Elektrische Messtechnik 1 (MT 1) - Beuth Hochschule für Technik

- 1/70 -
Elektrische Messtechnik 1 (MT 1)
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
Stand WS 2011/12
Elektrische Messtechnik 1
MT1
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
- 2/70 -
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Literatur
Begriffe
Maßeinheiten
3.1
SI-Einheiten
4
Messfehler
4.1
Fehlerarten
4.2
Systematische Fehler
4.3
Zufällige Fehler
4.3.1
Mittelwert
4.3.2
Standardabweichung
4.3.3
Vertrauensbereich
4.4
Fehlergrenzen
4.5
Fehlerfortpflanzung der Fehlergrenzen
5
Messverfahren
5.1
Einfluss von Messgeräten auf den Messkreis
6
Kenngrößen und Mittelwerte periodischer Signale
6.1
Kenngrößen
6.2
Linearer Mittelwert (Arithmetischer Mittelwert)
6.3
Gleichrichtwert (Gleichrichtmittelwert)
6.4
Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)
6.5
Scheitelfaktor
6.6
Formfaktor
7
Analoge Messgeräte
7.1
Drehspulinstrument
7.1.1
Messbereichserweiterung mit Neben- und Vorwiderstand
7.2
Dreheisenmessinstrument
7.2.1
Spannungsbereichserweiterung
8
Digitalmultimeter (DMM)
8.1
Auflösung
8.2
Fehlerangaben
8.3
Aufbau und Funktionsweise
8.4
Messschaltungen
9
Oszilloskop
9.1
Analogoszilloskop
9.2
Aufbau und Funktion des Oszilloskops
9.3
Messschaltungen
10
Messbrücken
10.1 Abgleichverfahren
10.1.1 Gleichstrommessbrücken
10.1.2 Wechselstrommessbrücken
10.2 Ausschlagverfahren
11
Anhang
11.1 Komplexe Rechnung
11.2 Zeigerdarstellung harmonischer Größen
11.3 Ortskurve
11.4 Bodediagramm
11.4.1 Übertragungsverhalten von Vierpolen
11.4.2 Komplexer Frequenzgang
11.4.3 Frequenzgänge von Vierpolen
11.4.4 Grundglieder
Elektrische Messtechnik 1
MT1
3
5
6
6
8
8
9
10
10
10
10
11
11
14
14
17
17
21
21
22
23
23
24
25
25
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28
29
29
29
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31
32
32
32
43
45
45
45
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52
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64
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Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
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1
Literatur
Grundlagen der Elektrotechnik
Hagmann, Gert
AULA-Verlag Wiesbaden
Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik
Hagmann, Gert
AULA-Verlag Wiesbaden
Grundlagen der Elektrotechnik
Moeller, Fricke, Frohne, Vaske
B.G. Teubner Stuttgart
Beispiele zu Grundlagen der Elektrotechnik
Fricke, Moeller, Ptassek, Schuchardt, Vaske
B.G. Teubner Stuttgart
Elektrotechnik
Paul, R.
Band I: Elektrische Erscheinungen und Felder
Band II: Netzwerke
Springer-Verlag
Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Theoretische Elektrotechnik und Elektronik
Küpfmüller, Kohn
Springer-Verlag
Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
Halbleiter-Schaltungstechnik
Tietze, Schenk
Springer Verlag Berlin
Analoge Schaltungen
Seifert
Verlag Technik GmbH
Elektrische Messtechnik
Patzelt, Schweinzer
Springer Verlag Wien
PC-Messtechnik
Schwetlick
Vieweg Verlag Braunschweig
Elektrische Messtechnik
Stöckl, Winterling
Teubner Verlag Stuttgart
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Grundlagen der elektrischen Messtechnik
Frohne, Ueckert
Teubner Verlag Stuttgart
Elektrische Messtechnik
Schrüfer
Hanser Verlag München
Taschenbuch der elektrischen Messtechnik
Tränkler
Oldenbourg Verlag München
Elektrische und elektronische Messtechnik
Felderhoff
Hanser Verlag München
Elektrische Messtechnik
Bergmann
Vieweg Verlag Braunschweig
Handbuch der industriellen Messtechnik
Profos, Pfeifer
Oldenbourg Verlag München
Signalübertragung
Lüke
Springer Verlag Berlin
Elektronische Messtechnik
Schmusch
Vogel Buchverlag
Elektrische Messtechnik
Pfeiffer
VDE Verlag
Übungen zur Elektrischen Messtechnik
Schoen, Pfeiffer
VDE Verlag
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2
Begriffe
Messen heißt vergleichen. Es wird dabei eine Größe quantitativ erfasst und festgestellt, wie oft
eine Maßeinheit in der zu messenden Größe enthalten ist. Die zum Messen eingesetzten
Messgeräte erweitern dabei den unseren Sinnen zugänglichen Wahrnehmungsraum. So sieht z.B.
das Auge nur diejenigen elektromagnetischen Schwingungen, die sich im Wellenlängenbereich
von 0,38 bis 0,78 µm bewegen, während entsprechenden Messgeräten ein Messbereich über 18
Zehnerpotenzen zugänglich ist.
Die hier behandelte elektrische Messtechnik befasst sich mit der Messung elektrischer Größen
und aller anderen Größen, die sich in elektrische Größen umformen lassen.
Mit Hilfe von Sensoren oder Aufnehmern werden nichtelektrische Größen in elektrische umgeformt und damit der elektrischen Messung zugänglich.
Die Grundbegriffe der Messtechnik sind in DIN 1319
Teil 1 Allgemeine Grundbegriffe
Teil 2 Begriffe für die Anwendung von Messgeräten
Teil 3 Begriffe für die Messunsicherheit und die Beurteilung von Messgeräten und
Messeinrichtungen
festgelegt.
Wichtige Begriffe sind:
Die Messgröße ist die zu messende physikalische, chemische oder sonstige Größe.
Der Messwert ist der mit Hilfe einer Messeinrichtung ermittelte Wert der Messgröße.
Es wird das Produkt aus Zahlenwert und Einheit der Messgröße angegeben (z.B. U = 2,1 V).
Messgröße = Zahlenwert Einheit
Das Messverfahren nutzt bestimmte Eigenschaften oder Wirkungen des Messobjektes aus, um
in einer geeigneten Messeinrichtung die untersuchte Messgröße mit einer definierten Maßeinheit
in Beziehung zu setzen.
Die Messeinrichtung (auch Messanordnung oder Messanlage genannt) ist die Gesamtheit aller
Teile, mit denen ein auf einem bestimmten Messprinzip beruhendes Messverfahren verwirklicht
wird. Besteht die Messeinrichtung aus einem einzigen Teil, so spricht man von einem Messgerät.
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3
Maßeinheiten
Damit man messen kann, sind vorher Einheiten zu definieren. Zunächst haben sich die Einheiten
an den Menschen (z.B. Fuß, Elle) bzw. an seiner Umgebung (Erdumfang, mittlerer Sonnentag)
orientiert.
Dabei gab es jedoch Schwierigkeiten mit der Anwendung dieser Einheiten. Schon Maxwell (18311879) hat empfohlen, auf Quantenmaße überzugehen, die überall und jederzeit durch Experimente nachvollziehbar sind.
3.1
SI-Einheiten
1960 wurde von der Generalkonferenz für Maß und Ge
wi
c
htda
s“
Sy
s
t
e
meI
nt
e
r
na
t
i
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f
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t und i
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r Bunde
s
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e
publ
i
k
Deutschland gesetzlich vorgeschrieben ist.
Diese Basiseinheiten sind nach DIN 1301 oder ISO 1000:
Gebiet
Mechanik
Elektrotechnik
Thermodynamik
Optik
Chemie
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Elektrische Messtechnik 1
Formelzeichen
l
m
t
I
T
IL
MT1
Basiseinheiten Einheitenzeichen
Meter
m
Kilogramm
kg
Sekunde
s
Ampere
A
Kelvin
K
Candela
cd
Mol
mol
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1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von
(1/299 792 458) Sekunden durchläuft (1983).
1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps (1889).
1 Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den
beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung (1967).
1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der durch zwei im
Vakuum parallel im Abstand l m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter
von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je
1m Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft 0,2 10-6 N hervorrufen würde (1948).
1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des
Wassers (1967).
1 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 1012 Herz aussendet und deren Strahlstärke in dieser
Richtung (1/683) Watt durch Steradiant beträgt.
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen
Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des
Mol müssen die Teilchen spezifiziert werden. Es können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen
usw. oder eine Gruppe solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein (1971).
Diese Einheiten bilden ein kohärentes System, d.h. aus diesen Grundeinheiten abgeleitete
Einheiten lassen sich mit dem Zahlenfaktor 1 umrechnen, z.B. [v] = [s/t] = 1 m/s
In der Elektrotechnik beschränkt man sich oft auf das aus m, kg, s, A bestehende Teilsystem
(MKSA). Nachstehend sind einige abgeleitete SI-Einheiten angegeben, die einen besonderen
Namen haben.
Physikalische
Größe
3.1.1.1
Frequenz
Kraft
Druck
Energie, Arbeit,
Wärmemenge
Leistung
el. Ladung
el. Spannung
el. Kapazität
el. Widerstand
el. Leitwert
mag. Fluss
mag. Flussdichte,
Induktion
Induktivität
Hertz
Newton
Pascal
Joule
Hz
N
Pa
J
Watt
Coulomb
Volt
Farad
Ohm
Siemens
Weber
Tesla
W
C
V
F

S
Wb
T
J
s-1
W A-1
C V-1
V A-1
A V-1
V s
Wb m2
m2 kg 
s-3
A s
m2 kg 
s-3 A-1
-2
-1
m kg s 4 A2
m2 kg 
s-3 A-2
-2
-1
m kg s3 A2
m2 kg 
s-2 A-1
kg s-2 A-1
Henry
H
Wb A-1
m2 kg 
s-2 A-2
Elektrische Messtechnik 1
SI-EinheitSymbol für Einheit durch SIEinheiten
ausgedrückt
N m-2
N m
MT1
durch SIBasiseinheit
ausgedrückt
s-1
m kg s-2
m-1 kg s-2
m2 kg 
s-2
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4
Messfehler
Fehlerfreies Messen ist nicht möglich. Messobjekt und Messgerät stehen stets in Wechselwirkung und beeinflussen sich gegenseitig. Fehler lassen sich aufgrund ihrer Ursachen in
systematische Fehler und zufällige Fehler unterteilen.
4.1
Fehlerarten
Der absolute Fehler Fabs ist definiert zu:
Fabs = XA - XW
mit XA = angezeigter Wert und XW = wahrer Wert
Der relative Fehler Frel ist definiert zu:
F
X X W
Frel  abs  A
XW
XW
Bei analog anzeigenden Messgeräten ist es üblich, als relativen Anzeigefehler FArel den
absoluten Fehler der Anzeige Fabs auf den Messbereichsendwert XM zu beziehen.
F
X X W
FArel  abs  A
XM
XM
Re
l
a
t
i
veFe
hl
e
rha
be
ndi
eEi
nhe
i
t„
1“(
„
di
me
ns
i
o
ns
l
os
“
)
; sie können auch in Prozent angegeben
werden.
Bei diesen Definitionen ist zu beachten, dass der wahre Wert Xw unbekannt ist!
Beispiel:
Ein Strom hat den wahren Wert IW=1,50A. Ein analog anzeigendes Messgerät mit dem
Skalenendwert IM=2,5A zeigt IA=1,47A.
Wie groß sind absoluter Fehler Fabs, relativer Fehler Frel und relativer Anzeigefehler FArel?
Systematische Fehler:
Betrag und Vorzeichen des Fehlers sind bekannt.
Messwert kann/muss korrigiert werden.
Entstehung durch Belastung des Messobjektes mit dem Messgerät,
Fehler der Messmethode und Fehler in der Messwertumformung.
Zufällige Fehler:
Betrag und Vorzeichen des Fehlers sind unbekannt.
Messwert kann nicht korrigiert werden.
Mi
ts
t
a
t
i
s
t
i
s
c
he
n Me
t
hode
n ka
nn e
i
n„
z
uve
r
l
ä
s
s
i
g
e
r
“ Me
s
s
we
r
t
gewonnen werden.
Ursachen sind z.B. Störeinflüsse, Kontaktprobleme oder falsches
Ablesen der Messinstrumente.
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4.2
Systematische Fehler
Ein systematischer Fehler entsteht z.B. durch den Innenwiderstand Ri eines Amperemeters, der
eine Änderung des Stromes I während der Messung verursacht (Abb.4.2.1).
Abb.4.2.1: Systematischer Fehler bei einer Strommessung
Ohne Amperemeter fließt der Strom I:
U
I 0
R0 R
Mit Amperemeter fließt infolge des Messgeräteinnenwiderstandes ein kleinerer Strom Ii:
U0
Ii 
R0 R Ri
Daraus folgt der Zusammenhang zwischen dem Strom I und dem angezeigten Strom Ii:
R R Ri
I 0

Ii
R0 R
Der angezeigte Messwert Ii muss noch mit einem Korrekturfaktor multipliziert werden, um den
systematischen Fehler zu korrigieren.
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4.3
Zufällige Fehler
Zufällige Fehler lassen sich mit Methoden der Statistik behandeln. Durch mehrfaches
Messen der gleichen Größe mit gleichen oder mit verschiedenen Verfahren erhält man
infolge der zufälligen Fehler unterschiedliche Messergebnisse. Die Auswertung dieser
Ergebnisse mit Hilfe der Statistik ermöglicht Schlüsse auf die Größe des wahren Wertes
und die Messunsicherheit.
4.3.1 Mittelwert
Wiederholt ein Beobachter die gleiche Messung mit denselben Mitteln unter gleichen
Bedingungen, so haben alle Einzelwerte gleiches statistisches Gewicht. Der Mittelwert X
berechnet sich dann aus den n Einzelwerten X1 bis Xn nach
1 n
X  
X i
n i 1
Dieser Wert ist der optimale Wert in dem Sinne, dass die Summe aller Abweichungsquadrate von diesem optimalen Wert zu einem Minimum wird.
4.3.2 Standardabweichung
Man kennzeichnet die statistische Schwankung der Einzelwerte um den Mittelwert durch
die mittlere quadratische Abweichung, die sog. Standardabweichung
s 

n
1

X i X

n 1 i 1

2
Die relative Standardabweichung sr = s / X ist der Quotiert aus der Standardabweichung
und dem Mittelwert.
4.3.3 Vertrauensbereich
Der Mittelwert wird häufig als das Messergebnis einer Messreihe angeben. Dieser Wert
entspricht nicht dem wahren Wert der Messgröße. Mit den Methoden der Statistik lassen
sich zwei Grenzwerte (Vertrauensgrenzen ) angeben, innerhalb derer der wahre Wert
mit einer gewissen statistischen Sicherheit P zu erwarten ist. Der Vertrauensbereich liegt
zwischen
t
X -  und X + 
mit
 
s
n
Der Vertrauensfaktor t als Funktion von P und der Anzahl der Messungen n ist nachfolgender Tabelle zu entnehmen. DIN 1319 empfiehlt, der Angabe des Vertrauensbereichs die statistische Sicherheit P = 95% zugrunde zu legen.
n
3
6
10
20
100
t / n für P = 68,3%
0,76
0,45
0,34
0,23
0,10
Elektrische Messtechnik 1
t / n für P = 95%
2,5
1,05
0,72
0,47
0,20
MT1
t / n für P = 99%
5,7
1,6
1,03
0,64
0,26
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Beispiel:
Bei wiederholten Messungen desselben Widerstandes werden folgende Werte abgelesen:
R1=783,9; R2=784,3; R3=785,2; R4=784,8; R5=784,1; R6=785,2
Bestimme den Vertrauensbereich für eine statistische Sicherheit von P = 95% und gebe
das Messergebnis an.
4.4
Fehlergrenzen
Fehlergrenzen sind die bei Nennbedingungen zulässigen äußersten Abweichungen des
Messwertes vom richtigen Wert. Hersteller von Messgeräten geben Garantiefehlergrenzen
an und garantieren damit, dass der Fehler des Gerätes innerhalb der Fehlergrenzen liegt.
Bei anzeigenden Messgeräten werden die Fehlergrenzen auf den Messbereichsendwert
bezogen und ergeben so die Klassenzahl, die in Prozent angegeben wird.
Geräteart
Feinmessgeräte
Betriebsmessgeräte
4.5
Klassenzahl
0,1
0,02
1,5
2,5
0,02
1
0,5
5
Fehlerfortpflanzung der Fehlergrenzen
Wird ein Messergebnis aus mehreren Messwerten gebildet, so gehen die einzelnen Fehler,
mit denen die Messwerte behaftet sind, in das Messergebnis ein. Oft sind nur die
maximal möglichen Fehler ohne Angabe des Vorzeichens durch die sog. Fehlergrenzen
der einzelnen Messwerte gegeben. In diesem Fall kann die Fehlerfortpflanzung mit Hilfe
des totalen Differentials abgeschätzt werden.
Sind n Messgrößen X1, X2, ..., Xn mit dem zu ermittelnden Ergebnis über die Funktion
Y = f(X1, X2, ..., Xn)
verknüpft, so kann mit Hilfe des totalen Differentials der maximale Fehler Y bestimmt
werden.


Y

Y

Y
Y  X 1 
X 2 ... 
X n 
X1

X2

Xn


Beispiel:
Berechnung der Scheinleistung S
S = U
I
S entspricht Y
U entspricht X1
I entspricht X2


S

S
S  
U  
I 
U

I


S = 
| I
U| + |U
I|
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Voltmeter:
Amperemeter:
Spannungsmessbereich:
Strommessbereich:
Spannungsmesswert:
Strommesswert:
Klasse 0,5
Klasse 1,0
UMB = 100V
IMB = 5A
UM = 80V
IM = 3A
Daraus ergibt sich:
0,5
U 

100V 0,5V
100
1,0
I 

5 A 0,05 A
100
S = 
| 3A
0,5V| + |80V
0,05A|= 5,5VA
S/S = 5,5VA / 240VA = 0,023 = 2,3%
Multiplikation
Y X 1 
X2
X 1 X 2
Y

X  X
Y
2
 1




Es addieren sich die relativen Einzelfehler.
Division
X
Y 1
X2
X 1 X 2
Y

X  X
Y
2
 1




Es addieren sich die relativen Einzelfehler.
Addition
Y X 1 X 2
 1
Y


Y

X 1 X 2

X 1

X 2





X


X

1
2
X

X2

 1


Der relative Fehler des größeren Summanden geht stärker in das Ergebnis ein.
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Subtraktion
Y X 1 X 2
 1
Y


Y

X 1 X 2

X 1

X 2





X


X

1
2
X

X2

 1


Der relative Fehler des größeren Summanden geht stärker in das Ergebnis ein. Wenn die
Messwerte nahezu gleich sind, wird der Gesamtfehler sehr groß.
Da es in der Praxis unwahrscheinlich ist, dass alle Fehler der einzelnen Geräte an der
gleichen (positiven oder negativen) Fehlergrenze liegen, wird zusätzlich die sog.
wahrscheinliche Fehlergrenze XW definiert.
2


Y

 


X
i


Xi
i
1

n
XW
Bei dieser wahrscheinlichen Fehlergrenze wird aber nicht mehr garantiert, dass der Messwert innerhalb dieser Grenzen liegt. Eine Wahrscheinlichkeit für das Einhalten dieser
Grenzen kann nicht angegeben werden.
Aufgabe:
Es soll die Leistung an einem ohmschen Widerstand R gemessen werden Der Widerstand sei
genau bekannt und habe den Wert R = 1. Der Spannungsabfall beträgt U = 12V und die
Spannung wurde mit einem Spannungsmesser der Klasse 1 im 30V-Bereich gemessen.
Bestimmen Sie die Leistung und die maximale Unsicherheit.
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5
5.1
Messverfahren
Einfluss von Messgeräten auf den Messkreis
In Messschaltungen werden die Aufteilung von Strömen und Spannungen durch die
Messgeräte, z.B. den Spannungsabfall an Strommessgeräten oder den Strombedarf der
Spannungsmessgeräte, verändert. Die auftretenden Messfehler können korrigiert werden.
Stromrichtige Schaltung
Es wird gleichzeitig Spannung und Strom am bzw. im Widerstand gemessen, wobei das
Voltmeter einen falschen Messwert anzeigt. Der Spannungsmesswert Uv ist:
Uv = U + RA 
I
Der Spannungsabfall am Innenwiderstand RA des Amperemeters wird mitgemessen!
Mit dem Innenwiderstand RA des Amperemeters kann der korrigierte Spannungswert am
Widerstand nach
U = Uv - RA 
I
ermittelt werden.
Spannungsrichtige Schaltung
Die Spannung wird direkt am Widerstand R gemessen, aber der Strom Iv durch das
Voltmeter ist ein Fehlerstrom, der vom Amperemeter mitgemessen wird!
IA = I + IV
Mit dem Innenwiderstand Rv des Voltmeters ergibt sich der korrigierte Stromwert durch
den Widerstand R nach
I = IA - U/Rv
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Es stellt sich die Frage, wann Schaltung a) bzw. Schaltung b) verwendet wird.
Allgemein wird bei einem großen Widerstandswert R die stromrichtige Schaltung bei einem
kleinen Widerstandswerte R die spannungsrichtige Schaltung verwendet.
Es gilt:
R  RV 
RA

stromrichtige Schaltung
R  RV 
RA

spannungsrichtige Schaltung
Beispiel
Bei der spannungsrichtigen Schaltung wird die 2-Draht oder 4-Drahtschaltung verwendet.
Mit der 4-Drahtschaltung wird der Einfluss der Leitungswiderstände eliminiert und die
Spannung Ux direkt am Widerstand Rx gemessen. Dies ist besonders bei niederohmigen Rx
wichtig.
Rx sei ca. 80
Strommesser:
Messbereichsendwert 1A
Spannungsmesser: Messbereichsendwert 40V
Beide Geräte haben die Klasse 0,5
Innenwiderstand RA = 2
Innenwiderstand Rv = 5k
 Welche Messschaltung?
R  RV 
R A  10k2 100

spannungsrichtige Schaltung
Angezeigte Messwerte mit spannungsrichtiger Schaltung: IA = 0,42A
UX = 35,5V
 Berechnung des Widerstands Rxo ohne Korrektur:
U
35,5V
RX 0  X 
84,52
IA
0,42 A
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 Korrektur des systematischen Fehlers infolge des Messgeräteinnenwiderstands Rv:
UX
35,5V
RX 

85,98
I A U X / RV 0,42 A 35,5V / 5k
 Der absolute (systematische) Fehler ist
Fabs = 84,52Ω–85,
98Ω=-1,
46Ω
 Der relative (systematische) Fehler ist
Frel = Fabs /85,
98Ω= -0,0169 = -1,69%
 Garantierte (relativen) Fehlergrenzen:
U
RX  X
IA
U X
R X
I A


U
RX
IA
 X
 0,2V
0,005 A 



0,0175 1,75%
 35,5V
0
,
42
A

 
 Garantierte (absolute) Fehlergrenzen:
ΔRx=±0,
0175·85,
98Ω=±1,
50Ω
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6
Kenngrößen und Mittelwerte periodischer Signale
6.1
Kenngrößen
Für elektrische Vorgänge unterscheidet man die in der Abb.6.1.1 dargestellten Stromarten
(gilt auch für Spannungen).
i
i
I
i
i
i
t
a)
i
i~
t
b)
I
t
c)
t
d)
Abb.6.1.1: Stromarten
a) Gleichstrom I
b) Sinusförmiger Wechselstrom i mit Scheitelwert î
c) Nicht sinusförmiger, periodischer Wechselstrom i
d) Mischstrom i = I + i~
Beim Wechselstrom i nach der Abb.6.1.2 ändern sich Größe und Richtung periodisch mit der
Zeit t, d.h. nach Ablauf der Periodendauer T wiederholt sich der Verlauf von i.
i
T
t1
t1+T
t
i(t1)
i(t1+T)
T
Abb.6.1.2: Zeitlicher Verlauf einer periodischen Wechselgröße i
Mit der ganzen Zahl n gilt für eine periodische Wechselgröße:
f(t) = f(t + nT)
Der lineare Mittelwert einer reinen Wechselgröße ist während einer Periode Null.
Wechselstrom lässt sich leicht transformieren, d.h. bei der Energieverteilung den jeweiligen
Erfordernissen, z.B. hohe Spannung bei der Übertragung und kleine Spannung bei der
Anwendung, anpassen. Da er in Mehrphasensystemen die Erregung von Drehfeldern und somit
den einfachsten Motor- und Generatorausbau bei größten Leistungen ermöglicht, werden über
90% der elektrischen Energie als Wechselstrom erzeugt und verteilt.
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Erzeugung einer Wechselspannung
In der Energietechnik werden Wechselspannungen in den Generatoren der Kraftwerke erzeugt.
Außerdem werden Wechselrichter verwendet, die Gleichstrom in Wechselstrom umformen. Die
Erzeugung von Wechselspannungen in den Generatoren wird grundsätzlich durch das
Induktionsgesetz beschrieben. Durch Bewegung elektrischer Leiter im Magnetfeld, i.a. Rotation,
wird mechanische Energie in elektrische umgeformt. Rotiert eine Leiterschleife oder eine Spule
mit N Windungen (ergibt eine höhere Spannung) mit der Winkelgeschwindigkeit (=d/dt) im
magnetischen Feld B, so ändert sich der mit der Spule verkettete Fluss


( t ) B 
A B 
A
sin ( t ) B 
A
sin t 
sin t
zeitlich nach Betrag und Richtung.
Entsprechend ist auch die in der rotierenden Spule induzierte Quellenspannung
d( t )
u0 N 

N
B
A
cos t u
cos t
0
dt
nicht konstant, sondern eine Wechselspannung. Für ihren Scheitelwert gilt:

u
N
B
A 
N

0 
Bei Wechselstromgeneratoren wird die erzeugte Spannung unmittelbar entnommen. Auch bei
Gleichstrommaschinen wird bei der Drehung des Ankers in der Spule zunächst eine
Wechselspannung erzeugt; mit Hilfe des Kommutators (Stromwender) wird die Wechselspannung in eine "Gleichspannung" umgerichtet.
Die Verläufe für den Fluss (t) und die Spannung u0 sind in der Abb.6.1.3 dargestellt. Bei
sinusförmigem Flussverlauf erhält man einen cosinusförmigen Spannungsverlauf.
Der Fluss (t) und die Spannung u0 zeigen zu verschiedenen Zeiten t ihre Scheitelwerte und
Nulldurchgänge. Man sagt, diese beiden Größen haben eine unterschiedliche Phasenlage; sie
sind gegeneinander phasenverschoben. Für die Wechselspannung gilt:
u0 u
cos(t ) u
sin( t 
0
0
2)
Allgemein wird eine sinusförmige Wechselgröße folgendermaßen angegeben:
x x

sin( t )
t)

u0





 t
Abb.6.1.3: Erzeugung einer Wechselspannung
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Diese Funktion besitzt zum Zeitpunkt t = 0 den Wert x ( t 0) x

sin  und geht um den
Nullphasenwinkel  früher als die Sinusfunktion sin(t) durch Null. Es ist dabei auf das
Vorzeichen des Winkels zu achten. In der Abb.6.1.4 ist z.B. der Nullphasenwinkel der Spannung
u = 60° und der des Flusses  = -30°. Der Phasenwinkel ist eine gerichtete Größe, die positive
und negative Werte annehmen kann und daher mit einem Zählpfeil gekennzeichnet werden
muss. Er wird positiv angegeben, wenn seine Pfeilspitze in die positive Winkel-Zählrichtung
weist, d.h. man muss den Zählpfeil vom positiven Nulldurchgang aus zur Ordinatenachse
richten.
t

T
u0
t

u

u=u -
u=-u
Abb.6.1.4: Nullphasenwinkel und Phasenverschiebung
Die Phasenverschiebung zwischen zwei Sinusfunktionen f1(t) und f2(t) mit den Phasenwinkeln
1 und 2 wird ebenfalls mit einem Zählpfeil gekennzeichnet. Dabei muss stets angegeben
werden, welche der beiden Größen als Bezugsgröße gelten soll.
In der Abbildung gilt: Die Spannung u0 eilt gegenüber dem Fluss (t) um den Phasenwinkel
u = u -  = 60° - (-30°) = 90° = /2 vor (Richtungspfeil u weist von u0 nach (t)); u0 geht
um /2 früher durch Null als (t).
Eine Sinusschwingung wiederholt sich nach Ablauf des Winkels 2= 360° = T.
Mit der Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) gilt für die Periodendauer: T = 2/ 
Der Kehrwert der Periodendauer heißt Frequenz f: f = 1 / T
Einheit: [f] = 1 / s = Hz = Hertz
Wichtige Frequenzen bzw. Frequenzbereiche sind z.B. 50/3 Hz = 16 2/3 Hz für Fernbahnen,
50Hz für elektrische Energieversorgungsnetze (60Hz in USA), ferner 0,3kHz bis 3,4kHz pro
Sprachkanal in der Fernsprechtechnik, 16Hz bis 20kHz in der Elektroakustik, 100kHz bis
10GHz in der Nachrichtentechnik.
Die Kreisfrequenz  = 2f = 2/ T unterscheidet sich nur durch den Faktor 2von der
Frequenz f und besitzt die Einheit [] = 1 / s (nicht Hz!).
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Beispiel:
ˆ
In einer Spule mit N = 30 ändert sich der Fluss nach der Funktion (t ) 
sin(t 
2).

Es gilt: 0, 7Vs und f = 50 Hz.
Es sind die Periodendauer T und die Zeitfunktion u0 der induzierten Quellenspannung zu
bestimmen.
T = 1 / f = 1 / 50 Hz = 0,02 s = 20 ms
Mit der Kreisfrequenz = 2f = 314 s 1 erhält man:
d(t )
ˆ
u 0 N 
N 


cos(t 
sin(314 s 1 
t)
2 ) 6,6 kV 
dt
Beispiel:
Eine Spule (z.B. Rahmenantenne) hat die Fläche A 900cm2 und die Windungszahl N=50. Sie
wird von einer elektromagnetischen Welle mit dem Scheitelwert der magnetischen Feldstärke
H0,1A / cm und der Frequenz f = 5 MHz senkrecht und homogen durchsetzt.
Wie groß ist der Scheitelwert u
0 der in dieser Antenne induzierten Spannung?
Mit der Permeabilität der Luft 0 1, 256 
10 8 H / cm ergibt sich der Scheitelwert der Induktion:
B0 
H12, 56 
1012 T
Die Feldgrößen von elektromagnetischen Wellen sind verglichen mit den entsprechenden
Größen elektrischer Maschinen extrem klein!
Der Scheitelwert des Flusses ergibt sich nach:
 B

A 1, 13 
10 12 Vs
Daher wird mit der Kreisfrequenz 2 f 31, 4 
106 s 1 der Scheitelwert der induzierten
Spannung:
1, 77mV
u


0 N 
Diese Spannung kann in Empfängern der Nachrichtentechnik nach entsprechender Verstärkung
ausgenutzt werden. Bei UKW-Antennen tritt nur eine Spannung von wenigen µV auf.
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Da eine Wechselgröße ihren Zeitwert fortlaufend zwischen Null und positivem bzw. negativem
Scheitelwert ändert, und die Angabe der Zeitfunktion i.a. kompliziert ist, möchte man die
Zeitfunktion durch einen einzigen kennzeichnenden Wert beschreiben.
Man könnte z.B. den Scheitelwert der Spannung benutzen, der die größte elektrische Feldstärke
und somit elektrische Beanspruchung bestimmt. Der Scheitelwert des Stromes bestimmt
ebenfalls die mechanische Beanspruchung, da die magnetischen Kräfte auf stromdurchflossene
Leiter linear (Leiter im Magnetfeld) oder quadratisch (Kraft zwischen zwei Leitern) vom Strom
abhängt.
Bei nichtsinusförmigen Verläufen sagt der Scheitelwert nichts über den Verlauf der Funktion
aus. Da der Verlauf aber allein maßgebend ist für die summarischen Wirkungen, z.B. der
Energie (Erwärmung), werden Kenngrößen definiert, die die mittleren Wirkungen unabhängig
von der Kurvenform wiedergeben.
Man unterscheidet allg. für zeitabhängige periodische (auch nichtsinusförmige) Wechselgrößen
folgende Kenngrößen (gelten entsprechend für Spannungen).
6.2
Linearer Mittelwert (Arithmetischer Mittelwert)
T
1
i 
i
dt
T 
0
Bei einem reinen Wechselstrom, z.B. i iˆ

sin(t ) , ergibt die Integration über eine Periode T
den Wert Null, da die Flächen der positiven und negativen Halbschwingung gleich groß sind.
Der lineare Mittelwert ist für Gleich- und Mischgrößen von Null verschieden.
Beispiel:
t T
1 ˆ
iˆ  1
iˆ

cos(T ) cos(0)0
i 
i

sin(

t
)

dt




cos(

t
)




T 
T 
T



t 0
0
T
6.3
Gleichrichtwert (Gleichrichtmittelwert)
T
1
i  
i
dt
T 
0
Einen einseitig gerichteten Ladungstransport erhält man, wenn der Wechselstrom z.B. mit
Dioden (Ventilen) gleichgerichtet wird. Weisen z.B. bei einem sinusförmigen Strom beide
Halbschwingungen dieselbe Stromrichtung auf (Zweiweg-Gleichrichtung), so wird der
Mittelwert über den Betrag des Stromes |i| Gleichrichtwert genannt.
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Beispiel: Gleichrichter-Brückenschaltung
In Gleichrichter-Schaltungen ist die Ladungsmenge Q vom Gleichrichtwert des Stromes
abhängig.
Aufgabe:
Bestimmen Sie für einen sinusförmigen Wechselstrom das Verhältnis von Gleichricht- zu
Scheitelwert.
i 2
Ergebnis:
 0,637
iˆ 
Beispiel:
Ein Wechselstrom mit dem Scheitelwert î = 10A fließt durch die Gleichrichter-Brückenschaltung. Welche Ladungsmenge Q wird während der Zeit t = 2h befördert?
Es gilt:
i 0,637 
iˆ6,37 A
Q i 
t 6,37 A 
2h 12,74 Ah
6.4
Effektivwert (Quadratischer Mittelwert)
T
1
I 
i2 
dt

T 0
Für die meisten Wirkungen des elektrischen Stroms ist die zu dem Verbraucher übertragene
elektrische Energie W = U·I·t und daher die Leistung P = U·I = I·R·I maßgebend. Somit ist die
Wärmewirkung dem Quadrat des Stroms proportional. Der Effektivwert eines Wechselstroms
verursacht die gleiche Wärmewirkung in einem ohmschen Verbraucher wie ein Gleichstrom
gleichen Betrags.
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Abb.6.4.1: Effektivwert
Aufgabe:
Berechnen Sie den Effektivwert eines sinusförmigen Stroms.
Ergebnis:
I
iˆ
2
0,707 
iˆ
Das Ergebnis gilt allg. für sinusförmige Wechselgrößen.
6.5
Scheitelfaktor
iˆ
FS 
I
Als Scheitelfaktor bezeichnet man das Verhältnis von Scheitelwert zu Effektivwert.
Für sinusförmige Größen gilt:
FS  2 1,414
6.6
Formfaktor
I
FF 
i
Als Formfaktor bezeichnet man das Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert. Er wird u.a.
zur Beurteilung der Kurvenform bei nichtsinusförmigen Wechselgrößen herangezogen.

Für sinusförmige Größen gilt:
FF 
1,11
2 2
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7
Analoge Messgeräte
Diese Geräte werden hier nur kurz behandelt. In der Praxis werden diese Geräte nur noch selten
eingesetzt.
Beschriftung von Messwerken
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7.1
Drehspulinstrument
Drehspule (eine Windung)
W = Windungszahl
Das elektrische Moment ist im homogenen Magnetfeld (B ist konstant über den gesamten
Winkelbereich) unabhängig vom Ausschlagwinkel.
Kraft :
F = I·W·l·B
Drehmoment:
MI = 2·F·d/2 = I·W·A·B
mit A= Spulenfläche
Damit das Moment MI nicht wie beim Gleichstrommotor zu einer dauernden Drehung der Spule
führt, wird diese durch eine Feder festgehalten. Das von der Feder ausgeübte Moment nimmt mit
dem Ausschlagwinkel zu.
Es gilt für das Direktionsmoment der Feder MD = ·D, wobei D die Drehfederkonstante ist.
Der Zeiger stellt sich im stationären Fall so ein, dass MI = MD gilt.
Der Dauerausschlag wird daher = I·W·A·B/D
Die Stromempfindlichkeit S ist daher S = /I = W·A·B/D
7.1.1
Messbereichserweiterung mit Neben- und Vorwiderstand
Mit dem Messwerk können nur Ströme und Spannungen in einem engen Bereich gemessen
werden (z.B. 100µA bzw. 50mV). Durch Vor- und Nebenwiderstände lassen sich die Messbereiche erweitern.
Nebenwiderstand
Soll ein Strommesser mit dem Messbereich-Endwert IM und dem inneren Widerstand RM zur
Messung des größeren Stromes I = n
IM verwendet werden, so schaltet man einen Nebenwiderstand RN parallel, der den Teilstrom IN = I - IM aufnimmt.
Es gilt:
RN / RM = IM / IN
Hiermit und mit IN = I - IM = n IM - IM = IM (n-1) wird der notwendige Nebenwiderstand:
RN = (IM / IN) RM = (IM RM) / (IM (n-1)) = RM / (n-1)
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Bei der Ablesung ergibt sich der insgesamt fließende Strom I dann durch Multiplikation der
abgelesenen Stromstärke IM mit dem Faktor n.
I
IN
RN
I
URN
IM
A
RM
Strommesser mit Nebenwiderstand
Aufgabe:
Ein Strommesser mit dem Messbereich IM = 10mA und dem inneren Widerstand RM = 10soll
für die Messung von Strömen bis I = 3A verwendet werden. Wie groß muss der Nebenwiderstand sein?
Vorwiderstand
Ähnlich wird der Messbereich-Endwert UM eines Spannungsmessers mit dem inneren Widerstand RM zur Messung der höheren Spannung U = n UM durch einen Vorwiderstand RV vergrößert, der die Teilspannung UV = U - UM aufnimmt.
Es gilt:
RV / RM = UV / UM
I
RV
UV UM
RM
U
V
Spannungsmesser mit Vorwiderstand
Hiermit und mit der Spannung UV = U - UM = n UM - UM = UM (n-1) wird der notwendige
Vorwiderstand:
RV = [(UM (n-1)) / UM] RM = (n-1) RM
Mit diesem Vorwiderstand ergibt die Ablesung nach Multiplikation mit n die anliegende
Spannung.
Aufgabe:
Mit einem Spannungsmesser mit dem Messbereich UM = 3V und dem inneren Widerstand
RM = 1000sollen Spannungen bis U = 150V gemessen werden. Welcher Vorwiderstand RV ist
erforderlich?
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7.2
Dreheisenmessinstrument
Man erkennt die Spule, die vom Messstrom
durchflossen wird. Im Zentrum der Spule
befinden sich zwei Weicheisenplättchen. Eines
davon ist am Spulenkörper befestigt, das andere
an der Zeigerwelle. Der Messstrom erzeugt ein
Magnetfeld welches beide Eisenplättchen
gleichsinnig magnetisiert. Dadurch wird das
drehbar angeordnete Plättchen abgestoßen - der
Zeiger bewegt sich.
Aufbau und Wirkungsweise
Die Kraft Fa der sich abstoßenden Eisenplättchen ist proportional dem Quadrat der magnetischen
Flussdichte B
Fa ~ B 2
Damit wird das Ablenkmoment bei einem Radius r zu
Ma ~ r· B 2
Da der magnetische Kreis zum größten Teil aus Luft besteht, sind Flussdichte und Strom durch
das Messwerk zueinander proportional B ~ ii. Wie beim Drehspulinstrument ist das von der Rückstellfeder ausgeübte Moment proportional dem Ausschlagwinkel , so dass gilt
~ ii2
Ist die Frequenz des Messstromes hoch genug (f > 15Hz), so bildet die Massenträgheit des
beweglichen Organs den Mittelwert und es verbleibt das Effektivwertquadrat des Stromes
~
T
1
2
2


dt I i
i

i
T 0
Durch entsprechende Formgebung der Bleche wird
~ Ii
erreicht.
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Der Effektivwert des Stromes wird auch bei nicht sinusförmigem Stromverlauf angezeigt, sofern
die Oberschwingungen des Messstromes den Frequenzbereich des Instruments nicht überschreiten
(zulässig z.B. 1 kHz)
7.2.1
Spannungsbereichserweiterung
Sind Spannungen zu messen, so muss die Impedanz der Feldspule ZS = RS + jL beachtet
werden, da sich bei Messbereichserweiterungen mit Widerständen ein komplexer Spannungsteiler ergibt. Die Erweiterung kann mit einem RC-Glied vorgenommen werden. Es wird dabei
versucht, den Spannungsteiler frequenzunabhängig zu machen.
Der eingekreiste Teil stellt die Spule des Messwerks dar.
Es gilt für den komplexen Widerstand an den Eingangsklemmen:
R
Z RS jL R C RS jL 
1 jRC
Die Aufteilung in Real- und Imaginärteil ergibt:

R
R 2C 


Z RS 

j

L

2
2
 1 
1 
RC 
RC 


Durch konstruktive Maßnahmen kann erreicht werden, dass 
RC 1 wird.
2
Das vorgeschaltete RC-Glied ist so zu bemessen, dass L = R2·C ist. Damit verschwindet der
Imaginärteil und der Realteil ist unabhängig von der Frequenz.
Z ist nicht mehr komplex und wird
Z = Rs + R
Der Nachteil dieses Messgerätes ist sein hoher Eigenverbrauch, der zwischen 0,1 und 1 W liegen
kann (zum Vergleich Drehspulinstrument: 10-5 W).
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8
8.1
Digitalmultimeter (DMM)
Auflösung
Digitalmultimeter (DMM) werden heute für Spannungs-, Strom- und Widerstandsmessungen mit
Auflösungen bis zu 8 ½ Stellen angeboten. Hierbei werden folgende Begriffe verwendet:
Auflösung = Messbereich /Anzeigeumfang
Hätte beispielsweise ein DMM einen Spannungsbereich von ±10V und 2000 unterscheidbare
Stufen (Anzeigeumfang = 2000), so wäre die Auflösung (d.h. die Bedeutung der letzten Stelle)
20V / 2000 = 10mV.
Jede Stelle, die nicht von 0 bis 9 variieren kann, wird üblicherweise als "halbe" Stelle bezeichnet.
Beispiele für DMMs
Anzeigeumfang
1 999
6 000
240 000
190 000 000
8.2
Stellenzahl
3½
3½
5½
8½
Fehlerangaben
Verschiedene Angaben sind gebräuchlich:
Fehlergrenze = ± (X% vom Messwert + Y% vom Endwert)
Fehlergrenze = ± (X% vom Messwert + N·Digits)
Fehlergrenze = ± (X% vom Messwert + Y% vom Endwert + N·Digits)
Beispiel:
Ein DMM hat eine Fehlergrenze im Spannungsmessbereich von ± (0,1% vom Messwert +
6·Digits). Der Anzeigeumfang ist 5000. Es wird die Spannung 4V im 5V-Bereich und im 50VBereich gemessen. Bestimmen Sie die jeweiligen Messfehler.
Lösung:
Die Auflösung beträgt im 5V-Bereich 5V/5000 = 1mV (= 1·Digit = Bedeutung der kleinsten
Stelle) und im 50V-Bereich 50V/5000 = 10mV.
Damit ergeben sich die Fehlergrenzen zu
FG = ±(0,1 4V / 100 + 6 1 mV) = ±10 mV
FG = ±(0,1 4V / 100 + 6 10 mV) = ±64 mV
Man erkennt, dass die Angabe der Digits ihre Entsprechung bei der Klassenangabe bei analog
anzeigenden Messgeräten hat. Auch bei DMMs muss der Bereich möglichst gut ausgenutzt
werden, damit die Messunsicherheit möglichst klein bleibt.
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8.3
Aufbau und Funktionsweise
Blockschaltbild
Verstärker/Teiler
Meistens haben die DMMs im Spannungsmessbereich einen konstanten Eingangswiderstand von
10M. Die Abbildung zeigt den Eingangsspannungsteiler eines DMMs. Der Eingangsstrom in
den Verstärker kann vernachlässigt werden.
Effektivwertformer
Die Bildung des Effektivwertes erfolgt entsprechend der Definitionsgleichung für den
Effektivwert
T
1
U 
u 2 (t ) 
dt

T 0
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Beispiel:
Gegeben sei die nachfolgende Schaltung zur Bestimmung des Effektivwertes. Leiten Sie den
Zusammenhang zwischen Ua und ue(t) her.
8.4
Messschaltungen
DMMs enthalten zur Widerstandsmessung eine Konstantstromquelle. Es wird bei bekanntem
Strom der Spannungsabfall über dem Prüfobjekt ermittelt und daraus der Widerstandswert
ermittelt.
Zweidrahtmessung
RL seien die unvermeidlichen Zuleitungswiderstände. Der Konstantstrom IG fließt sowohl durch
das Prüfobjekt Rx als auch durch die Zuleitungswiderstände RL. Die Messspannung UM wird um
den Spannungsabfall an den Zuleitungswiderständen zu groß gemessen.
Es gilt
UM = IG (Rx + 2 RL)
Der Widerstand wird um 2 RL zu groß gemessen.
Sind relativ kleine Widerstände (m-Bereich) zu messen, so ist die Vierdrahtmethode vorzuziehen. Nicht alle DMMs verfügen über diese Möglichkeit.
Vierdrahtmessung
Der Konstantstrom IG fließt weiterhin durch Rx und 2 RL. Es ist UM = URx,dadi
e„
ä
uße
r
e
n“
Spannungsanschlussleitungen stromlos sind und daher an ihnen keine Spannungen abfallen
können. Es gilt
UM = IG Rx
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9
9.1
Oszilloskop
Analogoszilloskop
Da
sOs
z
i
l
l
os
kopi
s
te
i
nuni
ve
r
s
e
l
l
e
s„
Spa
nnung
s
me
s
s
g
e
r
ä
t
“z
urAna
l
y
s
edy
na
mi
s
c
he
rSi
g
na
l
e
.
Alle Oszilloskope sind in Aufbau und Bedienung vergleichbar.
Einsatzmöglichkeiten des Oszilloskops:




9.2
Gleichspannungsmessung
Wechselspannungsmessung, Zeit-, Phasenmessung,
Darstellung von Einzelsignalen
X-Y Darstellungen (Lissajous)
Aufbau und Funktion des Oszilloskops
Was kann man mit einem Oszilloskop messen?
Da
sOs
z
i
l
l
os
kop(
g
r
i
e
c
h.
:Sc
hwi
ng
un
g
s
s
e
he
r
)i
s
te
i
n„
Spa
nnung
s
me
s
s
g
e
r
ä
t
“
.Mit seiner Hilfe
können Gleichspannungen und zeitabhängige Spannungssignale graphisch dargestellt und ausgewertet werden. Im Einzelnen bietet das Oszilloskop folgende Möglichkeiten:





bildliche Darstellung von Signalformen
Spannungsmessung
Zeitmessung
Frequenzmessung
Phasenmessung
Die Darstellung und Auswertung der zu messenden Signale erfolgt auf einem Bildschirm von
10x8 Skalenteilen. Üblich ist die Darstellung des zeitlichen Spannungsverlaufes u(t), d. h. die
Spannung u(t) wird vertikal (y - Achse) und die Zeit t horizontal (x - Achse) dargestellt.
Das Standardoszilloskop kann zwei Signale u1(t) und u2(t) gleichzeitig abbilden. Dies erlaubt den
direkten Vergleich zweier Signale bezüglich ihrer Signalform, Amplitude und Phasenlage.
Selten kommt die Möglichkeit zum Einsatz, zwei Signale voneinander abhängig darzustellen. In
diesem Fall, dem sog. XY-Betrieb ist u1 = f(u2).
Vorteil des Oszilloskops gegenüber anderen Messgeräten:
Die zu messende Signalform wird bildlich dargestellt. Störungsursachen, wie z.B. Überlagerungen von Störfrequenzen oder anderen Unregelmäßigkeiten des Signals, sind auf dem Bildschirm
für das Auge des Betrachters unmittelbar erkennbar.
Nachteil des Oszilloskops gegenüber anderen Messgeräten:
Die zur richtigen Handhabung notwendigen Kenntnisse des Bedieners sind erheblich. Sollen
Beträge ermittelt werden, erweist sich das Oszilloskop als umständlich, da das Bild erst ausgewertet werden muss.
Wie funktioniert ein Oszilloskop?
Der Bildschirm des Oszilloskop besteht aus einer Mattscheibe, deren beschichtete Rückseite
durch einen Elektronenstrahl zum Leuchten angeregt wird. Der Elektronenstrahl wird in der
Braunschen Röhre erzeugt und durch zwei Paare von Ablenkplatten in X- und Y-Richtung
ausgelenkt.
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16
17
S
A
Y
X
W
10
4
Eingang
34
27
Verstärker 2
30
23
Eingang
Verstärker 1
24
Vereinfachtes Prinzipschema
des Oszilloskops
An eine Kathode, den sog. Wehnelt-Zylinder (W) wird eine Gleichspannung von ca. 2000 V
angelegt. Die Anode (A) und die Beschichtung des Leuchtschirmes (S) liegen auf Erd-potential.
Es kommt zur Elektronenemission vom Wehnelt-Zylinder, über die gelochte Anode zum Schirm.
Beim Auftreffen des Elektronenstrahles auf die Beschichtung des Schirmes, setzt sich die
kinetische Energie der Elektronen in Licht und Wärme um: auf dem Schirm erscheint ein
Lichtfleck. Die Intensität des Strahles und damit des Leuchtfleckes ist von der Spannung am
Wehnelt-Zylinder abhängig. Sie kann vom Bediener variiert werden [16]. Zur besseren
Fokussierung des Strahles und damit zur Erzeugung eines möglichst scharfen Leuchtfleckes,
dient die elektrostatische Linse. Auch deren Spannung kann vom Bediener variiert werden um
eine scharfe Abbildung zu erhalten [17].
Das zu messende Signal wird an eine Eingangsbuchse [23 oder 34] angeschlossen und über den
zugehörigen Verstärker [24 oder 30] an die Y Ablenkplatten (YP) angelegt. Im Bereich der
Platten entsteht dadurch ein elektrostatisches Feld, das den Strahl vertikal auslenkt. Ohne
weitere Maßnahmen würde eine darzustellende Sinus-Spannung jetzt als Punkt sichtbar, der sich
auf und ab bewegt. (Bei einer Frequenz über 30 Hz würden wir eine senkrechte Linie sehen.)
Um den zeitlichen Verlauf der Spannung sehen zu können, muss der Elektronenstrahl zusätzlich
(zeitabhängig) in x-Richtung bewegt werden. Dazu wird eine geeignete, im Gerät erzeugte
Sägezahnspannung [10] an die X-Ablenkplatten angelegt, die den Elektronenstrahl periodisch
vom linken zum rechten Bildrand führt.
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- 34/70 -
Die horizontale Ablenkung (X-Achse) des Elektronenstrahles
Der Sägezahngenerator
Üblicherweise soll eine Spannung als Funktion der Zeit dargestellt werden, d.h. der Leuchtfleck
wird gleichförmig in x- Richtung abgelenkt. Diese Anforderung wird erfüllt, indem eine sägezahnförmige Spannung an die X-Ablenkplatten angelegt wird.
Bei der Spannung -ÛS zu Beginn der Rampe befindet sich der Leuchtfleck am linken Rand des
Bildschirmes. Mit steigender Spannung bewegt er sich zum rechten Bildschirmrand, den er
erreicht, wenn die Spannung des Sägezahnes gleich +ÛS ist. Mit dem folgenden, sehr schnellen
Spannungsabfall erreicht der Leuchtfleck wieder den Ausgangsort. Damit der zurückschnellende
Lichtfleck die Darstellung nicht stört, wird der Elektronenstrahl während der Rücklaufzeit
deaktiviert.
Der Sägezahn allein liefert aber noch keine befriedigende Abbildung: Wenn die Frequenz der
Sägezahnspannung nicht auf die Frequenz des Eingangssignals abgestimmt ist, dann wird bei
jedem Durchlauf der Rampe ein anderer Abschnitt der Funktion dargestellt:
Darstellung einer periodischen Funktion
bei willkürlichem Betrieb des Sägezahngenerators
Es ist also zu fordern, dass die Sägezahn-Funktion stets in demselben Punkt der darzustellenden
Funktion beginnt. Nur dann werden immer die gleichen Abschnitte aufeinander abgebildet und
es entsteht ein stehendes Bild des Eingangssignals. Um dieses zu erreichen, wird der Sägezahngenerator durch den sog. Trigger gestartet.
Der Trigger
Der Trigger hat die Aufgabe, den Durchlauf des Sägezahngenerators in dem Augenblick zu
s
t
a
r
t
e
n,i
nde
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s
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s
Messsignal auf die gewünschten Eigenschaften des Punktes, mit dem die Darstellung am linken
Bildschirmrand beginnen soll. Die erforderlichen Kriterien werden vom Benutzer eingestellt. Es
sind:
1. ein bestimmter Wert der Spannung des Messsignals (Triggerlevel)
2. die steigende oder fallenden Flanke des Messsignals
Erfüllt die Spannung am Eingang des Oszilloskops beide Kriterien, dann startet der Trigger den
Sägezahngenerator. (Dies geschieht für den Bediener unsichtbar mittels eines Rechteckimpulses)
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UE
Messsignal: Das darzustellende Signal wird über
die Eingangsbuchse [23 oder 34] angeschlossen.
Der gewünschte Triggerlevel UTr und die gewünschte Flanke (hier: steigende Flanke) werden
eingestellt. Der hinterlegte Bereich der Kurve soll
dargestellt werden.
UTr
UT
Triggerausgang: Der Trigger erkennt die Werte
des Eingangssignals, die die eingestellten Kriterien
(hier: Triggerlevel Utr und Flanke steigend) erfüllen
und gibt jeweils einen Rechteckimpuls an den
Sägezahngenerator weiter.
Sägezahngenerator: Der Sägezahn wird durch den
Rechteckimpuls des Triggers ausgelöst. Er startet
am Fußpunkt der Rampe, d. h. die Darstellung beginnt am linken Bildschirmrand.
US
Sägezahnspannung: eingestellt [10] auf hohe
Ablenkgeschwindigkeit (steile Rampe)
US
Sägezahnspannung: eingestellt auf
geringe Ablenkgeschwindigkeit (flache
Darstellung eines Signals bei verschiedenen
Ablenkgeschwindigkeiten.
Liegt kein Signal am Oszilloskop an oder findet der Trigger nicht die gesuchten Parameter zum
Start des Sägezahngenerators, dann bleibt der Bildschirm dunkel. (Beispiel: Es wird eine Gleichspannung von 1 V angelegt. Der eingestellte Triggerlevel ist 1,5 V. Da das Eingangssignal niemals den Triggerlevel erreicht wird der Sägezahngenerator nicht gestartet.)
Um dennoch eine Darstellung zu erhalten, gibt es eine Automatikfunktion des Triggers: In der
Betriebsart Auto wird der Triggerlevel automatisch eingestellt und der Sägezahngenerator
gestartet, wenn der Trigger kein verwertbares Signal erkennt.
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Die vertikale Ablenkung (Y-Achse) des Elektronenstrahles
Die Ankopplung des Messsignals
Viele Spannungen bestehen aus miteinander überlagerten Gleich- und Wechselspannungen. Das
Oszilloskop bietet die Möglichkeit einen evtl. störenden Gleichanteil aus der Darstellung herauszufiltern. Man spricht von der Art der Ankopplung.
Die Ankopplungsarten (komplettes Signal, Signal ohne Gleichanteil, kein Signal) kann durch
Einstellung des Schalters [22/35] gewählt werden:
Kopplungsschalter
AC
Meßsignal
DC
Eingangsbuchs
e
GND
DC
GND
AC
Ein Messsignal wird an den Eingang des Oszilloskops angelegt. Je nach Stellung des Ankopplungsschalters auf Position GND, DC, AC erhält man die entsprechende Abbildung auf dem
Schirm.
Die Betriebsart GND legt den Eingang des Oszilloskop auf Masse. Das Eingangssignal ist vom
Gerät abgekoppelt. Auf diese Weise kann die Position der Nulllinie festgestellt werden.
In der Betriebsart DC wird das Signal direkt an den Y-Verstärker angelegt. Es werden Gleichund Wechselspannungsanteile der Eingangsspannung auf dem Bildschirm dargestellt.
In der Betriebsart AC wird das Signal mit einem Hochpass gefiltert. Es werden nur die Wechselspannungsanteile der Eingangsspannung sichtbar. Gleichspannungsanteile werden unterdrückt.
Dies kann notwendig sein, wenn einer hohen Gleichspannung ein geringer Wechselanteil überlagert ist. Soll nur der Wechselanteil untersucht werden, dann würde bereits eine geringe Verstärkung dazu führen, dass das Signal nicht mehr auf den Bildschirm passt. Durch die Betriebsart
AC wird der (uninteressante) Gleichspannungsanteil unterdrückt und es bleiben die Wechselanteile übrig. Diese oszillieren jetzt um die Nulllinie und können entsprechend verstärkt werden.
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Die Verstärkung des Messsignals:
Die Größe der Abbildung auf dem Bildschirm wird durch die Einstellung der Verstärkung [24
und 30] bestimmt. Diese wird vom Benutzer in Stufen eingestellt. Die Einheit der Verstärkerskala ist Volt/DIV.
DIV ist die Abkürzung von Division = Teilung, die die Einteilung des Bildschirmes durch
Rasterlinien meint.
Beispiel: In Bild 1 ist eine sinusförmige Spannung dargestellt. Am Verstärker ist die
Verstärkung 0,5 V/DIV eingestellt. Welche Spannungsamplitude Umax hat die Spannung?
Antwort: Am Bildschirm wird abgezählt: Die Amplitude hat einen Scheitelwert von drei
Rasterlinien also 3 DIV. Durch Multiplikation mit der eingestellten Verstärkung erhält man:
Umax = 3 DIV · 0,5 V/DIV = 1,5 V.
In seltenen Fällen kann eine stufenlose Verstärkung erforderlich sein (Vergleich von Signalformen). Für diese Anwendung kann ein stufenloses Potentiometer [25 und 31] entriegelt
werden.
Vorsicht: Die Verstärkung ist jetzt nicht mehr kalibriert!
Wie werden mit einem Elektronenstrahl zwei Spannungen gleichzeitig dargestellt?
a) Zweikanaldarstellung:
Das Standard-Oszilloskop kann zwei Signale gleichzeitig darstellen. Aus diesem Grund gibt es
zwei Eingangsbuchsen [23] und [34] und zwei Y-Verstärker, [25] und [30]. Es handelt sich also
um ein Zweikanaloszilloskop. Allerdings gibt es nur einen Elektronenstrahl und nur ein
Ablenkplattenpaar für die Y-Darstellung. Um trotzdem zwei Signale abbilden zu können, wird
der Elektronenstrahl abwechselnd von beiden Kanälen benutzt. Die Umschaltung geschieht
elektronisch. Dafür sind zwei Betriebsarten vorgesehen:
Alternate-Betrieb: Die Umschaltung erfolgt immer nach einem vollständigen Durchlauf des
Sägezahngenerators. D. h. mit jedem Durchlauf der Rampe des Sägezahngenerators wird
nacheinander einmal Kanal 1 und beim folgenden Durchlauf Kanal 2 abgebildet.
Bei sehr niedrigen Ablenkgeschwindigkeiten führt diese Betriebsart zu einem sehr unruhigen
Bild, da für das menschliche Auge erkennbar wird, dass die Funktionen abwechselnd erscheinen
(Abbildungsfrequenz < 25 Hz).
Chop-Betrieb: (chop: engl.: zerhacken) Die Darstellung wird sehr schnell (200 kHz) zwischen
den beiden Kanälen hin und her geschaltet um bei niedrigen Frequenzen des Eingangssignals ein
flackerfreies Bild zu erhalten.
Bei sehr hohen Frequenzen führt die Umschaltung zu sichtbaren Störungen der Bildqualität.
b) X-Y Darstellung:
Neben der Zeitsignaldarstellung kann mit dem Standard-Oszilloskop auch eine X-Y Wiedergabe
realisiert werden. Zu diesem Zweck wird die Funktion XY-Ablenkung am Oszilloskop aktiviert.
Der Sägezahngenerator ist nun ausgeschaltet und Kanal 2 des Oszilloskops ist an die XAblenkplatten angelegt. Werden keine Messsignale an die Eingangsbuchsen angelegt, dann ist in
der Mitte des Schirmes ein Leuchtfleck zu sehen. An den Eingang von Kanal 1 und 2 können
nun die Messsignale angelegt werden. Stehen die Frequenzen zweier Schwingungen der gleichen
Signalform in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander, dann entstehen sog. Lissajous-Figuren.
Sie dienen der Frequenz und Phasenanalyse.
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Darstellung einer Lissajous-Figur
(horizontal : U1 = sin(t), vertikal : U2 = sin(3 t))
c) Speicherfunktion
Moderne Oszilloskope besitzen eine digitale Speicherfunktion. Mit der Store-Taste wird der
Speicher eingeschaltet [36]. Bei der Verwendung der Speicherfunktion sollte folgendes beachtet
werden: Die Speicherfunktion verwendet einen Analog-Digital-Umsetzer. Im digitalen Betrieb
wird das Eingangssignal daher nicht kontinuierlich sondern in festgelegten Zeitabständen
gemessen (abgetastet). Dabei wird dem Messsignal ein diskreter Wert zugeordnet: allen Eingangsspannungen, die innerhalb eines festgelegten Bereiches liegen, wird jeweils ein diskreter
Wert (Quantisierungsstufe) zugeordnet. Das stetige, analoge Signal wird als treppenartige
Näherung abgebildet.
Benutzerhinweise zur Vermeidung von Bedienungsfehlern bei Oszilloskopen
Ein zu hell eingestellter Elektronenstrahl beschädigt die empfindliche Beschichtung des
Bildschirmes. Besonders im X/Y-Betrieb besteht die Gefahr, dass der Strahl einen dauerhaften
Leuchtfleck auf dem beschichteten Schirm hinterlässt, wenn für längere Zeit eine konstante
Ablenkspannung anliegt, so dass der Strahl nicht abgelenkt wird.
Die Elektronenstrahlröhe eines Oszilloskops benötigt eine Vorwärmphase bis sie auf Betriebstemperatur ist. In dieser Zeit verschiebt sich die vertikale Strahllage, so dass diese häufiger nachjustiert werden muss [21/36].
Bei Benutzung eines Tastkopfes muss dieser kompensiert werden. D.h. mit Hilfe einer Kalibrierspannung am Anschluss CAL. [19] wird eine korrekte Rechteckwiedergabe eingestellt.
Beim Ablesen von Spannungen oder Zeiten mit Hilfe des Rasters muss darauf geachtet werden,
dass die stufenlosen Einsteller [11/25/31] in der kalibrierten Position stehen. Sind Achsen
gedehnt [18/26/32] oder wird ein Tastkopf mit Teiler verwendet, so ist der Faktor zu berücksichtigen.
Das Gehäuse und die Masseanschlüsse der Eingangskanäle liegen alle gemeinsam auf
Schutzleiterpotential. Daher können nur Spannungen gemessen werden, die galvanisch vom
Netz getrennt sind. Andernfalls kommt es zu gefährlichen Kurzschlüssen.
Bei der Benutzung beider Kanäle sollte nur der Masseanschluss eines Kanals verwendet werden,
um ungewollte Kurzschlüsse oder Masseschleifen zu vermeiden.
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Vorbereitung und Inbetriebnahme
Vor Inbetriebnahme des Oszilloskops sollte folgende Checkliste abgearbeitet werden:
- Messsignale abkoppeln (Ankopplungsschalter auf GND stellen);
- Prüfen, ob alle Feinabstimmungs-Potentiometer [ 25, 31 und 11] funktionslos (eingerastet)
sind;
- Prüfen, ob die Ankopplungs-Verstärker [26, 32] ausgeschaltet sind;
- Die Messverstärker [24, 30] auf einen unempfindlichen Wert einstellen (z.B. 5 V/DIV);
- Stellen Sie die Ablenkgeschwindigkeit auf einen mittleren Wert ein [10];
- Trigger in Stellung „
a
ut
o“br
i
nge
n[
13]
;
Ist nach dem Einschalten des Oszilloskops kein Strahl sichtbar kann dies daran liegen, dass:
- die automatische Triggerung [13] abgeschaltet ist;
- der Strahl [21/36] nach oben oder unten aus dem sichtbaren Bereich verschoben ist;
- die Intensität [16] des Strahles zu gering ist;
- das am Eingang [23/34] anliegende Signal einen zu hohen Pegel hat, bzw. die Verstärkung
[24/30] zu hoch eingestellt ist;
Die Vielseitigkeit des Oszilloskops bringt es mit sich, dass eine große Anzahl von Bedienelementen vorhanden ist. Die Beschriftung der Frontplatten erfolgt durchweg in Englisch und ist
leider teilweise uneinheitlich.
Grundsätzlich lassen sich die Bedienelemente eines Oszilloskops in zwei Gruppen einteilen, was
bei der Aufteilung der Frontplatten meistens berücksichtigt wird.
Schalter und Anschlüsse für die vertikale Strahlablenkung durch das Eingangssignal [21-36], wie
z.B. der Schalter VOLTS/DIV für die Eingangsempfindlichkeit.
Bei zweikanaligen Oszilloskopen sind diese Elemente in doppelter Ausführung vorhanden.
Schalter und Anschlüsse für die horizontale Strahlablenkung durch die Zeitbasis [2-15], wie z.B.
der Einsteller X-Pos für die horizontale Verschiebung des Bildes.
Außerdem finden sich je nach Typ noch Elemente für zusätzliche Funktionen wie Speicherbetrieb [36-40], Komponententester [20] usw..
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Ref.Nr.
Bezeichnung Alternative
HM205-3
Bezeichnung
Allgemeine Bedienelemente
1
POWER
on/off
4
X-Y
16
INTENS.
17
FOCUS
INTENSITY
BRIGHTNESS
Funktion
Der Netzschalter des Gerätes.
Einschalten der XY-Darstellung, um Kanal 1 (Y-Kanal;
vertikale Ablenkspannung) als Funktion von Kanal 2
(X-Kanal; horizontale Ablenkspannung) darzustellen.
Einstellung der Helligkeit des Elektronenstrahls.
Einstellung der Schärfe des Bildes (Strahles).
Bedienelemente für die Horizontaleinheit (Zeitachse)
2
X-SHIFT;
Horizontale Verschiebung der Lage des
X-Pos
HORIZONTAL Elektronenstrahles (nach links oder rechts).
POSITION
3
TR
10
TIME/DIV.
11
CAL.
18
X-MAG.x10
Trace Rotation
Schlitzpotentiometer zum Drehen der Strahllage
parallel zu den horizontalen Rasterlinien.
(Wartungsarbeit!!).
SEC/DIV
Einstellung der horizontalen Ablenkgeschwindigkeit
des Elektronenstrahls in Zeit pro Teiler (z.B. 5ms/Div.).
Beachte! Die Zeitangaben stimmen nur, wenn der
stufenlose Einsteller CAL[11] in Kalibrierstellung
eingerastet ist.
Stufenlose Einstellung der horizontalen
Ablenkgeschwindigkeit mit rastender Grundstellung
(calibrated) am Rechtsanschlag.
X-MAGNIFIER Dehnung der horizontalen Zeitachse um den Faktor 10.
HORIZONTAL Mit dem X-Pos[2] Regler kann der dargestellte
- EXPANSION Signalausschnitt verschoben werden.
Bedienelemente für die Vertikaleinheit (Y-Achse)
24 / 30 VOLTS/DIV.
Einstellung der Eingangsempfindlichkeit für Kanal I
und II in Spannung pro Teiler (z.B. 2V/Div.). Beachte!
Die Spannungsangaben stimmen nur, wenn der stufenlose Einsteller VAR.GAIN[25/31] in Kalibrierstellung
eingerastet ist.
25 / 31 VAR.GAIN CAL
Stufenlose Einstellung der Eingangsempfindlichkeit mit
rastender Grundstellung (calibrated) am
Rechtsanschlag.
26 / 32 Y-MAG.x5
Erhöhen der Eingangsempfindlichkeit um den Faktor 5
(z.B. von 1V/Div. auf 200mV/Div.).
21 / 36 Y-Pos.I /
Y-SHIFT;
Vertikale Verschiebung der Lage des
VERTICALElektronenstrahles (nach oben oder unten).
Y-Pos.II
POSITION
27
Auswahl des Eingangskanals, welcher dargestellt und
CH I/II auf welchen getriggert wird.
TRIG. I/II
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Ref.Nr.
28
29
33
28+29
Bezeichnung Alternative
HM205-3
Bezeichnung
BOTH
DUAL
ADD
INV.CH II
CHOP
22 / 35 DC-AC-GD
AC-0-DC
AC-DC-GND
Funktion
Einschalten des Zweikanalbetriebes.
Darstellung der algebraischen Summe beider Kanäle.
Invertieren der Darstellung des Signals an Kanal II.
Die Darstellung schaltet mit einer Frequenz von ca.
200kHz zwischen den Eingangskanälen hin und her,
um bei kleinen Signalfrequenzen ein flimmerfreies Bild
darzustellen.
Wahl der Ankopplungsart der Eingangssignale für
Kanal I und Kanal II.
DC: direkte Gleichspannungskopplung bis max. 400V.
AC: Wechselspannungskopplung über Kondensator.
GD: keine Signalankopplung (zum Positionieren der
Nulllinie)
Bedienelemente für die Signaltriggerung
5
Verlängerung der Wartezeit zwischen zwei
HOLD OFF
Triggervorgängen, z.B. um Fehltriggerungen bei
Signalgemischen zu vermeiden.
13
Umschalten zwischen automatischer Triggerung für
AT/NORM. AUTO;
TRIGGEREingangssignale von 10Hz bis 40MHz und manueller
MODE
Triggerung mit einstellbarem Pegel.
7
Optische Anzeige des Triggerimpulses der
TRIG.
Zeitablenkung.
8
TRIGGERWahl der Kopplung des Triggersignales.
TRIG.
AC: 10Hz-10MHz; DC: 0-10MHz; LF: 0-1kHz;
AC-DC-LF- COUPLING
HF: 1,5kHz-40MHz; ~: Triggerung mit 50Hz
HF-~
Netzfrequenz
14
Einstellung des Triggerpegels für Normaltriggerung.
LEVEL
9
ALT SLOPE Alternierende Triggerung von K. I und II im
ALT.
Zweikanalbetrieb. Auslösen der Triggerung mit
+/steigender oder fallender Flanke.
12
EXTERN
Umschalten von interner Triggerung durch das
EXT.
abgebildete Signal auf externe Triggerung durch ein
Signal an der BNC-Buchse TRIG.INP.[15].
Ein- und Ausgangsbuchsen
15
Eingangsbuchse für ein externes Triggersignal.
TRIG.INP. EXT.TRIG.
23 / 34 InputCH.I / Y-INPUT;
Eingangsbuchsen der Eingangssignale für Kanal I und
VERTICAL
II.
CH II
INPUT
19
CAL VOLTS
Ausgangsbuchse mit Rechtecksignalen der
CAL.
angegebenen Spitze-Spitze-Spannung zur
0.2V / 2V
Kompensation von Tastköpfen.
Bedienelemente für den Speicherbetrieb
36
Aktivieren des Speicherbetriebs mit einer maximalen
STOR.ON
Abtastrate von 20MHz pro Kanal.
37
Einfrieren der Daten von Kanal I und/oder II.
HOLD I/II
38
Speicherung eines Einzelereignisses ab Triggerimpuls.
SINGLE
39
Zurücksetzen der Speicherzeitbasis und warten auf
RESET
einen Triggerimpuls bei aktivierter SINGLE-Taste[38]
40
Die einzelnen Punkte werden durch Linien verbunden.
DOT J.
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Frontbild des Oszilloskops HM 205
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9.3
Messschaltungen
Beim Anschluss von Messsignalen an Oszilloskope werden meist passive Tastköpfe benutzt. Die
Eingangskapazität des Oszilloskops hat einen für hohe Signalfrequenzen nicht zu vernachlässigende Eingangskapazität. Daher müssen Tastköpfe, mit denen auch der Eingangsspannungsbereich erweitert oder ein hochohmiger Signalanschluss realisiert werden kann, als
frequenzkompensierter Spannungsteiler realisiert werden.
Oszilloskop mit Tastkopf (10:1 Teiler)
Für das Übertragungsverhältnis der komplexen Eingangsspannungen U1 und der am Oszilloskop
anliegenden Spannung U2 ergibt sich folgender Ausdruck:
1 jRS C S
U1
RP
1 

U2
1 jRP C comp
RS
Hierbei soll in CS sowohl die Eingangskapazität des Oszilloskops als auch die Kapazität der
Zuleitung enthalten sein. Für den Fall, dass
RS·CS = RP·Ccomp
gilt, ist der Spannungsteiler frequenzunabhängig und es wird
U1
R
1  P
U2
RS
Nachstehendes Bild zeigt einen 10:1 Tastteiler, bei dem die Einstellung des Plattenkondensators
Ccomp durch Drehung erfolgen kann.
Messanordnung mit Tastteiler
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Die Einstellung selbst erfolgt mit Hilfe eines eingebauten Rechteckgenerators im Oszilloskop.
Der Tastteiler wird so lange verstellt, bis ein optimales Übertragungsverhalten für das Rechtecksignal erreicht wird. Da das periodische Rechtecksignal aus vielen Sinusschwingungen
aufgebaut gedacht werden kann, ist bei gutem Rechteckübertragungsverhalten von Frequenzunabhängigkeit auszugehen.
Lissajous - Figuren
Messung erfolgt in XY –Darstellung
x - Auslenkung
x(t ) u1 (t ) uˆ
sin(t )
1 
y - Auslenkung
y (t ) u 2 (t ) uˆ
sin(t )
2 
Für t = 0 oder für t = n (n = 0, 1, 2, ...) ist x(t) = 0, d.h. diese Punkte liegen auf der y-Achse.
y t 0 uˆ
)
2 sin(
und d am i t ergi bt s i ch der W i nkel
Elektrische Messtechnik 1
MT1
y 
arcsin t 0 
uˆ 
 2 
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- 45/70 -
10 Messbrücken
10.1 Abgleichverfahren
Man unterscheidet Gleichstrommessbrücken zur Widerstandsmessung und Wechselstrommessbrücken zur Impedanz-, Frequenz- und Klirrfaktormessung.
10.1.1 Gleichstrommessbrücken
Wheatstone-Schaltung
Der Abgleich ist gegeben, wenn das Nullinstrument Null anzeigt. Dann gilt: U2 = U4
Mit
U2
R2

U
R1 R2
R2
R4

R1 R2 R3 R4
und
U4
R4

U
R3 R4
bzw.
R2 
R3 R2 
R4 R1 
R4 R2 
R4
folgt:
R1 R3

R2 R4
Somit ergibt sich die Abgleichbedingung:
R
Ist ein Widerstand in der Brücke unbekannt (z.B. R1), so kann dieser aus R1 R2  3 berechnet
R4
werden.
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- 46/70 -
Beispiel:
Schleifdrahtbrücke
Es handelt sich bei dem Schleifdraht um einen homogenen Draht der Länge l = a + b.
Der unbekannte Widerstand sei Rx.
Schleifdrahtbrücke
Die Abgleichbedingung lautet:
R
RX
a
 a 
R2
Rb b
bzw.
a
R X R2 
l a
Aufgabe:
a) Bestimme den maximalen Fehler Rx und den relativen Fehler Rx / Rx, falls bei der
Schleifdrahtbrücke nur die Länge a einen Fehler aufweist.
b) Für welchen Wert von a ist der relative Fehler am kleinsten, falls l=100cm und a=1cm
ist?
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- 47/70 -
10.1.2 Wechselstrommessbrücken
Bei Wechselstrommessbrücken ist eine Speisung mit einer Wechselspannung erforderlich.
Üblicherweise wird eine sinusförmige Spannung mit einer Frequenz von 1 kHz benutzt.
Wechselstrommessbrücke
Die Brücke ist abgeglichen, wenn das Nullinstrument Null anzeigt. Dann gilt
Z1 Z 3

Z2 Z4

Z1 
Z 4 Z 2 
Z3
Diese Gleichung lässt sich durch Real- und Imaginärteil oder durch Betrag und Phase darstellen.
Real- und Imaginärteil:
(R1 + jX1) · (R4 + jX4) = (R2 + jX2) · (R3 + jX3)
Gleichheit ist dann gegeben, wenn sowohl Realteil wie auch Imaginärteil gleich sind:
R1 · R4 –X1 · X4 = R2 · R3 –X2 · X3
X1 · R4 + R1 · X4 = X2 · R3 + R2 · X3
Betrag und Phase:
Z1 
Z4 
e j (14 ) Z 2 
Z3 
e j (23)
Gleichheit ist dann gegeben, wenn sowohl Betrag wie auch Phase gleich sind:
Z1 ·Z4 = Z2 ·Z3
1 + 4 = 2 + 3
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Kapazitätsmessbrücke nach Wien
Gemessen werden R2 und C2.
R2 und C2 stellen einen verlustbehafteten Kondensator dar.
Kapazitätsmessbrücke nach Wien
Im Abgleichfall gilt:
Mit
1
R1 
j

C1
Z1 
1
R1 
j

C1
Z2 · R3 = Z1 · R4
und
1
R2 
j

C2
Z2 
1
R2 
j

C2
folgt:
1
1
R3 
R2 
R4 
R1 
j

C2
j

C1

1
1
R2 
R1 
j

C2
j

C1
R3 
R2
C2

 R4 
R1
1




R1 j 


C1  C1

Aus dem Vergleich der Realteile folgt:

1


R2  j 

C2





R
C 2 C1  3
R4
R
Aus dem Vergleich der Imaginärteile folgt: R2 R1  4
R3
Der Abgleich kann durch Änderung von C1 und R1 erfolgen.
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Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell
Verlustbehaftete Induktivitäten, z.B. Z2, lassen sich mit der abgebildeten Brücke messen.
Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell
Im Abgleichfall gilt:
(R2 + j L2) R3 = (R1 + j L1) R4
Realteilvergleich:
R2 · R3 = R1 · R4

R2 = R1 · R4 / R3
Imaginärteilvergleich:
L2 · R3 = L1 · R4

L2 = L1 · R4 / R3
Ein Problem bei dieser Brücke ist die Beschaffenheit der Referenzinduktivität L1. Der
Verlustwinkel dieser Referenzinduktivität muss kleiner sein als der Verlustwinkel der zu
messenden Induktivität Z2, damit die Brücke abgleichbar ist. Eine Verbesserung stellt die
Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell-Wien dar. Hier ist anstelle einer Normalinduktivität eine Normalkapazität erforderlich, die einfacher herstellbar ist.
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Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell-Wien
Induktivitätsmessbrücke nach Maxwell-Wien
1
R3 
j

C3
Im Abgleichfall gilt: 
R2 j 

L2 

R1 
R4
1
R3 
j

C3
bzw. nach einer Umformung:
L2 
R3
R 
R
R 
R
 2 3 R1 
R3 
R4  1 4
C3
j

C3
j

C3
Realteilvergleich:
L2 = C3 ·R1 ·R4
Imaginärteilvergleich:
R2 = R1 ·R4 / R3
Aufgabe:
Gegeben sei eine Wien-Robinson Brücke zur Frequenzmessung
Die Brücke ist so dimensioniert, dass gilt:
R1 = 2·R2
R3 = R4 = R
C3 = C4 = C
Leiten Sie unter Benutzung der Abgleichbedingung die Gleichung für die Frequenz her.
Wien-Robinson Brücke
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10.2 Ausschlagverfahren
Zunächst wird kurz auf die Wheatstonsche Messbrücke eingegangen. Die Brücke soll mit der
Spannung UB gespeist werden. Dann bilden die Widerstände R1, R2 bzw. R3, R4 jeweils nichtbelastete Spannungsteiler.
Für die Messspannung UM ergibt sich:
 R1
R3

U M U 1 U 3 U B 
R R R R
2
3
4
1




Sind die Widerstände gleich, so ist die Brücke abgeglichen und es gilt UM = 0V. Dies gilt auch
für den Fall R1/R2 = R3/R4.
Ändert sich der Widerstand R1 um R1, so ergibt sich eine Änderung der Messspannung nach:
 R1 R1
R3

U M U B 

R R R
R3 R4
1
2
1




Mit der Annahme R1/R2 = 1 und R3/R4 = 1 folgt:
 R1 R1
1

U M U B 
 
2 
U B
 R1 R1 2 
2 
R1 2 
R1 2 
R1 R1 





4
R1 2 
R1


Wegen 4 R1 >> 2 R1 ergibt sich:
R1 


U M U B 
4 

 R1 
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11 Anhang
11.1 Komplexe Rechnung
In der komplexen Ebene werde ein Zeiger r als komplexe Zahl in Komponentenform eingetragen:
r=a+jb
Dies entspricht der Angabe von rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten a und b. Die positive
reelle Achse wird nach rechts und die positive imaginäre Achse nach oben gezeichnet. In der
Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit mit dem Operator j  1 belegt. Die Komponentenform stellt die komplexe Summe von Realteil a = Re(r) und Imaginärteil b = Im(r) dar, wobei
die Komponenten a und b jeweils positive und negative Zahlenwerte annehmen können.
Komplexe Zahl
Die Differenz r* = a –j b wird als konjugiert komplex bezeichnet. Die Unterstreichung des
Formelzeichens wird zur Kennzeichnung einer komplexen Größe beibehalten.
Neben den Komponenten a und b ist eine komplexe Zahl durch ihren Betrag r = |r| und ihren
Winkel bestimmt. Dies entspricht der Angabe von Polarkoordinaten.
Für die polare Form r = a + j b = r cos+ j r sin= r (cos+ j sin)
Betrag:
r r  a 2 b 2
Winkel:
b 
arctan 
a 
folgt:
Mit der Euler-Gleichung e j cos j 
sin  folgt die Exponentialform:
r r 
e j r
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Der konjugiert komplexe Zeiger r r 
e j* r* hat auch den Betrag r, jedoch beim
Phasenwinkel * = - das entgegen gesetzte Vorzeichen.
Der Winkelfaktor  für häufig vorkommende Winkel:
*
0
e j0 1

2

 2
e
e

e

j 
2

j 
2
j 

j
j
1
Der Vorsatz + j bedeutet eine Drehung um + /2 = + 90°, der Vorsatz –j die Drehung um
- /2 = - 90° und das Minuszeichen eine Drehung um = 180°.
Für die Addition und Subtraktion von Zeigern benutzt man die Komponentenform und bei den
übrigen Rechenoperationen vorzugsweise die Exponentialform.
Es gilt für:
r1 = a1 + j b1
und
r2 = a2 + j b2
Addition:
r1 + r2 = (a1 + j b1) + (a2 + j b2) = (a1 + a2) + j (b1 + b2)
Subtraktion:
r1 - r2 = (a1 + j b1) - (a2 + j b2) = (a1 - a2) + j (b1 - b2)
Es gilt für:
r 1 r1 
e j1 r1 
1
Multiplikation:
r1 
r 2 r1 
e j1 
r2 e j2 r1 
r2 
e j (12) r1 
r2 
(1 2 )
Division:
e j1 r
r
r 1 r1 
 j2  1 
e j (12)  1 
(1 2 )
r2
r2
r2
r2 e
und
r 2 r2 
e j2 r2 
2
Da das Produkt einer komplexen Zahl r3 = (c + j d) mit ihrem konjugiert komplexen Wert
*
r3* = (c –j d) stets eine reelle Zahl ergibt: r 3 
r 3 (c jd ) 
(c jd ) (c 2 d 2 ) , kann man den
Nenner eines Bruches durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen Wert zu einer reellen Zahl
ergänzen.
Anwendung bei der Division in Komponentenform:
a jb 
a jb 
c jd  
ac bd 
j 
bc ad 
r


e j f
2
c jd 
c jd 
c jd 
c d 2
mit
ac bd
e 2
c d 2
bc ad
f  2
c d 2
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Es gilt für:
r r 
e j r 

n-te Potenz:
r r 
e j
n-te Wurzel:
n
Beachte:
n

r n r 
e
r
n
j
n
n

e jn r n 
n 


n r 

n
Es gibt nur eine Potenz aber n verschiedene Wurzeln!
Es gilt für:
r r 
e j r 

Differentiation:
dr d r 
e j

r j 
e j j 
r r 

2 
d
d
Integration:
r
d
r
e



j
1

dr 
e j 1j 
r j 
r r 

2 
j 
Beachte:
Differentiation entspricht einer Multiplikation des Zeigers mit j bzw. einer
Drehung um + /2
Integration entspricht einer Multiplikation des Zeigers mit - j bzw. einer Drehung
um - /2
Aufgabe:
r1 = 6 + j 8
und
r2 = 10 –j 15
Berechnen Sie: Reziprokwerte, Summe, Differenzen, Produkt, Quotienten, Quadratwurzel
jeweils in Komponenten- und Exponentialform
Ergebnisse:
1/r1 = 0,0602 –j 0,0799
1/r2 = 0,0307 + j 0,0461
r1 + r2 = 16 –j 7
r1 –r2 = - 4 + j 23
r2 –r1 = 4 –j 23
r1 r2 = 180 –j 10,4
r1/r2 = - 0,183 + j 0,522
r2/r1 = - 0,597 –j 1,700
r1 = 3,17 26,5°
r2 = 4,25 -28,15°
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11.2 Zeigerdarstellung harmonischer Größen
Der Zeitverlauf einer harmonischen Größe kann durch die Gleichung (1) beschrieben werden.
u (t ) uˆ
cos(
t u )
(1)
Bei der Berechnung elektrischer Schaltungen führt diese trigonometrische Darstellung zu sehr
aufwendigen Rechnungen.
Eine einfache Methode der Berechnung elektrischer Schaltungen ergibt sich, wenn die
harmonischen Größen durch komplexe Zahlen dargestellt werden. Voraussetzung dafür ist, dass
die eingeprägten Spannungen und Ströme harmonische Größen einer Frequenz sind und dass das
Netzwerk nur aus ohmschen Widerständen, idealen Spulen und idealen Kondensatoren besteht
und sich im stationären Zustand befindet.


1
cos  e j e j
2
1
sin  e j e j
2j
Bekanntlich gilt:

(2)

Damit lässt sich die Zeitabhängigkeit in der Gleichung (1) auch schreiben:




uˆ j t u  j t u  U
j
t u 
j 
t u 
u (t )  e
e
 e
e
2
2
(3)
Der Ausdruck U 
e j t u  enthält einen zeitabhängigen und einen zeitunabhängigen Teil. Für
den zeitunabhängigen Teil soll ein Zeiger eingeführt werden:
U U 
e ju
(4)
Der Ausdruck U U 
e ju stellt den konjugiert komplexen Zeiger von U dar.
*
Damit lässt sich die harmonische Spannung der Gleichung (3) wie folgt darstellen:
u (t ) 
Die Größe
1
2

U 
e
jt
jt
U 
e
*
12 2 U e
jt
 2
U 
e
*
jt

(5)
2
U lässt sich durch einen ruhenden Zeiger in der komplexen Ebene darstellen:
Ruhender Zeiger
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Der Ausdruck 2 
U
e jt stellt einen in der komplexen Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit
rotierenden Zeiger dar.
Die Beziehung (5) lässt sich in der komplexen Ebene für den Zeitpunkt t = 0 wie folgt
skizzieren:
Rotierende Zeiger
Für t 0 stellen die Summanden in Gleichung (5) gegensinnig rotierende Zeiger dar, deren
Summe immer ein reeller Wert –die physikalische Größe u(t) –ist.
Allgemein lässt sich die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen schreiben:
A A 2 
Re( A)
*
mit
(6)
Re(A): Realteil von A
Mit der Zusammenfassung von (6) kann Gleichung (5) geschrieben werden:

u (t ) Re 2 
U
e jt

(7)
Die Gleichung (7) stellt den Zusammenhang zwischen der physikalischen Größe u(t) und ihrer
Abbildung in der komplexen Ebene 2 
U
e jt dar.


Bei vielen Problemen der Elektrotechnik (stationärer Zustand bei harmonischen Erregergrößen,
lineare Elemente) interessiert der zeitliche Augenblickswert nicht in erster Linie. Es genügt
meist, Aussagen über den Effektivwert der Größen und über die Winkelbeziehungen zwischen
ihnen zu machen. Diese Aussagen sind allein in den Zeigern enthalten. Zeigerdiagramme können
nur Vorgänge einer bestimmten Frequenz wiedergeben, bei denen die Phasenbeziehungen
zueinander erhalten bleiben. Sie stellen eine Momentaufnahme dar. Da bei sinusförmigen
Größen das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert durch den konstanten Scheitelfaktor
bestimmt wird, und man in der Praxis i. Allg. mit Effektivwerten arbeitet, wird die Länge des
Zeigers häufig nach dem Effektivwert festgelegt. Sinusförmige Wechselgrößen werden addiert
oder subtrahiert, indem man ihre Zeiger nach Betrag und Phase geometrisch addiert oder
subtrahiert. Bei Phasengleichheit ist die geometrische Summe gleich der algebraischen.
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11.3 Ortskurve
Bei kontinuierlicher Änderung einzelner Wirk- bzw. Blindwiderstände oder der Frequenz
beschreiben die Spitzen der Zeiger der Impedanz Z und des komplexen Stroms I (bei fester
Spannung U) oder der komplexen Spannung U (bei festem Strom I) sog. Ortskurven.
Widerstands- und Spannungsortskurven bei Reihenschaltung
a) Konstanter Blindwiderstand X mit veränderbarem Wirkwiderstand a
R mit a = 0 ... 
Impedanz:
Z = a
R+jX
Ortskurve Z = f(a) verläuft parallel zur positiven reellen Achse
b) Konstanter Wirkwiderstand R und konstante Induktivität L mit veränderbarer Kreisfrequenz

Impedanz:
Z = R + j L mit = 0 .. 
Ortskurve Z = f() verläuft parallel zur positiven imaginären Achse
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c) R = konstant; C = konstant; = variabel
Impedanz:
Z = R + 1/j C
mit = 0 .. 
Ortskurve Z = f() verläuft parallel zur negativen imaginären Achse
Auf
g
r
undde
s„
kompl
e
xe
nOhms
c
he
nGe
s
e
t
z
e
s
“U = Z I unterscheidet sich die SpannungsOrtskurve U = f(a) bzw. U = f() nur um einen konstanten komplexen Faktor I von der
zugehörigen Impedanz-Ortskurve Z = f(a) bzw. Z = f().
Strom-Ortskurven bei Reihenschaltung
a) X = konstant; = konstant; a
R = variabel
„
Kompl
e
xe
sOhms
c
he
sGe
s
e
t
z
“
:
I = U / (a
R + j X)
Der Strom I verläuft für a = 0 ... auf einem Halbkreis durch den Koordinaten-Nullpunkt.
Die Strom-Ortskurve I = f(a) stellt eine Inversion der Impedanz-Ortskurve Z = f(a) bzw. der
Spannungs-Ortskurve U = f(a) dar.
Für Ortskurven gilt allgemein: Inversion einer Geraden parallel zu einer Halbachse ergibt einen
Halbkreis durch den Nullpunkt mit dem Mittelpunkt auf einer Achse.
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b) R = konstant; C = konstant; = variabel
U
Es gilt:
I
R j1C
Aufgabe:
Eine Reihenschaltung von R = 20 und L = 0,5 H liegt an einer sinusförmigen Spannung mit U
= 220 V. Es sollen die Ortskurven Z = f() und I = f() dargestellt werden.
Lösungen:
Z = f()
I = f()


Gerade parallel zur positiven imaginären Achse
Halbkreis im 4.Quadranten
Aufgabe:
R = 1 k
C = 1 F
Zeichnen Sie die Ortskurve Ua/Ue. Stellen Sie das Verhältnis Ua/Ue im Bereich = 0 ... 10.000
1/s dar.
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Ortskurven bei Parallelschaltung
a) Änderung der Belastung
Y = a
G+jB
I=U
Y = U
(a
G + j B)
Ortskurve I = f(a) ist eine Gerade parallel zur positiven reellen Achse.
b) Änderung der Kreisfrequenz
i) Parallelschaltung von G und C
Y = G + j C
I= Y
U = G U + j C U
Ortskurve I = f() ist eine Gerade parallel zur positiven imaginären Achse.
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ii) Parallelschaltung von G und L
Y = G + 1/jL
I= U
Y = U G + U/jL
Ortskurve I = f() ist eine Gerade parallel zur positiven imaginären Achse.
Aufgabe:
Parallelschaltung von G = 0,1 S und L = 0,5 mH mit U = 20 V. Bestimmen Sie I = f().
Lösung:
Ortskurve parallel zur negativen imaginären Achse
Aufgabe:
Parallelschaltung von G = 0,1 S und L = 0,5 mH mit I = 2 A. Bestimmen Sie U = f().
Lösung:
Ortskurve Halbkreis im 1.Quadranten
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11.4 Bodediagramm
 Frequenzgangdarstellung mit Ortskurve bei Netzwerken u. U. aufwendig und ungenau
(nichtlineare Frequenzteilung)
 Ortskurven stellen aber als Frequenzgang Betrag und Phase in einem Diagramm dar
 Darstellung der Frequenzkennlinien getrennt für Betrag und Phase führt zum Bodediagramm
 Ersetzen der häufigen Multiplikation durch einfache Addition nach Transformation
Beispiel:
Hochpass-Filter
Ua
R
jCR
j



1
U e R jC 1 jCR 1 j
Betrag:
Ua



Ue
1 (
) 2
Phase:
1 
arctan 




mit
= R
C : Zeitkonstante in s
mit

: Normierte Kreisfrequenz

= 0 : Ua/Ue = 0

 : Ua/Ue  1
gr
= 1 : Ua/Ue = 1/2 0,707
gr
: Normierte Grenz-Kreisfrequenz

= 0 : = 90°

 :  0°
gr
= 1 : = 45°
gr
: Normierte Grenz-Kreisfrequenz
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11.4.1 Übertragungsverhalten von Vierpolen
Messung 1:
U 12
P1 
Rv
Messung 2:
U2
P2  2
Rv
Das Verhältnis der Leistungen beschreibt das Übertragungsverhalten (Verstärkung, Dämpfung)
des Vierpols:
P2 U 22

P1 U 12
Man arbeitet meistens mit den Logarithmen der Quotienten und macht den Ansatz:
P2
p lg
P
1
 
U 22

lg

U 12
 


U2 

lg
U 
Bel
2 
1

Übliche Einheit:
1 dB (dezi Bel) = 0,1 Bel
Daraus folgt:
P2 

U2 
p 10 
lg
dB 20 
lg
dB
P 

U 

1 
1
Leistungsverhältnis
Spannungsverhältnis
20 dB
100
10
10 dB
10
3,16
(dimensionslos)
3 dB
2
2 1,41
0 dB
1
1
Beispiel:
Vierpolkette
p = 20
lg(Ua3/Ue1) dB = 20
lg(V1
V2
V3) dB = 20
lg(V1) dB + 20
lg(V2) dB + 20
lg(V3) dB
= (P1 + P2 + P3) dB
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11.4.2 Komplexer Frequenzgang
U
V a
Ue
 Betragsfrequenzgang (Amplitudenfrequenzgang):
U
V a
Ue

Ua
V 20 
lg
U
e


dB


 Phasenwinkelfrequenzgang (Phasenfrequenzgang):
 
U
Im a

 U
arctan  e
Ua
Re


 U
  e
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









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Beispiel:
Hochpass-Filter
Betragsfrequenzgang:
 

V 20 
lg
 1 (
) 2




dB




 0 : V  - dB

 : V  0 dB
gr
= 1 : V = - 3 dB

<< 1: V = 20
lg(

) dB
 Steigung = 20 dB/Dekade

>> 1: V = 0 dB
Darstellung der Asymptoten
Phasenfrequenzgang:
1 
arctan 



<< 1 : = 90°

>> 1 : = 0°
gr
= 1 : = 45°
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Beispiel:
Tiefpass-Filter
1
U
1
1
jC
V a 


1
Ue
1 jRC 1 j
R
jC
Betragsfrequenzgang:

1
V 20 
lg
 1 (
) 2




dB



gr
= 1  gr = 1/ fgr = 1/(2

)
fgr : Grenzfrequenz
f << fgr: V = 0 dB
f >> fgr: V = 20
lg(1/2f

) dB
= - 20
lg(2f

) dB
 Steigung = - 20 dB/Dek.
f = fgr: V = - 3 dB
Darstellung der Asymptoten
Phasenfrequenzgang:
Z N 0arctan

arctan 
2f 

f << fgr : = 0°
f >> fgr : = - 90°
f = fgr : = - 45°
Es werden anstelle von Grenzfrequenz
(fgr) auch die Begriffe Knickfrequenz
(fK) oder Eckfrequenz (fE) benutzt.
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11.4.3 Frequenzgänge von Vierpolen
jD1 
jD 2 

... 

1 jZ 1 
1 jZ 2 

...
V k 
jI 1 
jI 2 

... 

1 jN 1 
1 jN 2 

...
Beträge:
K k
VDi Di
VZi  1 (Zi ) 2
VIi Ii
V Ni  1 (Ni ) 2
Phasen:
k 0
Di 90
Zi arctan(Zi )
Ii 90
Ni arctan(Ni )
mit i = 1, 2, 3, ...
V 
e jD1 
... 
VZ 1 
e jZ 1 
...
V 
... 
VZ 1 
... j D1...Z 1...
I 1...N 1...

V K  D1 jI 1
K D1

e
jN 1
VI 1 
... 
VN 1 
...
VI 1 
e 
... 
VN1 
e

...
Daraus folgt für den Betragsfrequenzgang:
V = 20
lg (K) + (20
lg VD1 + ... + 20
lg VZ1 + ...) –(20
lg VI1 + ... + 20
lg VN1 + ...)
Daraus folgt für den Phasenfrequenzgang:
= (D1 + ... + Z1 + ...) –(I1 + ... + N1 + ...)
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- 68/70 -
11.4.4 Grundglieder
V=k
V = j 
V = 1 / j 
V = 1 + j 
V = 1 / (1 + j 
)
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Die Vierpol-Frequenzgänge lassen sich aus den folgenden fünf Grundgliedern entwickeln. Aus
der Multiplikation wird durch die logarithmische Darstellung (Bodediagramm) eine Addition.
Es gilt:
V = V
= V1
1 V2
2 = (V1 V2)
(1+2)
Die komplexe Multiplikation erfordert eine Multiplikation der Beträge und eine Addition der
Phasenwinkel. Die Multiplikation wird auf eine niedrigere Rechenoperation (Addition)
zurückgeführt, indem man die Größen logarithmiert (allg. transformiert).
Die Beträge werden nach V = 20
lg(V) dB (für Spannungs-/Stromverhältnisse!) logarithmiert;
die Phasenwinkel werden addiert, so dass ein linearer Maßstab beizubehalten ist.
Um große Frequenzbereiche betrachten zu können, empfiehlt es sich, auch die Frequenz
logarithmisch darzustellen, z.B. auf Logarithmenpapier. Die Zehnerpotenzen (Dekaden) haben
dann einen konstanten Abstand.
Beispiel:
R1 = 9 k
R2 = 1 k
C = 17,684 nF
U
R2
V a 
R1 j1C
Ue
R1 j1C


R2 R1 j1C

R 
1 jCR1 
R2
1 jCR1

 2


1
1
R 
R
R1 jC R2 R1 jC
R1 R2 jCR1 R2 R1 R2
1 jC  1 2
R2
R1 R2


1 j1
V k 
1 j2
R2
k
0,1 20dB
R1 R2
1 CR1 159,156 
10 6 s
R 
R
2 C  1 2 15,9156 
10 6 s
R1 R2
1
1 1  f E1 
10 3 Hz
21
1
2 1  f E 2 
10 4 Hz
221
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Aufgabe:
R1 = 9 M
C1 = 1 pF ... 3 pF
R2 = 1 M
C2 = 18 pF
a)
b)
c)
d)
Berechnen Sie allg. den komplexen Frequenzgang V.
Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang für C1 = 1 pF und C1 = 3 pF.
Für welchen Wert von C1 sind Betrags- und Phasenfrequenzgang frequenzunabhängig?
Warum sollte man bei Messungen mit dem Oszilloskop einen Tastkopf verwenden?
Lösung:
U
R2
1 jC1 R1
V a 

R 
R
U e R1 R2
1 j
C1 C 2  1 2
R1 R2
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