Versuch 1: Impedanzmessung an Piezoelektrischen Bauelementen
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Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Versuch 1: Impedanzmessung Bauelementen an Stand 2010 Piezoelektrischen 1. Beschreibung des Versuchsaufbaus Die Impedanzmessung erfolgt mit einem frequenzstabilen Funktionsgenerator für sinusförmige Wechselspannungen mit einstellbarer Amplitude und Frequenz, sowie einem digitalen Speicherosziloloskop. Die Impedanzberechnungen sind möglich durch Spannungsmessung mit einem Kanal des Oszilloskops. Dabei wird, aus dem vom Oszilloskop bei einer festen Frequenz aufgenommenen zeitabhängigen Signal, der komplexe Scheitelwertzeiger bestimmt. Diese Messung wird an drei Bauelementen durchgeführt: 1) Dem unbekannten Messobjekt ( device under test dut ) 2) Zwei bekannten Messobjekten (Kalibrierstandards) Funktionsgenerator Agilent 8165 Uq Z1 Z2 Oszilloskop Agilent DSO 3062 ~ Zi Udut Um Zdut Zoszi Abb. 1 Messaufbau zur Impedanzmessung von Z dut Z i: U q: Z 1: Z 2: Z oszi: Udut: Innenwiderstand des FunktionsGenerators hier 50 Ω Einstellbarer Scheitelwertzeiger Zuleitung zum Messobjekt + Mögliche Anpassung Zuleitung zum Oszilloskop Impedanz des Oszilloskops nicht direkt messbare Spannung des Messobjekts mit Impedanz Zdut 1 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 2. Kalibrierung des Messaufbaus durch bekannte Messobjekte. Im Folgenden wird gezeigt, wie mit Hilfe von 2 verschiedenen, bekannten Messobjekten die Impedanzberechnung durchgeführt werden kann: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel folgt aus Abb 1: Um Z oszi = Udut Z 2 + Z oszi Udut Uq mit = (1) Z eff Z1 + Zi + Z eff 1 Zeff = 1 Zdut + = 1+ 1 Z1 + Zi (2) Z eff 1 . Z2 + Zoszi Wird nur das erste bekannte Messobjekt angeschlossen ( hier ein OPEN ) 1 Mit Zdut= Zo ( Impedanz des OPEN Standarts Zo = ; Co = 100 fF jωCo Ersatzschaltbild des OPEN Standards Co So gilt für die gemessene Spannung Umo am Oszilloskop mit (1)*(2) und Index OPEN: Umo Umo Udut Z oszi 1 * * = = Z +Z Uq Udut Uq Z 2 + Z oszi 1+ 1 i Z effo 1 1 1 . mit = + Zeffo Zo Z2 + Zoszi o für (3) ( 3´) Für das zweite bekannte Messobjekt wird ein ohmscher Widerstand benutzt, dessen Widerstandswert ungefähr dem Betrag der Impedanz des Messobjekts entspricht: Hier Zdut = ZL = 5kΩ + jω•1nH Ersatzschaltbild des LOAD – Standards RL LL RL = 5 kΩ LL nH Hier gilt analog zu (3) mit Index L für Load 2 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis UmL UmL Udut Z oszi 1 = ∗ = = Z +Z Uq Udut Uq Z 2 + Z oszi 1+ 1 i Z effL mit 1 ZeffL = (4) 1 1 + ZL Z2 + Zoszi Bildet man nun Stand 2010 ( 4´) 1 1 − , so ergibt sich (3) (4) ⎛ 1 Z2 ⎞⎟⎛⎜ Z1 + Zi ⎞⎟ ⎛⎜ Z2 ⎞⎟⎛⎜ Z1 + Zi ⎞⎟ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1+ 1+ − = 1+ − 1+ = Uq ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ZeffL ⎟⎠ Zeffo ⎟⎠ ⎜⎝ Zoszi ⎟⎠⎜⎝ ⎝ Umo UmL ⎠ ⎝ Zoszi ⎠⎝ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜1 + Z2 ⎟⎛⎜ Z1 Zi ⎞⎟⎜ 1 − 1 ⎟ ⎟⎜ ⎜ Z ⎟⎜ ⎟ oszi ⎠⎝ 1 ⎠⎝ Zeffo ZeffL ⎠ ⎝ mit (3’) und (4’) folgt daraus: ⎛ 1 ⎛ 1 Z2 ⎞⎟ 1 ⎞⎟ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ ( − = 1+ + Zi)⎜ − Uq ⎜⎜ Z 1 ⎟ ⎜Z ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ o ZL ⎠ ⎝ Um0 Uml ⎠ ⎝ Zoszi ⎠ oder Uq ⎛ Z1 ⎞ ⎟(Z + Z ) ⎜1 + ⎟ 1 i ⎜ Z oszi ⎠ ⎝ = ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − ⎟ ⎜Z ⎝ o ZL ⎠ ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − ⎟ ⎜U ⎝ mo UmL ⎠ = Calm (5) Auf der linken Seite von Gleichung (5) stehen die unbekannten Größen des Messaufbaues, auf der rechten Seite von (5) hat man die Impedanzen der bekannten Messobjekte und die dazugehörigen gemessenen Spannungen am Oszilloskop. Damit ist die Kalibrierkonstante Calm, die durch den Messaufbau bestimmt wird, bekannt. Wird nun das unbekannte Messobjekt mit der Impedanz Zdut in den Messaufbau eingesetzt, so lässt sich analog zu (5) mit der OPEN – Messung als bekanntes Messobjekt schreiben: 3 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 1 1 − Zo Zdut Calm = 1 1 − Umo Umdut (6) Wegen (5) = (6) lässt sich aus (5) und (6) nun die Impedanz Zdut berechnen: 1 1 1 1 − − Zo Zdut Zo ZL = 1 1 1 1 − − Umo Umdut Umo UmL 1 1 − Zo ZL 1 1 = − Y dut = 1 1 Zdut Zo − Umo UmL ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − ⎜U ⎟ ⎝ mo Umdut ⎠ (7) Dieses Vorgehen zur Berechnung der Admittanz Ydut lässt sich nun für unterschiedliche Messfrequenzen durchführen, so dass der Frequenzgang von Ydut(f) gemessen werden kann. 3. Modellierung des Piezobauelements mit Wirkungsgrad, mechanischer und elektrischer Güte Bestimmung von Bei piezoelektrischen Materialien wie z.B. Blei – Zirkanat – Titanat (PZT), wie es bei diesem Versuch Verwendung findet, wird ein Teil der durch mechanische Verformung aufgebrachten Energie in elektrische Energie umgewandelt. Der Wirkungsgrad für diese Energiewandlung wird durch den elektro-mechanischen Koppelfaktor Keff = eingespeis te elektrische Energie eingespeis te mechanisch e Energie = abgegebene mechanisch e Energie abgegebene elektrisch e Energie dargestellt. Zur Beschreibung des gekoppelten elektro-mechanischen Verhalten wird das Butterworth van Dyke Modell (BVD-Modell) aus Abb. 2 als Standardmodell benutzt. (siehe Anhang aus IEEE Standard zur Piezoelektrizität) 4 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 Cm C0 Lm Y S = j ⋅ ω ⋅ C0 + 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ R m + j ⋅ ⎜⎜ ω ⋅ L m − ω ⋅ C m ⎟⎠ ⎝ Rm Abb. 2 BVD-Modell Der elektrische Bereich des Piezos wird durch die Parallelkapazität C0 modelliert, in der die, durch mechanische Verformung getrennten, Ladungen gespeichert vorliegen. Das mechanische Verhalten wird durch einen zu C0 parallelgeschalteten Schwingkreis mit den „elektrischen“ Bauelementen Lm, Cm und Rm dargestellt. Unter welchen Voraussetzungen diese elektrische Darstellung des mechanischen Verhaltens erlaubt ist wird im folgenden erläutert: Bei dem in Abb. 3 gezeigten Piezo handelt es sich um ein mechanisch schwingfähiges System, mit einer bewegten Masse m, einer Steifheit (Federkonstante D) und viskosen (geschwindigkeitsproportionalen) Reibungsverlusten d. Abb. 3 Piezo mit Impedanzmessplatz 5 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 Die Bewegungsgleichung eines solchen Masse-Feder-Dämpfer Systems läßt sich einerseits durch die auftretenden Kräfte bei freier Schwingung durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: d2 x dx m⋅ 2 + d⋅ +D⋅x = 0 (8) dt dt dabei ist x die Auslenkung der bewegten Masse m aus ihrer Ruhelage, und m⋅ d2 x dt 2 die Trägheitskraft auf die mit D⋅ x d⋅ d2 x dt 2 beschleunigte Masse; die Rückstellkraft der Feder mit Federkonstante D dx dt und die geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft mit Proportionalitätskonstante d. Das elektrische Verhalten der Bauelemente Lm, Cm und Rm in Abb. 2 wird andererseits im elektrischen Bereich durch die folgenden Spannungs - Strom u-i, bzw. Spannungs-Ladungszusammenhänge u-q beschrieben: Spannung uL an der Spule bei zeitlicher Änderung des Stroms i uL = Lm ⋅ di d2q = Lm ⋅ 2 ; dt dt wobei i = dq dt Spannung uC am Kondensator bei vorhandener Ladung q uC = 1 ⋅q Cm Spannung uR am ohmschen Verbraucher bei Stromfluss i uR = Rm ⋅ i = R ⋅ dq dt Wird der Schwingkreis aus Lm, Cm und Rm bei vorhandener Ladung q kurzgeschlossen *, so ergibt sich folgende Differenzialgleichung für die Ladung q analog zu (1): Lm ⋅ d2q dq 1 + Rm + ⋅q = 0 2 dt dt Cm (9) * Dies entspricht der freien Schwingung des einmal ausgelenkten, frei schwingenden mechanischen Masse – Feder – Dämpfer Systems. 6 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 Durch Vergleich von (8) und (9) stellt man fest: Die Auslenkung x wird in der elektrischen Beschreibung durch die Ladung q dargestellt, die mechanische Kraft f entspricht der elektrischen Spannung u, d.h. Auslenkung und Ladung, sowie Kraft und Spannung sind zueinander korrespondierende Größen. Für kleine Änderungen sind diese Größen beim Piezo zueinander proportional: f = C1 ⋅ u (10) q = C2 ⋅ x (11) Eine am Piezo anliegende Spannung führt zum auftreten einer proportionalen Kraft, eine mechanische Verbiegung aus der Ruhelage erzeugt eine Ladungstrennung auf den Kondensatorplatten von C0. Beide Proportionalitätskonstanten sind wegen der Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes gleich, denn für die mechanische Leistung pm gilt pm = f ⋅ dx = f ⋅v dt mit Kraft f und Geschwindigkeit v. Für die elektrische Leistung pe gilt: dq pe = u ⋅ = u⋅i mit Spannung u und Stromstärke i§ dt Wegen (10) und (11) wird nun: pm = f ⋅ dx dx C1 dq C1 = C1 ⋅ u ⋅ = ⋅u⋅ = ⋅u⋅i dt dt C2 dt C2 mit C1 =1 oder C1 = C2 = Kem (12) C2 Kem heißt dann piezoelektrische Koppelkonstante. Wenn im elektrischen Ersatzschaltbild an den Serienschwingkreis von Abb.2 eine Spannungsquelle u(t) angeschlossen wird entspricht das also einer Kraft die im mechanischen Masse – Feder - Dämpfer System wirksam wird und es gilt: pm = p e ⇒ d2q dq 1 u( t ) = Lm ⋅ 2 + Rm ⋅ + ⋅q dt dt Cm mit (10), (11) und (12) wird daraus: f (t) d2 x dx K em = Lm ⋅K em ⋅ 2 + Rm ⋅ K em ⋅ + ⋅x K em dt dt Cm oder § zeitabhängige physikalische Größen sind kleingeschrieben 7 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis f ( t ) = Lm ⋅ K 2em ⋅ Stand 2010 d2 x K 2em 2 dx + R ⋅ K + ⋅x m em dt 2 dt Cm (13) außerdem gilt wegen (8) f (t) = m ⋅ d2 x dx + d⋅ +D⋅x 2 dt dt (14) Ein Koeffizientenvergleich zwischen (13) und (14) liefert elektromechanischen Umwandlungsformeln für die Modellparameter m = Lm ⋅ K 2em ; d = Rm ⋅ K 2em ; D= K 2em Cm damit die (14´) 4. Bestimmung der Modellparameter Cm, Lm, Rm und C0: Diese lassen sich mit Hilfe der elektrischen Impedanzmessung mit harmonische Wechselspannung in der Umgebung der mechanischen Resonanzfrequenz bestimmten. Für das Ersatzschaltbild in Abb. 2 gilt dann für die Admittanz YS Y S (ω) = j ⋅ ω ⋅ C0 + 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ Rm + j ⋅ ⎜⎜ Lm − ω ⋅ Cm ⎟⎠ ⎝ Für die Parameterextraktion wird dann folgendes Vorgehen gewählt (siehe IEEE Standard für...). Hierzu werden die aus den gemessenen Spannungswerten durch Gleichung (7) berechneten Admittanzen YM benutzt: 4.1. Bestimmung der Serienresonanzfrequenz fs, die an der Stelle auftritt, an der Realteil (YM) ein Maximum besitzt. 1 und Bestimmung der YM Parallelresonanzfrequenz fp die an der Stelle auftritt, an der Realteil (ZM) ein Maximum besitzt. 4.2. Berechnung der Impedanz ZM = 4.3. Berechnung des elektromechanischen Wirkungsgrads Keff 8 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis K eff = fp2 − fs2 fp2 Stand 2010 , der angibt wie viel elektrische Energie bei der Messung in mechanische Energie umgewandelt wurde. 4.4. Bestimmung der Gesamtkapazität CT = C0+Cm bei Frequenzen mindestens 10% unterhalb der Resonanzfrequenzen mit CT = Im aginärteil(YM ) ω Co = 4.5. Bestimmung von fs ⋅ CT fp und 4.6. Bestimmung von Lm = 1 (2 ⋅ π ⋅ fs )2 ⋅ Cm 4.7. Bestimmung von Rm = 1 Re alteil(YM ( fs )) Cm = CT – C0 Bei diesem Vorgehen ist nur der Imaginärteil (YM) frequenzabhängig gut modelliert, während der Realteil (YM) nur für die Frequenz f = fs angepasst ist. Außerhalb von fs wird der Realteil (YM) in der Regel zu klein berechnet, wie es eine Beispielextraktion von Abb. 4 zeigt. 3.50E-04 Admittanz / S 3.00E-04 2.50E-04 2.00E-04 real(YM) / S 1.50E-04 imag(YM) / S real(Ys) / S 1.00E-04 imag(Ys) / S 5.00E-05 0.00E+00 20000 25000 30000 35000 40000 45000 Frequenz / Hz Abb. 4 Vergleich Messung YM und Simulation YS eines Piezos. Um auch den Realteil (YM) breitbandig richtig zu berechnen müssen die dielektrischen Verluste des Piezos mit berücksichtigt werden. Hierzu wird das Ersatzschaltbild um einen frequenzabhängigen Parallelwiderstand erweitert: Es gilt für den dielektrischen Verlustfaktor tanδ: 9 Stand 2010 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis tan δ = 1 ω ⋅ R p ⋅ C0 Rp = und deshalb 1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ (15) Dabei ergibt sich das verbesserte Ersatzschaltbild nach Abb. 5. Cm 1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ C0 Y e = ω ⋅ C0 ⋅ tan δ + Y s Lm (16) Rm Abb. 5 Erweitertes Ersatzschaltbild mit dielektrischen Verlusten. tanδ lässt sich außerhalb der Resonanz durch tan δ = Re alteil(YM ) Im aginärteil(YM ) als Startwert extrahieren. Jetzt stehen genügend genaue Startwerte für die Berechnung von Ye zur Verfügung, um mit einem Optimieralgorithmus eine verbesserte Kurvenanpassung zu erreichen. Hierzu wird der mittlere Quadratische Fehler zwischen gemessenen Y-Parametern YM und nach (16) berechneten Y-Parameter Ye gebildet: 1 Fehler = ⋅ ∑ n geeignete Frequenzpunkte ⎡ Re al(YM ) − Re al(Y e )⎤ ⎢ ⎥ + Re al(YM ) ⎣ ⎦ 2 ⎛ Im ag((YM )) − Im ag(Y e ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ Im ag(Y M ) ⎝ ⎠ 2 n= Anzahl der benutzten Frequenzen Ersatzschaltbild bei hohen Frequenzen Für hochfrequente mechanische Resonanzen ( f > 100 kHz ) spielen auch die Zuleitungsinduktivitäten und der Kontaktwiderstand zwischen Piezomaterial und Metall eine Rolle: Diese beiden neuen Modellparameter erscheinen nun im Ersatzschaltbild von Abb. 6. 10 Stand 2010 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Rs Ls Cm 1 ω ⋅ C0 ⋅ tan δ C0 Lm 1 Ye ZRF = RS + j ⋅ ω ⋅ L s + (17) Rm Abb. 6 Hochfrequenztaugliches Ersatzschaltbild des Piezos Bei bekannten Bauelementewerten kann jetzt die dielektrische Güte Q e = sowie die mechanische Güte im Resonanzfall Q m = 1 2 ⋅ π ⋅ fs ⋅ Cm ⋅ R m 1 , tan δ berechnet werden. Bei Kenntnis von Kem ist es nun auch möglich eine effektive bewegte Masse mit m eff = L m ⋅ K 2em , eine effektive Proportionalitätskonstante für viskose Reibung deff = Rm ⋅ K 2em und eine effektive Federkonstante D eff = K 2em zu bestimmen. Cm 11 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 5. Aufgaben: Häusliche Vorbereitung: Berechnen Sie die Impedanz (Z-Parameter) und die Addmittanz (Y-Parameter) der Schaltung in Abb. 7. C0 Cm Lm R0 Rm Abb.7 Schaltung zur Berechnung von Y- und Z- Parametern 5.1 Simulieren Sie den vorhandenen Messaufbau mit dem Schaltungssimulationsprogramm ADS (Advanced Design System) von Agilent. Als Simulationsart wird eine AC-Simulation im Frequenzbereich von 10 kHz bis 100 kHz durchgeführt. Dabei sind die OPEN, LOAD und DUT Messungen, wie in Abb.1 dargestellt, im Simulator nachzubilden. Die Simulation der OPEN Messung ist bereits als Beispiel vorhanden. Starten sie ADS und öffnen sie das Projekt c:/PraktikumFunktionswerkstoffe/Versuch1_prj. Als unbekanntes Messobjekt benutzen sie den Schaltplan von Abb. 2 mit den Parametern C0=1 nF, Cm=30 pF, Lm=1.5 H und Rm=50 kΩ. Berechnen Sie aus dem Simulationsergebnis der Spannungen am Oszilloskop mit Gleichung (5) die Kalibrierkonstante Calm und stellen sie Realteil und Imaginärteil grafisch dar. Welche physikalische Bedeutung hat Calm (Hinweis: bestimmen sie die Einheit).Überlegen sie, wie mit (5) bei bekanntem Calm die gesamte Eingangsimpedanz der Quelle Z1+Zi abgeschätzt werden kann. Die folgenden Aufgaben werden mit EXCEL bearbeitet. Hierzu finden Sie unter c:/PraktikumFunktionswerkstoffe/Vorlage_LF.xls ein vorgefertigtes EXCEL file als Vorlage, mit dem die Messgeräte angesteuert werden können und die erzeugten Daten direkt in einer EXCEL Tabelle gespeichert werden. Mit diesen Daten werden anschliessend die Auswertungen in EXCEL durchgeführt. Wenn Sie einen eigenen LAPTOP mit EXCEL97 oder neuer besitzen, können Sie diesen zum Versuch mitbringen und den Versuch mit dem eigenen LAPTOP durchführen. Ansonsten benötigen sie einen USB Speicherstick, um die während des Versuchs erzeugten EXCEL files für die weitere Auswertung mitzunehmen. 12 Elektrotechnik Praktikum im Studiengang Funktionswerkstoffe Prof. Dr. Baureis Stand 2010 5.2. Kalibrierung des Messaufbaus mit den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD im Frequenzbereich 10 kHz < Frequenz < 100 kHz mit der Schrittweite 2 kHz. Bestimmen Sie wie in 5.1. die Kalibrierkonstante Calm und die Eingangsimpedanz der zur Quelle Z1+Zi . Wie groß ist der Kapazitätswert des Kondensators Impedanzanpassung der Quelle ans Messobjekt? 5.3. Messung des Piezos und Berechnung von Ydut nach Gleichung (7). 5.4. Parameterextraktion des BVD-Standardmodells nach Abb.2. 5.5 Erweiterung des Standardmodells mit dielektrischem Verlustfaktor gemäß Abb.5. 5.6. Optimierung des Modells aus 5.5 und Bestimmung der elektrischen Güte Qe, der mechanischen Güte Qm und des elektromechanischen Wirkungsgrads Keff. 5.7 Kalibrierung des Messaufbaus mit den bekannten Messobjekten OPEN und LOAD im Frequenzbereich 1 MHz < Frequenz < 10 MHz mit der Schrittweite 250 kHz. Hier wird keine zusätzliche Impedanzanpassung durch einen Kondensator benötigt, da der Piezo hier niederohmig ist (Z < 100 Ω). Bestimmen Sie wie in 5.1. die Kalibrierkonstante Calm und die Eingangsimpedanz der Quelle Z1+Zi . Wie groß ist der Widerstandswert des Innenwiderstands der Quelle ? 5.8 Führen sie die Schritte 5.3. bis 5.6. analog durch. Beurteilen Sie die Anpassung nach der Optimierung . 5.9 Benutzen Sie nun das hochfrequenztaugliche Ersatzschaltbild von Abb. (6) für die simulierten Z-Parameter von Gleichung (17). Führen Sie nun eine Optimierung der Z-Parameter durch. Für die Ausarbeitung: A.1. Überlegen Sie warum in den unterschiedlichen Frequenzbereichen unterschiedliche LOAD Standards benutzt wurden. A.2. Die piezoelektrische Koppelkonstante beträgt Kem ≈ 0.03 N/V. Bestimmen Sie damit die effektiven mechanischen Eigenschaften für die bewegte Masse m, die Federkonstante D und Reibungskoeffizienten d nach Gleichung (14´). Vergleichen und diskutieren Sie das Ergebnis bei den unterschiedlichen Resonanzfrequenzen. Zeigen Sie durch eine Dimensionsbetrachtung, daß die Proportionalitätskonstanten C1 und C2 der Gleichungen (10) und (11) die gleichen Einheiten besitzen. Anhang IEEE Standard zur Piezoelektrizität aus „IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 43, No. 5, September 1996 pp. 737-772.“ Beachte: Im Unterschied zur bisherigen Versuchsanleitung heißen in diesem Dokument die Bauelemente des mechanischen Schwingkreises L1,C1 und R1 . 13
