das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Gauss-Strahlen zurecht gelegt haben, wollen wir uns den physikalischen Eigenschaften zuwenden. Vorderhand betrachten wir einen Gauss Strahl in der Grundmode und wir wollen untersuchen,
wie er sich praktisch betrachtet ausbreitet. Wir wollen uns also beispielsweise fragen,
wie divergiert der Strahl, wie gross muss eine Apertur sein, etc.
4.2.1 Intensität, Leistung und Randbelegung Te
Das elektrische Feld in der Grundmode, vgl. Gleichung 4.21 weist ein Maximum auf
sowohl für z = 0 als auch für r = 0. Sobald z oder r von 0 abweichen, nimmt das
elektrische Feld ab, damit aber auch die Leistungsdichte, welche proportional zu E 2 ist.
Die Leistungsdichte oder Intensität hat die Dimension [W/m2 ]. Häufig wird die Intensität
normiert. Allerdings muss man aufpassen auf was normiert wird. Eine Möglichkeit ist
auf das Maximum bei z = 0 und r = 0 zu normieren. Eine andere Art ist lediglich auf
r = 0 bei der momentan interessierende Distanz z zu normieren.
Wir betrachten zuerst den ersten Fall. Hierzu bestimmen wir E(0, 0) mittels Gleichung
4.21 und erhalten
1/2
2
= E0 ,
(4.35)
E(0, 0) =
πw02
und für die normierte Intensität somit
Inorm =
I(r, z)
w02 −2r2 /w(z)2
,
=
e
I(0, 0)
w(z)2
(4.36)
95
4 Gauss Strahlen
resp. für die Intensität
I(r, z) = I0
w02 −2r2 /w(z)2
e
.
w(z)2
(4.37)
Mittels der konfokalen Länge zc lässt sich die Intensität auch schreiben
3
2
0.1
1
0.
0.3
rel. Abstand
w/w0
2
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
rel. Distanz
z/zc
1
2
3
Abbildung 4.6: Konturen der relativen Leistungsdichte in der Grundmode
I(r, z)norm =
1+
z
zc
2 !−1
e
“
−2r2 /w02 1+( zz
c
2
”
) .
(4.38)
Man sieht, dass die Intensität entlang der Achse im Abstand z = zc auf die Hälfte
absinkt, und dass für sehr grosse Werte von√|z| zc die Intensität mit 1/z 2 abnimmt.
Interessant ist, dass für Werte von r > w0 / 2 die Intensität entlang z zuerst zunimmt
und erst nach Erreichen eines Maximums abnimmt6 . Dieser Sachverhalt wird in Figur
4.6 und in Figur 4.7 veranschaulicht.
Häufig stellt sich die Frage nach der Leistungsdichte in einem bestimmten Abstand
r von der Ausbreitungsachse, bezüglich dem Wert auf der Achse für irgend ein z. Jetzt
wird also bezüglich E(0, z) normiert:
|E(0, z)| =
6
2
πw2
1/2
.
Als Übung bestimmen für welche Werte von z das Maximum auftritt
96
(4.39)
4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
1
0.9
0.8
rel. Leistung
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3
2
3
1
2
rel. Abstand
w/w0
0
1
0
−1
rel. Distanz
z/zc
−1
−2
−3
−2
−3
Abbildung 4.7: Relative Leistungsdichte in der Grundmode
Für das Intensitätsverhältnis7 erhalten wir nun
2r 2
I(r)
= e− w 2 .
I(0)
(4.40)
Als Randbelegung, oder engl. edge taper“ Te bezeichnet man das Verhältnis des Wertes
”
an der Stelle r = re zu demjenigen bei r = 0 , d.h.
„
−
Te (re ) = e
2
2re
w(z)2
«
.
(4.41)
Häufig wird die Randbelegung in dB ausgedrückt
Te (dB) = −10 log(Te ) = 8.686
r 2
e
w
.
(4.42)
Aus der Randbelegung lässt sich andererseits der entsprechende Radius re bestimmen
re
= 0.3393[Te (dB)]0.5 ,
w
7
(4.43)
Goldsmith verwendet für dieses Verhältnis P (r)/P (0), (Gleichung (2.33b)), was auf ein Leistungsverhältnis schliessen lässt. Er unterscheidet in seiner Nomenklatur nicht zwischen Leistungsdichte
resp. Intensität und Leistung
97
4 Gauss Strahlen
Dabei ist 0.3393 = (20 log(e))−1/2 .
Wir können nun auch bestimmen, welcher Teil Fe (re ) der Leistung eines Gauss-Strahls
durch eine Apertur mit Durchmesser 2a = 2re hindurch geht:
2
Fe (re ) =
πw2
Zre
2
2re
2r 2
2πre− w2 dr = 1 − e− w2 = 1 − Te (re ).
(4.44)
0
Als Faustregel merke man sich, dass eine Apertur mit Durchmesser D = 2w 86% der
Leistung im Gauss Strahl durchlässt. Ein Durchmesser der Grösse D = πw lässt immerhin schon 99% durch. Ist der Durchmesser D = 4w, so passieren 99.97% des Strahles
das Hindernis. Optische Komponenten sollten also mindestens eine Öffnung haben, die
dem 4w-Kriterium entsprechen. Das Bestimmen der Leistung welche durch die Apertur
geht ist nur ein Aspekt. Es ist zu beachten, dass Aperturen, insbesondere scharfkantige,
zu Beugungseffekten führen, auch wenn der abgeschnittene Teil der Leistung noch so
gering ist. Das Intensitätsprofil wird dann nicht mehr schön Gauss förmig sein, sondern
einen überlagerten Rippel aufweisen. Damit diese Rippel auf einen Wert von 1% herunter
kommen, muss die Apertur mindestens einen Durchmesser von D = 4.6w aufweisen.
4.2.2 Rayleigh Länge zc
Über welche Distanz breitet sich ein Gauss Strahl aus, bevor er signifikant zu divergieren
beginnt? Die Änderung der Strahlweite w(z) bei Ausbreitung entlang z ist gegeben durch
den Ausdruck 4.11. Wir sehen, dass der Strahl umso schneller √
divergiert, je kleiner die
Strahltaille w0 ist. Die Distanz bis zu der w auf einen Faktor 2 angewachsen ist und
damit die Fläche auf einen Faktor 2 zugenommen hat, ist durch den Parameter
zc =
πw02
λ
(4.45)
gegeben. Der Parameter zc wird häufig auch als Rayleigh-Länge bezeichnet. Die RayleighLänge bezeichnet auch etwa den Übergangsbereich vom Fresnel- zum Fraunhofer-Bereich,
oder vom Nahfeld zum Fernfeld. In der Antennentheorie bezeichnet man den Abstand
von einer Antenne bis zum Bereich, wo das Fernfeld8 beginnt mit zF ernf eld = 2D2 /λ.
Der Parameter zc wird zudem auch als konfokale Länge bezeichnet. Die Fokustiefe
entspricht dann 2zc . Mit anderen Worten, über einen Bereich von rund zwei RayleighLängen divergiert der Strahl unwesentlich. Das bedeutet aber auch, dass je kleiner w0 ,
resp. der Brennfleck, desto genauer muss seine Lage bekannt sein.
4.2.3 Strahldivergenz θ0
Für sehr grosse Abstände z zc von der Strahltaille wird der Strahlradius
w(z) ≈ w0
8
z
.
zc
Als Übung zeigen, wie die beiden Grössen korrespondieren
98
(4.46)
4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
Wir definieren den Strahldivergenz Winkel9 θ0 durch
λ
λ
−1
−1 w
= tan
'
.
θ0 = lim tan
zzc
z
πw0
πw0
(4.47)
Abbildung 4.8 illustriert, wie sich mit zunehmender Distanz auf der Ausbreitungsachse
der Strahl asymptotisch dem Grenzwinkel θ0 annähert. Aus Gleichung 4.47 sieht man
4.5
4
3.5
rel. Abstand w/w0
3
2.5
2
1.5
1
0.5
θ
0
0
0
0.5
1
1.5
2
rel. Distanz z/z
2.5
3
3.5
4
c
Abbildung 4.8: Grenzwinkel θ0 eines Gauss Strahles
deutlich, dass der Strahl um so mehr divergiert, je enger er in der Taille ist. Zudem sei
in Erinnerung gerufen, dass sich θ0 auf das elektrische Feld und nicht auf die Intensität
bezieht, und dass es sich jeweils um den halben Winkel handelt. Häufig ist aber von
Interesse bei welchem Winkel die Leistung auf die Hälfte abgefallen ist. Wir bezeichnen
diesen Winkel mit θ1/2 und bestimmen ihn aus
„
−2
P (θ1/2 )
=e
P (θ = 0)
θ1/2
θ0
«2
=
1
2
(4.48)
und anschliessendem Auflösen nach θ1/2 . Die gesamte Breite des Strahls auf halber Leistung entspricht dann zwei mal diesem Wert:
r
ln(2)
θHP BW = θf whm = 2θ1/2 = 2
θ0 = 1.18θ0 .
(4.49)
2
9
Es versteht sich von selbst, dass θ0 in radian ist.
99
4 Gauss Strahlen
Wir wollen noch einen Bezug zur Antennentheorie herstellen, und zwar aufzeigen,
welcher Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Antennenfläche besteht. Zum Winkel
θ0 gehört der Raumwinkel
λ2
Ω = πθ02 =
.
(4.50)
πw02
Innerhalb des Kegels, der durch den Raumwinkel Ω beschrieben wird, kommen im Fernfeld rund 86% der Leistung zu liegen. Dieselbe Leistung bei der Strahltaille, also so zu
sagen bei der Quelle, geht durch eine Fläche A = πw02 . Wir bilden nun das Produkt
A · Ω = πw02 × πθ02 = λ2
x
A(Ω) · dΩ = λ2
(4.51)
(4.52)
Dieser Zusammenhang gilt für jegliche Art von Antenne, ob das nun eine optischer Art
ist, oder ob es sich um eine Mikrowellenantenne handelt.
4.2.4 Phase und Wellenfronten
In Gleichung 4.16 haben wir gesehen, dass die Phase des E−Feldes in der Grundmode
gegeben ist durch
πr2
λz
+
.
(4.53)
φ(r, z) = kz − arctan
πw02
λR(z)
Auf der Ausbreitungsachse ist die Phase
φ(0, z) = kz − arctan
λz
πw02
= kz − φ0 .
(4.54)
Der erste Term, kz, ist die Phase einer ebenen Welle. Der zweite Term, der von −π/2
bei z = −∞ bis π/2 bei z = ∞ geht, stellt eine Phasenverzögerung von insgesamt π
gegenüber einer ebenen Welle dar. Dieses Phänomen bezeichnet man als Guoy-Effekt.
Dieser Effekt, der 1890 von Guoy zum ersten Mal experimentell nachgewiesen wurde,
gilt natürlich sowohl für optische wie auch für Mikrowellen. Was ist die physikalische
Bedeutung dieser Phasenshift beim Durchgang eines Gauss-Strahls durch seine Taille?
Es bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeit, resp. der Abstand der Wellenfronten, etwas
grösser ist als bei einer ebenen Welle. Der graphische Zusammenhang ist in Figur 4.9
gegeben.
Der letzte Term in Gleichung 4.54 ist verantwortlich für die Krümmung der Wellenfronten. Er gibt an, wie die Phase bei einem Punkt, der nicht auf der Achse liegt, von
einem Punkt in einer transversalen Ebene abweicht.
Wie ändert der Krümmungsradius der Wellenfront als Funktion des Abstandes z von
der Taille? Den analytischen Ausdruck haben wir in Gleichung 4.15 bereits hergeleitet,
schreiben ihn aber in etwas modifizierter Form nun als

 ∞ für z zc
2
z
2zc für z = zc
(4.55)
R(z) = z + c ≈

z
z für z zc .
100
4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen
pi/2
Phasenverzögerung
pi/4
0
−pi/4
−pi/2
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
relative Distanz z/zc
2
3
4
5
Abbildung 4.9: Phasenverzögerung eines Gauss Strahles gegenüber einer ebenen Welle
entlang der Ausbreitungsachse
Abstand
von der Achse
Die Wellenfront ist für z = 0, d.h. in der Taille, flach, was einer ebenen Wellen entspricht.
Mit zunehmendem Abstand nimmt der Krümmungsradius rapide ab und erreicht im Abstand z = zc einen minimalen Wert, um dann wieder an zuwachsen und zwar proportional
zu z für z zc , was einer Kugelwelle entspricht. Dieser Sachverhalt ist in Figur 4.10
dargestellt10 . Der minimale Krümmungsradius wird also im Abstand z = zc erreicht,
5
0
−5
−30
−20
−10
0
Ausbreitungsrichtung
10
20
30
Abbildung 4.10: Krümmungsradius der Wellenfronten eines Gauss Strahles mit
überlagerter Kontur für die Strahlbreite w(z).
wo der Radius den Wert R = 2zc hat. Das bedeutet, dass das Krümmungszentrum der
Welle bei z = −zc liegt und umgekehrt. Diese Beziehung hat eine spezielle Bedeutung
für Resonatoren, wie wir später noch sehen werden.11
10
Die Überlagerung der Wellenfronten ausserhalb des eingezeichneten Strahles ist physikalisch nicht
sinnvoll; Verletzung der paraxialen Naeherung
11
Wir haben die Konvention übernommen, dass der Krümmungsradius für eine divergierende Wellenfront positiv und für eine konvergierende Wellenfront negativ ist.
101
4 Gauss Strahlen
4.2.5 q-Parameter
Wir wollen uns fragen, wie viele Parameter es eigentlich braucht, um eine ebene Welle,
eine sphärische Welle oder einen Gauss-Strahl zu beschreiben, vorausgesetzt, dass wir
die Wellenlänge λ kennen. Die ebene Welle ist vollständig beschrieben durch die Ausbreitungsrichtung plus die komplexe Amplitude, die sphärische Welle durch die Amplitude
und den Ort der Quelle. Zur Beschreibung des Gauss-Strahles allerdings braucht es mehr
Parameter: die maximale Amplitude, die Ausbreitungsrichtung, die Lage der Taille plus
einen weiteren Parameter, wie die Taillenweite w0 oder den konfokalen Parameter zc .
Falls der komplexe Parameter q(z) = z + jzc bekannt ist, dann ist der Abstand zur
Taille z und der konfokale Parameter zc bekannt und damit ist der Gauss-Strahl auch
beschrieben. Als Beispiel sei q = 5 + j6 irgendwo auf der Achse. Damit wissen wir, dass
die engste Stelle 5cm
p links liegt und der konfokale Parameter 6cm ist. Wir finden dann
den Radius w0 = λzc /π. Der lineare Zusammenhang von q(z) mit Abstand z erlaubt
uns auf einfache Weise, die Gauss Strahl Parameter an irgend einer Stelle zu finden,
wenn sie für einen bestimmten Wert z bekannt sind.
Sind w und R an einer Stelle bekannt, so kann der Strahl an irgend einer Stelle z
beschrieben werden.
Zum Schluss ist eine Zusammenstellung gegeben, wie aus einem unterschiedlichen
Parameterpaar eines Gauss-Strahles auf die relevanten Grössen geschlossen werden kann:
gegebene
Grössen
w0
z
w = w0 1 +
R
z
w02 =
λ
π
w
z
w02
w2
2
w0
w
z=
πw0
λ
R
2
=
R
z=
w
R
w0 =
102
λz
πw02
2 0.5
R=z 1+
[z(R − z)]0.5
h
1± 1−
[w2 − w02 ]
(
w0
1± 1−
w
» “
”2 –0.5
πw2
1+ λR
πw02
λz
w aus w0 und z
i0.5
2λz 2
πw2
0.5
2πw02
λR
R aus w0 und z
R aus w0 und z
2 0.5
)
w aus w0 und z
z=
R
1+(
λR
πw2
2
)
2 4.3 Höhere Moden
4.3 Höhere Moden
Wir haben uns bisher mit der Grundmode eines Gauss-Strahles beschäftigt. Das ist
gleichzeitig auch die einfachste Lösung der paraxialen Helmholtz-Gleichung. Es zeigt
sich aber in der Praxis, dass beispielsweise Rillenhorn Antennen nicht ideale GaussStrahlen generieren, sondern auch Moden höherer Ordnung. In diesem Fall der Zylinder
symmetrischen Anordnung führt dies auf die sog. Gauss-Laguerre Moden. Ein anderes
Beispiel, wo höhere Moden erzeugt werden, ist etwa die Reflexion an einem Spiegel, der
nicht axial beleuchtet wird (engl. offaxis). In kartesischen Koordinaten erhält man dann
sog. Gauss-Hermite Moden. Wie beim Grundmode ist auch bei den höheren Moden
die Taille gegeben durch w(z), der Krümmungsradius durch R(z) und die Phase φ(z).
Der einzige Unterschied zum Grundmode liegt darin, dass die gesamte Phasenschiebung
grösser ist.
4.3.1 Gauss-Laguerre Moden
Im Falle von Zylinder Koordinaten müssen höhere Moden eine Abhängigkeit vom Azimuth Winkel ϕ wiedergeben. Eine Variation in radialer Richtung wird nicht ausgeschlossen. Es zeigt sich, dass Lösungen der Helmholtz-Gleichung sog. generalisierte Laguerre
Polynome Lpm beinhalten:
l=p
X
(p + m)!(−u)l
.
Lpm (u) =
(m + l)!(p − l)!l!
l=0
(4.56)
Dabei bezeichnet man p als den radialen und m als den azimuthal Index.
Diese Laguerre Polynome lassen sich z.B. einfach mit Maple oder Matlab berechnen.
Einige der Laguerre Polynome mit tiefer Modenzahl sind:
L0m (u) = 1
(4.57)
L1m (u) = 1 + m − u
1
L2m (u) = [(2 + m)(1 + m) − 2(2 + m)u + u2 ]
2
1
L3m (u) = [(3 + m)(2 + m)(1 + m) − 3(3 + m)(2 + m)u + 3(3 + m)u2 − u3 ].
6
Für das normierte12 elektrische Feld erhält man dann13 :
" √ #m
0.5
2p!
1
2r
2r2
Epm (r, ϕ, z) =
Lpm
π(p + m)!
w(z) w(z)
w2 (z)
−r2
jπr2
·exp
− jkz −
+ j(2p + m + 1)φ0 (z)
w2 (z)
λR(z)
·exp (jmϕ) .
12
13
(4.58)
normiert heisst, dass die Leistung 1 ist
die entsprechende Formel (2.51) in Goldsmith hat Druckfehler!
103
4 Gauss Strahlen
Die tiefste Mode ist die bereits bekannte Grundmode. Es sei noch einmal darauf
hingewiesen, dass der Strahlradius w, der Krümmungsradius der Wellenfront R und die
Phasenshift φ0 genau gleich sind wie bei der Grundmode und dass einzig die totale
Phasenshift grösser ist als in der Grundmode.
Für axial symmetrische Moden ist der Index m = 0 und das zugehörige E−Feld wird
somit
1/2
2
2r
−r2 −jφ
2
L
exp
e ,
(4.59)
Ep0 (r, z) =
p0
πw2
w2
w2
wobei wir lediglich die Schreibweise für die Phase mit φ abgekürzt haben. Die axial
symmetrische Gauss-Laguerre Mode der Ordnung p hat für das elektrische Feld genau p
Null Durchgänge, wobei das Vorzeichen des Feldes nach jedem Null Durchgang wechselt
(Abbildung 4.11, Abbildung 4.12). Für die Intensität erhalten wir dann analog p + 1
helle Ringe. Falls die Mode nicht symmetrisch ist, wird das Bild komplexer. Die Intensitätsverteilung hat dann insgesamt (2m + δ0m )(p + 1) helle Zonen (Abbildung 4.13 und
Abbildung 4.14).
1
E0(r)
E1(r)
E2(r)
E3(r)
E (r)
0.75
el. Feld transversal
zur Ausbreitungsrichtung
4
0.5
0.25
0
−0.25
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
rel. Abstand r/w
2.5
3
3.5
4
Abbildung 4.11: Elektrisches Feld für verschiedene Gauss-Laguerre Moden. Parameter
ist der radiale Index p. Das Feld ist normiert auf E(p = 0, z = 0).
Generiert mit Matlab-file glmode2d.m
104
4.3 Höhere Moden
1
p=0
p=1
p=2
p=3
p=4
0.9
0.8
Lesitung transversal
zur Ausbreitungsrichtung
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
rel. Abstand r/w
2.5
3
3.5
4
Abbildung 4.12: Intensitätsverteilung für verschiedene Gauss-Laguerre Moden. Parameter ist der radiale Index p. Die Leistung ist normiert auf E(p = 0, z =
0)2 . Generiert mit Matlab-file glmode2d.m
4.3.2 Gauss-Hermite Moden
In rechtwinkligen Koordinaten erhalten wir für die höheren Moden Kombinationen aus
Hermite Polynomen Hm . Diese Hermite Polynome lassen sich rekursiv erhalten aus:
Hn+1 (u) = 2(uHn (u) − nHn−1 (u))
H0 (u) = 1
H1 (u) = 2u.
(4.60)
Nehmen wir für die Abhängigkeit von w und R und φ0 an, dass sie in x− und y−Richtung
gleich sei, und wir dem gemäss schreiben können wx = wy = w und analog für R und
φ0 , so erhalten wir schliesslich für das normierte elektrische Feld:
√ !
√ !
0.5
2x
2y
1
Hn
Hm
Emn (x, y, z) =
2
m+n−1
πw 2
m!n!
w
w
(x2 + y 2 )
jπ(x2 + y 2 )
·exp −
− jkz −
+ j(m + n + 1)φ0 .
(4.61)
w2
λR
Die zugehörige Intensitätsverteilung hat (m + 1)(n + 1) helle Zonen.
Abbildungen 4.15, 4.16, 4.17 und 4.18 visualisieren verschiedene Darstellungen von
Gauss-Hermite Moden. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Gauss-Hermite Funk-
105
4 Gauss Strahlen
Abbildung 4.13: Elektrisches Feld für eine Gauss-Laguerre Mode mit radialem Index p =
3 und azimuthalem Index m = 4. Generiert mit Matlab-file glmode3d.m
tionen auch die quantenmechanischen Eigenfunktionen des linearen harmonischen Oszillators darstellen.
4.3.3 Geometrische Dimension höherer Moden
Wir haben gesehen, dass bei einem Gauss-Strahl einer höheren Mode, zusätzliche Intensitätsmaxima auftreten. Zudem braucht nicht einmal das Maximum auf der Achse das
grösste zu sein. Dem entsprechend wird es auch schwieriger von der geometrischen Ausdehnung eines Strahles zu sprechen. In Abschnitt 4.2.1 haben wir diskutiert innerhalb
welchem Abstand von der Achse wie viel Leistung konzentriert ist. Daraus resultierte
das 4w-Kriterium für die Wahl des Durchmessers von optischen Komponenten. Es ist
nun ganz klar, dass bei einer höheren Mode dieses Kriterium sicher nicht mehr richtig
ist.
q
2
σr,pm
(z) des Strahls bei GaussEs wurde vorgeschlagen für die Grösse ρr,pm =
Laguerre Moden folgenden Wert zu nehmen:
2
2
σr,pm
(z) =
R2π R∞
0 0
R2π R∞
0 0
106
r2 I(r, ϕ, z)r drdϕ
.
I(r, ϕ, z)r drdϕ
(4.62)
4.3 Höhere Moden
Abbildung 4.14: Intensitätsverteilung für eine Gauss-Laguerre Mode mit radialem Index p = 3 und azimuthalem Index m = 4. Generiert mit Matlab-file
glmode3d.m
Da in unserem Fall das Feld schon so normiert ist, dass die Leistung gleich eins ist, so
ist der Nenner gleich eins. Der Ausdruck lässt sich z.B. mit Maple lösen und man erhält
für die Strahlgrösse ρ
"
2 #1/2
λz
.
(4.63)
ρr,pm = w(z)(2p + m + 1)1/2 = w0 (2p + m + 1)1/2 1 +
πw02
Die Strahl Moden nehmen also mit der Quadratwurzel der Modenzahl zu. Gauss-Laguerre
Moden sind symmetrisch um die z-Achse. Für p = 0 = m reduziert sich die Grösse auf
w(z) der Grundmode, wie das auch sein muss. Für Gauss-Hermite Moden gilt
ρxy,mn = w(z)(m + n + 1)1/2 .
(4.64)
Es ist also bei der Wahl der minimalen Apertur einer Komponente darauf zu achten,
dass sie genügend gross ist auch für höhere Moden.
4.3.4 Superposition von Moden
Die elektrische Feldverteilung eines sich ausbreitenden paraxialen Strahls, in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, kann als Superposition verschiedener GaussLaguerre oder Gauss-Hermite Moden dargestellt werden. Damit kann dann die Ausbreitung des Strahls als Ausbreitung der einzelnen Moden untersucht werden.
107
4 Gauss Strahlen
1
E0(x)
E1(x)
E2(x)
E3(x)
0.8
0.6
el. Feld transversal
zur Ausbreitungsrichtung
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
rel. Abstand x/w
2
3
4
5
Abbildung 4.15: Elektrisches Feld für verschiedene Gauss-Hermite Moden. Parameter ist
der Index m. Das Feld ist normiert auf E(m = 0, z = 0). Generiert mit
Matlab-file ghmode2d.m
Die Feldverteilung an der Stelle z, wie sie z.B. durch Feed-Hornantennen produziert
wird, lässt sich häufig als Summe einiger weniger Moden darstellen. Manchmal reicht
sogar der Grundmode aus. Es stellt sich dann die Frage, welcher Grundmode, charakterisiert durch die Strahltaille w0 und den Krümmungsradius R, kommt am besten an die
aktuelle Feldverteilung heran, und wie gross die Leistung in dieser Mode ist, gegenüber
der Gesamtleistung.
Em sei ein komplettes Set von Feldverteilungen in der Mode mit Ordnung m, das
durch orthogonale Polynome gebildet wird. Eine beliebige Funktion f (u), oder eben
eine beliebige Feldverteilung, lässt sich dann als Überlagerung schreiben
f (u) =
∞
X
am Em (u),
(4.65)
m=0
mit den Expansionskoeffizienten am
Z
am =
∗
Em
(u)f (u) du.
(4.66)
Der Index m kann hier zwei Dimensionen bedeuten. Die Expansionskoeffizienten sind im
allgemeinen komplex. Es ist zu beachten, dass der Expansionskoeffizient am eigentlich
einem Kopplungskoeffizienten zwischen dem Feld f (u) und dem m-ten Mode Em (u)
entspricht.
108
4.3 Höhere Moden
1
m=0
m=1
m=2
m=3
0.9
0.8
Leistung transversal
zur Ausbreitungsrichtung
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
rel. Abstand x/w
2
3
4
5
Abbildung 4.16: Intensitätsverteilung für verschiedene Gauss-Hermite Moden. Parameter ist der Index m. Die Leistung ist normiert auf E(m = 0, z = 0)2 .
Generiert mit Matlab-file ghmode2d.m
Es gilt nun
Z
∗
Em
(u)En (u) du = δmn ,
(4.67)
wobei δmn die Dirac’sche Deltafunktion ist und E ∗ (u) das konjugiert komplexe Polynom
darstellt. Es gilt dann
Z
∞
X
∗
|am |2 .
(4.68)
f (u)f (u) du =
m=0
Normalerweise sind die Feldverteilungen zweidimensional und entweder in zylindrischen
oder in rechteckigen Koordinaten gegeben. Die Entwicklung des beliebigen E-Feldes
ist dann in Gauss-Laguerre (vgl. Gleichung 4.58) resp. in Gauss-Hermite Moden (vgl.
Gleichung 4.61) durchzuführen, d.h.
Epm (r, ϕ, z) =
·exp
2p!
π(p + m)!
1/2
√ !m
2r
2r2
Lpm
w(z)
w2 (z)
+ j(2p + m + 1)φ0 (z)) ejmϕ
1
w(z)
−r2
jπr2
−
jkz
−
w2 (z)
λR(z)
109
4 Gauss Strahlen
Abbildung 4.17: Elektrisches Feld für eine Gauss-Hermite Mode mit Index m = 3 und
Index n = 2. Generiert mit Matlab-file ghmode3d.m
resp.
√ !
2y
Hm
Emn (x, y, z) =
m+n−1
πwx wy 2
m!n!
wy
x2
j(2n + 1)
y2
jπx2 jπy 2 j(2m + 1)
·exp − 2 − 2 − jkz −
φ0x +
φ0y .
−
+
wx wy
λRx
λRy
2
2
√ !
2x
Hn
wx
1/2
1
Für axial-symmetrische Gauss-Laguerre Moden ist m = 0 und damit lässt sich der
Betrag des Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schreiben:
Ep0 (r, z) =
2
πw2
1/2
Lp0
2r2
w2
e−r
2 /w 2
,
(4.69)
wobei natürlich w = w(z).
Wir definieren einen normierten Kopplungskoeffizienten cm zwischen der Mode m und
der zu entwickelnden Feldkonfiguration
R ∗
E (u)f (u) du
< Em |f >
= R m
(4.70)
cm =
1/2 .
1/2
(< f |f >)
f ∗ (u)f (u) du
110
4.3 Höhere Moden
Abbildung 4.18: Intensitätsverteilung für eine Gauss-Hermite Mode mit Index m = 3
und Index n = 2. Generiert mit Matlab-file ghmode3d.m
Dabei bezeichnet u das ein - oder zweidimensionale Koordinatensystem, das Verwendung
findet. Es ist zu beachten, dass die verwendeten Formeln für Gauss-Laguerre resp. GaussHermite Moden bereits normiert sind, nicht aber die zu entwickelnde Feldverteilung
f (u). Das elektrische Feld in einem einfallenden Strahl muss aber nicht notwendigerweise
normiert sein. Die gesamte Leistung in diesem Strahl P̂ ist dann
Z
P̂ = f ∗ (u)f (u) du,
(4.71)
und damit wird
am
cm = p ,
P̂
(4.72)
resp.
|cm |2 =
|am |2
(4.73)
P̂
Das bedeutet, dass |cm |2 den Bruchteil der Leistung im Mode m darstellt. Zweidimensional analog für cmn .
Die Entwicklung einer beliebigen Feldverteilung in höhere Moden ist nicht eindeutig.
Es kann nämlich der Krümmungsradius R beliebig gewählt werden. Andere Werte von R
führen einfach auf andere Expansionskoeffizienten. Das gleiche gilt für den Strahlradius
w. Auch da ist es möglich einen Wert anzunehmen. Wichtig ist einzig, dass w für alle
höheren Moden der gleiche Wert hat. Wir werden im Kapitel ?? darauf zurückkommen.
111
4 Gauss Strahlen
Eine sinnvolle Wahl von w ist so, dass die Leistung in der Grundmode maximal wird.
Mit anderen Worten, es geht darum c0 zu maximieren.
112