1. Auflösung 2. Faltung 3. Widerstandsrauschen 4

Lösungen zu Nano III
SS 2004
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1. Auflösung
Im Messbereich von 2V (von –1V bis +1V) wird der kleinste
Spannungsunterschied von 0.25mV mit 2V/0.25mV = 8000 Stufen erreicht. Die
nächste Zweierpotenz liegt bei 213 = 8192. Also muss der Digital zu Analog
Wandler im Minimum 13 Bit Auflösung besitzen.
2. Faltung
a) Die Signalfrequenz von 1.2kHz bleibt durch die Abtastung unverändert. Nach der
Abtastung erscheint die Frequenz von 45.6kHz um die Abtastfrequenz zu 0Hz
heruntergefaltet: also 45.6kHz – 48kHz = - 2.4kHz. Frequenzen zwischen der
Hälfte der Abtastfrequenz und der Abtastfrequenz werden noch gespiegelt.
Deshalb erscheint : - (- 2.4kHz) = 2.4kHz. Die Frequenz von 51kHz wird um die
Abtastfrequenz heruntergefaltet und erscheint als: 51kHz – 48kHz = 3kHz!
b) Das Antialiasfilter filtert die Frequenzen, welche oberhalb der Grenzfrequenz
liegen, also 45.6kHz und 51kHz, weg. Deshalb erscheint nur die 1.2kHz
Komponente im Resultat der Abtastung.
3. Widerstandsrauschen
U rauschen = 4 kTR ∆f
a) Ein Widerstand von 1kΩ zeigt bei einer Rauschbandbreite von 1Hz und
Zimmertemperatur eine Rauschspannung von 4nVeff. Ein Widerstand von 1MΩ ist
103 mal grösser als 1kΩ und die Rauschbandbreite von 100kHz ist 105 mal
grösser als 1Hz. Das Rauschen nimmt mit der Wurzel aus (103 x 105 = 108); also
gleich 104 mal zu und erreicht somit den Effektivwert von 40µVeff.
b) Die Temperatur des flüssigen Stickstoffs (77k) ist zur Zimmertemperatur von
300K 300K/77K = 3.896 mal kleiner. Die Rauschspannung wird um die Wurzel
aus diesem Verhältnis kleiner: also 40µV/ sqrt(3.896) = 20.26µV.
Die Reduktion der Temperatur ist ein geeignetes Mittel um das thermische
Rauschen zu reduzieren. Dies ist der Grund warum bei sensiblen Messungen die
erste Verstärkerstufe gekühlt wird. Die Wirkung dieser Massnahme wird umso
besser, je näher an den absoluten Temperaturnullpunkt gekühlt wird.
4. Rauschbandbreite
Die Rauschbandbreite berechnet sich:
2
2
U rauschen
10 −5
∆f =
=
= 28.4kHz
4kTR
1.6 ⋅ 10 − 20 ⋅ 2.2 ⋅ 10 5
wobei 4kT = 1.6 x 10-20 , Urauschen = 10-5 und R = 2.2 x 105.
Bei einem Tiefpass 1.Ordnung ist die Grenzfrequenz (-3dB Frequenz) um Faktor
1.57 mal kleiner als die Rauschbandbreite; also 28.4kHz/1.57 = 18kHz.
(
)
5. Verstärkerrauschen
Das thermische Rauschen eines 1kΩ Widerstandes beträgt 4nV/sqrt(Hz),
dasjenige des Quellwiderstandes von 10kΩ wird Wurzel aus 10 mal grösser:
sqrt(10) x 4nV = 12.65nV/sqrt(Hz).
Der Eingangsrauschstrom erzeugt am Quellwiderstand den Spannungsabfall von
10kΩ x 2pA/sqrt(Hz) = 20nV/sqrt(Hz). Die gesamte Rauschspannung am Eingang
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setzt sich aus der Wurzel der Quadrate der drei unabhängigen
Rauschspannungen zusammen:
U eingang =
(12.65 ⋅ 10 ) + (10 ⋅ 10 ) + (20 ⋅ 10 )
−9 2
−9 2
−9 2
= 25.7 nV
Hz
Am Ausgang erscheint die Spannung um die Verstärkung multipliziert: 1000 x
25.7nV/sqrt(Hz) = 25.7µV/sqrt(Hz).
Über den Frequenzbereich summiert, ergibt sich für die effektive
Rauschspannung: sqrt(22000Hz) x 25.7µV/sqrt(Hz) = 3.8mVeff.
6. Verstärker
Die Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers bestimmt sich nach der
hergeleiteten Formel: V = 1 + R2/R1.
Also wird R2/R1 = (V –1) = (2.2 – 1) = 1.2
7. Integrator
Der Strom, welcher mit der Eingangsspannung durch den Eingangswiderstand
fliesst, nimmt den Wert –2V/1MΩ = -2µA an. Dieser konstante Strom lädt den
Kondensator auf. Es gilt Ladung Q = I x t = C x U. Also C = I x t / U = 2 x 10µA x
1s / 8V = 0.25µF.
8. dB
Ua
Ue
Die drei Abschwächer reduzieren ein Signal einzeln um:
Faktor 5 für 14dB
Faktor 2 für 6dB
Faktor 10 für 20dB
Die hintereinander geschalteten Abschwächer reduzieren das Signal insgesamt
um:
Faktor 5 x 2 x 10 = 100 oder 14dB + 6dB + 20dB = 40dB.
Wird statt mit den Faktoren der Abschwächer mit den entsprechenden Werten in
dB gerechnet, dann vereinfachen sich die Rechenoperationen zu Additionen
(anstelle der Multiplikationen).
dB = 20