µ-Rekursive Funktionen

Funktionale Programmierung
ALP I
µ-Rekursive Funktionen
WS 2012/2013
Prof. Dr. Margarita Esponda
Prof. Dr. Margarita Esponda
Funktionale Programmierung
Primitiv-rekursive Funktionen
Jede primitiv-rekursive Funktion ist Loop-berechenbar. Das
bedeutet, dass jede PR-Funktion in der Loop-Programmiersprache
formuliert werden kann.
Jede Loop-berechenbare Funktion ist auch eine PR-Funktion.
Loop-Sprache:
- stark beschränkte Programmiersprache
nur Addition, Zuweisungen und loop-Schleifen sind erlaubt
- Loop-Programme terminieren immer.
- Die Laufzeit kann genau berechnet werden.
Prof. Dr. Margarita Esponda
Funktionale Programmierung
Loop-Sprache
Syntaktische Komponenten:
3 Schlüsselwörter: Loop, Do, End
4 Sondersymbole: +, -, ;, :=
Beliebige Variablennamen: x1 , x2 , x3 , . . .
Beliebige Konstanten: 0, 1, 2, . . .
Syntax in BNF:
P :=
xi := x j + c
| xi := x j − c
| P; P
| LOOP xi DO P END
Prof. Dr. Margarita Esponda
Wertzuweisungen
sequentielle Komposition
endliche Schleife
Funktionale Programmierung
Primitiv-rekursive Funktionen
Zusammengefast:
Jede primitiv-rekursive Funktion kann mit Hilfe einer Loop-Schleife
berechnet werden und umgekehrt.
Addition x1 + x2 → x3
x3 := x1 + 0
LOOP x2 DO
x3 := x3 + 1
END
Prof. Dr. Margarita Esponda
Berechnet die n-te Fibonacci-Zahl (Eingabe in xn
und Ausgabe in xfib)
x2 := 0; x1 := x2 +1; xfib := 0; xn := n;
LOOP xn DO
x2 := xfib + 0
LOOP x1
xfib := xfib + 1
END
x1 := x2 + 0
END
Funktionale Programmierung
Ackermann-Funktion
Bis 1926 vermutete Hilbert, dass jede totale berechenbare Funktion primitiv
rekursiv ist, bis zwei von seinen Schülern, Ackermann (1928) und Sudan
(1927), Funktionen entdeckten, die nicht primitiv rekursiv aber total
berechenbar sind.
Ackerman-Péter-Funktion
ack :: Integer -> Integer -> Integer
ack
0
n = n+1
ack (m+1)
0 = ack m 1
ack (m+1) (n+1) = ack m (ack (m+1) n)
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Ackerman-Péter-Funktion
ack
0
ack (m+1)
Reduktionsverlauf:
ack 2 3 =>
=>
m+1 n+1 =>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
ack 1
...
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
2)
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
5)
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
n =n+1
0 = ack m 1
ack (m+1) (n+1)
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1))
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
3))
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
4))
1
0
0
0
0
4))
(ack
(ack
(ack
(ack
= ack m (ack (m+1) n)
(m+1) rekursive Aufrufe von (n-1)
4 rekursive Aufrufe von 1
2
1
0
0
0
0)))
1)))
(ack 1 0))))
(ack 0 1))))
2)))
1
0
0
0
0
0
2)))
(ack
(ack
(ack
(ack
3)))
1
0
0
0
3)))
(ack 1 2))))
(ack 0 (ack 1 1)))))
(ack 0 (ack 0 (ack 1 0))))))
1
0
0
0
1))))
(ack 1 0)))))
(ack 0 1)))))
2))))
...
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> ack
=> 9
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
7
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
8
0
0
0
0
0
0
0
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
6)
0
0
0
0
0
0
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
5))
0
0
0
0
0
(ack
(ack
(ack
(ack
4)))
0
0
0
0
(ack 0 (ack 1 0))))))
(ack 0 (ack 0 1))))))
(ack 0 2)))))
3))))
ack
0
ack (m+1)
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6)
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
7))
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5))
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
6))
n =n+1
0 = ack m 1
ack (m+1) (n+1)
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4)))
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
(ack
5)))
= ack m (ack (m+1) n)
1 3))))
0 (ack 1 2)))))
0 (ack 0 (ack 1 1))))))
0 (ack 0 (ack 0 (ack 1 0)))))))
0 (ack 0 (ack 0 (ack 0 1)))))))
0 (ack 0 (ack 0 2))))))
0 (ack 0 3)))))
0 4))))
Die Argumente bewegen sich
nicht immer in Richtung der
Abbruchbedingung.
Funktionale Programmierung
Ackermann-Funktion
. . . ack 4 2 =>
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(19,729
Ziffern)
Idee
die Folge n+1, n+m, n*m, nm, . . .
...
ab hier reichen unsere bekannten arithmetischen Operationen
nicht mehr
Up-Arrow-Notation von Knuth
a
b=a
x
a
x
…
x
a
b Wiederholungen von a
a 

b =a 
a 
…
a
b Wiederholungen von a
=a 
(a 
… (a 
a
a
a) …) = a
.a
.
.
b Wiederholungen von a
a 


b=a  
a 

… 
b Wiederholungen von a
a
Up-Arrow-Notation von Knuth
m Wiederholungen von 
im allgemeinen:
a m b
=a 
…
b
= a m-1a m-1… m-1 a
b Wiederholungen von a
= a m-1(a m-1 … (a m-1 a)…)
Beispiel:
2
3
2 
2 
3
3
=2x2x2
=8
=2 2 2
=2x2x2x2
=2
= 16
= 2  2 
=2 2 4
= 65536
2
4
= 2  4
= 2  16
Funktionale Programmierung
Ack(m,n)
ack(0,n)
= n+1
ack(1,n)
= n+2
=2+
(n+3) -3
ack(2,n)
= 2n+3
=2x
(n+3) -3
ack(3,n)
= 2(n+3) -3
= 2 ""
(n+3) -3
ack(4,n)
=
= 2 
(n+3) -3
ack(5,n)
=
= 2 
(n+3) -3
= 2 m-2
(n+3) -3
…
ack(m,n) =
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Funktionale Programmierung
Ackermann-Funktion
- verschachtelte Rekursion. Das bedeutet, ein
Argument des rekursiven Aufrufs muss selbst erst
rekursiv berechnet werden
- nicht primitiv rekursiv, aber berechenbar
- wächst schneller als jede primitiv-rekursive Funktion
- eine Komplexitätsanalyse wird unmöglich
- der Verwaltungsaufwand des Ausführungsstapels ist
extrem groß
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Funktionale Programmierung
Sudan-Funktion
Definition:
in Haskell:
sud
sud
sud
sud
:: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
0xy
= x+y
nx0
=x
n x y = sud (n-1) (sud n x (y-1)) ((sud n x (y-1)) + (y-1) + 1)
prelude> sud 2 2 2
15569256417
it :: Integer
(3501.87 secs, 302851025060 bytes)
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Funktionale Programmierung
µ-Rekursive Funktionen
1. Alle primitiv-rekursive Funktionen sind auch µ-Rekursive
Funktionen.
2. mit dem µ-Operator als weiterem Konstruktionsoperator
wird die Klasse der primitiv-rekursiven Funktionen auf die
Klasse der partiellen µ-rekursiven Funktionen erweitert
3. und damit die Klasse der intuitiv berechenbaren
Funktionen konstruiert.
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Funktionale Programmierung
Der unbeschränkte µ-Operator
Sei f : N
m+1
→N eine partielle Funktion, dann ist die partielle Funktion
µf : Nm→N definiert durch:
µf (x1, . . . ,xm) =
min M (f, x1, . . . ,xm ) falls M(f, x1, . . . ,xm) ≠ θ
undefiniert
sonst
wobei die Menge M ( f, x1, . . . , xm) als
{ n≥0 | f (x1, . . . ,xm, n ) = 0 und f (x1, . . . ,xm , k ) für alle n≥k definiert ist }
Prof. Dr. Margarita Esponda
Funktionale Programmierung
Der unbeschränkte µ-Operator
Sei b eine Funktion, die angewendet auf x, y (natürliche Zahlen)
testet, ob y eine Primzahl und gleichzeitig größer als x ist.
b (x, y) =
1
falls y eine Primzahl größer als x ist
0
sonst
Folgende Funktion liefert die kleinste Primzahl, die größer
als x ist:
f(x) =
µy [ 1 - b(x, y) ]
liefert das kleinste y, sodass die Bedingung erfüllt wird.
Sei g (n, y) = 1 - b(n, y)
Prof. Dr. Margarita Esponda
y := 0;
while g(n,y) ≠ 0 do y := y+1;
f := y;
Funktionale Programmierung
Äquivalenz vieler Berechnungsmodelle
Effektiv Berechenbare
Funktionen
Mathematische Modelle
Maschinelle Modelle
Register
Maschinen
ALP II
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Turing-Maschine
λ-Kalkül
Kombinatorische
Logik
µ-rekursive
Theoretische
Informatik I
Funktionen
Allgemein
rekursive
Funktionen
Funktionale Programmierung
µ-Rekursive Funktionen
Mathematische Modelle
µ-rekursive
Effektiv Berechenbare Funktionen
Primitiv Rekursive
Funktionen
LoopBerechenbar
Funktionen
Allgemein
rekursive
Funktionen
WhileBerechenbar
Maschinelle Modelle
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