Dienstag 16.12.2008

Mathematik für Ingenieure I, WS 2008/2009
Dienstag 16.12
$Id: det.tex,v 1.3 2008/12/16 17:27:29 hk Exp hk $
II. Lineare Algebra
§8
Determinanten
8.1
Die Determinante
Betrachte beispielsweise die durch π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 4 und π(4) = 1 definierte Permutation π ∈ S4 . Oft schreiben wir auch einfach die zugehörige Ordnung von
{1, 2, 3, 4} hin, in diesem Beispiel also π = (2, 3, 4, 1). Wir wollen nun die Fehlstände
von π auflisten, und hierzu gehen wir alle sechs Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ 4 durch,
wenden auf jedes π an, und schauen ob sich die Reihenfolge der beiden Elemente umdreht oder nicht:
(1, 2)−→(2, 3),
(2, 3)−→(3, 4),
(1, 3)−→(2, 4),
(2, 4)−→(3, 1) Fehlstand,
(1, 4)−→(2, 1) Fehlstand, (3, 4)−→(4, 1) Fehlstand.
Damit hat die Permutation π genau drei Fehlstände, nämlich die Paare (1, 4), (2, 4)
und (3, 4). Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel, die Permutation π = (2, 1, 4, 3).
Die Tabelle wird dann zu
(1, 2)−→(2, 1) Fehlstand, (2, 3)−→(1, 4),
(1, 3)−→(2, 4),
(2, 4)−→(1, 3),
(1, 4)−→(2, 1),
(3, 4)−→(4, 3) Fehlstand,
d.h. diese Permutation hat genau die beiden Fehlstände (1, 2) und (3, 4). Insbesondere sehen Sie, dass das Ermitteln der Fehlstände einer Permutation kein besonderes
Problem darstellt. Wir wollen noch kurz tabellarisch die Fehlstände sämtlicher Permutation in S2 und S3 festhalten:
Permutation
(1,2)
(2,1)
Fehlstände
Permutation
(1,2,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(2,1,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
(1,2)
Fehlstände
(1,3),(2,3)
(1,2),(1,3)
(1,2)
(1,2),(1,3),(2,3)
(2,3)
Nun sind wir in der Lage das Vorzeichen einer Permutation zu definieren.
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Definition 8.3: Seien n ∈ N und π ∈ Sn . Dann heißt π gerade wenn die Anzahl der
Fehlstände von π gerade ist, und ungerade wenn die Anzahl der Fehlstände von π
ungerade ist. Weiter definieren wir das Vorzeichen, oder Signum, von π als
(
1,
π ist gerade,
π
signum(π) := sgn(π) := sign(π) := (−1) :=
−1, π ist ungerade.
Wie in der Definition aufgelistet findet man in der Literatur für das Vorzeichen einer Permutation eine große Zahl möglicher Bezeichnungsvarianten. Für unsere beiden
Beispiele von Permutationen von vier Elementen finden wir
(−1)(2,3,4,1) = −1, (−1)(2,1,4,3) = 1,
und die Vorzeichen aller Permutationen von zwei und drei Elementen ergeben sich wie
in der folgenden Tabelle:
Permutation
(1,2)
(2,1)
Vorzeichen
1
-1
Permutation
(1,2,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(2,1,3)
(3,2,1)
(1,3,2)
Vorzeichen
1
1
1
-1
-1
-1.
Beachte insbesondere das das Signum einer jeden Permutation von zwei oder drei Elementen gleich dem Vorzeichen des entsprechenden Terms in der Determinante einer
n × n Matrix ist. Bevor wir zur Definition der Determinante kommen, wollen wir noch
ein paar kleine Tatsachen über das Vorzeichen von Permutationen festhalten. Sind
π, η ∈ Sn zwei Permutationen und τ ∈ Sn eine Transposition, d.h. eine Permutation
die zwei Elemente von {1, . . . , n} vertauscht und alle anderen fixiert, so gelten
(−1)π
−1
= (−1)π , (−1)πη = (−1)π (−1)η , (−1)τ = −1.
Dabei steht πη für die Hintereinanderausführung π ◦ η. Alle diese Formeln sind leichte
Übungen, die wir hier nicht vorführen wollen, da sie doch etwas von unserem Thema
fortführen. Nun sind wir endlich in der Lage die Determinante einer allgemeinen n × n
Matrix zu definieren.
Definition 8.4: Sei n ∈ N. Die Determinante einer n × n Matrix wird dann über die
sogenannte Leipnitz-Formel als
a11 · · · a1n .. . .
.. := X (−1)π a
.
. . 1,π(1) · . . . · an,π(n)
π∈Sn
an1 · · · ann 16-2
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definiert.
P
P
Dabei interpretieren wir eine Summe π∈Sn f (π) als n!
k=1 f (πk ) wobei die Menge Sn =
{π1 , . . . , πn! } in irgendeiner Weise durchnumeriert ist. Unsere obigen Listen zeigen uns,
dass diese Determinantendefinition für n = 2, 3, und natürlich auch für n = 1, mit der
eingangs gegebenen Definition einer n × n Determinante für n = 1, 2, 3 übereinstimmt.
Wir wollen in diesem Abschnitt die Grundeigenschaften der Determinante herleiten, und dies wird uns insbesondere auf eine erste Methode zur effektiven Berechnung
von Determinanten führen. Im nächsten Abschnitt werden wir dann noch eine weitere
Technik zur Berechnung von Determinanten durch Rückführung auf kleinere Determinanten herleiten.
Satz 8.1: Für jede n × n Matrix A gilt det At = det A, wobei At die transponierte
Matrix zu A bezeichnet.
Beweis: Schreibe



a11 · · · a1n



A =  ... . . . ...  also At = 
an1 · · · ann

a11 · · · an1
.. . .
. 
. ..  .
.
a1n · · · ann
Dann haben wir für jede Permutation π ∈ Sn
aπ(1),1 · . . . · aπ(n),n = aπ(1),π−1 (π(1)) · . . . · aπ(n),π−1 (π(n)) = a1,π−1 (1) · . . . · an,π−1 (n) ,
und somit folgt
det At =
X
(−1)π aπ(1),1 · . . . · aπ(n),n =
=
(−1)π a1,π−1 (1) · . . . · an,π−1 (n)
π∈Sn
π∈Sn
X
X
π −1
(−1)
a1,π−1 (1) · . . . · an,π−1 (n) =
π∈Sn
X
(−1)π a1,π(1) · . . . · an,π(n) = det A
π∈Sn
da mit π auch π −1 die Menge Sn durchläuft.
Wie bereits bemerkt ist es unser Ziel eine Methode zur Berechnung von Determinanten
zu finden. Es ist nützlich hierbei zunächst eine sehr spezielle Sorte von Matrizen zu
behandeln, die sogenannten oberen Dreiecksmatrizen. Diese haben auf der Diagonale
und oberhalb der Diagonalen Einträge, aber alle Einträge unterhalb der Diagonale sind
gleich Null, also beispielsweise die Matrix


1 −1 3
1
 0
2 4
3 
.
A=
 0
0 3 178 
0
0 0
4
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Analog gibt es dann auch untere Dreiecksmatrizen, dies sind gerade die Transponierten
der oeberen Dreiecksmatrizen.
Satz 8.2: Sei


A=
∗
a1
...




 oder A = 
an

a1
...
∗


an
eine obere oder eine untere Dreiecksmatrix. Dann ist
det A = a1 · . . . · an .
Beweis: Schreibe wieder


a11 · · · a1n


A =  ... . . . ...  .
an1 · · · ann
Zunächst sei A eine obere Dreiecksmatrix, also aij = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n und aii = ai
für 1 ≤ i ≤ n. Sei π ∈ Sn . Gibt es dann ein 1 ≤ i ≤ n mit π(i) < i, so ist ai,π(i) = 0
und somit auch a1,π(1) · . . . · an,π(n) = 0. Ist dagegen π(i) ≥ i für jedes 1 ≤ i ≤ n,
so ist π(n) ≥ n, also π(n) = n, und weiter π(n − 1) ≥ n − 1 also π(n − 1) = n − 1
oder π(n − 1) = n, also wegen π(n − 1) 6= π(n) = n sogar π(n − 1) = n − 1. So
fortfahrend folgt dann π(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ n. Es gibt in det A also höchstens einen
von Null verschiedenen Summanden, nämlich derjenige zu π = (1, . . . , n) und da diese
Permutation gerade ist, folgt
det A = (−1)(1,...,n) a11 · . . . · ann = a1 · . . . · · · an .
Ist A eine untere Dreiecksmatrix, so ist At eine obere Dreiecksmatrix und mit Satz 1
folgt die Behauptung auch in diesem Fall.
Speziell für unsere obige Beispielmatrix liefert dieser Satz
1 −1 3
1 0
2 4
3 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
0
0 3 178 0
0 0
4 Wir werden nun eine allgemeine n × n Determinante auf eine in oberer Dreiecksgestalt
zurückführen. Zu diesem Zweck kommt wieder die Gaußsche Eliminationsmethode zum
Einsatz. Mit dieser können wir ja eine gegebene Matrix durch elementare Zeilenumformungen in einer Matrix in Stufenform überführen. Da jede Matrix in Stufenform
insbesondere eine obere Dreiecksmatrix ist, können wir die Determine von Matrizen
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in Stufenform mit Satz 2 leicht berechnen. Wir müssen uns also nur noch überlegen
wie sich die Determinante einer Matrix unter elementaren Zeilenumformungen verhält.
Nach §5 gibt es drei Sorten elementarer Zeilenumformungen
1. Vertauschen zweier Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl.
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Das Verhalten der Determinante unter diesen drei Operation wird das Thema der
nächsten drei Sätze sein. Neben den Zeilenumformungen werden auch Spaltenumformungen möglich sein, diese sind völlig analog zu Zeilenumformungen definiert. Da
sich Zeilen- und Spaltenumformungen unter Matrixtransposition ineinander übersetzen, können wir Satz 1 verwenden um Aussagen über Zeilen in Aussagen über Spalten,
und umgekehrt, zu überführen. Wir beginnen mit dem Vertauschen von Zeilen beziehungsweise Spalten. Dabei formulieren wir gleich einen etwas allgemeineren Satz, der
beliebige Vertauschungen der Zeilen oder Spalten einer Determinante behandelt.
Satz 8.3: Seien A eine n × n Matrix und η ∈ Sn eine Permutation. Definiere eine neue
Matrix A0 , deren i-te Zeile (Spalte) für i = 1, . . . , n gerade die η(i)-te Zeile (Spalte)
von A ist. Dann gilt
det A0 = (−1)η det A.
Haben wir beispielsweise die Matrix

1
 2
A=
 1
−1

4 −1 −2
0 −3
4 

1 −1 −2 
0
0
3
und die Permutation η = (2, 3, 4, 1), so ist die Matrix A0 diejenige 4 × 4 Matrix, deren
erste Zeile die η(1) = 2-te Zeile von A, deren zweite Zeile die η(2) = 3-te Zeile von A,
deren dritte Zeile die η(3) = 4-te Zeile von A und deren letzte Zeile die η(4) = 1-te
Zeile von A ist, also


−1 0
0
3
 1 4 −1 −2 
.
A0 = 
 2 0 −3
4 
1 1 −1 −2
Da wir bereits in einem Beispiel festgehalten hatten, dass die Permutation η ungerade
ist, liefert Satz 3 die Gleichung
1 4 −1 −2 −1 0
0
3 1 4 −1 −2 2 0 −3
4
= −
2 0 −3
1 1 −1 −2 .
4 −1 0
1 1 −1 −2 0
3 16-5
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Da Transpositionen immer ungerade sind ist insbesondere det A0 = − det A wenn A0
aus A durch Vertauschen zweier Zeilen oder durch Vertauschen zweier Spalten entsteht. Damit haben wir die erste der elementaren Zeilumformungen behandelt, und wir
kommen zum zweiten Typ, dem Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl. Auch hier
beweisen wir gleich eine allgemeinere Aussage. Wir behaupten das sich Addition einzelner Zeilen oder Spalten und Multiplikation einzelner Zeilen oder Spalten mit einem
Skalar aus einer Determinante herausziehen lassen.
Satz 8.4 (Zeilen- und spaltenweise Linearität der Determinante)
Seien n ∈ N und 1 ≤ k ≤ n. Dann gilt für alle Zahlen t, s ∈ K und alle aij , ai , bi ∈ K
die Gleichung
a11
···
a1n
..
..
.
.
ta
+
sb
·
·
·
ta
+
sbn
1
1
n
.
.
..
..
an1
···
ann
=
t
·
a11 · · · a1n ..
.. .
. a1 · · · an + s · ..
.. .
. a
··· a n1
nn
a11 · · · a1n ..
.. .
. b1 · · · bn ,
..
.. .
. a
··· a n1
nn
wobei die Summen in der k-ten Zeile dieser Determinante stehen. Die entsprechende
Aussage gilt auch für Summen von Spalten.
Auch diese einfache Tatsache wollen wir jetzt nicht vorführen. Ein direktes Beispiel
für die obige Formel ist etwa
1 −1 1 1 −1
1 1 −1 1 2
1 3 + 2 · 0 −1 −1 = 2 −1 1 .
−1
−1
0 2 0
2 −1
0 2 Die erste und die dritte Zeile dieser Matrizen stimmen jeweils überein, Addition und
Multiplikation werden nur in einer Zeile, in diesem Beispiel in der zweiten Zeile, durchgeführt. Mit den beiden eben bewiesenen Sätzen ist es leicht die Invarianz der Determinante unter der letzten noch zu betrachtenden Zeilen- beziehungsweise Spaltenumformung einzusehen.
Satz 8.5: Sei n ∈ N und sei A eine n × n Matrix. Die Matrix A0 entstehe aus A durch
Addition eines Vielfachen der i-ten Zeile (Spalte) zur j-ten Zeile (Spalte). Dann ist
det A0 = det A.
Mit den bisher nachgewiesenen, beziehungsweise behaupteten, Eigenschaften der
Determinante können wir nun ein erstes Rechenverfahren zur Bestimmung allgemeiner Determinanten angeben. Starten wir mit einer n × n Matrix A, so führen wir
mit A das Gaußsche Eliminationsverfahren durch, d.h. wir bringen A durch elementare Zeilenumformungen auf Stufenform. Für jeden der Umformungsschritte wissen wir
nach obigen drei Sätzen wie sich die Determinante unter dieser Umformung verhält.
Die Determinante der letztlich entstehenden oberen Dreiecksmatrix können wir dann
durch Ausmultiplizieren der Einträge entlang der Diagonalen berechnen. Wir wollen
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dies einmal an einem Beispiel durchführen.
1 2 −1
1
1 2
1
−1
=
−1 2
3 −1 3 0 −1
0 1
2 −1
1
2 −1
1 0
4
2
0
0
2 −2 = − 0
2
0
4
2
0 0
0 −6
2
0 −6
2 −3
1
1 2 −1
1 0 4
2
0
= − 0
= − 0
2 −2 0 0
0
0 0
5 −3
1
0
−2
−3
2 −1
1 4
2
0 = −16.
0
2 −2 0
0
2 Man ist allerdings nicht gezwungen so stur den Gaußschen Algorithmus abzuarbeiten,
oft kann man sich die Arbeit durch Mischen von Zeilen- und Spaltenoperationen erleichtern. Dies geschieht etwa im folgenden Beispiel wo wir zuerst Vielfache der ersten
Zeile von der dritten und vierten Zeile abziehen und anschließend die zweite und dritte
Spalte von der ersten Spalte subtrahieren
1 0 1 −1
1 0
0 0
3
1
−1
3
1
−1
3
4 1 3
7 −5 4 1
3
7 −5 0 1
3
7 −5 2 2 0
1
0 = 0 2 −2
3 −6 = 0 2 −2
3 −6 = 0.
4 0 4 −3
6 0 0
0
1 −6 0 0
0
1 −6 1 1 0
8
1
1 1
0
8
1
0 1
0
8
1 Das abschließende Ergebnis Null ist dabei nach Satz 4 klar, hat eine Matrix eine Zeile
oder eine Spalte, die nur aus Nullen besteht, so können wir die Null vor die Determinante ziehen und die gesamte Determinante wird gleich Null. Alternativ können Sie sich
auch leicht klarmachen das überhaupt jeder Summand in der Leipnitz-Formel gleich
Null ist.
Rechnerisch ist es oftmals hilfreich die Aussage Satz 2 über die Determinanten
oberer und unterer Dreiecksmatrizen auf etwas allgemeinere Matrizen auszudehnen,
bei denen auf der Diagonale keine einzelnen Zahlen sondern ganze Untermatrizen als
Blöcke stehen.
Satz 8.6 (Verallgemeinerte Dreiecksmatrizen)
Hat die n × n Matrix A die Form



∗
D1
D1






D2
D2
 oder A = 
A=
...
...






Dr
∗
Dr
mit quadratischen Untermatrizen D1 , . . . , Dr , so gilt
det A = det(D1 ) · . . . · det(Dr ).
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





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Dies kann man etwa über unser Berechnungsverfahren für Determinanten einsehen.
Bringen wir jede der Matrizen D1 , . . . , Dr durch elementare Zeilenumformungen auf
oberer Dreiecksgestalt, so bringen diese Umformungen auch die gesamte Matrix A auf
obere Dreiecksgestalt. Die Determinante wird dann das Produkt aller Diagonaleinträge
und diese können wir grüppchenweise zu den Produkten über die Diagonaleinträge in
den einzelnen Kästchen zusammenfassen. Jedes dieser Teilprodukte ist dann aber ein
det(Di ), und dies liefert gerade den Satz.
Betrachten wir beispielsweise die Matrix


1 2 −1
7
 1 4
5 −1 
,
A=
 0 0
2
3 
0 0
2
4
so können wir diese in Kästchen aufteilen


1 2 −1
7
 1 4
5 −1 

A=
 0 0
2
3 
0 0
2
4
und dies ist gerade eine verallgemeinerte obere Dreiecksmatrix bei der D1 , D2 zwei 2×2
Matrizen sind. Der Satz liefert also
1 2 −1
7
1 4
5 −1 1 2 3 5 =
·
= 2 · 2 = 4.
0 0
2
3 1 4 2 4 0 0
2
4 Auch in unserem obigen Beispiel einer 4×4 Determinante hätten wir den Kästchensatz
verwenden können. Benutzen wir die Einteilung von


1 2 −1
1
 0 4
2
0 


 0 0
2 −2 
0 0
5 −3
2 −2
in zwei 1 × 1 Kästchen (1) und (4) sowie ein 2 × 2 Kästchen
, so können
5 −3
wir mit dem Kästchensatz den letzten Schritt unserer Rechnung einsparen
1 2 −1
1 2 −1
1 1 1 2
0 4
2 −2 2
0
1
−1
= −4 · = ··· = −
−1 2
0 0
5 −3 = −16.
3 −1 2 −2 3 0 −1
0 0
0 5 −3 16-8
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Bevor wir zu weiteren Formeln für Determinanten kommen, wollen wir noch zwei kleine
geometrische Tatsachen festhalten. Wir beginnen mit der Kennzeichnung von Matrizen
A mit det A 6= 0. Angenommen wir haben eine n × n Matrix A gegeben und bezeichnen
ihre Spalten mit v1 , . . . , vn . Auf A lassen wir dann das Gaußsche Eliminationsverfahren
laufen. Dann ist genau dann det A = 0 wenn auf der nach dem Eliminationsverfahren
entstandenen Diagonale eine Null vorkommt, und da die Matrix nach der Elimination
in Stufenform ist, ist dies genau dann der Fall, wenn mindestens eine Zeile der entstandenen Matrix nur aus Nullen besteht, wenn also das Gaußsche Eliminationsverfahren
nur r < n von Null verschiedene Zeilen produziert. Letzteres bedeutet nach den Ergebnissen des §7 genau das v1 , . . . , vn keine Basis des K n ist. Somit haben wir das
Kriterium
v1 , . . . , vn sind eine Basis des K n ⇐⇒ det A 6= 0.
Damit haben wir die linearen Unabhängig von n Vektoren im K n durch Determinanten
charakterisiert.
Für reelle Matrizen hat die Determinante auch eine weitere geometrische Bedeutung. Ist A eine reelle n × n Matrix, so betrachten wir die Spalten v1 , . . . , vn von A.
Dies sind n Vektoren im Rn und mit diesen bilden wir die Menge
M := {t1 v1 + · · · + tn vn |0 ≤ t1 , . . . , tn ≤ 1} ⊆ Rn ,
das sogenannte von v1 , . . . , vn aufgespannte Parallelepiped. In Dimension n = 2 hat M
die Form eines ausgefüllten Parallelograms
v2
v2
v1
v1
t2v2
t1v1
In Dimension n = 3 hat M die Form eines Spats, und in höheren Dimensionen kann man
sich M als einen n-dimensionalen Spar vorstellen. Der Betrag | det A| der Determinante
von A ist nun das n-dimensionale Volumen der Menge M . Für die beiden kleinen
Dimensionen n = 2 und n = 3 werden wir darauf später noch einmal eingehen.
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