Datenstrukturen Teil 3 Traversierung und AVL

Traversierung
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Traversierung: bezeichnet verschiede
Verfahren einer Routenbestimmung durch
baumförmige Graphen
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Dabei wird jeder Knoten und jede Kante
nur einmal besucht
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Traversierungsalgorithmen sind für die
effiziente Durchwanderung von Bäumen
unerlässlich
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Es gibt vier Traversierungsmethoden
Datenstrukturen Teil 3
Traversierung und AVLBäume
Traversierung
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Pre-Order / Hauptreihenfolge
Traversierung
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In-Order / Symmetrische Reihenfolge
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Ausgehend von der Wurzel wird zunächst der
linke Teilbaum abgearbeitet, danach der
rechte
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Hier wird zunächst der linke Teilbaum
betrachtet, danach die Wurzel und zuletzt der
rechte Teilbaum
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Dabei wird für jeden Teilbaum der
Algorithmus rekursiv aufgerufen
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Ebenfall rekursive Abarbeitung
Traversierung
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Post-Order / Nebenreihenfolge
Traversierung
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Level-Order
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Hierbei wird zunächst der linke Teilbaum,
dann der rechte Teilbaum und dann die
Wurzel betrachtet
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Ausgehend von der Wurzel werden alle
Elemente nebeneinander (quasi von links
nach rechts) abgearbeitet
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Ebenfalls rekursiv
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Diese Methode ist die rechenintensivste, da
immer wieder zu Vorgängerknoten
zurückgegangen werden muß
Beispiel für Traversierungen
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Pre-Order
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Beispiel für Traversierungen
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In-Order
Ergebnis: 30 15 7 9 36 34 32 35 41
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Ergebnis: 7 9 15 30 32 34 35 36 41
Beispiel für Traversierungen
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Post-Order
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AVL-Bäume
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Spezielle Binärbäume
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Benannt nach Adel´son-Vel´skii und
Landis
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Per Definition darf sich die Tiefe (Höhe)
eines linken Teilbaums maximal um 1 von
der Tiefe (Höhe) eines rechten Teilbaums
unterscheiden.
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Daher ist der Baum immer maximal
balanciert
Ergebnis: 9 7 15 32 35 34 41 36 30
AVL-Bäume
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Dies wird durch spezielle Algorithmen für
das Einfügen und Löschen von Knoten
erreicht
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Hierzu wird für jeden Knoten der Wert
„Balance“ mitgespeichert
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Dieser beinhaltet die Tiefendifferenz der
jeweiligen Teilbäume
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Ist die Differenz größer als 1 oder kleiner
als -1, so wird jeweils ein bestimmter
Algorithmus ausgelöst
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Dieser heißt Rotation
AVL-Bäume
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Beispiel
AVL-Bäume, Rotation
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Es gibt vier Rotationsarten
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Linksrotation
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Rechtsrotation
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LinksRechtsrotation
–
RechtsLinksRotation
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Linksrotation
Vorteil der AVL-Bäume
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Rotation Beispiele
Immer Balanciert, dadurch minimale
Suchschrittanzahl
Nachteil der AVL-Bäume
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Einfügen und Löschen sind komplex und
langsam
Rotation Beispiele
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Rechtsrotation
Rotation Beispiele
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RechtsLinksrotation
Rotation Beispiele
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LinksRechtsrotation
AVL-Bäume, Rotation
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Unterteilung in
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Einfachrotation: Links- / Rechtsrotation
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Doppelrotation: LinksRechts- /
RechtsLinksrotation
Einfachrotation immer dann,
–
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Doppelrotation immer dann,
–
Beispiel Einfachrotation
wenn durch Einfügen oder Löschen ein
Höhenunterschied > 1 an einem der beiden
äußersten Teilbäume eines Zweiges eines
AVL-Baumes ergibt
wenn der Höhenunterschied an inneren
Teilbäumen auftritt
Beispiel Doppelrotation
Löschen im AVL-Baum
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Einfügen benötigt maximal eine Rotation.
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Löschen komplexer, da auf dem Pfad zur Wurzel ggf.
mehrere Rotationen erforderlich sind.
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Strategie:
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Löschen wird wie bei natürlichen Suchbäumen auf das Löschen von
Randknoten (d.h. Knoten mit höchstens einem Nachfolger)
zurückgeführt.
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D.h. beim Löschen eines Knotens mit zwei nichtleeren Unterbäumen
("innerer Knoten") wird der „größte linke“ oder der „kleinste rechte“
Knoten verwendet.
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Der Balancefaktor im Unterbaum des gelöschten Randknotens muß
angepaßt werden.
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Der Balancefaktor auf allen Knoten im Pfad zur Wurzel muß (rekursiv)
überprüft und angepaßt werden.
Löschen im AVL-Baum
Löschen im AVL-Baum
Löschen im AVL-Baum
Löschen im AVL-Baum
Löschen im AVL-Baum
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Mögliche Fälle beim Löschen sind entsprechend der
Rotation und Doppelrotation beim Einfügen:
Löschen entspricht sozusagen dem Einfügen im
gegenüberliegenden Unterbaum
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ACHTUNG: Manchmal kann man sich nach dem
Löschen zwischen einfacher und doppelter Rotation
entscheiden!
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ABER: Bei jedem Fall muß überprüft werden, ob
sich die Höhe des betrachteten AVL (Unter-)Baums
gegenüber der Höhe vor dem Löschen ändert
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Falls ja: Rebalancierung rekursiv auf Elternknoten aufrufen
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Falls nein: fertig.