Routing auf dem Hypercube

Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Routing auf dem Hypercube
Natalya Moriz
21. Januar 2008
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Einführung
Problemstellung
Modell
Permutation Routing Problem
Hypercube
Routing-Algorithmen
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Analyse
Analyse der Phase I
Abschätzung für die Anzahl der aktiven Pakete
Abschätzung der gesamten Anzahl von Transitionen auf einem Pfad
6
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Zusammenfassung
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Optimierung und Netzwerk Design
heutige Realität:
Wirtschaft benötigt immer höhere Rechenleistungen ⇒ Bedarf
an Rechenleistung steigt sehr stark an
mehrere Prozessoren müssen gleichzeitig an der
Problemlösung arbeiten
gefragt: ein Mechanismus zur Kommunikation von Prozessoren
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
in diesem Vortrag
Fundamentales Problem des parallelen Programmieren:
effiziente Kommunikation in den dünnen
Kommunikationsnetzwerken
in dieser Arbeit wird präsentiert:
eine Netzwerkfamilie
zwei Routing Algorithmen
Analyse der Algorithmen
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Modell
Permutation Routing Problem
Problemstellung
Problem:
Kommunikationsnetzwerk mit N Prozessoren
jeder Prozessor hat lokalen Speicher
Prozessoren sind durch Kommunikationskanäle verbunden
Ziel: Nachrichten von einigen Prozessoren zu den anderen synchron
und möglichst effizient verschicken zu können.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Modell
Permutation Routing Problem
Modell
Kommunikationsnetzwerk - gerichteter Graph mit N Knoten:
jeder Knoten - ein Prozessor
jede Kante - ein Kommunikationskanal
Nachrichten - Pakete mit Startstationen und Endstationen
Im Modell gilt auch:
eine Kante kann in einem Zeitschritt ein Paket transportieren
ein Paket kann nicht mehr als eine Kante pro Schritt
überqueren
jeder Knoten hat einen Buffer, wo die Pakete eine
Warteschlange bilden können
jeder Knoten sendet höchsten ein Paket und ist Adresse für
höchstens ein Paket
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Modell
Permutation Routing Problem
Modell
Unter diesen Bedingungen benötigt:
ein Routing-Algorithmus
Routing-Algorithmus berechnet für jedes Paar von Knoten (Startund Endstationen) eine Route (Reihenfolge von Kanten), die diese
Knoten verbindet
Effizienz des Algorithmus - Anzahl der Schritte für die Lösung des
Permutation Routing Problem
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Modell
Permutation Routing Problem
Permutation Routing Problem (PRP)
Permutation Routing Problem
jeder Prozessor Pi , i ∈ {0, . . . , N − 1} sendet eine Nachricht zum
Prozessor Pπi , wobei π - eine Permutation
Traumlösung: in einem parallelen Schritt
benötigt: jeder Knoten im Graphen (jeder Prozessor im
Netzwerk) soll mit jedem verbunden sein
nur für die kleine Anzahl der Prozessoren möglich
technisch nicht vernünftig realisierbar
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Modell
Permutation Routing Problem
dünnes Neztwerk
sparse (dünner) Graph
Ein Graph heißt dünn (sparse), falls gilt: |E | << V 2 ( E Menge
der Kanten, V Menge der Knoten)
jeder Knoten kommuniziert nur mit wenigen Nachbarn
die meisten Pakete müssen einige dazwischenliegende Knoten
besuchen, bevor sie ihre Endstationen erreichen
Stauungen oder Flaschenhalseffekte möglich
Neus Problem:
Entwurf einer Familie von dünnen Netzwerken zusammen mit
einem Routing-Algorithmus, der PRP in der kleinsten Anzahl der
parallelen Schritte löst.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Warum Hypercube
eines der bis heute bekannten leistungsstärksten
Kommunikationsnetzwerken
viele andere Netzwerke können von dem Hypercube effizient
simuliert werden
Sei:
N = {0 ≤ i ≤ N − 1} die Menge der Prozessoren einer
Parallelmaschine
N = 2n für eine ganze Zahl n
x = (x1 . . . xn ) binäre Darstellung einer Nummer aus
0≤i ≤N −1
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Definitionen
Hypercube der Dimension n
Der n-dimensionale Hypercube ist ein Netzwerk mit N = 2n
Knoten (Prozessoren) und folgender Netztopologie: ein Knoten x
hat direkte Verbindung zu einem Knoten y genau dann, wenn sich
x und y genau in einem Bit unterscheiden.
Durchmesser eines Graphen
Sei G = (V , E ) ein ungerichteter Graph, u, v ∈ V und dist (u, v ) die Länge des kürzesten Weges von u nach v . Dann ist der
Durchmesser d (G ) des Graphen G definiert als:
d (G ) = max {dist (u, v ) ; u, v ∈ V }
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Hypercube der Dimensionen 0, 1, 2, 3 und 4
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Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Eigenschaften des Hypercube der Dimension n
besitzt 2n Knothen und n2n−1 ungerichtete Kanten
sein Durchmesser ist n
gesamte Anzahl eingehender und ausgehender Kanten ist 2nN,
da jeder Knoten n ausgehende und n eingehende Kanten hat
besitzt rekursive Struktur - der Hypercube der Dimension n
enthält 2 Kopien des Hypercube der Dimension n − 1
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Idee von Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Algorithmus berechnet Route für ein Paket.
Eingabe:
a -Startstation des Paketes mit a = (a1 , . . . an )
b -Endstation des Paketes mit b = (b1 , . . . , bn )
Idee:
Jedes Bit der Startstation und der Endstation wird der Reihe nach
verglichen und die nächste Kante wird für die Route genommen,
falls es notwendig ist.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus für den n-Hypercube
1
2
3
for i = 1 to n do
if ai 6= bi
überquere die Kante
(b1 , . . . , bi−1 , ai , . . . , an ) → (b1 , . . . , bi−1 , bi , ai+1 , . . . , an )
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Beispiel auf dem 4-dimensionalen Hypercube
Eingabe:
a = (0000), b = (1011)
i = 1: 0 6= 1 ⇒
(0000) → (1000)
i = 2: 0 = 0 ⇒ (1000)
i = 3: 0 6= 1 ⇒
(1000) → (1010)
i = 4: 0 6= 1 ⇒
(1010) → (1011)
(0000) → (1000) → (1010) → (1011)
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Aussicht
Nachteil:
pure Anwendung des Bit-Fixing-Routing-Algorithmus für
Routen von N Pakete führt oft zu Stauungen
Ausweg:
Randomisierung der Daten für das Umgehen der ungünstigen
Permutationen
Parallelität zu dem Quicksort-Algorithmus:
bekannt - worst case Ω n2 Vergleichsoperationen
Randomisierter Quicksort - erwartete Anzahl
Vergleichsoperationen O (n log (n))
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Idee von Two-Phase-Routing-Algorithmus
Eingabe:
a -Startstation des Pakets mit a = (a1 , . . . an , )
b -Endstation des Pakets mit b = (b1 , . . . , bn )
Idee:
erst sende jedes Paket von seiner Startstation zu einer zufällig
ausgewählten Zwischenstation,
dann von der Zwischenstation zu seiner ursprünglichen Endstation
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus für den n-Hypercube
1
Phase I - wähle zufällig eine Zwischenstation x = (x1 , . . . xn , )
für das Paket und sende Paket von a nach x mit Hilfe des
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
2
Phase II - sende Paket von x nach b mit Hilfe des
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Permutation Routing Problem:
Two-Phase-Routing-Algorithmus wird parallel für alle N Pakete
ausgeführt
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Routing-Algorithmus
Two-Phase-Routing-Algorithmus
Bemerkung
Wahl der Zwischenstationen für jedes Paket unabhängig
Warteschlangepolitik - wenn die Warteschlange in einem
Knoten zum Anfang eines Zeitschritts nicht leer ist, wird ein
Paket durch eine mit diesem Knoten verbundene Kante
während dieses Zeitschritts gesendet
diese Routing-Strategie besitzt asymptotisch optimale
parallele Laufzeit
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Analyse der Phase I.Theorem 1
Theorem
Mit der Wahrscheinlichkeit 1 − O N −1 können alle Pakete beim
gegebenen Permutation Routing Problem nach dem Schema des
Two-Phase-Routing-Algorithmus zu ihren Endstationen auf dem
n-Hypercube in O (n) = O (log (N)) parallelen Schritten geroutet
werden.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Analyse der Phase I. Annahmen
Annahmen:
kein Paket darf mit der Phase II beginnen, bevor alle Pakete
die Phase I beendet haben
zufällige Wahl einer Zwischenstation x = (x1 , . . . , xn ) :
jedes xi wird unabhängig auf 0 mit der Wahrscheinlichkeit
und auf 1 mit der Wahrscheinlichkeit 12 gesetzt
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
1
2
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Lemma
Definiere:
T1 (M) - Anzahl der Schritte in Phase I für ein Paket M
X1 (e) - gesamte Anzahl der Pakete, die eine Kante e während
der Phase I überqueren
Bemerkung : In jedem Schritt : entweder überquert ein Paket M
eine Kante oder befindet sich in einer Warteschlange, denn ein
anderes Paket überquert eine Kante auf seiner Route
Lemma
Seien e1 , . . . , em , m ≤ n - Kanten, die ein Paket M in der Phase I
m
P
überquert. Dann: T1 (M) ≤
X1 (ei )
i=1
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Möglicher Paketpfad
Definiere:
ein möglicher Paketpfad - ein Pfad P = (e1 , . . . , em ) aus
m ≤ n Kanten, der in Bit-Fixing-Algorithmus vorkommen
kann, wobei für die Knoten v0 , . . . , vm gilt ei = (vi−1 , vi )
m
P
T1 (P) =
X1 (ei )
i=1
Beachte:
falls Phase I für alle Pakete mehr als T Schritte braucht,
bedeutet es für einen Paketpfad P - T1 (P) ≥ T
insgesamt 22n mögliche Paketpfade, da es 2n Startstationen
und 2n Endstationen gibt
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Aussicht
!Brauchen - eine Abschätzung der Abweichung vom
m
P
Erwartungswert für T1 (P) =
X1 (ei )
i=1
? Chernoff-Schranke - erlaubt Wahrscheinlichkeit bestimmter
Aussagen über die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen
abzuschätzen
Problem - X1 (ei ) sind nicht unabhängig
Idee für das Umgehen dieses Problems:
1
zu zeigen: nicht mehr als 6n verschiedene Pakete Kanten auf
dem Pfad P überqueren
2
gewinnen Schranke mit höher Wahrscheinlichkeit für die
gesamte Anzahl der Transitionen auf dem Pfad P (T1 (P))
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Aktives Paket
Sei P - ein möglicher Paketpfad aus m Kanten
Aktives Paket in einem Knoten
Ein Paket ist aktiv im Knoten vi−1 auf dem Pfad P, falls es den
Knoten vi−1 erreicht hat und die Möglichkeit hat, die Kante ei zu
dem Knoten vi zu überqueren.
Bemerkung:
Paket kann im vi−1 aktiv sein, falls sich vi−1 und vi im j. Bit
unterscheiden
Aktives Paket auf dem Pfad
Ein Paket ist aktiv auf dem Pfad P, falls es in einem Knoten des
Pfades P aktiv ist.
Natalya Moriz
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Vorbereitungen
Ziel - gesamte Anzahl der aktiven Pakete auf einem Pfad
abschätzen
Definiere
Zufallsvariable Hk , k ∈ {1, . . . , N} mit
Hk =
1
0
Damit H =
, falls Paket, das im Knoten k startet, auf P aktiv ist
, sonst
N
P
Hk - die gesamte Anzahl der aktiven Pakete
k=1
Hk unabhängig :
jedes Hk hängt nur von der Wahl der Zwischenstation für das
Paket mit dem Start in k ab (Bild Tafel)
Wahl der Zwischenstationen ist unabhängig für alle Pakete
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Routing-Algorithmen
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Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung E (H)
Brauchen für Chernoff-Schranke - Abschätzung für E (H)
Sei:
vi−1 = (b1 , . . . , bj−1 , aj , aj+1 , . . . , an )
vi = (b1 , . . . , bj−1 , bj , aj+1 , . . . , an )
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Routing-Algorithmen
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Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung E (H)
1
nur Pakete, die in einer der Adressen (∗, . . . , ∗, aj , . . . , an )
starten, wobei ∗ für 0 oder 1 steht, können vi−1 erreichen
nicht mehr als 2j−1 aktive Pakete im Knoten vi−1 :
. . · 1} = 2j−1 Möglichkeiten
2
. . · 2} · |1 · .{z
| · .{z
j−1
2
n−j+1
ein Paket erreicht vi−1 , falls seine Zwischenstation eine der
Adressen hat (b1 , . . . , bj−1 , ∗, . . . , ∗)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket im vi−1 tatsächlich
1
1
aktiv ist: · . . . · = 2−(j−1)
2
| {z 2}
j−1
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Routing auf dem Hypercube
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Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung E (H)
Berechne erwartete Anzahl der aktiven Pakete pro Knoten:
Definiere Zufallsvariable X i - Anzahl der aktiven Pakete in vi
N−1
P
Xk , wobei
Xi =
k=0
1 , falls Paket, das im Knoten k startet, in vi aktiv ist
Xk =
0 , sonst
Sei pk Wahrscheinlichkeit, dass Paket mit dem Start in k im
Knoten vi aktiv ist.
Dann gilt für jeden Knoten vi
E X
i
=
N
X
Xk pk ≤
k=1
Natalya Moriz
j−1
2
X
l=1
1
2j−1
=
2j−1
=1
2j−1
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung E (H)
Berechne erwartete Anzahl der aktiven Pakete auf einem Pfad:
ein möglicher Pfad P = (e1 , . . . , em ) aus m ≤ n Kanten ⇒
nur m Knoten v0 , . . . , vm−1 betrachten
Es gilt dann:
E [H] = E
"m−1
X
#
Xi =
i=0
Natalya Moriz
m−1
X
E Xi ≤ m · 1 ≤ n
i=0
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
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Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Chernoff-Schranke
Theorem
Sei X1 , . . . , Xn unabhängige Poisson-Versuche mit Pr (Xi ) = pi . Sei
n
P
X =
Xi und µ = E [X ]. Dann gilt für R ≥ 6µ:
i=1
Pr (X ≥ R) ≤ 2−R
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Anwendung Chernoff-Schranke
H ist Summe von unabhängigen Zufallsvariablen mit E (H) ≤ n ⇒
nach dem Theorem mit R = 6n ≥ 6E [H]:
Pr (H ≥ 6n) ≤ 2−6n
Damit gezeigt:
mit höher Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 6n verschiedene
Pakete überqueren Kanten auf einem Pfad P
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Ziel:
unter der Bedingung Pr (H ≥ 6n) ≤ 2−6n
zu zeigen - aktive Pakete führen nicht mehr, als 30n Transitionen
auf einem Pfad durch
Pr (A) = Pr (A | B) Pr (B) + Pr A | B Pr B ≤ Pr (B) + Pr A | B
| {z }
| {z }
≤1

≤1







Pr T1 (P) ≥ 30n ≤ Pr H ≥ 6n + Pr T1 (P) ≥ 30n H < 6n 
| {z }
|
|
{z
}
{z
} | {z }
A


B
A
Pr (T1 (P) ≥ 30n) ≤ 2−6n + Pr (T1 (P) ≥ 30n |H < 6n )
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
B
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Behauptung 1
Pr (T1 (P) ≥ 30n |H < 6n ) ≤ 2−3n−1
Schritt 1.
Falls ein Paket einen Pfad P in der Phase I des Algorithmus
verlässt, wird es nie in dieser Phase auf den P zurückkehren:
Annahme: ein im vi aktives Paket geht zu w 6= vi+1 über ⇒
der kleinste Index des Bits, indem sich vi+1 und w unterscheiden,
kann nicht mehr in dieser Phase bestimmt werden (Tafel)
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Schritt 2.
Sei:
ein Paket ist aktiv im Knoten vi−1 auf dem Pfad P
ei = (vi−1 , vi )
vi−1 und vi unterscheiden sich in j. Bit
? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Paket die Kante
ei überquert?
Annahme: Paket bestimmt die Bits in binärer Darstellung seiner
Zwischenstation per unabhängigen zufälligen Münzewurf ⇒
es braucht geeigneten Wert für das j. Bit zu wählen ⇒
Wahrscheinlichkeit, dass Paket ei überquert, am höchsten 1/2
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Schritt 3.
Definiere:
Versuch - jeder Punkt im Algorithmus, falls gilt : in einem Knoten
vi−1 auf dem Pfad P befindet sich ein aktives Paket M, das die
Kante ei überqueren
kann
erfolgreich , falls Paket M den Pfad P verlaesst
Versuch ist
versagend , sonst
auf einem Pfad nicht mehr als 6n aktive Pakete ⇒ nicht mehr
als 6n Erfolge
jeder Versuch ist erfolgreich unabhängig mit
Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2
Anzahl der Versuche ist selbst Zufallsvariable
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Schritt 4.
Definiere Zufallsvariable Z - Anzahl der Köpfe beim 36n-maligen fairen
Münzwurf
Behauptung 2
Pr (T1 (P) ≥ 30n |H ≤ 6n ) ≤ Pr (Z ≤ 6n)
Versuch - Münze werfen, Kopf - Erfolg (Verlassen des Pfades) und
Zahl - Misserfolg (Verbleiben auf dem Pfad)
Jedes Werfen ist unabhängig
sei Werfen nicht fair, sondern neigend zum Erfolg mit
Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2
sobald es 6n Erfolge gegeben hat, darf kein Erfolg mehr vorkommen
faires Werfen wird die Wahrscheinlichkeit nur verkleinern
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
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Routing-Algorithmen
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Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Chernoff-Schranke
Theorem
Sei X1 , . . . , Xn unabhängige Poisson-Versuche mit Pr (Xi ) = pi .
n
P
Sei X =
Xi und µ = E [X ]. Dann gilt für 0 < δ < 1:
i=1
Pr (X ≤ (1 − δ) µ) ≤ e −µδ
Natalya Moriz
2 /2
Routing auf dem Hypercube
Einführung
Problemstellung
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Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Z=
36n
P
Z1
mit Z1 =
i=1
Pr (Z1 ) =
1
0
, Muenze zeigt den Kopf
, sonst
1
2
E [Z ] = E
" 36n
X
#
Z1 =
36n
X
i=1
Nach Theorem mit δ =

2
3
E [Z1 ] =
i=1
1
∗ 36n = 18n
2
gilt:

2
−18n( 2 )
3
2
≤e
2
Pr (Z ≤ 6n) = Pr Z ≤ 1 −
18n
= e −4n ≤ 2−3n−1
3 |{z}
µ=E[Z ]
Pr (T1 (P) ≥ 30n |H ≤ 6n ) ≤ Pr (Z ≤ 6n) ≤ 2−3n−1
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
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Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Abschätzung T1 (P)
Schritt 5.
Setzte Ergebnis aus Schritt 4 ein:


−3n
−1 
Pr (T1 (P) ≥ 30n) ≤ 2−6n + 2−3n−1 = 2−3n 2
≤ 2−3n
|{z} +2
≤1/2
Pr (T1 (P) ≥ 30n) ≤ 2−3n
max 22n mögliche Paketpfade ⇒ Wahrscheinlichkeit, dass T1 (P) ≥ 30n
für jeden möglichen Pfad P erfüllt ist, begrenzt durch
22n · 2−3n = 2−n = O N −1
Fazit: mit der Wahrscheinlichkeit 1 − O N −1 braucht kein Paket mehr
als 30n Schritte für die Ausführung der Phase I .
Analyse der Phase I beendet.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Analyse der Phase II
Annahme lautete: Ausführung der Phase II nach der kompletten
Ausführung der Phase I ⇒
Ausführung der Phase II betrachte als rückgängige Ausführung der
Phase I :
Pakete starten in ihren zufälligen Zwischenstationen und werden
nach ihren Endstationen verschickt
Fazit: mit der Wahrscheinlichkeit 1 − O N −1 braucht kein Paket
mehr als 30n Schritte für die Ausführung der Phase II .
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Analyse der Phase I
Analyse der Phase II
Beseitigung der Annahme
Schlussfolgerung
Annahme - Phase II nur nach der kompletten Ausführung der
Phase I - kann aus dem Beweis entfernt werden
Jedes Paket beendet Phase I und II mit der Wahrscheinlichkeit
1 − O N −1 nach höchsten 60n Schritten, unabhängig davon, wie
die Phasen aufeinander wirken.
Damit ist die Theorem 1 bewiesen.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
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Problemstellung
Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Bit-Fixing-Algorithmus ist (für ein Paket) optimal
paralleler Two-Phase-Routing Algorithmus ist optimal
im Fall des Routings auf dem Hypercube ist das Netzwerk
nicht voll ausgelastet
Der Bedarf nach der größeren Belastung kann mit anderen Arten
der Netzwerke gelöst werden.
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube
Einführung
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Hypercube
Routing-Algorithmen
Analyse
Zusammenfassung
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Natalya Moriz
Routing auf dem Hypercube