Funktionalanalysis

Funktionalanalysis
Anton Deitmar
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Allgemeine Topologie
1.1
Erzeuger und Abzählbarkeit .
1.2
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
1.3
Initial- und Final-Topologien .
1.4
Hausdorff Räume . . . . . . . .
1.5
Kompakte Räume . . . . . . .
1.6
Das Zornsche Lemma . . . . .
1.7
Der Satz von Tychonov . . . .
1.8
Das Lemma von Urysohn . . .
1.9
Der Satz von Stone-Weierstraß
1.10
Der Satz von Baire . . . . . . .
1.11
Netze . . . . . . . . . . . . . . .
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Normierte Räume
2.1
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Äquivalenz der Normen im endlich-dimensionalen
2.6
Nichtstetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . .
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51
Grundprinzipien der Funktionalanalysis
3.1
Fortsetzung von linearen Funktionalen . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenen Graphen
3.3
Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit . . . . . . . . . . . .
3.4
Dualität bei Banach-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Schwache Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen
4.1
Adjungierte Operatoren . . . . . .
4.2
Isometrien . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Projektionen . . . . . . . . . . . . .
4.4
Normale Operatoren . . . . . . . .
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5
Funktionalkalkül
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5.1
Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2
Funktionalkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3
Polarzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6
Kompakte Operatoren
6.1
Jordan Normalform fuer kompakte Operatoren .
6.2
Spektralsatz fuer kompakte normale Operatoren
6.3
Hilbert-Schmidt-Operatoren . . . . . . . . . . . .
6.4
Spurklasse-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
7
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105
110
114
119
Der Spektralsatz
127
7.1
Spektralmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2
Der Spektralsatz fuer normale Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1
Kapitel 1
Allgemeine Topologie
Wir erinnern an die Definition einer Topologie. Eine Topologie auf einer Menge
X ist ein System von Teilmengen O ⊂ P(X), das unter endlichen Schnitten und
beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. Ein topologischer Raum ist ein Paar
(X, O) bestehend aus einer Menge X und einer Topologie O auf X. Die Mengen
A ∈ O heissen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen.
Zu jeder Menge A ⊂ X gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die A
enthält, genauer ist
\
A=
C.
C⊃A
C⊂X abgeschlossen
Beispiele 1.0.1.
• Auf jeder Menge X gibt es die triviale Topologie O = {∅, X},
sowie die diskrete Topologie O = P(X).
• Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist
O = {U ⊂ X : x ∈ U ⇒ Uε (x) ⊂ U für ein ε > 0}
eine Topologie.
• Sei X eine unendliche Menge, die co-endlich Topologie ist die Topologie
bestehend aus allen Mengen U ⊂ X die endliches Komplement haben,
zusammen mit der leeren Menge.
2
FUNKTIONALANALYSIS
3
Sei x ∈ X ein Punkt. Eine offene Umgebung von x ist eine offene Menge U, die x
enthält. Eine Umgebung von x ist eine Menge V ⊂ X, die eine offene Umgebung
von x enthält.
Lemma 1.0.2. Sei A eine Teilmenge des topologischen Raums X. Ein Punkt x ∈ X gehört
genau dann zum Abschluss A von A, wenn A ∩ U , ∅ für jede Umgebung U von x gilt.
Beweis. Die Behauptung ist äquivalent dazu, dass x genau dann nicht in A liegt,
wenn es eine Umgebung U von x gibt mit U ∩ A = ∅. Wir können in diesem Fall
U als offen voraussetzen.
Is also U eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅, dann ist A eine Teilmenge
der abgeschlossenen Menge X r U, also x < Ā. Umgekehrt, nimm an x < Ā. Dann
ist U = X r Ā eine offene Umgebung von x mit A ∩ U = ∅.
1.1
Erzeuger und Abzählbarkeit
Für ein gegebenes System von Teilmengen E ⊂ P(X) existiert eine kleinste
Topologie, die E enthält, nämlich
\
OE =
O.
O⊃E
O Topologie
Man nennt OE die von E erzeugte Topologie.
Lemma 1.1.1. Sei E ⊂ P(X) beliebig. Sei dann S ⊂ P(X) das System aller Mengen der
Form
A1 ∩ · · · ∩ An ,
wobei A1 , . . . , An ∈ E. Als nächstes sei T 0 das System aller Mengen der Form
[
i∈I
Si ,
FUNKTIONALANALYSIS
4
mit Si ∈ S für jedes i ∈ I. Schliesslich setze T = T 0 ∪ {∅, X}. Dann gilt OE = T .
Beweis. Jede Topologie, die E enthält, enthält auch S und T , also T ⊂ OE .
Andererseits werden wir sehen, dass T selbst eine Topologie ist, da T den
Erzeuger E enthält, folgt auch T ⊃ OE .
Es bleibt also zu zeigen, dass T eine Topologie ist.
• ∅, X ∈ T gilt nach Definition.
• Beliebige Vereinigungen von Elementen von T sind wieder Elemente von
T.
• Wir zeigen A, B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T . Ist eine der Beiden Mengen gleich ∅ oder
X, so ist die Behauptung klar. Seien also
A=
[
Si ,
B=
[
Tj
j∈J
i∈I
mit Si , T j ∈ S. Dann ist
A∩B=
[
Si ∩ T j .
I∈I
j∈J
Mit Si , T j ∈ S folgt aber Si ∩ T j ∈ S, also ist A ∩ B ∈ T .
Definition 1.1.2. Eine Umgebungsbasis eines Punktes x ∈ X ist eine Familie
(Ui )i∈I von Umgebungen von x so dass jede Umgebung U eines der Ui enthält. Ist
jedes Ui offen, so sprechen wir von einer offenen Umgebungsbasis.
Ein topologischer Raum X genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, wenn
jeder Punkt x eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
Beispiele 1.1.3.
• Sei (X, d) einmetrischer Raum. Für jedes x ∈ X ist die Familie
der Bälle (B1/n (x))n∈N eine Umgebungsbasis von x. also genügt jeder
metrische Raum dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.
FUNKTIONALANALYSIS
5
• Die Co-endlich Topologie auf einer überabzählbaren Menge X genügt nicht
dem ersten Abzählbarkeitsaxiom.
Definition 1.1.4. Eine Basis der Topologie ist eine Familie (Ui )i∈I von offenen
Mengen so dass jede offene Menge als Vereinigung von Mitgliedern Ui der
Familie geschrieben werden kann. Die Familie der offenen Intervalle (a, b), wobei
a und b rationale Zahlen sind, ist eine Topologie-Basis von R.
Definition 1.1.5. Ein topologischer Raum genügt dem zweiten
Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine abzählbare Topologie-Basis besitzt.
Es ist eine Konsequenz des Lemmas 1.1.1, dass ein Raum genau dann dem
zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, wenn die Topologie einen abzählbaren
Erzeuger besitzt.
Beispiel 1.1.6. Ein Beispiel für einen Raum, der keine abzählbare Topologiebasis
besitzt, ist schnell gegeben: Sei X eine überabzählbare Menge und O = P(X) die
diskrete Topologie. Dann ist die Menge aller Singletons {x} mit x ∈ X die kleinste
Topologiebasis die es gibt. Diese widersetzt sich einer Abzählung.
1.2
Stetigkeit
Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heisst stetig, wenn
für jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild f −1 (U) ⊂ X offen ist.
Äquivalent kann man sagen, dass eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn
für jede abgeschlossenen Menge C ⊂ Y das Urbild f −1 (C) ⊂ X abgeschlossen ist.
Sind f, g komponierbare stetige Abbildungen, so ist f ◦ g stetig.
Definition 1.2.1. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen
heisst stetig im Punkt x ∈ X, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von y = f (x)
eine offene Umgebung U von x gibt mit f (U) ⊂ V.
FUNKTIONALANALYSIS
6
Proposition 1.2.2. Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn sie in jedem
Punkte stetig ist.
Beweis. Sei f stetig und sei x ∈ X. Sei eine offene Umgebung V von y = f (x)
gegeben. Dann ist U = f −1 (V) offen und enthält x, ist also eine offene Umgebung
von x mit f (U) ⊂ V. Damit ist f stetig im Punkt x.
Sei umgekehrt f in jedem Punkt stetig und sei V ⊂ Y offen. Wir zeigen, dass
f −1 (V) offen ist. Sei dazu x ∈ f −1 (V), dann ist V eine offene Umgebung von
y = f (x) und daher existiert eine offene Umgebung U von x mit f (U) ⊂ V, d.h.,
U ⊂ f −1 (V). Damit enthält f −1 (V) zu gegebenem x ∈ f −1 (V) ach eine offene
Umgebung U von x, also ist V offen.
Definition 1.2.3. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen
heisst offene Abbildung, falls f (U) ⊂ Y offen ist für jede offene Menge U ⊂ X
und f heisst abgeschlossene Abbildung, falls f (C) abgeschlossen ist für jedes
abgeschlossene C ⊂ X.
Eine bijektive Abbildung f : X → Y heisst ein Homöomorphismus, falls f stetig
und offen ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl f als auch ihre
Umkehrabbildung stetig sind.
Beispiele 1.2.4.
• Jedes nichtleere offene Intervall (a, b) ⊂ R ist homöomorph
zur reellen Geraden R, denn die Abbildung
x 7→
1
1
+
a−x b−x
ist ein Homöomorphismus von (a, b) nach R.
• Ein Rechteck [a, b] × [c, d] ⊂ R2 mit a < b, c < d ist homöomorph zur
abgeschlossenen Kreisscheibe B1 (0) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Wir
überlassen dem Leser die Konstruktion eines Homöomorphismus.
FUNKTIONALANALYSIS
1.3
7
Initial- und Final-Topologien
Sei X eine Menge und fi : X → Yi eine Familie von Abbildungen, wobei die Yi
topologische Räume sind. Die Initialtopologie auf X induziert durch die Familie
( fi )i∈I ist die kleinste Topologie auf X, so dass alle fi stetig sind. Also ist es die
Topologie, die durch alle Urbilder fi−1 (U) offener Mengen U ⊂ Yi erzeugt wird.
Sei X eine Menge und sei gi : Wi → X, i ∈ I eine Familie von Abbildungen von
topologischen Räumen Wi . Die Final-Topologie auf X induziert durch die
Familie (gi )i∈I ist die grösste Topologie auf X, bezüglich der alle gi stetig sind.
Eine Teilmenge U ⊂ X ist genau dann offen, wenn jedes Urbild g−1
(U) ⊂ Wi offen
i
ist. Ein Spezialfall der Finaltopologie ist die Quotiententopologie auf Z/ ∼,
wobei Z ein topologischer Raum ist und ∼ eine Äquivalenzrelation. Die
Quotiententopologie ist dann die Finaltopologie gegeben durch eine einzige
Abbildung, nämlich der Projektion Z → Z/ ∼.
Beispiele 1.3.1.
• Sei A ⊂ X eine Teilmenge des topologischen Raums X. Die
Topologie auf A induziert durch die Inklusionsabbildung i : A ,→ X heisst
die Teilraumtopologie von A. Die offenen Mengen in A sind genau die
Mengen der Form A ∩ U, wobei U ⊂ X offen ist.
• Sei (Xi )i∈I eine Familie topologischer Räume. Sei X =
Q
i∈I
Xi das kartesische
Produkt der Räume Xi . Die Produkttopologie auf X ist die Initial-Topologie
der Koordinaten-Projektionen pi : X → Xi . Sie wird also erzeugt von allen
Mengen der Form
Ui ×
Y
X j,
i,j
wobei Ui ⊂ Xi eine offene Menge ist. Nach Lemma 1.1.1 ist jede offene
Menge in X eine Vereinigung von Mengen der Gestalt

 

Y  Y 

Ui  × 
Xi  ,

i∈E
i<E
FUNKTIONALANALYSIS
8
wobei E ⊂ I eine endliche Teilmenge der Indexmenge I ist.
Als Spezialfall sehen wir, dass die Topologie auf Rn genau die
Produkttopologie von R ist.
Proposition 1.3.2 (Sehr nützlich). (a) Sei X eine Menge versehen mit der
Initial-Topologie induziert durch die Abbildungen fi : X → Yi , i ∈ I. Eine
Abbildung α : W → X von einem topologischen Raum W ist genau dann stetig,
wenn alle Abbildungen fi ◦ α : W → Yi stetig sind.
(b) Ebenso, sei X versehen mit der Final-Topologie induziert durch Abbildungen
gi : Wi → X. Eine Abbildung β : X → Y ist genau dann stetig, wenn alle
Abbildungen β ◦ gi : Wi → Y stetig sind.
Beweis. (a) Sei α stetig, dann ist fi ◦ α als Komposition stetiger Abbildungen
selbst auch stetig. Andersherum, nimm an, dass alle fi ◦ α stetig sind. Sei E das
System von Teilmengen von X der Form fi−1 (U) wobei U eine offene Teilmenge
von Yi ist. Dann erzeugt E die Topologie O von X. Sei Oα die grösste Topologie
auf X, die α stetig sein lässt, dann, da fi ◦ α stetig ist, folgt E ⊂ Oα ; deshalb
O ⊂ Oα , also ist α stetig.
Teil (b) geht ähnlich.
Beispiel 1.3.3. Sei X =
Q
i∈I
Xi das Produkt der topologischen Räumen Xi mit der
Produkttopologie. Sei pi : X → Xi die i-te Projektion. Eine Abbildung f : W → X
von einem topologischen Raum W ist genau dann stetig, wenn alle Abbildungen
pi ◦ f : W → Xi stetig sind. Dies bedeutet zum Beispiel, dass für zwei
topologische Räume X, Y und y0 ∈ Y die Abbildung X → X × Y, die x auf (x, y0 )
wirft, stetig ist.
FUNKTIONALANALYSIS
1.4
9
Hausdorff Räume
Ein topologischer Raum X heisst Hausdorff-Raum, falls je zwei Punkte durch
disjunkte Umgebungen getrennt werden können, also wenn es zu je x , y in X
offene Mengen U, V ⊂ X gibt mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
Beispiele 1.4.1.
• Jeder metrische Raum ist hausdorffsch.
• Die diskrete Topologie P(X) ist hausdorffsch, aber die triviale Topologie
{∅, X} ist nicht hausdorffsch, falls X mehr als nur ein Element hat.
• Die co-endlich-Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht
hausdorffsch.
Lemma 1.4.2. Ein topologischer Raum X ist genau dann hausdorffsch, wenn die
Diagonale
∆ = {(x, x) : x ∈ X}
eine abgeschlossene Teilmenge von X × X ist.
Beweis. Der Raum X × X trägt die Produkttopologie, das heisst die Familie aller
offenen Rechtecke: U × V, wobei U, V ⊂ X offene Mengen sind, ist eine
Topologiebasis.
Nimm nun an, X ist hausdorffsch und sei (x, y) in ∆c = X × X r ∆, mit anderen
Worten x , y. Es existieren dann offene Mengen U 3 x und V 3 y mit U ∩ V = ∅.
Dies bedeutet, dass U × V ∩ ∆ = ∅, also ist U × V eine offene Umgebung von (x, y),
die ganz in ∆c enthalten ist, damit ist diese Menge offen, also ist ∆ abgeschlossen.
Sei umgekehrt die Diagonale abgeschlossen und x , y in X, dann ist (x, y) in der
offenen Menge ∆c . Diese offene Menge ist ein Produkt von offenen Rechtecken,
also existiert ein offenes Rechteck U × V mit (x, y) ∈ U × V ⊂ ∆c . Dies bedeutet
gerade x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅.
FUNKTIONALANALYSIS
10
Man nennt einen Hausdorff-Raum auch T2 -Raum, oder einen separierten
Topologischen Raum.
1.5
Kompakte Räume
Ein topologischer Raum heisst kompakt, falls jede offene Überdeckung eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
In dem man zu den Komplementen übergeht erhält man
Lemma 1.5.1 (Endliche Schnitteigenschaft). Ein topologischer Raum X ist genau
dann kompakt, wenn für jede Familie (Ai )i∈I abgeschlossener Mengen in X mit
T
i∈F Ai , ∅ für jede endliche Teilmenge F ⊂ I, gilt
\
Ai , ∅.
i∈I
Beweis. Die Mengen Ui = X r Ai bilden eine offene Überdeckung von X. Zu
dieser gibt es eine endliche Teilüberdeckung.
Lemma 1.5.2. Eine Teilmenge K ⊂ X eines topologischen Raums ist genau dann
kompakt (in der Teilraumtopologie), wenn es zu jeder offenen Überdeckung von K in X
eine endliche Teilüberdeckung gibt, wenn also zu jeder Familie (Ui )i∈I offener Mengen in
X mit
K⊂
[
Ui
i∈I
eine endliche Teilmenge E ⊂ I existiert, so dass
K⊂
[
Ui .
i∈E
Beweis. Dies folgt direkt aus der Anwendung der Definitionen.
Lemma 1.5.3. Sei X ein topologischer Raum, dann gilt
FUNKTIONALANALYSIS
11
(a) Ist X kompakt und ist C ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge, dann ist C kompakt.
(b) Ist X ein Hausdorff-Raum und ist C ⊂ X kompakt, dann ist C abgeschlossen.
(c) Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Das heisst, ist f : X → Y stetig
und ist C ⊂ X kompakt, dann ist f (C) ⊂ Y kompakt.
Beweis. (a) Sei (Ui )i∈I eine Überdeckung von C, wobei jedes Ui eine offene
Teilmenge von X ist. Dann ist (Ui )i∈I ∪ {X r C} eine offene Überdeckung von X.
S
Da X kompakt ist, existieren Indizes i1 , . . . , il so dass X ⊂ (X r C) ∪ lj=1 Ui j , also
S
C ⊂ lj=1 Ui j .
(b) Sei x ∈ X r C. Wir müssen zeigen, dass es eine offene Umgebung U von x gibt
mit U ∩ C = ∅. Da X ein Hausdorff-Raum ist, gibt es zu jedem y ∈ C offene
Umgebungen V y von y und U y von x mit V y ∩ U y = ∅. Dann ist (V y ) y∈C eine
S
offene Überdeckung von C, also gibt es y1 , . . . , yl ∈ C mit C ⊆ lj=1 V y j . Dann ist
T
U = lj=1 U y j eine offene Umgebung von x mit U ∩ C = ∅.
Die Aussage (c) wurde in Analysis 2 für metrische Räume bewiesen. Derselbe
Beweis geht allerdings für beliebige topologische Räume durch.
Ein topologischer Raum X heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ X eine
kompakte Umgebung besitzt.
Beispiele 1.5.4.
• Die Menge Rn ist lokalkompakt, da jeder Punkt x eine
kompakte Umgebung, etwa [x1 − 1, x1 + 1] × · · · × [xn − 1, xn + 1] besitzt.
• Sei K ⊂ Rn kompakt. Der Raum C(K) aller stetigen Funktionen von K nach
R mit der Supremumsnorm ist nur dann lokalkompakt, wenn K endlich ist.
Beweis. Ist K endlich, so ist C(K) Rn , also lokalkompakt. Ist K nicht
endlich, so sei (k j ) j∈N eine Folge in K mit k j , ki für i , j. Jedes k j hat dann
einen positiven Abstand zu {k1 , . . . , k j−1 }, also existiert ein f j ∈ C(K) mit
FUNKTIONALANALYSIS
12
f (k1 ) = · · · = f (k j−1 ) = 0 und f (k j ) = 1. Für i , j gilt dann
fi −
f j K ≥ 1,
also hat die Folge ( f j ) j keine konvergente Teilfolge, damit ist Cc (K) nach dem
Satz von Bolzano-Weierstrass nicht kompakt.
1.6
Das Zornsche Lemma
Sei (S, ≤) eine partiell geordnete Menge. Eine Teilmenge L ⊂ S, in der alle
Elemente vergleichbar sind, für die also gilt:
x, y ∈ L
⇒
x ≤ y oder y ≤ x,
heisst linear geordnet. Sei L ⊂ S eine linear geordnete Teilmenge. Ein Element
z ∈ S heisst obere Schranke zu L, wenn gilt
x∈L
⇒
x ≤ z.
Wir schreiben in diesem Fall auch L ≤ z.
Ein Element m ∈ S heisst maximales Element, falls gilt
m≤y
⇒
y = m.
Das heisst also, m ist maximal, wenn es keine grösseren Elemente gibt.
Lemma 1.6.1 (Lemma von Zorn). Sei S eine partiell geordnete Menge, in der jede
linear geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt. Dann hat S ein maximales
Element.
Beweis. Das Lemma von Zorn ist, auf Grundlage der anderen Axiome der
Mengenlehre, äquivalent zum Auswahlaxiom, welches man am sinnfälligsten
FUNKTIONALANALYSIS
13
wie folgt ausdrückt:
Auswahlaxiom: (AC) Ist I eine nichtleere Indexmenge und ist für jedes i ∈ I eine
Q
nichtleere Menge Mi gegeben, dann ist i∈I Mi eine nichtleere Menge.
Der Beweis des AC aus dem Zornschen Lemma ist einfach, die Rückrichtung
kompliziert. Zu kompliziert für diese Vorlesung.
Satz 1.6.2. Jeder Vektorraum hat eine Basis.
Beweis. Dieser Satz wird mit dem Lemma von Zorn bewiesen. Wir klären
erstmal die Notation: Eine Teilmenge L ⊂ V eines Vektorraums heisst linear
unabhängig, wenn für alle paarweise verschiedenen Elemente l1 , . . . , ln von L gilt
n
X
λ jl j = 0
λ1 = · · · = λn = 0.
⇒
j=1
Mit anderen Worten, L heisst linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge
linear unabhängig ist.
Eine Basis eines Vektorraums V ist eine linear unabhängige Teilmenge L so dass
es zu jedem v ∈ V Elemente l1 , . . . , ln von L und Koeffizienten λ1 , . . . , λn gibt so
dass
n
X
λ j l j = v.
j=1
Lemma 1.6.3. Eine maximale linear unabhängige Teilmenge L ⊂ V ist eine Basis.
Beweis. Sei L eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V, d.h., es gelte
für jede linear unabhängige Teilmenge L0 ⊂ V, dass
L0 ⊃ L
⇒
L0 = L.
FUNKTIONALANALYSIS
14
Wir zeigen, dass L eine Basis ist. Sei dazu v ∈ V. Angenommen, v lässt sich nicht
als Linearkombination von Elementen von L darstellen. Sei L0 = L ∪ {v}. Wir
behaupten, dass L0 linear unabhängig ist. Es seien dazu l1 , . . . , ln ∈ L und
λ, λ1 , . . . , λn Koeffizienten mit
λv + λ1 l1 + · · · + λn ln = 0.
Erster Fall: λ = 0, dann folgt λ1 l1 + · · · + λn ln = 0 und da L linear unabhängig ist,
ist λ1 = · · · = λn = 0.
Zweiter Fall: λ , 0, dann ist
v = (−λ1 /λ)l1 + · · · + (−λn /λ)ln ,
was im Widerspruch zur Annahme steht. Damit lässt sich v also doch als
Linearkombination von Elementen aus L darstellen und L ist eine Basis.
Nun beweisen wir den Satz unter Zuhilfenahme des Zornschen Lemmas. Nach
Lemma 1.6.3 brauchen wir nur zu zeigen, dass es eine maximale linear
unabhängige Menge in V gibt. Sei also S die Menge deren Elemente die linear
unabhängigen Teilmengen L von V sind. Sei K ⊂ S eine linear geordnete
Teilmenge und sei
Z=
[
L
L∈K
Dann ist sicherlich Z ≥ L für jedes L ∈ K, es bleibt also zu zeigen, dass Z ∈ S gilt,
also mit anderen Worten, wir müssen zeigen, dass Z linear unabhängig ist. Seien
dazu v1 , . . . vn ∈ Z und λ1 , . . . , λn Koeffizienten so dass
λ1 v1 + · · · + λn vn = 0
Da K eine linear geordnete Teilmenge ist, gibt es ein L ∈ K so dass v1 , . . . , vn ∈ L.
Da L linear unabhängig ist, folgt λ1 = · · · = λn = 0.
FUNKTIONALANALYSIS
1.7
15
Der Satz von Tychonov
Sei I eine Indexmenge und für jedes i ∈ I sei ein topologischer Raum Xi , ∅
Q
gegeben. Die Produkttopologie auf X = i∈I Xi ist die Initialtopologie der
Projektionen pi : X → Xi . Sie wird erzeugt von allen Mengen der Form
p−1
i (Ui )
= Ui ×
Y
X j,
j,i
wobei Ui eine offene Teilmenge von Xi ist. Damit ist jede offene Menge eine
Vereinigung von Mengen der Form
Ui1 × · · · × Uin ×
Y
Xi ,
i,i1 ,...,in
die ja endliche Schnitte von den oben genannten sind.
Satz 1.7.1 (Tychonov). X =
Q
i∈I
ist genau dann kompakt ist, wenn alle Faktoren Xi
kompakt sind.
Beweis. Da die Projektion pi : X → Xi stetig ist, so ist jedes Xi kompakt, falls X
kompakt ist. Die schwierige Richtung ist die Umkehrung. Seien also alle Xi
kompakt. Sei F = (Fν )ν∈N eine Familie abgeschlossener Mengen mit der
endlichen Schnitteigenschaft (jeweils endlich viele haben nichtleeren Schnitt). Es
gibt dann eine maximale Familie F ∗ = (Fν )ν∈N∗ mit F ∗ ⊃ F , die die endliche
Schnitteigenschaft hat. Dies folgt leicht aus dem Lemma von Zorn, da man aus
einer linear geordnete Mengen von Familien mit endlicher Schnitteigenschaft
durch Vereinigung eine obere Schranke gewinnt, die wieder die endliche
Schnitteigenschaft hat.
(A) Sind F1 , . . . , Fn ∈ F ∗ , so ist auch F1 ∩ · · · ∩ Fn in F ∗ wie aus der Maximalität
von F ∗ folgt.
FUNKTIONALANALYSIS
16
(B) Ist S ⊂ X irgendeine Teilmenge mit der Eigenschaft S ∩ Fν , ∅ für jedes
Fν ∈ F ∗ , dann ist S ∈ F ∗ , wie aus der Maximalität folgt.
Sei i ∈ I. Die Familie abgeschlossener Mengen (pi (Fν ))ν∈N∗ hat die endliche
Schnitteigenschaft, also gibt es ein zi in deren Schnitt. Sei
U = Ui1 × · · · × Uin ×
Y
Xi
i,i1 ,...,in
eine offene Umgebung von z = (zi )i∈I . Sei k ∈ {1, . . . , n}. So gibt es zu jedem
Fν ∈ F ∗ ein f ∈ Fν mit pik ( f ) ∈ Uik , also gilt mit Sk = p−1
(Uik ), dass Sk ∩ Fν , ∅ ist.
ik
Nach (B) ist Sk ∈ F ∗ . Nach (A) ist dann U = S1 ∩ · · · ∩ Sn ∈ F ∗ . Insbesondere hat
U also nichtleeren Schnitt mit jedem F ∈ F ∗ , also auch mit jedem F ∈ F . Da die
Umgebungen U dieser Form eine Umgebungsbasis bilden, liegt z im Abschluss
T
von Fν also in Fν für jedes ν ∈ N. Damit ist n∈N Fn nichtleer und X ist
kompakt.
1.8
Das Lemma von Urysohn
Ein Hausdorff-Raum heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt eine kompakte
Umgebung besitzt. Beispiel: Rn . Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen
Raums heisst relativ kompakt, falls der Abschluss A ⊂ X kompakt ist.
Lemma 1.8.1 (Lemma von Urysohn). Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Sei
K ⊂ X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen mit K ∩ A = ∅.
(i) Es existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U von K so dass
K ⊂ U ⊂ U ⊂ X r A.
(ii) Es gibt eine stetige Abbildung mit kompaktem Träger f : X → [0, 1] mit f ≡ 1 auf
K und f ≡ 0 auf A.
Beweis. (a) Sei a ∈ A. Für jedes k ∈ K gibt es eine offene, relativ kompakte
FUNKTIONALANALYSIS
17
Umgebung Uk von k und eine Umgebung Uk,a von a mit Uk ∩ Uk,a = ∅. Die
Familie (Uk )k∈K ist eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, reichen
endlich viele. Sei V die Vereinigung dieser endlich vielen offenen Mengen und
sei W der Schnitt der entsprechenden endlich vielen Uk,a . Dann sind V und W
offene Umgebungen von K und a und V ist relativ kompakt.
A
V
W
K
•
a
Wir wiederholen dieses Argument mit K in Rolle von a und V ∩ A in der Rolle
von K und erhalten disjunkte offene Umgebungen U0 von K und W 0 von V̄ ∩ A.
Die Menge U = U0 ∩ V erfüllt Teil (a) des Lemmas.
(b) Wähle ein U das (a) erfüllt und ersetze A durch X r U. Hierdurch sieht man,
dass es reicht, (b) zu beweisen ohne die Forderung nach kompaktem Träger.
Wähle also wieder ein U, das Teil (a) erfüllt und benenne diese U mit U 1 .
2
Wiederrum nach (a) existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U 1 von U 1
4
c
so dass U 1 ⊂ U 1 ⊂ U 1 ⊂ A . Sei R die Menge aller Zahlen der Gestalt
2
2
2
k
2n
im
Intervall [0, 1). Formal setze U0 = Ac . Durch Iteration der obigen Konstruktion
erhalten wir offene Mengen Ur , r ∈ R, mit K ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Us ⊂ Ac für alle r > s in
R. Wir definieren nun f . Für x ∈ A sei f (x) = 0 und sonst setze
2
FUNKTIONALANALYSIS
18
f (x) = sup{r ∈ R : x ∈ Ur }. Dann gilt f ≡ 1 auf K. Für r > s in R gilt
f (s, r) =
−1
[
Us0 r Us00 ,
s<s0 <s00 <r
dies ist eine offene Menge. Ähnlich sieht man, dass f −1 ([0, s)) und f −1 ((r, 1]) offen
sind. Da die Intervalle der Form (r, s), [0, s) und (r, 1] die Topologie auf [0, 1]
erzeugen, ist f stetig.
1.9
Der Satz von Stone-Weierstraß
Definition 1.9.1. Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Eine stetige
Funktion f : X → C verschwindet im Unendlichen, falls es zu jedem ε > 0 ein
Kompaktum K ⊂ X gibt so dass | f (x)| < ε für jedes x ∈ X r K.
Wir bezeichnen mit C(X) die Menge aller stetigen Funktion von X nach C und
mit C0 (X) die Menge aller stetigen Funktionen, die im Unendlichen
verschwinden. Sie enthält die Menge Cc (X) aller stetigen Funktionen mit
kompakten Trägern.
Lemma 1.9.2. Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Jedes f ∈ C0 (X) ist
beschränkt und die Supremumsnorm
f = sup{| f (x)| : x ∈ X}
X
macht C0 (X) zu einem Banach-Raum, also einem vollständigen normierten
Vektorraum.
Beweis. Sei f ∈ C0 (X). Zu ε = 1 gibt es dann ein Kompaktum K ⊂ X mit | f (x)| < ε
für x ∈ X r K, also ist f ausserhalb eines Kompaktums K beschränkt. Da f stetig
ist, ist f (K) ⊂ C kompakt, also beschränkt, damit ist f überall beschränkt. Daher
ist die Sup-Norm auf C0 (X) wohldefiniert. Für die Vollständigkeit sei ( f j ) j∈N eine
FUNKTIONALANALYSIS
19
Cauchy-Folge. Sei x ∈ X. Wegen | fi (x) − f j (x)| ≤ f j −
fi X ist f j (x) eine
Cauchy-Folge in C, also konvergent gegen eine komplexe Zahl, die wir f (x)
nennen. Dann ist f : X → C eine Funktion und die Folge f j konvergiert
punktweise gegen f . Wir zeigen, dass sie gleichmässig konvergiert. Sei ε > 0,
dann existiert ein j0 so dass f j − fi < ε für alle i, j ≥ j0 gilt. Für j ≥ j0 und x ∈ X
X
gilt dann also
| f j (x) − f (x)| = lim | f j (x) − fi (x)| ≤ ε.
i
Nehmen wir das Supremum über alle x ∈ X, so sehen wir
f j − f ≤ ε
X
für jedes j ≥ j0 , also konvergiert die Folge in der Norm gegen f .
Wir zeigen, dass f stetig ist. Sei hierzu U ⊂ C eine offene Menge. Wir wollen
zeigen, dass f −1 (U) offen ist. Sei also x0 ∈ f −1 (U). Dann ist f (x0 ) ∈ U und es
existiert ein ε > 0 so dass Uε ( f (x0 )) ⊂ U. Es gibt nun ein j mit | f (x) − f j (x)| < ε/3
für jedes x ∈ X. Dann ist V = f j−1 (Uε/3 ( f (x0 ))) offen in X. Wir behaupten
x0 ∈ V ⊂ f −1 (U).
Hieraus folgt die Offenheit von f −1 (U). Zunächst ist | f j (x0 ) − f (x0 )| < ε/3, also
f j (x0 ) ∈ Uε/3 ( f (x0 )) was nichts anderes heisst als x0 ∈ V.
Weiter sei x ∈ V, dann ist | f j (x) − f (x0 )| < ε/3, also
| f (x) − f (x0 )| ≤ | f (x) − f j (x)| + | f j (x) − f j (x0 )|
≤ | f (x) − f j (x)| + | f j (x) − f (x0 )| + | f (x0 ) − f j (x0 )|
<
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Das heisst f −1 (x) ∈ f −1 (Uε (x0 )) ⊂ f −1 (U). Daher ist f −1 (U) offen und also ist f
stetig.
FUNKTIONALANALYSIS
20
Der Beweis, dass f im Unendlichen verschwindet sei dem Leser zur Übung
gelassen.
Definition 1.9.3. Sei X ein topologischer Raum. Eine Kompaktifizierung ist eine
Abbildung c : X → Z, wobei Z ein kompakter Raum ist, c hat dichtes Bild und c
ist ein Homöomorphismus aufs Bild, das heisst c ist injektiv und stetig und die
Umkehrabbildung ist stetig auf dem Bild von c.
Lemma 1.9.4. Zu jedem nichtkompakten Hausdorff-Raum X gibt es eine
Kompaktifizierung X̄ die durch Hinzunahme eines einzigen Punktes entsteht, die
sogenannte Einpunktkompaktifizierung.
Beweis. Sei X ein nichtkompakter topologischer Raum und ∞ sei ein neuer
Punkt. Wir setzen X̄ = X ∪ {∞}. Auf X̄ definieren wir eine Topologie wie folgt:
Eine Teilmenge U ⊂ X̄ ist offen falls
• U ⊂ X und U ist offen in der Topologie von X, oder
• ∞ ∈ U und X r U ist kompakt in X.
Man macht sich leicht klar, dass X̄ kompakt ist. Dass die Inklusion c : X ,→ X̄ ein
Homöomorphismus aufs Bild ist, ist nach Definition klar. Wir zeigen nun, dass X
dicht in X̄ ist. Hierzu reicht es zu zeigen, dass jede Umgebung des Punktes ∞
schon Punkte aus X enthält. Dies ist aber klar, da X selbst nicht kompakt ist.
Schliesslich ist zu zeigen, dass X̄ auch wirklich kompakt ist. Sei hierzu
S
X̄ = i∈I Ui eine offene Überdeckung. Dann existiert ein i0 mit ∞ ∈ Ui0 . Die
Menge K = X r Ui0 muss nach definition kompakt sein und die Ui mit i , i0
bilden eine offene Überdeckung von K (hier wird die Hausdorff-Eigenschaft
gebraucht, warum?), daher reichen endlich viele.
Lemma 1.9.5. Sei X ein Hausdorff-Raum.
• Ist X kompakt, so ist C0 (X) = C(X).
FUNKTIONALANALYSIS
21
• Ist X nichtkompakt, so ist C0 (X) die Menge der stetigen Funktionen f , die durch
f (∞) = 0 zu einer stetigen Funktion auf der Einpunktkompaktifizierung
X̄ = X ∪ {∞} fortgesetzt werden können.
Beweis. Klar nach Konstruktion.
Die Menge C0 (X) ist ein komplexer Vektorraum. Mit f, g ∈ C0 (X) ist aber auch
das punktweise Produkt f g : X → C; x 7→ f (x)g(x) in C0 (X). Dieses Produkt ist
• bilinear: ( f, g) 7→ f g ist linear in jedem Argument, also
(λ f + µ f 0 )g = λ f g + µ f 0 g,
sowie
f (λg + µg0 ) = λ f g + µ f g0
für alle f, f 0 , g, g0 ∈ C0 (X) und λ, µ ∈ C, sowie
• assoziativ: f (gh) = ( f g)h für alle f, g, h ∈ C0 (X).
Ein Vektorraum A zusammen mit einem bilinearen assoziativen Produkt
A × A → A nennt man eine Algebra. Eine Unteralgebra ist ein Unterraum B ⊂ A,
der unter dem Produkt abgeschlossen ist, d.h., der B · B ⊂ B erfüllt. Auch über R
definiert man Algebren in analoger Weise.
Beispiele 1.9.6.
• Mn (C) ist eine C-Algebra und die Menge der oberen
Dreiecksmatrizen ist eine Unteralgebra.
• Ist X ein nichtkompakter Hausdorff-Raum, so ist C0 (X) eine Algebra und
Cc (X) ist eine Unteralgebra.
Satz 1.9.7 (Satz von Stone-Weierstraß).
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und sei A ⊂ C0 (X) eine Unteralgebra so
dass
(a) A trennt Punkte, d.h. für je zwei x , y in X gibt es f ∈ A mit f (x) , f (y),
FUNKTIONALANALYSIS
22
(b) für jedes x ∈ X gibt es ein f ∈ A so dass f (x) , 0, und
(c) A ist abgeschlossen unter komplexer Konjugation, das heisst f ∈ A ⇒ f ∈ A.
Dann ist A dicht in C0 (X).
Diese komplexe Version des Satzes ist eine Konsequenz der folgenden reellen
Version in welcher wir CR
(X) für den reellen Vektorraum der reellwertigen
0
stetigen Funktion aus C0 (X) schreiben.
Satz 1.9.8 (Satz von Stone-Weierstraß über R).
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A ⊂ CR
(X) eine reelle Unteralgebra
0
(X) so dass
von CR
0
(a) A trennt Punkte und
(b) für jedes x ∈ X gibt es ein f ∈ A so dass f (x) , 0.
(X).
Dann ist A dicht in CR
0
Wir zeigen zunächst wie die komplexe Version aus der reellen folgt. Nimm also
an, dass A ⊂ C0 (X) eine Unteralgebra wie im komplexen Stone-Weierstraß ist.
Dann gilt A = AR + iAR , wobei AR = A ∩ CR
(X). Dies folgt aus der Zerlegung
0
f = Re( f ) + i Im( f ) mit Re( f ) = 1 ( f + f¯) und Im( f ) = 1 ( f − f¯) in AR . Da A die
2
2i
R
Bedingungen des komplexen Satzes erfüllt, erfüllt A die des reellen. Die
Anwendung des reellen Stone-Weierstraß liefert dann für den topologischen
Abschluss: AR = CR
(X) und A = AR + iAR = C0 (X).
0
Wir brauchen also nur die reelle Version zu zeigen.
Lemma 1.9.9 (Satz von Dini).
FUNKTIONALANALYSIS
23
Sei X ein kompakter topologischer Raum und sei ( fn )n∈N eine monoton wachsende Folge
stetiger Funktionen fn : X → R, die punktweise gegen eine stetige Funktion f : X → R
konvergiert. Dann konvergiert die Folge ( fn ) gleichmässig gegen f .
Beweis. Sei ε > 0 gegeben. Für jedes x ∈ X existiert ein nx ∈ N mit
f (x) − ε < fn (x) ≤ f (x) für jedes n ≥ nx . Sei Ux := {y ∈ K : f (y) − ε < fnx (y)}. Dann
ist {Ux : x ∈ X} eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist, gibt es
S
x1 , . . . , xl ∈ X mit X = lj=1 Ux j . Dann gilt k f − fn kX < ε für jedes
n ≥ N = max{nt1 , . . . , ntl }.
Lemma 1.9.10. Sei A eine Unteralgebra von CR
(X). Liegt f im topologischen
0
Abschluss A von A, dann liegt auch | f | in A.
Sind f, g ∈ A, dann folgt max( f, g), min( f, g) ∈ A.
Beweis. Zunächst machen wir uns klar, dass es reicht, f ∈ A zu betrachten, denn
ist f ∈ A, so existiert eine Folge fn in A mit f = limn fn . Also auch
| f | = | lim fn | = lim | fn |,
n
n
da die Betragsfunktion stetig ist. Sind also alle | fn | in A, so auch | f |.
Es bleibt also der Fall 0 , f ∈ A. Indem wir zu
1
k f kX
f übergehen, können wir
annehmen, dass f (X) ⊂ [−1, 1], also f (x)2 ∈ [0, 1] für jedes x ∈ X. Induktiv
definieren wir eine Folge (pn ) von Polynomen auf [0, 1] so dass p1 ≡ 0 und
1
pn+1 (t) = pn (t) − (pn (t)2 − t),
2
t ∈ [0, 1].
√
Wir behaupten dass die Folge (pn (t)) monoton gegen die Wurzelfunktion t
√
wächst. Hierzu zeigen wir per Induktion, dass 0 ≤ pn (t) ≤ t und pn (0) = 0 für
FUNKTIONALANALYSIS
24
jedes n ∈ N. Dies ist klar für n = 1 und für n + 1 folgt es aus
√
√
√
√
1
t = (pn (t) − t) − (pn (t) − t)(pn (t) + t)
2
√ √ 1
= (pn (t) − t) 1 − (pn (t) + t) ≤ 0,
2
√
√
√
da pn (t) − t ≤ 0 und pn (t) + t ≤ 2 t ≤ 2. Also, da
pn+1 (t) −
pn+1 (t) − pn (t) = 12 (t − pn (t)2 ) ≥ 0, ist die Folge (pn (t)) monoton wachsend und
√
√
beschränkt durch t. Sie konvergiert also gegen eine Funktion 0 ≤ g(t) ≤ t.
Dann haben wir
1
1
0 = g(t) − g(t) = lim(pn+1 (t) − pn (t)) = lim (t − pn (t)2 ) = (t − g(t)2 ),
n
n 2
2
√
mit anderen Worten g(t) = t. Da g stetig ist, konvergiert die Folge (pn ) nach
Dinis Satz gleichmässig auf [0, 1] gegen g.
Sei fn (x) = pn ( f (x)2 ) für x ∈ X. Dann konvergiert ( fn ) gleichmässig gegen
p
f 2 = | f | auf X. Da aber fn eine Linearkombination von Potenzen von f ist, liegt
es in A für jedes n ∈ N. Damit also | f | ∈ A.
Die letzte Aussage folgt, da A ebenfalls eine reelle Algebra ist und
1
max f, g = ( f + g + | f − g|)
2
sowie
1
min( f, g) = ( f + g − | f − g|).
2
Beweis des Satzes von Stone-Weierstraß. Wir zeigen zunächst, dass es zu jedem
Paar x, y ∈ X mit x , y ein g ∈ A gibt mit g(x) , g(y) und g(x), g(y) , 0. Wähle
g1 ∈ A mit g1 (x) , g1 (y). Ist g1 (x)g1 (y) , 0, so setze g = g1 und fertig. Andernfalls
nimm an, dass etwa g1 (y) , 0. Dann ist g1 (x) = 0. Wähle g2 ∈ A mit g2 (x) , 0.
Dann ist g2 (x) = g2 (y) oder g2 (y) = 0. Im Falle dass g2 (x) = g2 (y) definiere
g = g1 + g2 und falls g2 (y) = 0 setze g = g1 + µg2 mit µ ∈ R so dass
g1 (y) , µg2 (x) , 0. In beiden Fällen sieht man, dass 0 , g(x) , g(y) , 0.
Im nächsten Schritt zeigen wir, dass es zu jedem Paar x, y ∈ X mit x , y und je
FUNKTIONALANALYSIS
25
zwei α, β ∈ R eine Funktion f ∈ A gibt mit f (x) = α und f (y) = β. Zu diesem
Zweck wähle ein g wie oben. Wir machen den Ansatz f = λg + µg2 mit λ, µ ∈ R.
Dann ist f (x) = α, f (y) = β äquivalent zu

   
 g(x) g(x)2  λ α

   =   .

 
2  
g(y) g(y) µ
β


 g(x) g(x)2 
 = g(x)g(y) g(y) − g(x) , 0
Aber wegen 0 , g(x) , g(y) , 0 gilt det 

g(y) g(y)2
und daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.
Schliesslich sei h ∈ CR
(X) gegeben und sei ε > 0. Wir müssen zeigen, dass es ein
0
f ∈ A gibt mit kh − f kX < ε. Für jedes Paar x, y ∈ X mit x , y wählen wir gx,y ∈ A
mit h(x) = gx,y (x) und h(y) = gx,y (y). Für ein festes y definieren wir
Ux := {z ∈ X : h(z) < gx,y (z) + ε}.
Dann ist Ux eine offene Umgebung von x und X r Ux = {z ∈ X : (h − gx,y )(z) ≥ ε}
ist kompakt, da h − gx,y im Unendlichen verschwindet. Also, wenn wir x1 ∈ X
S
S
festhalten, gibt es x2 , . . . , xl ∈ X r Ux1 mit X r Ux1 ⊂ lj=2 Ux j , so dass X ⊂ lj=1 Ux j .
Setze
f y = max(gx1 ,y , . . . , gxl ,y ).
Nach Lemma 1.9.10 liegt f y in A und nach Konstruktion ist h(z) − f y (z) < ε für
jedes z ∈ X, denn für z ∈ Ux j gilt h(z) < gx j ,y (z) + ε ≤ f y (z) + ε.
Für y ∈ X sei
V y = {z ∈ X : f y (z) < h(z) + ε}.
Da f y (y) = h(y), ist dies eine offene Umgebung von y, und wie oben zeigen wir,
S
dass es y1 , . . . , yk ∈ X gibt mit X ⊂ kj=1 V y j . Sei
f = min( f y1 , . . . , f yk ).
FUNKTIONALANALYSIS
26
Dann ist f ∈ A und man sieht leicht, dass f (z) − ε < h(z) < f (z) + ε für jedes
z ∈ X.
Beispiel 1.9.11. Der komplexe Vektorraum der Laurent-Polynome, also aller
Funktionen der Form
f (z) =
n
X
c jz j
j=−n
liegt dicht im Raum aller stetigen Funktionen auf T = {z ∈ C : |z| = 1}.
Wohlgemerkt, die gleichmässige Konvergenz der Fourier-Reihe haben wir nur
für stückweise glatte Funktionen.
1.10
Der Satz von Baire
Eine Teilmenge D eines topologischen Raums X heisst dicht in X, falls X der
Abschluss D von D ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn U ∩ D , ∅ für jede
offene Teilmenge U ⊂ X gilt.
Definition 1.10.1. Ein topologischer Raum X heisst Baire-Raum oder von
zweiter Kategorie, falls für jede abzählbare Familie (Un )n∈N offener dichter
Teilmengen von X der Schnitt D = ∩n∈N Un wieder eine dichte Teilmenge ist.
Proposition 1.10.2. (a) Ist X ein Baire-Raum, so ist jede offene Teilmenge U wieder ein
Baire-Raum.
(b) Ist X ein Baire-Raum, so existiert für jede abzählbare Familie (An )n∈N
abgeschlossener Mengen mit X = ∪n∈N An schon ein Index n0 , so dass An0 eine
nichtleere offene Menge enthält.
Beweis. (a) ist klar indem wir alles mit U schneiden. Wir beweisen (b). Sei X ein
Baire-Raum und X = ∪n∈N An wie in der Proposition. Angenommen, keine der
Mengen An enthält eine nicht-leere offene Menge. Sei Un = Acn das Komplement.
FUNKTIONALANALYSIS
27
Es folgt U ∩ Un , ∅ für jede offene Menge U, also ist Un dicht in X. Da X ein
T
Baire-Raum ist, ist D = n Un dicht in X. Es folgt
X,D =
c
[
n
Unc
=
[
An = X.
n
Dies ist ein Widerspruch!
Satz 1.10.3 (Baire). Jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum und jeder vollständige
metrische Raum ist ein Baire-Raum.
Beweis. Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum oder ein vollständiger
metrischer Raum. Seien V1 , V2 , . . . dichte offene Teilmengen von X. Wir
definieren eine Folge B0 ⊃ B1 ⊃ . . . offener Mengen wie folgt: Sei B0 eine
beliebige offene Menge in X. Sei n ≥ 1 und eine offene Menge Bn−1 gegeben. Da
Vn dicht ist, existiert eine offene Menge Bn , ∅ mit
Bn ⊂ Vn ∩ Bn−1 .
Ist X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, kann man Bn als kompakt
voraussetzen. Ist X ein vollständiger metrischer Raum, kann man Bn als einen
T
Ball vom Radius < 1/n wählen. Sei K = ∞
n=1 Bn . Ist X ein lokalkompakter HDR,
folgt K , ∅ nach der endlichen Schnitteigenschaft. Ist X ein vollständiger
metrischer Raum, dann bilden die Mittelpunkte der Bälle Bn eine Cauchy-Folge,
die konvergiert gegen einen Punkt von K, also gilt K , ∅ in jedem Fall. Es ist
T
K ⊂ B0 und K ⊂ Vn für jedes n, damit B0 ∩ n Vn , ∅.
Korollar 1.10.4. Ein Banach-Raum, der eine abzählbare Basis besitzt, ist
endlich-dimensional.
Beweis. Sei V ein Banach-Raum der von v1 , v2 , . . . aufgespannt wird. Sei An der
von v1 , . . . vn aufgespannte Unterraum. Dieser ist als endlich-dimensionaler
FUNKTIONALANALYSIS
28
normierter Raum selbst vollständig, also abgeschlossen in V. Ferner gilt
S
V = n An , also enthält ein An eine offene Teilmenge von V. Jede offene
Teilmenge von V enthält allerdings eine Basis, also ist V = An .
1.11
Netze
In der Topologie metrischer Räume spielt Konvergenz von Folgen eine wichtige
Rolle. In allgemeinen topologischen Räumen reichen Folgen nicht mehr aus,
man verallgemeinert den Folgenbegriff zum Begriff des Netzes.
Definition 1.11.1. Sei I eine Menge. Eine partielle Ordnung auf I ist eine
Relation, die als “≤” geschrieben wird, so dass für alle x, y, z ∈ I gilt
• x ≤ x,
• x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y,
• x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z.
(≤ ist reflexiv)
(≤ ist anti-symmetrisch)
(≤ ist transitiv)
Bemerkung. Ist “≤” eine partielle Ordnung, so ist die umgekehrte Relation
x4y
⇔
y≤x
ebenfalls eine partielle Ordnung.
Beispiele 1.11.2.
• Die natürliche “kleiner-gleich”-Relation ≤ auf R ist eine
partielle Ordnung.
• Sei X eine Menge. Auf der Menge P(X) aller Teilmengen von X gibt es eine
natürliche Ordnung durch Inklusion, also für A, B ⊂ X,
A ≤ B ⇔ A ⊂ B.
FUNKTIONALANALYSIS
29
• Sei X ein topologischer Raum und sei x ∈ X ein Punkt. Die Menge aller
offenen Umgebungen von x ist partiell geordnet durch Inklusion, aber auch
durch die umgekehrte Inklusion, also durch
U≥V
⇔
U ⊂ V.
Definition 1.11.3. Eine partiell geordnete Menge (I, ≤) heisst gerichtet, falls je
zwei Elemente eine obere Schranke haben, falls es also zu je zwei x, y ∈ I ein z ∈ I
gibt, so dass x ≤ z und y ≤ z gilt. Ist I gerichtet, so hat jede endliche Teilmenge
eine obere Schranke, was man leicht durch eine Induktion einsieht.
Beispiele 1.11.4.
• Die natürlichen Zahlen sind mit der
“kleiner-gleich”-Relation gerichtet.
• Ist X eine Menge, so ist die Menge M aller endlichen Teilmengen mit der
Inklusion gerichtet, denn für zwei endliche Mengen E, F ⊂ X ist E ∪ F eine
obere Schranke in M.
• Sei X ein topologischer Raum und sei x ∈ X ein Punkt. Die Menge Ux aller
Umgebungen von x ist mit der umgekehrten Inklusion gerichtet, denn für
U, V ∈ Ux ist U ∩ V eine obere Schranke.
Definition 1.11.5. Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Abbildung
α : I → X,
wobei I eine gerichtete Menge ist. Man schreibt die Bilder als αi , i ∈ I.
Beispiel 1.11.6. Jede Folge ist ein Netz, wobei man N mit der natürlichen
“kleiner-gleich”-Relation versieht.
Definition 1.11.7. Ein Netz α konvergiert gegen einen Punkt x ∈ X, falls es zu
jeder Umgebung U von x einen Index i0 ∈ I gibt so dass
i ≥ i0 ⇒ αi ∈ U.
FUNKTIONALANALYSIS
30
In dem Fall einer Folge, also I = N, stimmt dies mit der Definition der
Konvergenz einer Folge überein.
A priori kann ein Netz gegen mehrere Punkte konvergieren. Den Extremfall
stellt die triviale Topologie dar, in der jedes Netz gegen jeden Punkt konvergiert.
Die Eindeutigkeit der Limiten ist äquivalent zur Hausdorff-Eigenschaft.
Satz 1.11.8. Ein topologischer Raum X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn
Limiten eindeutig sind, d.h., wenn jedes Netz höchstens einen Grenzwert hat.
Beweis. Sei X ein Hausdorff-Raum und sei (xi ) ein Netz in X, das sowohl gegen
x ∈ X als auch gegen y ∈ X konvergiert. Es ist zu zeigen, dass x = y ist.
Angenommen, sie sind verschieden. Wegen der Hausdorff-Eigenschaft gibt es
offene Mengen U 3 x und V 3 y so dass U ∩ V = ∅. Da (xi ) gegen x und y
konvergiert, gibt es einen Index i so dass xi ∈ U und xi ∈ V, ein Widerspruch!
Also ist der Limes eines Netzes in der Tat eindeutig bestimmt.
Für die Rückrichtung sei ein topologischer Raum X gegeben, in dem alle Limiten
eindeutig sind. Es ist zu zeigen, dass X ein Hausdorff-Raum ist. Seien also x, y in
X mit der Eigenschaft, dass je zwei Umgebungen U von x und V von y einen
nichtleeren Schnitt haben. Es ist zu zeigen, dass x = y gilt. Sei S die Menge aller
Paare (U, V) so dass U eine offene Umgebung von x ist und V eine von y. Die
Menge S wird partiell geordnet durch umgekehrte Inklusion, d.h.,
(U, V) ≤ (U0 , V 0 )
⇔
U ⊃ U0 und V ⊃ V 0 .
Die Menge S ist gerichtet, da der Schnitt zweier Umgebungen wieder eine
Umgebung ist. Für jedes (U, V) ∈ S wähle ein Element zUV in U ∩ V. Dann ist zUV
ein Netz mit Indexmenge S. Da zUV sowohl in U als auch in V liegt, konvergiert
dieses Netz gegen x und gegen y. Wegen der Eindeutigkeit der Limiten ist
x = y.
FUNKTIONALANALYSIS
31
Definition 1.11.9. Eine Abbildung φ : J → I zwischen zwei gerichteten Mengen
heisst streng cofinal, falls es zu jedem i0 ∈ I ein j0 ∈ J gibt, so dass für jedes j ≥ j0
gilt φ( j) ≥ i0 . Das bedeutet, dass die Abbildung φ nicht monoton zu sein braucht,
sie kann vor und zurückspringen, aber sie soll ”im Wesentlichen” monoton sein.
Definition 1.11.10. Sei α : I → X ein Netz. Ein Teilnetz ist ein Netz β : J → X
zusammen mit einer Faktorisierung
J
φ
β
/I
α
X
so dass die Abbildung φ streng cofinal ist.
Mit anderen Worten, Teilnetze werden gegeben durch streng cofinale
Abbildungen in die Indexmenge I.
Konvergiert α gegen x ∈ X, dann konvergiert jedes Teilnetz ebenfalls gegen
x ∈ X.
Satz 1.11.11. Sei X ein topologischer Raum und sei A ⊂ X. Der Abschluss A ist
gleich der Menge aller Limiten von Netzen in A.
Mit anderen Worten, ein Punkt x ∈ X liegt genau dann in A , wenn es ein Netz
(αi )i∈I gibt mit αi ∈ A, für alle i ∈ I, welches in X gegen x konvergiert.
Beweis. Der Abschluss A ist die Menge aller x ∈ X so dass A ∩ U , ∅ für jede
Umgebung von x gilt. Sei also x ∈ A und U eine Umgebung von x. Dann ist
A ∩ U nichtleer. Wähle ein Element αU in A ∩ U. Sei I die Menge aller
Umgebungen U von x. Die Menge I sei versehen mit der partiellen Ordnung der
umgekehrten Inklusion
U ≤ U0 ⇔ U ⊃ U0 .
FUNKTIONALANALYSIS
32
Dann ist der Schnitt zweier Umgebungen eine obere Schranke für beide, also ist
die Menge I gerichtet. Das Netz (αU )U∈I konvergiert nach Konstruktion gegen x.
Für die andere Richtung sei x ∈ X und αi ∈ A, i ∈ I ein Netz, das gegen x
konvergiert. Sei U eine Umgebung von x. Dann existiert ein i ∈ I mit αi ∈ U, also
ist U ∩ A , ∅. Da U beliebig ist, folgt x ∈ A.
Satz 1.11.12. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen ist genau
dann stetig, wenn für jedes Netz (x j ) in X, das konvergiert, das Bildnetz f (x j )
ebenfalls konvergiert. In diesem Falle gilt: konvergiert x j gegen x, so konvergiert f (x j )
gegen f (x).
Beweis. Der folgende Beweis ist fast wörtlich derselbe wie für Folgen in R. Sei f
stetig und sei (xi )i∈I ein gegen x ∈ X konvergentes Netz. Es ist zu zeigen, dass
f (xi ) → f (x). Sei hierzu U eine offene Umgebung von f (x), dann ist V = f −1 (U)
eine offene Umgebung von x. Daher existiert ein i0 so dass xi ∈ V für jedes i ≥ i0 ,
also f (xi ) ∈ U für jedes i ≥ i0 , also konvergiert f (xi ) gegen f (x).
Für die umgekehrte Richtung nimm an, dass f die Limes-Bedingung erfüllt. Sei
A ⊂ Y abgeschlossen und sei B ⊂ X das Urbild zu A. Es ist zu zeigen, dass B
abgeschlossen ist. Sei hierzu bi ein Netz in B, konvergent gegen x ∈ X. Dann
konvergiert das Netz f (xi ) ∈ A gegen f (x). Da A abgeschlossen ist, folgt f (x) ∈ A,
also x ∈ f −1 (A) = B, damit ist B abgeschlossen.
Satz 1.11.13. Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz
in X ein konvergentes Teilnetz hat.
Beweis. Sei X kompakt und sei (xi )i∈I ein Netz in X. Für jedes i ∈ I sei Ai der
Abschluss der Menge {x j : j ≥ i}. Jeder endliche Schnitt von Mengen der Form Ai ,
FUNKTIONALANALYSIS
33
i ∈ I ist nichtleer, also ist nach der endlichen Schnitteigenschaft
\
Ai , ∅.
i∈I
Sei x ein Element dieses Schnittes. Das bedeutet, dass man zu jeder Umgebung
U von x und jedem Index i ∈ I einen Index φ(U, i) = i0 ≥ i findet, so dass
xi0 = xφ(U,i) ∈ U. Sei J die Menge aller Paare (U, i), wobei U eine Umgebung von x
ist und i ∈ I. Auf J ist
(U, i) ≤ (U0 , i0 )
⇔
U ⊃ U0 und i ≤ i0
eine partielle Ordnung. Es wird nun gezeigt, dass die Abbildung φ : J → I streng
cofinal ist. Hierzu sei i ∈ I und j = (U, i) ∈ J ein Element mit i als zweitem
Argument. Nach Konstruktion ist φ(j0 ) ≥ i für jedes j0 ≥ j, also ist φ streng
cofinal. Um einzusehen, dass das konstruierte Teilnetz φ : J → X konvergiert,
wählt man eine Umgebung U von x und ein Element j0 = (U, i) ∈ J. Für jedes
j ≥ j0 gilt dann φ( j) ∈ U, also hat (xi ) ein konvergentes Teilnetz.
Für die Rückrichtung sei angenommen, dass jedes Netz ein konvergentes
Teilnetz hat. Sei A ein System abgeschlossener Teilmengen so dass jeder
endliche Schnitt nichtleer ist. Es ist zu zeigen, dass der Schnitt aller Elemente
von A nichtleer ist. Hierzu sei B die Menge aller endlichen Schnitte von
Elementen von A. Mit der Ordnung B1 ≥ B2 ⇔ B1 ⊂ B2 ist die Menge B
gerichtet. Für jedes B ∈ B sei ein xB ∈ B ausgewählt. Dann ist (xB )B∈B ein Netz in
X und nach der Annahme existiert ein Teilnetz (xB j ) j∈J das gegen ein x ∈ X
konvergiert. Aber dann gilt x ∈ B für jedes B ∈ B, denn für festes B kann man j0
so wählen, dass B j ⊂ B für jedes j ≥ j0 gilt. Hieraus folgt xB j ∈ B für alle j ≥ j0 . Da
B abgeschlossen ist, liegt der Limes x von (xB j ) ebenfalls in B.
Kapitel 2
Normierte Räume
2.1
Definition
In dieser Vorlesung werden nur Vektorräume über R oder C betrachtet. Wir
schreiben daher K für den Grundkörper, also
K = R oder C.
Lemma 2.1.1. (a) Ist V ein R-Vektorraum, so ist
VC = V ⊗R C = V + iV
ein komplexer Vektorraum, der die Komplexifizierung von V genannt wird.
(b) Ist V ein C-Vektorraum und ist f : V → R eine R-lineare Abbildung, dann existiert
genau eine C-lineare Abbildung g : V → C so dass
f = Re(g).
Beweis. (a) ist klar. Für (b) Setze g(v) = f (v) − i f (iv). Wir wollen zeigen, dass g
komplex-linear ist. Da g schon reell-linear ist, reicht es zu zeigen, dass
34
FUNKTIONALANALYSIS
35
g(iv) = ig(v) für jedes v ∈ V gilt. Hierzu rechnen wir
g(iv) = f (iv) − i f (iiv) = f (iv) + i f (v)
= i( f (v) − i f (iv)) = ig(v)
Nun zur Eindeutigkeit von g: Sei h eine weitere komplex-lineare Abbildung mit
Re(h) = f . Sei τ = g − h, dann folgt Re(τ) = 0. Ist v ∈ V, so folgt dann Re(τ(v)) = 0
und da dies auch für iv gilt, folgt
0 = Re(τ(iv)) = Re(iτ(v)) = − Im(τ(v)),
also ist τ(v) = 0.
Ein normierter Vektorraum ist ein K-Vektorraum V mit einer Abbildung
||·|| : V → [0, ∞) so dass für v, w ∈ V und α ∈ K gilt:
• ||v|| = 0 ⇔ v = 0
(Definitheit)
• ||αv|| = |α| ||v||
(Multiplikativität)
• ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||
(Dreiecksungleichung).
Mit der Metrik
d(v, w) = ||v − w||
wird V dann ein metrischer Raum. Ein normierter Raum, der vollständig ist, in
dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heisst Banach-Raum.
Beispiele 2.1.2.
• Ist X ein metrischer Raum, dann ist der Vektorraum Cb (X)
aller beschränkten stetigen Funktionen f : X → K ein Banach-Raum mit der
Norm
f = sup | f (x)|.
X
x∈X
FUNKTIONALANALYSIS
36
Beweis. Die Normeigenschaften sind trivial. Es ist Vollständigkeit zu zeigen.
Sei also ( f j ) eine Cauchy-Folge. Dann gilt für jedes x ∈ X,
| f j (x) − fk (x)| ≤ sup | f j (y) − fk (y)| = f j − fk X .
y∈X
Also ist ( f j (x)) j∈N eine Cauchy-Folge in K, konvergiert also. Nennen wir den
Limes f (x). Sei ε > 0, dann gibt es j0 so dass für alle j, k ≥ n0 und alle x ∈ X
gilt
| f j (x) − fk (x)| < ε.
Mit k → ∞ folgt, dass für jedes j ≥ j0 und jedes x ∈ X gilt
| f j (x) − f (x)| ≤ ε.
Das bedeutet aber, dass f j gleichmässig gegen f konvergiert. Damit ist f
stetig. Es ist leicht einzusehen, dass f auch beschränkt ist, also f ∈ Cb (X),
womit die Vollständigkeit gezeigt wäre.
• Für jedes 1 ≤ p ≤ ∞ und jeden Maßraum (X, µ) ist Lp (µ) ein Banach-Raum.
Dies wurde in Analysis 3 gezeigt.
2.2
Stetige lineare Abbildungen
Definition 2.2.1. Für lineare Abbildung T : V → W zwischen normierten
Räumen sei
||T||op = sup ||T(v)|| = sup
||v||=1
v,0
||T(v)||
∈ [0, ∞]
||v||
die Operatornorm. Die Abbildung T heisst beschränkte lineare Abbildung,
falls ||T||op < ∞.
Man spricht statt von einer linearen Abbildung auch von einem linearen
Operator. Ist der Zielraum W gleich K, so nennt man T ein lineares Funktional.
FUNKTIONALANALYSIS
37
Satz 2.2.2. (a) Die Operatornorm ist eine solche, d.h., es gilt
• ||T|| = 0 ⇔ T = 0
(Definitheit)
• ||λT|| = |λ| ||T||
(Multiplikativität)
• ||S + T|| ≤ ||S|| + ||T||
(Dreiecksungleichung).
(b) Sind S, T komponierbar, so gilt
||S ◦ T|| ≤ ||S|| ||T|| .
(c) Für jeden linearen Operator T : V → W zwischen normierten Räumen und jedes
v ∈ V gilt
||T(v)|| ≤ ||T||op ||v|| .
Ein linearer Operator T ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.
Beweis. Für die Dreiecksungleichung rechnen wir
||S + T|| = sup ||(S + T)(v)|| = sup ||S(v) + T(v)||
||v||=1
||v||=1
≤ sup ||S(v)|| + ||T(v)|| ≤ sup ||S(v)|| + sup ||T(v)|| = ||S|| + ||T|| .
||v||=1
||v||=1
||v||=1
(b) Es sei ohne Einschränkung T , 0. Es gilt
||S ◦ T|| = sup
v,0
||S(T(v))||
||S(T(v))||
= sup
||v||
||v||
T(v),0
||S(T(v))|| ||T(v)||
||S(w)||
||Tv||
≤ sup
sup
= ||S|| ||T|| .
||v||
w,0 ||w||
v,0 ||v||
T(v),0 ||T(v)||
= sup
(c) Die Ungleichung ist klar. Wir zeigen zunächst, dass eine lineare Abbildung
T : V → W zwischen normierten Räumen genau dann stetig ist, wenn sie im
FUNKTIONALANALYSIS
38
Nullpunkt stetig ist. Ist T stetig, dann ist T stetig in Null. Sei umgekehrt T linear
und stetig in Null. Sei v j → v eine in V konvergente Folge, dann konvergiert
v j − v gegen Null, also konvergiert auch T(v j ) − T(v) = T(v j − v) gegen Null, d.h.
T(v j ) geht gegen T(v), somit ist T in v stetig und da v beliebig ist, ist T schlechthin
stetig.
Wir zeigen, dass ein stetiger Operator beschränkt ist. Sei also T stetig und nimm
an, er ist nicht beschränkt. Dann existiert eine Folge v j von Vektoren mit v j = 1
und T(v j ) → ∞. Nehmen wir an, dass T(v j ) , 0 für alle j, dann geht die Folge
1
||T(v j )||
v j gegen Null, also folgt




1
1
T(v j ) = T  v j  → 0.
T(v j )
T(v j )
Diese Vektoren haben aber Norm 1, Widerspruch! Sei umgekehrt T beschränkt
und v j eine Nullfolge, das heisst, dass v j gegen Null geht. Dann gilt
T(v j ) ≤ ||T||op v j → 0.
Also geht T(v j ) gegen Null, T ist also stetig in Null, also stetig.
2.3
Hilbert-Räume
Erinnerung: Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine
Abbildung h·, ·i : V × V → C mit folgenden Eigenschaften:
• Für w ∈ V ist die Abbildung V → K; v 7→ hv, wi linear.
• Es gilt hw, vi = hv, wi für alle v, w ∈ V.
• Für v ∈ V ist hv, vi ≥ 0 und hv, vi = 0 ⇔ v = 0.
Definition 2.3.1. Ein Vektorraum V mit einem Skalarprodukt h., .i heisst
FUNKTIONALANALYSIS
39
Prä-Hilbert-Raum.
Beispiele 2.3.2. • Das einfachste Beispiel nach dem Nullraum ist V = K mit
α, β = αβ̄. Oder allgemeiner V = Ck mit k ∈ N und
hv, wi = vt w̄,
• Sei I eine Menge und sei `2 (I) der L2 -Raum, wenn man I mit dem Zählmaß
ausstattet. Dann ist `2 (I) die Menge aller Funktionen f : I → C mit
X
| f (i)|2 < ∞.
i∈I
Insbesondere ist für jedes f ∈ `2 (I) die Menge {i ∈ I : f (i) , 0} abzählbar. Das
Skalarprodukt ist gegeben durch
X
f, g =
f (i)g(i).
i∈I
Die Norm auf einem Prä-Hilbert-Raum V ist definiert durch
||v|| =
p
hv, vi,
v ∈ V.
In der linearen Algebra wird bewiesen, dass dies in der Tat eine Norm ist.
Ausserdem wird dort die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
| hv, wi | ≤ ||v|| ||w||
für v, w ∈ V bewiesen.
Lemma 2.3.3. Ist V ein normierter Raum, dann ist die Norm ||.|| : V → R eine stetige
Abbildung.
Ist V ein Prä-Hilbert-Raum, dann ist das Skalarprodukt V × V → C eine stetige
Abbildung.
FUNKTIONALANALYSIS
40
Beweis. Es sei v j → v eine konvergente Folge, dann ist gilt | v j − ||v|| | ≤ v j − v
eine Nullfolge.
Ist V ein Hilbert-Raum und sind v j → v und w j → w konvergent in V, so gilt
nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung,
D
E
D
E D
E
D
E
| v j , w j − hv, wi | ≤ | v j , w j − v j , w | + | v j , w − hv, wi |
D
E
D
E
= | v j , w j − w | + | v j − v, w |
≤ v j w j − w + v j − v ||w||
Da v j konvergent ist, ist diese Folge beschränkt, also geht die rechte Seite (und
damit die linke) gegen Null.
Definition 2.3.4. Ein Hilbert-Raum ist ein Prä-Hilbert-Raum, der vollständig
bzgl der induzierten Norm ist.
Proposition 2.3.5. Jeder endlich-dimensionale Prä-Hilbert-Raum ist vollständig.
Beweis. In der Linearen Algebra wird gezeigt, dass jeder endlich-dimensionale
Prä-Hilbert-Raum zu Kn isomorph ist, wobei n die Dimension ist. Dieser Raum
ist vollständig.
Satz 2.3.6 (Polarisierung). Sei h., .i ein Skalarprodukt mit Norm ||.||. Im Fall K = R
gilt:
hv, wi =
1
||v + w||2 − ||v||2 − ||w||2 .
2
Im Fall K = C ist
1
2
2
2
2
hv, wi = ||v + w|| − ||v − w|| + i ||v + iw|| − i ||v − iw|| .
4
Insbesondere ist also das Skalarprodukt durch die Norm eindeutig festgelegt.
FUNKTIONALANALYSIS
41
Beweis. Man setzt rechts für die Norm ||u||2 jeweils hu, ui ein und nutzt die
Sesquilinearität aus.
In der Tat, diese Polarisierungsidentitäten nutzen nur die Sesquilinearität aus
und nicht die Symmetrie, bzw Antisymmetrie. Wir formulieren das folgende
Korollar nur für C.
Korollar 2.3.7. Seien V, Z Vektorräume über C und sei
b:V×V →Z
eine sesquilineare Abbildung. Sei D(v) = b(v, v) die Diagonale. dann gilt für alle
v, w ∈ V,
b(v, w) =
1
[D(v + w) − D(v − w) + iD(v + iw) − iD(v − iw)] ,
4
also ist b durch D eindeutig festgelegt.
Beweis. Wie im Satz.
Definition 2.3.8. Eine lineare Isometrie zwischen zwei normierten Räumen V, W
ist eine lineare Abbildung T : V → W mit
||Tv|| = ||v||
für jeden Vektor v ∈ V. Eine lineare Isometrie ist injektiv und ist sie zusätzlich
surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine lineare Isometrie. In dem
Fall heisst sie isometrischer Isomorphismus
Sind V und W Hilbert-Räume und ist T : V → W eine Isometrie, so folgt
hTv, Twi = hv, wi
für alle w, w ∈ V. Dies folgt aus den Polarisierungsidentitäten (Satz 2.3.6).
FUNKTIONALANALYSIS
42
Definition 2.3.9. Ein Orthonormalsystem oder ONS in einem Hilbert-Raum H
ist eine Familie von Vektoren (ei )i∈I für die gilt


D
E 

1 falls i = j,
ei , e j = 


0 sonst.
Ein Orthonormalsystem (ei )i∈I heisst vollständiges ONS, oder
Orthonormalbasis ONB, falls der Orthogonalraum der ei aufgespannte
Untervektorraum dicht liegt in H.
Satz 2.3.10. Jeder Hilbert-Raum H hat eine Orthonormalbasis. Für jede ONB (ei )i∈I
und Vektoren v, w ∈ H gilt: Ist ci (v) = hv, ei i , so sind nur abzählbar viele dieser
Koeffizienten ungleich Null und es gilt
v=
X
ci (v)ei ,
i∈I
wobei die Reihe in jeder Reihenfolge konvergiert. Es gilt
X
|ci (v)| = ||v||
2
2
oder, allgemeiner,
hv, wi =
i∈I
Ist umgekehrt v =
X
ci (v)ci (w)
i∈I
P
i∈I ci ei
eine konvergente Reihe, dann folgt ci = ci (v), d.h., die
Koeffizienten sind eindeutig.
Sind ferner beliebige komplexe Koeffizienten (ci )i∈I gegeben, so dass nur abzählbar
P
P
viele ungleich Null sind und i∈I |ci |2 < ∞ gilt, dann konvergiert die Reihe i∈I ci ei
in H in jeder Reihenfolge mit demselben Grenzwert.
Korollar 2.3.11. Man kann die Aussagen des Satzes auch so ausdrücken: Die Abbildung
v 7→ (i 7→ ci (v)) ist ein isometrischer Isomorphismus von Hilbert-Räumen H −→ `2 (I).
Beweis des Satzes. Mit dem Lemma von Zorn beschafft man sich ein maximales
FUNKTIONALANALYSIS
43
ONS (ei )i∈I . Dessen Orthogonalraum
(ei )⊥
i∈I = {v ∈ H : hv, ei i = 0 ∀i∈I }
muss Null sein, denn ist w , 0 im Orthogonalraum, dann ist f = w/ ||w|| ein
neuer Vektor, um den man das ONS erweitern kann, was der Maximalität
widerspricht. Sei also (ei )i∈I ein ONS mit trivialem Orthogonalraum und sei
v ∈ H. Für eine endliche Teilmenge E ⊂ I setze
vE =
X
ci (v)ei .
i∈E
Dann gilt hvE , vi = hvE , vE i =
P
2
i∈E |ci (v)| ,
wie man leicht sieht. Also ist
||v − vE ||2 = hv − vE , v − vE i
= ||v|| − hv, vE i − hvE , vi + hvE , vE i = ||v|| −
2
2
X
|ci (v)|2 .
i∈E
Da dies ≥ 0 ist, folgt
P
2
2
i∈E |ci (v)| ≤ ||v|| . Also
P
i∈I
|ci (v)|2 ≤ ||v||2 . Damit folgt, dass
nur abzählbar viele ci (v) ungleich Null sind und dass die Reihe der |ci (v)|2
P
konvergiert. Wir wollen zeigen, dass die Reihe i∈I ci (v)ei in jeder Reihenfolge
konvergiert. Sei also c1 , c2 , . . . eine Nummerierung der Koeffizienten , 0, so gilt
für n ≤ m in N,
woraus folgt, dass
2
m
m
X
X
ci (v)ei =
|ci (v)|2 ,
n=n
i=n
Pn
i=1 ci (v)ei
eine Cauchy-Folge in H ist, also konvergiert. Wir
zeigen, dass der Limes gleich v ist. Für j ∈ I rechne
+
*
X
D
E
ci (v)ei = e j , v − c j (v) = 0.
e j, v −
i∈I
Also ist der Vektor v −
P
i∈I ci (v)ei
im Orthogonalraum des ONS, also gleich Null,
die Summe konvergiert also in der Tat gegen v. Insbesondere ist der von (ei )
FUNKTIONALANALYSIS
44
aufgespannte Unterraum dicht. Es folgt
*X
+ XX
X
D
E X
ci (v)ei ,
ci (w)ei =
ci (v)c j (w) ei , e j =
ci (v)c j (w).
hv, wi =
i∈I
Ist umgekehrt v =
i∈I
P
j∈I c j e j
i∈I
i∈I
j∈I
konvergent, so gilt wegen der Linearität und
Stetigkeit des Skalarproduktes,
ci (v) = hv, ei i =
*X
+
ci ei , e j
X D
E
=
ci e i , e j = ci .
j∈I
j∈I
P
Ist schliesslich (ci )i∈I eine Familie von Koeffizienten mit i∈I |ci |2 < ∞, so folgt die
P
Konvergenz von i ci ei genau wie die oben gezeigte Konvergenz von
P
i ci (v)ei .
Beispiel 2.3.12. In Analysis 1 wurde in dem Abschnitt über Fourier-Reihen
gezeigt, dass die Funktionen ek (x) = e2πikx für k ∈ Z eine Orthonormalbasis von
L2 ([0, 1]) L2 ([0, 1)) L2 (R/Z) ist.
Satz 2.3.13. Je zwei ONB eines Hilbert-Raumes haben die gleiche Mächtigkeit. Zwei
Hilbert-Räume sind isometrisch-isomorph, falls sie ONBs der gleichen Mächtigkeit
haben.
Beweis. Sei H ein Hilbert-Raum mit zwei ONBs (ei )i∈I und ( f j ) j∈J . Ist H
endlich-dimensional, so folgt |I| = |J| nach LinA. Sei also H
D
E
unendlich-dimensional. Für i ∈ I sei S(i) die Menge aller j ∈ J mit ei , f j , 0. Da
E
P D
ei = j∈J ei , f j f j , ist S(i) stets abzählbar. Da andererseits auch jedes f j sich in die
ei entwickeln lässt, folgt
[
S(i) = J.
i∈I
Damit gibt es eine surjektive Abbildung I × N → J. Da I und J beide unendliche
Mengen sind, folgt hieraus |J| ≤ |I|. Aus Symmetriegründen folgt |I| = |J|.
FUNKTIONALANALYSIS
45
Sind H1 , H2 Hilbert-Räume mit ONBs (ei )i∈I und ( fi )i∈I , so definiert die Vorschrift
T(ei ) = fi einen isometrische Isomorphismus von H1 nach H2 .
Satz 2.3.14. (a) Sei H ein Hilbert-Raum und U ein abgeschlossener Unterraum.
Dann gilt
H = U ⊕ U⊥ ,
wobei U⊥ = {v ∈ H : hv, Ui = 0} der Orthogonalraum zu U ist.
(b) Sei H ein Hilbert-Raum und sei α : H → K ein stetiges lineares Funktional.
Dann existiert ein eindeutig bestimmter Vektor w ∈ H mit
α(v) = hv, wi
für jeden Vektor v ∈ H.
Beweis. (a) Wie in der Linearen Algebra sieht man U ∩ U⊥ = 0. Da U ein
abgeschlossener Unterraum ist, ist U selbst wieder ein Hilbert-Raum. Sei (ei ) eine
ONB von U und setze für v ∈ H:
P(v) =
X
hv, ei i ei .
i∈I
Dann ist P : H → U eine lineare Abbildung mit P(v) = v falls v ∈ U, also P2 = P,
d.h., P ist eine Projektion. Der Kern von P ist U⊥ . Sei v ∈ H, dann ist
v − P(v) ∈ Ker P = U⊥ , also folgt H = U ⊕ U⊥ .
(b) Sei α : H → K ein stetiges lineares Funktional. Ist α = 0, so wähle w = 0. Ist
α , 0, dann ist U = Ker(α) ein abgeschlossener Unterraum von V. Daher ist
H = U ⊕ U⊥ und da U , H, ist U⊥ , 0. Sei also w0 ∈ U⊥ mit ||w0 || = 1. Dann ist
α(w0 ) = c , 0. Setze w = cw0 . Dann ist
α(w0 ) = c = hw0 , wi .
FUNKTIONALANALYSIS
46
Da α einen Isomorphismus U⊥ → K induziert, ist U⊥ = Kw0 , also insbesondere
ist jedes v ∈ H von der Form v = λw0 + u mit u ∈ U. Daher ist
α(v) = α(λw0 + u) = λc = α hw0 , wi = hv, wi .
Dies zeigt die Existenz. Für die Eindeutigkeit nimm an, es gebe einen weiteren
Vektor w0 mit α(v) = hv, w0 i. Dann gilt für jedes v ∈ H, dass 0 = hv, w − w0 i.
Insbesondere für v = w − w0 folgt w − w0 = 0.
2.4
Vervollständigung
Seien X, Y metrische Räume. Eine Isometrie von X nach Y ist eine Abbildung
f : X → Y mit
d( f (x), f (x0 )) = d(x, x0 )
für je zwei Elemente x, x0 ∈ X. Eine Isometrie ist stetig und injektiv. Ist eine
Isometrie surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine Isometrie. Eine
bijektive Isometrie heisst isometrischer Isomorphismus.
Ein metrischer Raum X heisst vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert.
Satz 2.4.1 (Vervollständigung). Sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine
Isometrie ϕ : X → X̂ in einen vollständigen metrischen Raum X̂, so dass das Bild
ϕ(X) dicht in X̂ liegt. Das Paar (X̂, ϕ) nennt man eine Vervollständigung von X.
Die Vervollständigung ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinne: Ist ψ : X → Y
eine weitere Isometrie auf einen dichten Teilraum eines vollständige Raumes Y, dann
existiert genau ein isometrischer Isomorphismus α : X̂ → Y so dass ψ = α ◦ ϕ, d.h.,
das Diagramm
X
ϕ
ψ
/
X̂
α
Y
FUNKTIONALANALYSIS
47
kommutiert.
Beweis. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir konstruieren X̂. Sei CF(X) die Menge
aller Cauchy-Folgen in X. Wir haben eine natürliche Abbildung ϕ̃ : X → CF(X),
die jedes x ∈ X auf die konstante Folge xn = x wirft.
Auf CF(X) betrachten wir folgende Äquivalenzrelation: Zwei Cauchy-Folgen
(xn ) und (yn ) heissen äquivalent, (xn ) ∼ (yn ), falls die Folge d(xn , yn ) gegen Null
geht. Ist (xn ) eine Cauchy-Folge und ist (yn ) eine Teilfolge, so folgt (xn ) ∼ (yn ). Sei
def
X̂ = CF(X)/ ∼ .
Die Abbildung ϕ ist gegeben durch ϕ̃ gefolgt von der Projektion
CF(X) → CF(X)/ ∼. Die Metrik auf X̂ ist gegeben durch
d([xn ], [yn ]) = limn d(xn , yn ), wobei zu zeigen ist, dass dieser Limes existiert und
nicht von der Wahl der Vertreter abhängt. Dies und den Rest des Beweises
überlassen wir dem Leser zur Übung.
Satz 2.4.2. Ist (V, ||·||) ein normierter Raum, so kann man die Norm auf die
Vervollständigung V̂ fortsetzen. Dasselbe gilt für die Vektorraumstruktur, so dass V̂
wieder ein normierter Raum ist und ϕ : V → V̂ ist eine lineare Isometrie.
Beweis. Man definiert ||v|| = d(0, v) für v ∈ V̂. Es folgt ||v|| = lim j v j für jede Folge
(v j ) in V, die gegen v konvergiert. Aus dieser Tatsache schliesst man leicht die
Normeigenschaft. Die Vektorraumstruktur definiert man durch
v + w = lim(v j + w j ),
j
FUNKTIONALANALYSIS
48
wobei v j → v und w j → w Folgen in V sind. Wir zeigen hier beispielhaft die
Wohldefiniertheit. Es ist zu zeigen, dass die Folge (v j + w j ) konvergiert und dass
der Grenzwert nicht von der Wahl der Folgen abhängt. Für j, k ∈ N ist
(v j + w j ) − (vk + wk ) ≤ v j − vk + w j − wk ,
also ist (v j + w j ) eine Cauchy-Folge, damit konvergent. Sind ṽ j und w̃ j weitere
Cauchy-Folgen, die gegen v und w in V̂ konvergieren, dann ist (v j + w j ) − (ṽ j + w̃ j )
eine Nullfolge, also ist der Grenzwert wohldefiniert. Der Rest geht ähnlich.
2.5
Äquivalenz der Normen im endlich-dimensionalen
Satz 2.5.1. Seien ||·||a und ||·||b zwei Normen auf demselben K-Vektorraum V. Dann
sind äquivalent:
(a) Die beiden Normen definieren dieselbe Topologie auf V.
(b) Eine Folge konvergiert genau dann in ||·||a , wenn sie in ||·||b konvergiert. In diesem
Fall sind die Limiten gleich.
(c) Es gibt Zahlen C, c > 0 so dass gilt:
c ||·||a ≤ ||·||b ≤ C ||·||a
Beweis. (a)⇒(b): Sei v j in ||·||a gegen v konvergent. Das bedeutet, dass für jede
||·||a -Umgebung U von v ein j0 existiert mit
j ≥ j0
⇒
v j ∈ U.
Da jede ||·||b -Umgebung auch eine ||·||a -Umgebung ist, folgt, dass v j auch in der
||·||b -Norm gegen v konvergiert.
FUNKTIONALANALYSIS
49
(b)⇒(c): Wir zeigen die Existenz von c, die von C folgt dann analog.
Angenommen, es gäbe solches c nicht. Dann existiert zu jedem j ∈ N ein v j ∈ V
mit
1 v j > v j .
a
b
j
Da dieselbe Abschätzung für tv j mit t > 0 gilt, können wir v j so skalieren, dass
v j = 1 gilt. Dann ist v j < 1j , also geht v j in der b-Norm gegen Null, also auch
a
b
in der a-Norm, was aber der Normierung v j a = 1 widerspricht!
(c)⇒(a): Die Abschätzung c ||·||a ≤ ||·||b hat zur Folge, dass jeder a-Ball um v ∈ V
vom Radius r > 0 schon einen b-Ball vom Radius cr und gleichen Mittelpunkt
enthält, also, dass gilt
Bbcr (v) ⊂ Bar (v).
Sei U eine in der a-Norm offene Menge. Wir zeigen, dass sie auch in der b-Norm
offen ist. Die Umkehrung geht analog. Sei also v ∈ U. Da U offen ist bzgl ||·||a , so
gibt es ein r > 0 mit Bar (v) ⊂ U. Daher ist dann Bbcr (v) ⊂ U, also ist U auch
b-offen.
Definition 2.5.2. Wir nennen zwei Normen auf V äquivalent, wenn sie den
Bedingungen dieses Satzes genügen. In der Tat definiert dies eine
Äquivalenzrelation, wie man aus Punkt (a) des Satzes sieht.
Beispiel 2.5.3. Auf dem Raum Cc (R) definieren wir zwei Normen, die L1 -Norm
Z
f =
| f (x)| dx
1
R
und die Supremumsnorm
f = sup | f (x)|.
R
x∈R
Diese beiden Normen sind nicht äquivalent, man bastelt leicht eine Folge f j so
dass f j = 1 aber f j → 0 oder auch eine Folge, die das Umgekehrte tut.
1
R
FUNKTIONALANALYSIS
50
Satz 2.5.4. Ist der K-Vektorraum endlich-dimensional, so sind alle Normen
äquivalent.
Beweis. Jeder endlich-dimensionale K-Vektorraum ist isomorph zu Kn , wobei n
die Dimension ist. Es reicht also, die Behauptung für V = Kn zu zeigen. Sei ||·||
eine beliebige Norm auf Kn . Wir zeigen dass sie äquivalent ist zur euklidischen
Norm. Seien e1 , . . . , en die Standard-Basisvektoren von Kn . Es folgt
!
!
m
n
X
X
v j e j ≤
|v j | e j ≤ n max |v j | max e j ≤ nM ||v||eukl .
||v|| = j
j
j=1
j=1
| {z } | {z }
=||v||max
=M
Das ist ja schon die halbe Miete.
Aus der Dreiecksungleichung von ||·|| folgt
||x|| − y ≤ x − y ≤ nM x − y
,
eukl
das heisst, die Abbildung ||·|| : Kn → R ist bezüglich der euklidischen Norm
stetig. Also ist das Bild der Menge S = {v ∈ Kn : ||v||eukl = 1} kompakt. Da 0 < S,
folgt, dass dieses Bild in (0, ∞) liegt. Sei c > 0 das Minimum von Bild(S). dann gilt
Für v , 0 ist w =
v
||v||eukl
||w||eukl = 1 ⇒ ||w|| ≥ c.
v ∈ S, also folgt ||v||eukl ≥ c, oder
||v|| ≥ c ||v||eukl
und die Behauptung ist bewiesen.
FUNKTIONALANALYSIS
2.6
51
Nichtstetige lineare Abbildungen
Nichtstetige lineare Abbildungen sind für diese Vorlesung nicht von Interesse.
Der Vollständigkeit halber wollen wir aber die Frage ihrer Existenz klären. Ja, es
gibt sie, und zwar viele davon. Um dies zu beweisen betrachtet man
Hamel-Basen.
Definition 2.6.1. Eine Teilmenge B ⊂ V eines K-Vektorraums V heisst
Hamel-Basis, wenn jeder Vektor v ∈ V sich in eindeutiger weise als
Linearkombination von Vektoren aus B schreiben lässt.
Eine Teilmenge B ist also genau dann eine Hamel-Basis, wenn es zu jedem
Vektor v ∈ V eindeutig bestimmte Koeffizienten cb ∈ K für b ∈ B gibt, so dass fast
P
alle cb gleich Null sind und v = b∈B cb b gilt.
Definition 2.6.2. Eine Teilmenge L ⊂ V eines Vektorraums heisst linear
unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge E ⊂ L und jede Wahl von
Koeffizienten λv ∈ K, v ∈ E gilt
X
λv v = 0
⇒
λv = 0 ∀v∈E .
v∈E
Eine Teilmenge E ⊂ V heisst Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor von V sich
als Linearkombination von Elementen aus E schreiben lässt.
Satz 2.6.3. (a) Jeder Vektorraum hat eine Hamel-Basis.
(b) Eine maximale linear unabhängige Teilmenge ist eine Hamel-Basis.
(c) Ein minimales Erzeugendensystem ist eine Hamel-Basis.
(d) Jede linear unabhängige Teilmenge von V lässt sich zu einer Hamel-Basis
vergrössern.
FUNKTIONALANALYSIS
52
(e) Jedes Erzeugendensystem enthält eine Hamel-Basis.
Beweis. Das ist im Wesentlichen Lineare Algebra. Um zu zeigen dass es eine
Hamel-Basis, oder eine maximale linear unabhängige Teilmenge gibt, benutzt
man das Lemma von Zorn.
Nun zeigen wir, dass es viele nichtstetige lineare Abbildungen von einem
unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum H nach K gibt. Sei hierzu (e j ) j∈J eine
Orthonormalbasis. Schreibe E = {e j : j ∈ J}. Diese ist dann zwar linear
unabhängig, aber keine Hamel-Basis, denn sei F = { f1 , f2 , . . . } ⊂ E eine abzählbare
Teilmenge, wobei wir fi , f j für i , j annehmen. Nach Satz 2.3.10 ist die Reihe
P 1
v= ∞
j=1 j f j konvergent in H, aber nicht als endliche Summe von Elementen von
E darstellbar. Wir vergrössern E zu einer Hamel-Basis B ⊃ E, B , E. Wir können
ein lineares Funktional φ : H → K definieren, indem wir φ auf der Hamel-Basis
vorgeben. Wir setzen also φ(e) = 0 für jedes e ∈ E und φ(b) für b ∈ B r E beliebig,
nicht alle Null. Dann ist φ ein lineares Funktional, das nicht stetig ist, denn jedes
stetige lineare Funktional, dass die e j auf Null wirft, ist schon Null.
Kapitel 3
Grundprinzipien der Funktionalanalysis
3.1
Fortsetzung von linearen Funktionalen
In diesem Abschnitt geht es um folgendes Prinzip: Ein stetiges lineares
Funktional kann von einem beliebigen Teilraum auf den ganzen Raum stetig
und linear fortgesetzt werden.
Satz 3.1.1. Ist V ein Banach-Raum und ist die Menge
B̄ = B̄1 (0) = {v ∈ V : ||v|| ≤ 1}
kompakt, dann ist V endlich-dimensional.
Beweis. Sei (V, ||.||) ein normierter Raum. Für eine Teilmenge U ⊂ V und v ∈ V
definiere
d(v, U) = inf ||v − u|| .
u∈U
Lemma 3.1.2. Ist U , V ein abgeschlossener linearer Unterraum, dann existiert ein
v ∈ V, so dass ||v|| = 1 und d(v, U) ≥ 12 .
Beweis. Zu w ∈ V r U wähle ein u0 ∈ U, so dass ||w − u0 || ≤ 2d(w, U). Setze
53
FUNKTIONALANALYSIS
v=
w−u0
.
||w−u0 ||
54
Dann gilt ||v|| = 1 und
w − u0
w
1
1
d(v, U) = d
,U = d
,U =
d(w, U) ≥ .
2
||w − u0 ||
||w − u0 ||
||w − u0 ||
Zum Beweis des Satzes: Ist V unendlich-dimensional, so gibt es eine Folge von
Unterräumen V1 ⊂ V2 ⊂ . . . mit dim Vn = n. Nach dem Lemma gibt es
vn ∈ Vn r Vn−1 mit vn ∈ B̄ und ||vn − u|| ≥
||vn − vm || ≥
1
2
1
2
für jedes u ∈ Vn−1 . Insbesondere folgt
falls n , m. Also enthält die Folge vn ∈ B̄ keine konvergente
Teilfolge, also ist B̄ nicht kompakt.
Satz 3.1.3 (Hahn-Banach). Sei U ein Unterraum eines reellen Vektorraums V und
sei p : V → [0, ∞) eine Abbildung mit
p(v + w) ≤ p(v) + p(w)
und
p(λv) = λp(v)
für alle v, w ∈ V, λ ≥ 0. Sei α : U → R linear mit α(u) ≤ p(u) für jedes u ∈ U. Dann
existiert eine lineare Abbildung α̃ : V → R mit
• α̃(u) = α(u),
u ∈ U und
• −p(−v) ≤ α̃(v) ≤ p(v),
v ∈ V.
Insbesondere folgt: Jedes stetige lineare Funktional auf einem Unterraum eines
normierten Raums kann stetig auf den ganzen Raum fortgesetzt werden.
Beweis. Nimm an U , V. Sei v1 ∈ V r U und setze
W = U ⊕ Rv1 .
Dann ist W ein Untervektorraum von V. Seien u, u0 ∈ U. Wegen
α(u) + α(u0 ) = α(u + u0 ) ≤ p(u + u0 ) ≤ p(u − v1 ) + p(v1 + u0 )
FUNKTIONALANALYSIS
55
folgt
α(u) − p(u − v1 ) ≤ p(u0 + v1 ) − α(u0 ).
Sei M das Supremum über die linke Seite, wobei u in U läuft. Es folgt also
α(u) − p(u − v1 ) ≤ M ≤ p(u0 + v1 ) − α(u0 )
für alle u, u0 ∈ U. Setze
α̃(u + tv1 ) = α(u) + tM.
Dann ist α̃ linear auf W, es setzt α fort und für t > 0 gilt mit y = u/t,
α̃(u + tv1 ) = α(u) + tM ≤ α(u) + tp(y + v1 ) − tα(y) = p(u + tv1 ).
und ebenso
α̃(u − tv1 ) = α(u) − tM ≤ α(u) − t(α(y) − p(y − v1 )) = tp(y − v1 ) = p(u − tv1 ).
Zusammen folgt α̃(w) ≤ p(w) für alle w ∈ W. Indem man w durch −w ersetzt,
folgt auch −p(w) ≤ α(w), also ist α̃ die gewünschte Fortsetzung nach W. Wir
haben damit gezeigt, dass im Fall U , V das Funktional α stets eine Fortsetzung
auf einen Unterraum W , U besitzt. Nach dem Lemma von Zorn existiert ein
maximaler Unterraum Ũ ⊂ V, auf den sich α mit −p(−u) ≤ α(u) ≤ p(u) fortsetzen
lässt. Ist Ũ , V, so lässt sich aber α noch weiter fortsetzen, was der Maximalität
widerspricht! Es folgt Ũ = V und die Hauptaussage des Satzes ist bewiesen.
Für die Zusatzaussage sei (V, ||.||) ein normierter Raum, U ⊂ V ein Unterraum
und α : U → K ein stetiges lineares Funktional. Dann existiert nach Satz 2.2.2 ein
C > 0 so dass |α(u)| ≤ C ||u|| für jedes u ∈ U. Setze p(v) = C ||v|| und für K = R folgt
die Aussage aus dem ersten Teil des Satzes. Nun sei K = C. Das R-lineare
Funktional Re(α) besitzt eine R-lineare Fortsetzung α̃R nach V mit |α̃R (v)| ≤ p(v).
Sei α̃ das komplex-lineare Funktional mit Re(α̃) = α̃R . Ist v ∈ V, so existiert ein
FUNKTIONALANALYSIS
56
θ ∈ R, so dass eiθ α̃(v) = α̃(eiθ v) ∈ R gilt. Es folgt
|α̃(v)| = |eiθ α̃(v)| = |α̃R (eiθ v)| ≤ p(eiθ v) = p(v).
Definition 3.1.4. Sei V ein normierter Vektorraum. Wir bezeichnen mit V 0 die
Menge aller stetigen linearen Funktionale V → K. Wir nennen V 0 den stetigen
Dualraum. Er ist in der Regel ein echter Teilraum des algebraischen Dualraums
V∗.
Lemma 3.1.5. Ein lineares Funktional α , 0 auf einem normierten Raum ist eine offene
Abbildung.
Es braucht in der Tat noch nicht einmal stetig zu sein.
Beweis. Sei 0 , α : V → K eine lineare Abbildung und sei U ⊂ V eine offene
Teilmenge. Wir wollen zeigen, dass das Bild α(U) offen ist. Sei also z ∈ α(U), also
etwa z = α(u). Sei v ∈ V mit α(v) , 0. Dann ist die Menge
M = {λ ∈ K : λv + u ∈ U} offen in K. Das Bild von α enthält die Menge aller
α(λv + u) = λα(v) + z, wobei λ ∈ M ist. Dies ist gerade das Bild von M unter der
affinen Abbildung m 7→ α(v)m + α(u), also offen. Damit enthält das Bild von α
eine offene Umgebung des Punktes z. Da z beliebig war, ist das Bild offen.
Erinnerung: eine Teilmenge A ⊂ V eines reellen Vektorraums V heisst konvex,
falls A mit zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke enthält, also wenn für
alle v, w ∈ V und t ∈ [0, 1] gilt
v, w ∈ A
⇒
(1 − t)v + tw ∈ A.
Satz 3.1.6. Konvexe Teilmengen lassen sich durch stetige lineare Funktionale
trennen.
FUNKTIONALANALYSIS
57
Genauer seien A, B nichtleere, konvexe Teilmengen eines normierten Raumes V mit
A ∩ B = ∅.
(a) Ist A offen, dann existiert ein α ∈ V 0 und ein T ∈ R mit
Re(α(a)) < T ≤ Re(α(b))
für alle a ∈ A, b ∈ B.
(b) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so existieren α ∈ V 0 und S, T ∈ R mit
Re(α(a)) < S < T < Re(α(b))
für alle a ∈ A, b ∈ B.
Beweis. Nach Lemma 2.1.1 reicht es, K = R anzunehmen. Sei also V ein reeller
normierter Raum. Wähle Fußpunkte a0 ∈ A und b0 ∈ B und setze v0 = b0 − a0 . Sei
U = A − B + v0 = { a − b + v0 : a ∈ A, b ∈ B }
[
=
A − b + v0 .
| {z }
b∈B
offen
Dann ist U eine konvexe offene Nullumgebung in V. Sei
1
p(v) = inf t > 0 : v ∈ U .
t
def
Es folgt p(λv) = λp(v) für λ > 0. Die Funktion p nimmt endliche Werte an und da
U konvex ist, erfüllt p die Dreiecksungleichung, also es gilt
p(v + w) ≤ p(v) + p(w)
FUNKTIONALANALYSIS
58
für alle v, w ∈ V. Da v0 < U, folgt p(v0 ) ≥ 1. Auf dem eindimensionalen Raum Rv0
definiere ein Funktional α(tv0 ) = t. Nach Satz 3.1.3 setzt α zu einem Funktional
auf V fort mit −p(−v) ≤ α(v) ≤ p(v). Wir zeigen, dass α stetig ist. Da U offen ist
und die Null enthält, existiert ein r > 0 mit Br (0) ⊂ U. Das bedeutet:
||v|| < r ⇒ v ∈ U ⇒ p(v) < 1. Ersetzt man v durch rv, so heisst das
||v|| < 1 ⇒ p(v) <
||v|| = 1 ⇒ p(v) ≤
1
r und im
1
r . Damit
Grenzwert ||v|| ≤ 1 ⇒ p(v) ≤
1
r
also insbesondere
1
sup |α(v)| ≤ sup p(v) ≤ .
r
||v||=1
||v||=1
Also ist α beschränkt, ergo stetig. Sind nun a ∈ A und b ∈ B, so folgt
α(a) − α(b) + 1 = α(a − b + v0 ) ≤ p(a − b + v0 ) < 1,
also α(a) < α(b) Die Bilder α(A) und α(B) sind konvexe Teilmengen von R, also
Intervalle. Da A offen ist, ist α(A) nach Lemma 3.1.5 ein offenes Intervall, damit
folgt (a).
(b) Beh.:Es gibt eine konvexe offene Nullumgebung U, so dass (A + U) ∩ B = ∅
gilt.
Beweis: Angenommen nicht. Sei Bn der offene Ball B1/n (0). Es gilt dann
(A + Bn ) ∩ B , ∅, also gibt es xn ∈ A + Bn , etwa xn = an + bn mit an ∈ A und
||bn || < 1/n. Da A kompakt ist, hat die Folge (an ) eine konvergente Teilfolge, wir
ersetzen sie durch diese und nehmen an, dass (an ) gegen ein a0 in A konvergiert.
Da bn → 0, folgt xn → a. Nun ist aber xn ∈ B und B ist abgeschlossen, also
a0 ∈ A ∩ B, diese Menge war aber als leer angenommen worden. Widerspruch!
Die Mengen A + U und B können nach Teil (a) durch ein stetiges Funktional α
getrennt werden, dann ist α(A + U) ein offenes Intervall disjunkt zum Intervall
α(B). Ferner ist α(A) ein kompaktes Intervall, das im offenen Intervall α(A + U)
enthalten ist.
FUNKTIONALANALYSIS
3.2
59
Von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenen
Graphen
Satz 3.2.1 (Satz von der offenen Abbildung). Sei T : V → W eine stetige lineare
Abbildung zwischen Banach-Räumen. T sei surjektiv. Dann ist T eine offene
Abbildung.
Insbesondere gilt: Ist T bijektiv und stetig, so ist die Umkehrabbildung T−1 ebenfalls
stetig.
Beweis. Sei B ⊂ V offen. Es ist zu zeigen, dass T(B) offen ist. Da T linear ist, reicht
es zu zeigen, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass T(Bε (0)) die Kugel
Bδ (0) enthält.
1. Schritt. T(Bε (0)) enthält eine Kugel Bδ (0).
S
S
S
Sei B = Bε/2 (0). Aus V = n nB folgt W = T(V) = n nT(B) = n nT(B). Da der
Banach-Raum W ein Baire-Raum ist, gibt es m ∈ N, w ∈ W und α > 0 mit
mT(B) ⊃ Bα (w).
Aus Bε (0) ⊃ B − B folgt T(Bε (0)) ⊃ T(B) − T(B), also
T(Bε (0)) ⊃ T(B) − T(B) ⊃ T(B) − T(B)
1
1
⊃ Bα (w) − Bα (w)
m
m
= Bα/m (w/m) − Bα/m (w/m) ⊃ Bα/m (0).
2. Schritt. T(Bε (0)) enthält eine Kugel Bδ (0).
P
ε
Wähle Zahlen rn > 0 mit ∞
n=0 rn < 2 . Sei Vα = Bα (0) und Wα = Bα (0) in W. Nach
dem 1. Schritt gibt es δn > 0 mit Wδn ⊂ T(Vrn ). Wir können annehmen, dass δn
eine Nullfolge ist. Sei w ∈ Wδ0 , also w ∈ T(Vr0 ). Zu dem gegebenen δ1 existiert
FUNKTIONALANALYSIS
60
dann ein v0 ∈ Vr0 mit ||w − T(v0 )|| < δ1 , das heisst, w − T(v0 ) ∈ Wδ1 ⊂ T(Vr1 ). Dann
existiert ein v1 ∈ Vr1 mit ||w − T(v0 ) − T(v1 )|| < δ2 . Durch Iteration erhalten wir
eine Folge vn ∈ Vrn mit
||w − T(v0 ) − · · · − T(vn )|| < δn+1 .
Also konvergiert die Reihe
P∞
j=0 T(v j )
gegen w. Wegen
∞ ∞
X
X
ε
vj ≤
rj < ,
2
j=0
konvergiert auch die Reihe v =
j=0
P∞
j=0 v j
und es gilt ||v|| < 2ε , also v ∈ V 2ε . Es folgt
T(v) = w und somit Wδ0 ⊂ T(B 2ε (0)).
Sei T : V → W eine Abbildung, so ist der Graph von T die Menge
G(T) = {(v, T(v)) : v ∈ V} ⊂ V × W.
Satz 3.2.2 (Satz vom abgeschlossenen Graphen). Sei T : V → W eine lineare
Abbildung zwischen Banach-Räumen.
Der Graph G(T) ist genau dann abgeschlossen im Produkt V × W, wenn T stetig ist.
Beweis. Sei T stetig und sei (v j , T(v j )) eine Folge im Graphen, die in V × W gegen
(v, w) konvergiert. Das bedeutet v j → v und T(v j ) → w. Da T stetig ist,
konvergiert T(v j ) gegen T(v), also folgt w = T(v), somit liegt (v, w) im Graphen,
dieser ist also abgeschlossen.
Sei umgekehrt der Graph abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit des Graphen
bedeutet, dass für jede konvergente Folge v j → v in V gilt: konvergiert T(v j )
gegen w ∈ W, so gilt T(v) = w. Der Graph ist als abgeschlossener linearer
Unterraum des Produktes selbst ein Banach-Raum. Die Abbildung P : G(T) → V,
FUNKTIONALANALYSIS
61
gegeben durch P(v, T(v)) = v ist stetig, surjektiv und injektiv, also auch offen.
Damit ist die Umkehrabbildung v 7→ (v, T(v)) stetig, also auch deren
Komposition mit der zweiten Projektion v 7→ T(v).
Beispiel 3.2.3. Wir geben eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen
Räumen, die einen abgeschlossenen Graphen hat, aber nicht stetig ist. Sei
X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} mit der Metrik von R. Sei Y = R und f ( n1 ) = n, sowie
f (0) = 0.
3.3
Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit
Satz 3.3.1 (Banach-Steinhaus). V sei ein Banach-Raum und W ein normierter
Raum. (Ti )i∈I sei eine Familie stetiger linearer Abbildungen V → W. Die Familie sei
punktweise beschränkt, d.h. zu jedem v ∈ V existiert ein cv > 0 so dass
||Ti (v)|| ≤ cv ||v||
für jedes i ∈ I gilt.
Dann ist die Familie Ti gleichmässig beschränkt, d.h. es gilt
sup ||Ti ||op < ∞.
i∈I
Beweis. Sei An = {v ∈ V : ||Ti (v)|| ≤ n ∀i∈I }. Dann ist An abgeschlossen und es gilt
S
V = n An . Also gibt es nach dem Satz von Baire ein n0 ∈ N, ein v0 ∈ V und ein
ε > 0 mit
An0 ⊃ B̄ε (v0 ).
FUNKTIONALANALYSIS
62
Sei w ∈ V mit ||w|| = 1. Dann ist v = v0 + εw ∈ B̄ε (v0 ) ⊂ An0 , also folgt
1
2n0
v − v0 1
(||T
(v)
−
T
(v
)||
≤
,
=
(v)||
+
(v
)||)
≤
||Ti (w)|| = Ti
||T
||T
i
i
0
i
i
0
ε ε
ε
ε
also ist ||Ti ||op ≤
2n0
ε .
Korollar 3.3.2. Punktweise Limiten stetiger linearer Operatoren sind stetig.
Genauer sei V ein Banach-Raum, W ein normierter Raum. Eine Folge T j stetiger
linearer Operatoren V → W, die punktweise konvergiert. Sei T(v) = lim j T j (v) für
v ∈ V. Dann ist T ein stetiger linearer Operator von V nach W.
Beweis. Die Linearität von T ist klar. Da die Folge T j punktweise konvergiert, ist
sie punktweise beschränkt. Damit sind die Operatornormen beschränkt nach
dem Satz von Banach-Steinhaus. Sei also etwa T j ≤ C für jedes j. Dann folgt
op
für ||v|| = 1,
||T(v)|| = lim ||Tn (v)|| ≤ C,
j
also ||T||op ≤ C und T ist stetig.
3.4
Dualität bei Banach-Räumen
Seien V und W Banach-Räume. Auf dem Raum Hom(V, W) aller stetigen
linearen Operatoren T : V → W installieren wir die Operatornorm.
Lemma 3.4.1. Mit der Operatornorm ist Hom(V, W) wieder ein Banach-Raum.
Beweis. Wir müssen Vollständigkeit zeigen. Sei T j eine Cauchy-Folge in
Hom(V, W). Für v ∈ V ist
T j (v) − Tk (v) = (T j − Tk )(v) ≤ ||v|| T j − Tk .
op
FUNKTIONALANALYSIS
63
Damit ist T j (v) eine Cauchy-Folge in W, also konvergent. Sei T(v) der Limes.
Dann ist T wieder in Hom(V, W) nach Korollar 3.3.2. Wir müssen uns nur noch
überzeugen, dass die Folge (T j ) auch in der Norm gegen T konvergiert. Hierbei
hilft uns die Cauchy-Eigenschaft. Sei also ε > 0. Dann existiert ein j0 so dass für
alle j, k ≥ j0 gilt
T j − Tk ≤ ε.
Für jedes v ∈ V mit ||v|| = 1 gilt dann
T j (v) − Tk (v) ≤ ε
und im Limes k → ∞ also
T j (v) − T(v) ≤ ε.
Da dies wie gesagt für jedes ||v|| = 1 gilt, folgt T j − Top ≤ ε und dies gilt für
jedes j ≥ j0 , was die verlangte Konvergenz bedeutet.
Insbesondere ist also der stetige Dualraum V 0 wieder ein Banach-Raum.
Proposition 3.4.2. Sei V ein Banach-Raum. Die Abbildung δ : V → V 00 gegeben durch
δv (α) = α(v)
ist eine lineare Isometrie V ,→ V 00 .
Beweis. Linearität ist klar. Isometrie zu sein heisst für δ, dass ||δv || = ||v|| gilt. Wir
zeigen zunächst “≤”. Für v ∈ V ist
||δv || = sup |δv (α)| = sup |α(v)| ≤ ||v|| .
||α||=1
||α||=1 |{z}
≤||α||||v||
Für die andere Abschätzung brauchen wir den Hahn-Banach Satz. Auf dem
Raum Kv betrachte das Funktional β(tv) = t ||v|| und setze es linear fort zu einem
FUNKTIONALANALYSIS
64
Funktional β mit |β(w)| ≤ ||w||. Da |β(v)| = ||v||, gilt dann β = 1. Also folgt
||δv || = sup |α(v)| ≥ |β(v)| = ||v|| .
||α||=1
Definition 3.4.3. Ein Banach-Raum V heisst reflexiv, falls die obige Abbildung
δ : V → V 00 auch surjektiv ist.
Eine Paarung zwischen zwei Vektorräumen V und W ist eine bilineare
Abbildung b : V × W → K. Man kann eine Paarung h., .i auch beschreiben durch
die induzierte lineare Abbildung φ : V → W ∗ ; φ(v)(w) = hv, wi oder auch durch
die entstehende Abbildung W → V ∗ . Eine Paarung zwischen zwei
Banach-Räumen heisst perfekte Paarung, falls die entstehenden Abbildungen
jeweils in die stetigen Duale abbilden und isometrische Isomorphismen
V −→ W 0 ,
W −→ V 0
induzieren.
Lemma 3.4.4. Ein Banach-Raum V ist genau dann reflexiv, wenn die natürliche
Paarung auf V × V 0 perfekt ist. Insbesondere ist V 0 dann auch reflexiv.
Eine perfekte Paarung ist stetig.
Beweis. Ist die Paarung perfekt, so ist V reflexiv. Ist umgekehrt V reflexiv, dann
ist ja V → V 00 definitionsgemäss ein isometrischer Isomorphismus. Es bleibt zu
zeigen, dass auch die induzierte Abbildung V 0 → V 0 ein isometrischer
Isomorphismus ist. Diese Abbildung ist aber die Identität.
Sei h., .i : V × W → K eine perfekte Paarung. Wir wollen zeigen, dass sie als
Abbildung von V × W nach K stetig ist. Aus der Tatsache, dass V → W 0
isometrisch ist, folgt
| hv, wi | ≤ ||v|| ||w||
∀v∈E, w∈F .
Sei also (v j , w j ) eine gegen (v, w) konvergente Folge in V × W, d.h. v j → v und
FUNKTIONALANALYSIS
65
w j → w. Dann gilt
D
E
D
E D
E
D
E
| v j , w j − hv, wi | ≤ | v j , w j − v, w j | + | v, w j − hv, wi |
D
E
D
E
= | v j − v, wn | + | v, w j − w |
≤ v j − v w j + ||v|| w j − w → 0.
Beispiele 3.4.5.
• Jeder endlich-dimensionale Banach-Raum ist reflexiv.
• Jeder Hilbert-Raum ist reflexiv.
Beweis. Sei H ein Hilbert-Raum. Wir müssen zeigen, dass δ : H → H00
surjektiv ist. Nach dem Satz von Riesz ist jedes α ∈ H0 von der Form α = αw
für ein w ∈ H, wobei αw (v) = hv, wi ist. Die Abbildung Φ : w 7→ αw ist ein
R-linearer isometrischer Isomorphismus H −→ H0 . Durch hαv , αw i = hv, wi
wird ein Skalarprodukt auf H0 installiert, so dass H0 wieder ein
Hilbert-Raum ist. Daher gibt es auch für H0 den kanonischen R-linearen
Isomorphismus Φ0 : H0 → H00 . Wir zeigen Φ0 ◦ Φ = δ. Hierzu rechne für
v, w ∈ H:
Φ0 ◦ Φ(v)(αw ) = Φ0 (αv )(αw )
= ααv (αw )
= hαw , αv i = hv, wi = αw (v) = δv (αw ).
• Für 1 < p < ∞ sei `p der Banach-Raum aller komplexen Folgen
z = (z1 , z2 , . . . ) mit

 1p
∞
X



|z j |p  < ∞.
||z||p = 


j=1
FUNKTIONALANALYSIS
66
Seien 1 < p, q < ∞ mit 1p +
1
q
= 1. Wir behaupten, dass die Paarung
h., .i : `p × `q → C
∞
X
(z, w) 7→
z jw j
j=1
perfekt ist. Die Konvergenz der Reihe folgt aus der Hoelder-Ungleichung,
die besagt
| hz, wi | ≤ ||z||p ||w||q .
Für w ∈ `q sei αw : `p → C gegeben durch αw (z) = hz, wi. Dann sagt die
Hoelder-Ungleichung ausserdem, dass αw ∈ (`p )0 und dass ||αw ||op ≤ ||w||q gilt.
Wir wollen nun zeigen, dass hier Gleichheit gilt. Sei dazu w ∈ `q mit
||w||q = 1. Wir müssen zeigen, dass αw die Operatornorm 1 hat. Definiere
z = (z1 , . . . ) durch
q
z j = θ j |w j | p ,
wobei θ j ∈ C mit |θ j | = 1 so gewählt ist, dass w j z j ≥ 0 ist. Dann ist z ∈ `p und
es gilt
p
q
||z||p = hz, wi = ||w||q = 1.
Wir haben also ein z ∈ `p gefunden mit ||z||p = 1 und αw (z) = 1, woraus
||αw ||op = 1 folgt, so dass w 7→ αw eine Isometrie ist. Wir müssen zeigen, dass
diese Isometrie surjektiv ist. Sei dazu α ∈ (`p )0 . Für n ∈ N sei
en = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . ) mit der Eins an der n-ten Stelle. Setze wn = α(en ). Wir
behaupten, dass die so entstehende Folge w in `q liegt. Sei
zn = (z1 , . . . , zn , 0, . . . ) die bei n abgeschnittene Folge. Wir wollen zeigen, dass
P∞
q
j=1 |w j | < ∞ ist. Betrachte hierzu
n
X
j=1
|w j | =
q
n
X
j=1
q−1
|w j |
|w j | =
n
X
j=1
q
p
|w j | |w j | =
n
X
j=1
z j w j = hzn , wi = |α(zn )| ≤ C ||zn ||p ,
FUNKTIONALANALYSIS
67
q
wobei z j = θ j |w j | p gewählt wird mit |θ j | = 1 und C = ||α||op ist. Nun ist wieder
p
q
hzn , wi = hzn , wn i = ||zn ||p = ||wn ||q und daher
q
C≥
||wn ||q
||zn ||p
q
=
||wn ||q
q
p
q
=
q−
||wn ||q p
= ||wn ||q .
||wn ||q
Die Folge ||wn ||p ist monoton wachsend, also konvergent und daher
||w||q < ∞. Schliesslich gilt für beliebiges z ∈ `p ,
hz, wi =
∞
X
z j w j = lim
n
j=1
n
X
z j w j = lim α(zn ) = α(z).
n
j=1
Aus Symmetriegründen folgt dasselbe für vertauschte p und q.
Insbesondere ist `p reflexiv.
• Wir liefern nun ein Beispiel eines nicht reflexiven Raums. Sei `∞ der
Banach-Raum aller beschränkten Folgen z = (z1 , z2 , . . . ) in C mit der Norm
||z||∞ = sup |z j |.
j∈N
Ferner sei `1 der Banach-Raum der Folgen mit ||z||1 =
P∞
j=1 |z j |
< ∞. Wir
zeigen zunächst, dass (`1 )0 = `∞ gilt via der Paarung
h., .i : `1 × `∞ → C
∞
X
(z, w) 7→
z jw j.
j=1
Die Isometrie ist klar. Für die Surjektivität sei α ∈ (`1 )0 . Setze wn = α(en ). Da
α beschränkt ist, liegt w ∈ `∞ und es gilt α(z) = hz, wi. Wäre nun der Raum `1
reflexiv, so müsste die Paarung perfekt sein. ist sie aber nicht, denn die
entstehende Abbildung `1 → (`∞ )0 ist nicht surjektiv. Sei hierzu U ⊂ `∞ der
abgeschlossene Unterraum der konvergenten Folgen. Sei α : U → C
FUNKTIONALANALYSIS
68
gegeben durch
α(z) = lim z j .
j→∞
Dann ist α ein stetigen lineares Funktional, also gibt es nach Hahn-Banach
eine stetige lineare Fortsetzung, die wir auch als α schreiben. Nun kann aber
dieses α nicht von `1 kommen.
3.5
Schwache Topologien
Definition 3.5.1. Die schwache Topologie auf einem Banach-Raum V ist
definiert als die Initialtopologie aller α ∈ V 0 .
Es handelt sich also um die Topologie, die erzeugt wird von allen Mengen der
Form
α−1 (U),
wobei α ∈ V 0 und U ⊂ K offen ist. da all diese Mengen in der Normtopologie
offen sind, ist die schwache Topologie gröber als die Normtopologie, hat also a
priori weniger offene Mengen.
Beispiele 3.5.2.
• Ist V endlich-dimensional, dann ist die schwache Topologie
gleich der Normtopologie. Hierzu reicht es, V = Cn anzunehmen. Die
Koordinatenabbildungen v 7→ v j für j = 1, . . . , n sind stetige lineare
Funktionale, also sind alle Mengen der Gestalt U1 × · · · × Un schwach offen,
wenn U1 , . . . , Un ⊂ C offene Mengen sind. Diese Mengen erzeugen
allerdings die Topologie von Cn , die auch die Normtopologie ist.
• Wir werden später sehen, dass die schwache Topologie bei jedem
unendlich-dimensionalen reflexiven Banach-Raum echt verschieden ist von
der Normtopologie. Hier schon mal ein Beispiel. Sei V = `2 (N) und sei
en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) ∈ V mit der 1 an der n-ten Stelle. Dann gilt ||en || = 1 für
jedes n ∈ N, aber wir zeigen, dass die Folge (en ) schwach gegen 0 geht.
FUNKTIONALANALYSIS
69
Damit ist die schwache Topologie echt verschieden von der Normtopologie.
Um zu zeigen, dass en → 0 gilt, müssen wir zeigen, dass α(en ) → 0 gilt für
jedes α ∈ V 0 . Sei also α ∈ V 0 . Dann gibt es nach dem Satz von Riesz genau
ein w ∈ V mit α(v) = hv, wi für jedes v ∈ V. Insbesondere also α(en ) = wn .
P
2
2
Nun gilt aber ∞
j=1 |w j | = ||w|| < ∞, also geht die Folge w j gegen Null, also
geht α(en ) gegen Null.
Erinnerung: Eine Abbildung f : X → V von einem topologischen Raum X nach
V ist genau dann stetig bezüglich der schwachen Topologie, wenn α ◦ f : X → K
für jedes α ∈ V 0 stetig ist.
Jede schwach offene Menge ist auch offen in der Norm-Topologie, aber nicht
umgekehrt, die Norm-Topologie hat also mehr offene Mengen.
Ist A ⊂ V, so bezeichnet wie bisher A den Abschluss in der Norm-Topologie.
w
Den Abschluss in der schwachen Topologie bezeichnen wir mit A . Da die
schwache Topologie weniger offene Mengen hat als die Norm-Topologie, hat sie
auch weniger abgeschlossenen Mengen, also gilt immer
w
A ⊃ A.
Satz 3.5.3. Sei K ⊂ V eine konvexe Teilmenge des Banach-Raums V. Dann ist der
schwache Abschluss gleich dem Norm-Abschluss, also
w
K = K.
w
Beweis. Die Inklusion K ⊂ K gilt sowieso. Für die umgekehrte Inklusion sei
w
v ∈ V r K, wir zeigen v < K . Nach Satz 3.1.6 gibt es ein α ∈ V 0 und S, T ∈ R mit
Re(α(v)) < S < T < Re(α(w))
FUNKTIONALANALYSIS
70
für jedes w ∈ K. Daher ist die Menge {u ∈ V : Re(α(u)) < S eine schwache
Umgebung von v, die K nicht trifft. Also liegt v nicht im schwachen Abschluss
w
von K und also auch nicht in K .
Satz 3.5.4. Sei V ein Banach-Raum. Sei (vn ) eine Folge in V, die schwach gegen
v ∈ V konvergiert. Dann existiert eine Folge (w j ) in V so dass
• jedes w j ist eine Konvexkombination von endlich vielen vn und
• w j → v in der Norm.
Genauer heisst das, dass es für jedes j ∈ N Zahlen an, j ≥ 0 gibt, so dass für jedes j
nur endlich viele an, j , 0 sind und so dass gilt
∞
X
an, j = 1,
n=1
∞
X
an, j vi = w j .
n=1
Beweis. Sei K die konvexe Hülle aller vn und sei W der schwache Abschluss von
K. Dann liegt v in W. Da K konvex ist, gilt W = K, also gibt es eine Folge in K,
die gegen v konvergiert.
Beispiel 3.5.5. Wir wenden dies auf die Folge en in V = `2 (N) an. Es gibt
demnach eine Konvexkombination vn der ek so dass ||vn || → 0. In der Tat, sei
vn =
so gilt ||vn ||2 =
n
n2
=
1
n
1
(e1 + · · · + en ),
n
→ 0.
Lemma 3.5.6. Jede schwach konvergente Folge ist normbeschränkt. Sei also v j eine
schwach konvergente Folge in einem Banach-Raum V. Dann existiert ein C > 0 so dass
v j ≤ C für jedes j ∈ N.
FUNKTIONALANALYSIS
71
Beweis. Sei v j schwach konvergent. Dann ist die Folge linearer Funktionale
δv j : V 0 → K punktweise konvergent, also punktweise beschränkt, somit nach
dem Satz von Banach-Steinhaus normbeschränkt, also existiert ein C > 0 mit
C ≥ δv j = v j (siehe Proposition 3.4.2).
Definition 3.5.7. Sei V ein Banach-Raum und V 0 sein stetiger Dualraum. Die
schwach-*-Topologie auf V 0 ist die Topologie erzeugt von allen Abbildungen
δv : V 0 → K,
v ∈ V.
Satz 3.5.8 (Banach-Alaoglu). Der abgeschlossene Einheitsball ist
schwach-*-kompakt.
Genauer sei V ein Banach-Raum und V 0 sein stetiger Dual. Sei ||·|| die Norm auf V 0
und sei
B0 = {α ∈ V 0 : ||α|| ≤ 1} .
Dann ist B0 kompakt in der schwach-*-Topologie.
Beweis. Sei E die Menge aller α ∈ K mit |α| ≤ 1. Betrachte die Abbildung
Y
def
0
φ:B →X =
||v|| E gegeben durch
v∈V
α 7→ (αv )v∈V ,
αv = α(v).
Der Raum X ist nach dem Satz von Tychonov kompakt. Die
schwach-*-Topologie ist die Initialtopologie der Abbildung φ, welche injektiv ist,
also B0 mit einer Teilmenge von X identifiziert. Wir müssen nur zeigen, dass
diese Teilmenge abgeschlossen ist. Sei F ⊂ X die Teilmenge aller α ∈ X so dass
für alle v, w ∈ V und alle λ, µ ∈ K gilt
αλv+µw = λαv + µαw .
FUNKTIONALANALYSIS
72
Dann ist F abgeschlossen in der Produkttopologie. Nun ist F ⊂ X aber gerade
das Bild von φ, welches damit abgeschlossen ist.
Korollar 3.5.9. Ist V ein reflexiver Banach-Raum, dann ist die Einheitskugel B = B1 (0)
in V schwach kompakt.
Beweis. Sei W = V 0 , dann ist B die Einheitskugel in W 0 , also schwach-*-kompakt.
Die schwach-*-Topologie auf W 0 ist aber die Topologie erzeugt von W = V 0 , also
gleich der schwachen Topologie.
Beachte, dass bei nicht-reflexiven Banach-Räumen W die schwache Topologie
auf W 0 nicht mit der schwach-*-Topologie übereinstimmen muss.
Korollar 3.5.10. Ist V ein unendlich-dimensionaler reflexiver Banach-Raum, dann ist
die Norm-Topologie verschieden von der schwachen.
Beweis. In der Norm-Topologie ist die abgeschlossene Einheitskugel nicht
kompakt.
Satz 3.5.11. Ist (v j ) eine Folge paarweise orthogonaler Vektoren in einem
Hilbert-Raum H, so sind äquivalent:
(a)
∞
X
v j konvergiert in der Normtopologie,
j=1
(b)
∞
X
v j konvergiert schwach,
j=1
∞ X
2
(c)
v j < ∞.
j=1
FUNKTIONALANALYSIS
73
Beweis. (a)→(b) ist klar.
(b)→(c): Da die v j paarweise orthogonal sind, gilt
||v1 + · · · + vn ||2 = ||v1 ||2 + · · · + ||vn ||2 .
Da die Folge v1 + · · · + vn schwach konvergiert, ist sie normbeschränkt, damit
folgt (c).
(c)→(a): Wieder wegen ||v1 + · · · + vn ||2 = ||v1 ||2 + · · · + ||vn ||2 ist
Cauchy-Folge, also konvergent.
Pn
j=1 v j
eine
Kapitel 4
Stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen
Ab jetzt arbeiten wir nur noch über K = C.
4.1
Adjungierte Operatoren
Für einen Hilbert-Raum H schreiben wir B(H) für den Banach-Raum aller
stetigen Operatoren T : H → H.
Satz 4.1.1. Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Es gibt genau einen linearen Operator T∗ auf H so dass für alle v, w ∈ H gilt
hTv, wi = hv, T∗ wi .
Dieser heisst der adjungierte Operator zu T. Ein Operator T heisst
selbstadjungiert, falls T∗ = T gilt.
√
(b) Es gilt ||T∗ || = ||T|| = ||T∗ T||.
(c) Für S, T ∈ B(H) und λ, µ ∈ C gilt
(λS + µT)∗ = λS∗ + µT∗ ,
74
(ST)∗ = T∗ S∗ ,
(T∗ )∗ = T.
FUNKTIONALANALYSIS
75
Beweis. (a) Sei w ∈ H fest. Das lineare Funktional α(v) = hTv, wi ist als
Komposition stetiger Abbildungen stetig, also existiert genau ein Vektor u = T∗ w
so dass für jedes v ∈ H gilt
hTv, wi = hv, T∗ wi .
Die so definierte Abbildung w 7→ T∗ w ist schnell als linear erkennt, etwa gilt
hv, T∗ (w + w0 )i = hTv, w + w0 i = hTv, wi+hTv, w0 i = hv, T∗ wi+hv, T∗ w0 i = hv, T∗ w + T∗ w0 i ,
so dass die Eindeutigkeit im Rieszschen Satz die Gleichung
T∗ (w + w0 ) = T∗ w + T∗ w0 impliziert. Die Skalarmultiplikation T∗ (αw) = αT∗ w für
α ∈ C geht ebenso.
(b) Wir zeigen zuerst: T∗ ist beschränkt und T∗∗ = T. Sei hierzu für w ∈ H das
Funktional αw definiert als αw (v) = hv, wi. Wir stellen nun fest, dass für die Norm
dieses Funktionals gilt
||αw || = ||w|| .
Dies folgt einerseits aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die besagt
|αw (v)| = | hv, wi | ≤ ||v|| ||w||
und andererseits aus αw (w) = ||w||2 . Beachte nun
αT∗ w (v) = hv, T∗ wi = hTv, wi = αw ◦ T(v). Daher folgt
||T∗ w|| = ||αT∗ w || = ||αw ◦ T|| ≤ ||w|| ||T|| .
Also gilt ||T∗ || ≤ ||T||. Weiter ist
hv, Twi = hT∗ v, wi = hv, (T∗ )∗ wi ,
also T∗∗ = T und damit folgt aus ||T|| ≥ ||T∗ || ≥ ||(T∗ )∗ || = ||T|| schon ||T|| = ||T∗ ||. Es gilt
||Tv||2 = hTv, Tvi = hT∗ Tv, vi = ||T∗ Tv|| ||v|| ≤ ||T∗ T|| ||v||2 ≤ ||T∗ || ||T|| ||v||2 = (||T|| ||v||)2 .
FUNKTIONALANALYSIS
76
√
||T∗ T||. Teil (c) ist leicht
Also ||T||2 ≤ ||T∗ T|| ≤ ||T||2 , was bedeutet ||T|| =
nachzurechnen.
• Sei H = Cn mit dem üblichen Skalarprodukt. Dann ist jeder
Beispiele 4.1.2.
t
lineare Operator auf H durch eine Matrix A gegeben und es gilt A∗ = A wie
man in der Linearen Algebra sieht.
• Sei H = `2 (N) und sei k : N × N → C mit C =
P
i, j∈N |k(i,
j)|2 < ∞. Dann
definiert k einen linearen Operator Tk durch
Tk ϕ(i) =
∞
X
k(i, j)ϕ( j),
j=1
wobei wir jetzt Elemente von `2 (N) als Abbildungen ϕ : N → C mit
P
2
j |ϕ( j)| < ∞ auffassen. Nach der Hoelder-Ungleichung gilt dann
2
Tk ϕ =
∞ X
∞
X
i=1
j=1
2
∞ X
∞
∞
X
X
2
2
k(i, j)ϕ(j) ≤
|k(i, j)|
|ϕ(ν)|2 = C ϕ .
ν=1
i=1 j=1
Damit ist Tk wohldefiniert und stetig. Wir behaupten, dass sein adjungierter
Operator Tk∗ gegeben ist durch den Kern
k∗ (i, j) = k( j, i).
Zum Beweis rechnen wir für ϕ, ψ ∈ `2 (N),
ϕ, Tk∗ ψ =
=
=
∞
X
i=1
∞
X
i=1
∞
X
j=1
ϕ(i)Tk∗ ψ(i) =
∞
X
ϕ(i)
i=1
ϕ(i)
∞
X
j=1
k( j, i)ψ( j) =
∞
X
k∗ (i, j)ψ( j)
j=1
∞
∞
XX
j=1 i=1
Tk ϕ( j)ψ( j) = Tk ϕ, ψ .
k(j, i)ϕ(i)ψ( j)
FUNKTIONALANALYSIS
4.2
77
Isometrien
Definition 4.2.1. Der Operator T auf einem Hilbert-Raum heisst unitär, falls
TT∗ = T∗ T = Id
gilt.
Satz 4.2.2. Der Operator T : H → H ist genau dann unitär, wenn er ein
isometrischer Isomorphismus ist.
Beweis. Ist T unitär, dann ist er isometrisch, denn es gilt dann
hTv, Twi = hT∗ Tv, wi = hv, wi .
Er ist ferner surjektiv, da invertierbar.
Sei nun T isometrisch und surjektiv. Da T isometrisch ist, ist T injektiv, also
zusammen bijektiv. Für v, w ∈ H gilt
hv, wi = hTv, Twi = hT∗ Tv, wi .
Also folgt T∗ T = Id, damit ist T∗ eine Linksinverse zu T. Da T invertierbar ist, ist
T∗ auch eine Rechtsinverse, T also unitär.
Beispiele 4.2.3.
• Auf `2 (N) sei T definiert durch
T(x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , x2 , . . . ).
Dann folgt ||Tx||2 = ||x||2 , also ist T eine Isometrie, aber da e1 < Bild(T), ist T
nicht surjektiv, also nicht unitär. Der Operator T wird der Shiftoperator
FUNKTIONALANALYSIS
78
genannt. Man sieht leicht, dass
T∗ (x1 , x2 , . . . ) = (x2 , x3 , . . . )
und damit folgt T∗ T = Id. Man sieht also, dass die Identität T∗ T = Id allein
nicht zur Unitarität ausreicht!
• Auf `2 (Z) ist der Shiftoperator
T(. . . , x−1 , x0 , x1 , . . . ) = (. . . , x−2 , x−1 , x0 , . . . ),
also (Tx)k = xk−1 unitär.
• Ist f ∈ L1 (R), so ist die Fourier-Transformierte
Z
fˆ(x) =
f (y)e2πixy dy
R
definiert. Ist f ∈ L1 ∩ L2 , so besagt der Satz von Plancherel:
f = fˆ ,
2
2
2 R
wobei f 2 = R | f (x)|2 dx die L2 -Norm ist. Der Raum L1 ∩ L2 liegt dicht in L2
und daher setzt die Fourier-Transformation zu einer Isometrie auf dem
Hilbert-Raum L2 (R) aus. Man zeigt, dass die Fourier-Transformierte in der
Tat unitär ist mit
fˆˆ(x) = f (−x).
• Eine n × n Matrix A ∈ Mn (C) ist als Operator auf Cn genau dann unitär,
t
wenn A∗ = A−1 , wobei A∗ = A .
FUNKTIONALANALYSIS
4.3
79
Projektionen
Erinnerung: Ein stetiger Operator P auf einem Hilbert-Raum H ist eine
Projektion oder ein Projektionsoperator, falls gilt
P2 = P.
Satz 4.3.1. Sei P ein stetiger Projektionsoperator auf einem Hilbert-Raum H. Dann
ist das Bild Bild(P) abgeschlossen und es gilt
H = Ker(P) ⊕ Bild(P).
Stehen Kern und Bild senkrecht aufeinander, so nennen wir P eine
Orthogonalprojektion.
Eine Projektion P ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn sie
selbstadjungiert ist, also wenn P = P∗ .
Beweis. Sei zunächst v ∈ Ker(P) ∩ Bild(P), dann gibt es w mit v = Pw. Es folgt
v = Pw = P2 w = P(Pw) = P(v) = 0.
Damit ist die Summe direkt. Sei nun v ∈ H, dann ist v = (v − P(v)) + P(v) und
v − P(v) ∈ Ker(P), denn P(v − P(v)) = P(v) − P2 (v) = P(v) − P(v) = 0. Damit ist die
Summenzerlegung gezeigt. Das Bild ist abgeschlossen, denn für v ∈ H gilt
v ∈ Bild(P)
⇔
v = P(v)
⇔
(P − 1)v = 0,
also gilt Bild(P) = Ker(P − 1) und damit ist Bild(P) abgeschlossen.
Sei nun P eine Orthogonalprojektion, die Summe also orthogonal. Jedes v ∈ H
FUNKTIONALANALYSIS
80
zerlegt sich dann eindeutig als v = v0 + P(v) mit v0 ∈ Ker(P). Für v, w ∈ H gilt
hPv, wi = hPv, w0 + Pwi = hPv, w0 i + hPv, Pwi
| {z }
=0
= hPv, Pwi + hv0 , Pwi = hv, Pwi .
Daher ist P selbstadjungiert.
Für die Umkehrung sei P eine selbstadjungierte Projektion. Sei v ∈ Bild(P) und
w ∈ Ker(P). Dann gilt
hv, wi = hPv, wi = hv, Pwi = 0.
Also ist P eine Orthogonalprojektion.
Beispiele 4.3.2.
• Ist v0 ∈ H mit ||v0 || = 1, dann ist die Abbildung
P(v) = hv, v0 i v0
die Orthogonalprojektion auf den eindimensionalen Unterraum U = Cv0 .
• Sei H = L2 ([0, 1]) und sei A ⊂ [0, 1] eine messbare Teilmenge. Die Abbildung
PA : H → H definiert durch
PA ϕ(x) = 11A (x)ϕ(x)
ist eine Orthogonalprojektion. mit Bild isomorph zu L2 (A).
• Sei (X, A , µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, also ein Maßraum mit µ(X) = 1
und sei B ⊂ A eine Unter-σ-Algebra. Der Raum L2 (µ|B ) aller B -messbaren
L2 -Funktionen ist ein abgeschlossener Teilraum von L2 (µ). Sei PB die
Orthogonalprojektion mit Bild L2 (µ|B ). In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist
PB als bedingter Erwartungswert bekannt. Als Beispiel betrachten wir den
Fall B = {∅, X}. Dann ist L2 (µ|B ) der Raum der konstanten Funktionen und
FUNKTIONALANALYSIS
81
daher ist
Z
PB (ϕ) = ϕ, 1 · 1 =
ϕ(x) dµ(x) · 1.
X
Lemma 4.3.3. Für eine Orthogonalprojektion P gilt ||P(v)|| ≤ ||v|| und
||Pv|| = ||v||
⇔
Pv = v.
Beweis. klar.
Satz 4.3.4. Seien P1 , P2 Orthogonalprojektionen auf einem Hilbert-Raum H. Seien
V1 und V2 die Bildräume, also Pi (H) = Vi . Dann sind äquivalent:
(a) V1 ⊥ V2 ,
(b) P1 P2 = 0,
(c) P1 + P2 ist eine Projektion.
Ist dies erfüllt, dann ist P1 + P2 eine Orthogonalprojektion mit Bild V1 ⊕ V2 .
Beweis. (c)→(b): Es gilt
P1 + P2 = (P1 + P2 )2 = P21 + P22 + P1 P2 + P2 P1 = P1 + P2 + P1 P2 + P2 P1 ,
also ist P1 P2 + P2 P1 = 0. Wir multiplizieren einmal von links und einmal von
rechts mit P1 und erhalten P1 P2 + P1 P2 P1 = 0 = P2 P1 + P1 P2 P1 , also
P1 P2 = P2 P1 = 0.
(b)→(a): Die Gleichung P1 P2 = 0 bedeutet, dass V2 , das Bild von P2 , im Kern von
P1 , also in V1⊥ liegt. Daher folgt V1 ⊥ V2 .
(a)→(c): Es gilt (V1 ⊕ V2 )⊥ = V1⊥ ∩ V2⊥ und also
H = V1 ⊥ V2 ⊥ (V1⊥ ∩ V2⊥ ).
FUNKTIONALANALYSIS
82
Sei v = v1 + v2 + w ∈ H in dieser Zerlegung geschrieben. Sei Q die
Orthogonalprojektion mit Bild V1 ⊕ V2 , so gilt Q(v) = v1 + v2 . Andererseits ist
auch (P1 + P2 )(v) = v1 + v2 .
Satz 4.3.5. Seien Pi , Vi wie im letzten Satz. Dann sind äquivalent:
(a) V1 ⊂ V2 ,
(b) P1 P2 = P2 P1 = P1 ,
(c) P2 − P1 ist eine Projektion.
Ist dies erfüllt, dann ist P2 − P1 eine Orthogonalprojektion mit Bild V2 ∩ V1⊥ .
Beweis. (a)→(b): Sei V3 = V2 ∩ V1⊥ . Dann ist V2 = V1 ⊥ V3 und
H = V1 ⊥ V3 ⊥ V2⊥ . Zerlege ein gegebenes v ∈ H entsprechend v = v1 + v3 + v2 .
Dann ist P1 P2 (v) = P1 (v1 + v3 ) = v1 = P1 (v) = P2 P1 (v).
(b)→(c): Es ist (P2 − P1 )2 = P22 + P21 − P1 P2 − P2 P1 = P2 + P1 − P1 − P − 1 = P2 − P1 .
(c)→(a): Sei v ∈ E1 . Dann ist
P2 (v) − v = (P2 − P1 )(v) = (P2 − P1 )2 (v) = P2 (v) + v − P2 (v) − P1 P2 (v) = v − P1 P2 (v),
also (1 + P1 )P2 (v) = 2v. Wenden wir hierauf P1 an, erhalten wir P1 P2 (v) = v,
woraus nach Lemma 4.3.3 folgt P2 (v) = v.
Satz 4.3.6. Sein Pi , Vi wie im letzten Satz. Dann sind äquivalent:
(a) P1 P2 ist Projektion,
(b) P1 P2 = P2 P1 ,
FUNKTIONALANALYSIS
83
(c) Es gibt paarweise senkrechte Unterräume W1 , W2 , V mit
V1 = V ⊥ W 1 ,
V2 = V ⊥ W 2 .
In diesem Fall ist P1 P2 eine Orthogonalprojektion mit Bild V.
Beweis. Übungsaufgabe.
4.4
Normale Operatoren
Definition 4.4.1. Ein Operator T ∈ B(H) heisst normal, falls TT∗ = T∗ T.
Beispiele 4.4.2.
• Jeder selbstadjungierte Operator ist normal.
• Eine Matrix A ∈ Mn (C) ist genau dann normal, wenn es ein k ∈ U(n) und
eine Diagonalmatrix D gibt, so dass A = kDk−1 gilt.
Satz 4.4.3. Ein Operator T ∈ B(H) ist genau dann normal, wenn
||Tv|| = ||T∗ v||
für jedes v ∈ H gilt. Für einen normalen Operator T gilt
(a) Ker(T) = Ker(T∗ ),
(b) Bild(T) ist genau dann dicht in H, wenn T injektiv ist,
(c) T ist genau dann invertierbar, wenn es ein δ > 0 gibt so dass ||Tv|| ≥ δ ||v|| für
jedes v ∈ H,
(d) gilt Tv = λv für ein v ∈ H und λ ∈ C, dann folgt T∗ v = λv,
FUNKTIONALANALYSIS
84
(e) sind λ und µ verschiedene Eigenwerte von T, dann stehen die zugehörigen
Eigenräume senkrecht aufeinander.
Beweis. Ist T normal, so gilt
||Tv||2 = hTv, Tvi = hv, T∗ Tvi = hv, TT∗ vi = hT∗ v, T∗ vi = ||T∗ v||2 .
Ist umgekehrt ||Tv|| = ||T∗ v||, so folgt aus der Polarisierungsidentität, dass für alle
v, w ∈ H die Gleichung hTv, Twi = hT∗ v, T∗ wi gilt. Also folgt
hT∗ Tv, wi = hTv, Twi = hT∗ v, T∗ wi = hTT∗ v, wi ,
so dass T∗ T = TT∗ folgt.
(a) Sei v ∈ Ker(T), so folgt 0 = ||Tv|| = ||T∗ v||, also v ∈ Ker(T∗ ). Die Rückrichtung
folgt aus Symmetrie.
(b) Sei das Bild dicht, so ist wegen hTv, wi = hv, T∗ wi der Operator T∗ injektiv.
Wegen ||Tv|| = ||T∗ v|| ist dann T injektiv. Sei umgekehrt T (und also T∗ ) injektiv
und sei u ∈ Bild(T)⊥ . Für jedes w ∈ H folgt 0 = hu, Twi = hT∗ u, wi, also
u ∈ Ker(T∗ ), somit u = 0.
(c) Es existiere solch ein δ. Ist dann (Tv j ) eine Cauchy-Folge im Bild, dann ist (v j )
eine Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein u ∈ H. Dann ist Tu der Limes der
Folge (Tv j ), also ist das Bild abgeschlossen. Da T injektiv ist, folgt nach (b), dass
T surjektiv, also bijektiv ist.
Sei umgekehrt T invertierbar, dann folgt ||v|| = T−1 Tv ≤ T−1 ||Tv||, man kann
also δ = 1/ T−1 nehmen.
(d) Es gelte Tv = λv und es sei v , 0, so folgt T(T∗ v) = T∗ Tv = λT∗ v, also liegt T∗ v
wieder im T-Eigenraum zum Eigenwert λ. Sei w ein weiterer Vektor in diesem
D
E
Eigenraum, so gilt hT∗ v, wi = hv, Twi = hv, λwi = λ hv, wi = λv, w . Da dies für
FUNKTIONALANALYSIS
85
jedes w aus dem Eigenraum gilt, folgt T∗ v = λv.
(e) Sind λ und µ zwei verschiedene Eigenwerte. Seien v und w zugehörige
Eigenvektoren, so gilt λ hv, wi = hλv, wi = hTv, wi = hv, T∗ wi = v, µw = µ hv, wi ,
also hv, wi = 0.
Beispiele 4.4.4.
• In der Linearen Algebra lernt man, dass jeder normale
Operator auf dem Cn diagonalisierbar ist, dass also Cn eine Basis von
Eigenvektoren besitzt.
• Jeder Operator T ∈ B(H) kann als Linearkombination von
selbstadjungierten Operatoren geschrieben werden:
T = Re(T) + i Im(T),
wobei Re(T) = 21 (T + T∗ ) und Im(T) = 2i1 (T − T∗ ). Es ist dann
T∗ = Re(T) − i Im(T)
und T ist genau dann normal, wenn je zwei der drei Operatoren
T, Re(T), Im(T) miteinander kommutieren.
Kapitel 5
Funktionalkalkül
5.1
Spektrum und Resolvente
Definition 5.1.1. Sei T ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbert-Raum H.
Die Resolventenmenge Res(T) von T ist die Menge aller λ ∈ C, für die der
Operator T − λ = T − λId bijektiv ist. Nach dem Satz der offenen Abbildung ist
dann die Umkehrabbildung (T − λ)−1 wieder ein stetiger Operator, der die
Resolvente genannt wird.
Der Name kommt daher, dass die Resolvente es erlaubt, die Gleichung
(T − λ)x = a
zu lösen, es ist dann nämlich
x = (T − λ)−1 a.
Definition 5.1.2. Die Menge σ(T) = C r Res(T) heisst das Spektrum von T.
Beispiel 5.1.3. Ist H endlich-dimensional, dann besteht σ(T) genau aus den
Nullstellen des charakteristischen Polynoms, es ist dann also
σ(T) = Menge der Eigenwerte von T.
86
FUNKTIONALANALYSIS
87
Definition 5.1.4. Sei T ein stetiger Operator auf einem Hilbert-Raum H. Ist
Ker(T − λ) , 0, so heisst λ Eigenwert von T.
Es gibt auch Spektralwerte, die keine Eigenwerte sind. In diesem Fall ist t − λ
zwar injektiv, nicht aber surjektiv.
Beispiel 5.1.5. Multiplikationsoperator Sei H = L2 (0, 1) und sei T : H → H
gegeben durch
T( f )(t) = t f (t).
Wir behaupten, dass T keine Eigenwerte hat, das Spektrum aber aus dem
ganzen Intervall [0, 1] besteht.
Beweis. Zum ersten sei λ ∈ C und f ∈ H mit (T − λ) f = 0. Das heisst, dass
0 = (T − λ) f (t) = t f (t) − λ f (t) = (t − λ) f (t)
fast überall in t ∈ T gilt. Für t , λ heisst das aber f (t) = 0, also f = 0 fast überall.
Zum zweiten sei λ ∈ C r [0, 1], dann ist T invertierbar, der Inverse Operator ist S
mit
1
f (t).
t−λ
Schliesslich sei λ ∈ [0, 1]. Angenommen, T − λ wäre surjektiv. Dann gäbe es
S( f )(t) =
f ∈ L2 (0, 1) mit (T − λ)( f ) = 1 (konstante Funktion). Es wäre also (t − λ) f (t) = 1
fast überall, also
1
t−λ
fast überall. Diese Funktion liegt aber nicht in L2 . Widerspruch!
f (t) =
Lemma 5.1.6. Für einen stetigen Operator T auf einem Hilbert-Raum H gilt
σ(T∗ ) = σ(T).
Beweis. Ein Operator S ist genau dann invertierbar, wenn S∗ invertierbar ist.
Wegen (T∗ − λ) = (T − λ)∗ folgt, dass λ genau dann in der Resolventenmenge von
FUNKTIONALANALYSIS
88
T∗ liegt, wenn λ in der Resolventenmenge von T ist.
Die Einheitengruppe von B(H) ist die Gruppe B(H)× aller invertierbaren
Operatoren in B(H).
Satz 5.1.7. (a) Die Einheitengruppe B(H)× ist eine offene Teilmenge von B(H). Die
Inversion T 7→ T−1 ist eine stetige Abbildung B(H)× → B(H)× .
(b) Die Abbildung φT : C → B(H) mit
φT (λ) = T − λ
ist stetig. Die Resolventenmenge Res(T) ist eine offene und das Spektrum eine
abgeschlossene Teilmenge von C.
(c) Das Spektrum von T ∈ B(H) ist eine abgeschlossene Teilmenge der
abgeschlossenen Kreisscheibe B||T|| (0) ⊂ C.
Beweis. (a) Wir zeigen zunächst, dass B(H)× eine offene Umgebung der Identität
enthält. Genauer zeigen wir B1 (Id) ⊂ B(H)× . Der Einfachheit halber schreiben
wir Id = 1. Es ist
B1 (1) = {T : ||T − 1|| < 1} = {1 − R : ||R|| < 1}.
Sei also R ∈ B(H) mit ||R|| < 1. Wir müssen zeigen, dass 1 − R invertierbar ist. Die
P
n
Reihe ∞
n=0 ||R|| konvergiert in C. Also konvergiert die geometrische Reihe
S=
∞
X
n=0
Rn
FUNKTIONALANALYSIS
89
absolut in B(H). Es ist
(1 − R)S = S(1 − R) = (1 − R)
∞
X
Rn =
n=0
∞
X
Rn −
n=0
∞
X
Rn+1 = 1.
n=0
Ist nun U ∈ B(H)× beliebig, dann ist UB1 (1) eine offene Umgebung von U, die
ganz in B(H)× liegt, denn es ist
1
} = B1/||U−1 || (U).
UB1 (1) = {U − UR : ||R|| < 1} ⊃ {U − Z : ||Z|| < −1
U Also ist B(H)× offen.
Nun zur Stetigkeit der Inversion: Wir zeigen, dass die Inversion die Menge B1 (1)
in sich wirft und dort stetig ist. Hieraus folgt die Behauptung, denn auf der
offenen Menge B1 (1)T0 ist die Inversion eine Komposition stetiger Abbildungen:
T 7→ TT01 7→ T0 T−1 7→ T−1 .
Es reicht also zu zeigen, dass die Inversion auf B1 (1) stetig ist. Seien hierzu
S, T ∈ B(H) mit ||S|| ||T|| < c < 1. Dann folgt für n ∈ N,
n−1
n−1
X
X
n
n
k
n−1−k
≤ ||S − T||
ST
||S − T || = (S − T)
||S||k ||T||n−1−k
k=0
k=0
≤ ||S − T||
n−1
X
cn−1 = ||S − T|| ncn−1
k=0
und damit
∞
∞
X
X
||S − T||
n
n
−1
−1
(1 − S) − (1 − T) = ncn−1 =
S − T ≤ ||S − T||
.
2
(1
−
c)
n=0
n=0
Die ist die verlangte Stetigkeit der Inversion.
FUNKTIONALANALYSIS
90
(b) Für λ, µ ∈ C gilt
φT (λ) − φT (µ) = µ − λ = |λ − µ|,
also ist φT stetig. Die Resolventenmenge ist das Urbild der offenen Menge
B(H)× , also offen in C. Das Spektrum ist das Komplement der offenen
Resolventenmenge, also abgeschlossen.
(c) Sei λ ∈ C mit |λ| > ||T||. Wir müssen zeigen, dass λ < σ(T), also dass T − λ
invertierbar ist. Es ist T − λ = λ( λ1 T − 1) und für den Operator R = λ1 T gilt
||R|| =
1
|λ|
||T|| < 1, also ist R − 1, und damit auch T − λ, invertierbar.
Sei D ⊂ C offen und sei f : D → V eine Abbildung, wobei V ein Banach-Raum
ist. Wir sagen, f ist holomorph, wenn für jedes z ∈ D der Grenzwert
1
f 0 (z) = lim ( f (z + h) − f (z))
h→0 h
in V existiert. Ist f holomorph und ist α : V → C ein stetiges lineares Funktional,
dann ist die Funktion z 7→ α( f (z)) eine holomorphe Funktion von D nach C.
Lemma 5.1.8. Sei H ein Hilbert-Raum und sei T ∈ B(H). Dann ist die Abbildung
f : λ 7→ (T − λ)−1 holomorph auf der Resolventenmenge Res(T).
Beweis. Nach dem Satz ist f stetig. Sei λ ∈ Res(T) und sei h eine kleine komplexe
Zahl. Dann ist h1 ( f (λ + h) − f (λ)) gleich
1
1
(T − λ − h)−1 − (T − λ)−1 = ((T − λ) − (T − λ − h)) (λ + h − T)−1 (λ − T)−1
h
h
= −(T − λ − h)−1 (T − λ)−1 .
Diese Abbildung ist stetig in h = 0.
Definition 5.1.9. Sei H ein Hilbert-Raum. Für T ∈ B(H) sei der Spektralradius
FUNKTIONALANALYSIS
91
r(T) definiert als
r(T) = sup |λ|.
λ∈σ(T)
Satz 5.1.10 (Spektralradiusformel). Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Das Spektrum σ(T) ist nicht-leer.
(b) Es gilt r(T) ≤ ||T|| und
1
r(T) = lim ||Tn || n .
n
(c) Ist T normal, so gilt
r(T) = ||T|| .
Beweis. (a) Angenommen, σ(T) = ∅. Dann ist T − λ stets invertierbar, also die
λ 7→ (T − λ)−1 auf ganz C holomorph. Für |λ| > 2 ||T|| ist
Abbildung
n n
1 T ≤ ||T||n ≤ 1n und daher konvergiert die Reihe
λ
|λ|
2
∞ X
1 −1
1 n
T = 1− T .
λ
λ
n=0
Es ist dann
∞
2
1 1 −1 1 X −n
−1
(T − λ) =
(1 − T) ≤
2 = .
|λ|
λ
|λ| n=0
|λ|
Also folgt für v, w ∈ H und |λ| > 2 ||T||,
D
E 2 ||v|| ||w||
| (T − λ)−1 v, w ≤
.
|λ|
D
E
−1
Die holomorphe Abbildung λ 7→ (T − λ) v, w ist auf {|λ| ≤ ||T||} beschränkt,
nach obigem also insgesamt beschränkt, damit konstant, aber nach der obigen
FUNKTIONALANALYSIS
92
Abschätzung kann diese Konstante nur die Null sein. Wir erhalten also
(T − λ)−1 = 0,
ein Widerspruch! Damit ist die Annahme falsch, also folgt σ(T) , ∅.
(b) r(T) ≤ ||T|| folgt aus Satz 5.1.7. Wir beweisen die Ungleichungen
1
1
r(T) ≤ lim inf kTn k n ≤ lim sup kTn k n ≤ r(T),
aus denen der Satz folgt.
Für λ ∈ σ(T), gilt
λ − T = (λ − T)
n
n
n−1
X
λ j Tn−1−j .
j=0
1
Also λn ∈ σ(Tn ) und damit |λ|n ≤ kTn k für jedes n ∈ N. Also r(T) ≤ kTn k n für jedes
n ∈ N, so dass die erste Ungleichung folgt.
1
Um lim sup kTn k n ≤ r(T) zu zeigen, betrachte
∞
(λ − T)
−1
T −1 X n 1
T n+1
= λ (1 − ) =
λ
λ
n=0
−1
für |λ| > kTk. Da diese Funktion holomorph ist, konvergiert die Reihe schwach
1
für jedes |λ| > r(T). Für gegebenes |λ| > r(T) folgt, dass die Folge Tn λn+1
schwach
konvergent, nach Lemma 3.5.6 also normbeschränkt ist. Also existiert ein C ≥ 0
so dass kTn k ≤ C|λ|n+1 für jedes n ∈ N. Nimmt man auf beiden Seiten n-te
1
Wurzeln und wendet lim sup an, erhält man lim sup kTn k n ≤ |λ|. Da dies für jedes
1
|λ| > r(T) gilt, folgt lim sup kTn k n ≤ r(T).
(c) Sei T normal, so gilt
E D
E
2 D
T2 v = T2 v, T2 v = Tv, T∗ T2 v = hT∗ Tv, T∗ Tvi = ||T∗ Tv||2 .
Also folgt T2 = ||T∗ T|| = ||T||2 , siehe Satz 4.1.1 (b). Dies gilt ebenso für Tk anstelle
FUNKTIONALANALYSIS
93
n n
von T, also folgt induktiv, dass T2 = ||T||2 ist. Daher
n 2−n
r(T) = limn T2 = ||T|| .
Beispiele 5.1.11.
• Der Nulloperator, Tv = 0 für alle v, hat Spektrum {0}.
• Ein Beispiel, dass der Spektralradius nicht mit der Operatornorm
übereinstimmen muss, ist leicht gefunden. Betrachte die Matrix A =
   
 1   2 
als Operator auf C2 . Wegen A   =  , folgt ||A||op > 1 = r(A).
1
1
1 1
0 1
Satz 5.1.12. (a) Ist T ein unitärer Operator und ist λ ∈ σ(T), dann ist |λ| = 1.
(b) Ist S ein selbstadjungierter stetiger Operator und ist λ ∈ σ(S), dann ist λ eine
reelle Zahl.
Beweis. (a) Da ||T|| = 1, folgt |λ| ≤ 1. Gilt |λ| < 1, so ist ||λT∗ || < 1 und also ist
T − λ = T(1 − λT∗ )
invertierbar, was bedeutet λ < σ(T).
(b) Sei S selbstadjungiert und sei λ = σ + it. Setze Sλ = S − λ. Dann folgt
||Sλ v||2 = ||Sv − σv − itv||2
= hSv − σv − itv, Sv − σv − itvi
= hSv − σv, Sv − σvi + i hSv − σv, tvi − i htv, Sv − tvi + htv, tvi
|
{z
}
=0
= ||Sv − σv||2 + t2 ||v||2 .
Damit ist ||Sλ v|| ≥ |t| ||v||. Ist t , 0, so ist Sλ invertierbar nach Satz 4.4.3 (c), also
λ < σ(S).
Definition 5.1.13. Ein selbstadjungierter Operator T ∈ B(H) heisst positiver
FUNKTIONALANALYSIS
94
Operator, falls
hTv, vi ≥ 0 ∀v ∈ H.
Proposition 5.1.14. Ist T ein positiver Operator, dann liegt das Spektrum σ(T) im
Intervall [0, ∞).
Wir werden später sehen, dass auch die Umkehrung richtig ist, d.h.: ist das
Spektrum eines selbstadjungierten Operators T in [0, ∞), dann ist T positiv.
Beweis. Wir können annehmen, dass kTk = 1. Dann σ(T) ⊆ [−1, 1] da T
def
selbstadjungiert ist. Wir zeigen dass Tµ = T + µ1 invertierbar ist für jedes
µ > 0. Nach Annahme haben wir
D
E
kTµ vkkvk ≥ Tµ v, v = hTv, vi + µ hv, vi ≥ µkvk2 ,
also kTµ vk ≥ µkvk für jedes v ∈ H. Daher ist Tµ invertierbar nach Satz 4.4.3.
Definition 5.1.15. Sind A, B ⊂ C nicht-leere, kompakte Teilmengen, so definieren
wir
˜ B) = sup inf |a − b|
d(A,
a∈A b∈B
und die Hausdorff-Metrik durch
˜
˜
d(A, B) = max d(A, B), d(B, A) .
Es ist dann
d(A, B) ∈ [0, ∞).
Lemma 5.1.16. Für nicht-leere, kompakte Teilmengen A, B, C ⊂ C gilt
• d(A, B) = 0 ⇔ A = B
Definitheit
• d(A, B) = d(B, A)
Symmetrie
• d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
Dreiecksungleichung
FUNKTIONALANALYSIS
95
Damit ist d in der Tat eine Metrik auf der Menge aller nicht-leeren, kompakten
Teilmengen von C.
Beweis. Die Symmetrie ist klar.
Ist A = B, so folgt d(A, B) = 0. Für die Umkehrung sei d(A, B) = 0. Ist a ∈ A, so
muss infb∈B |a − b| = 0 sein, es gibt also eine Folge b j ∈ B mit |a − b j | → 0, also
a = lim j b j . Da B abgeschlossen ist, folgt a ∈ B, also A ⊂ B. Aus
Symmetriegründen folgt B ⊂ A, also A = B.
Nun zur Dreiecksungleichung. Sei ε > 0 und sei a ∈ A. Für jedes c ∈ C gilt
inf |a − b| ≤ inf |a − c| + |c − b|.
b∈B
b∈B
Also können wir rechts noch das Infimum über c ∈ C nehmen und erhalten
inf |a − b| ≤ inf |a − c| + inf inf |c − b| ≤ inf |a − c| + sup inf |c − b|.
b∈B
c∈C
c∈C b∈B
c∈C
c∈C b∈B
Nehmen wir nun noch das Supremum über A, so folgt
˜ B) ≤ d(A,
˜ C) + d(C,
˜ B)
d(A,
As Symmetriegründen folgt
˜ A) ≤ d(B,
˜ C) + d(C,
˜ A)
d(B,
und damit auch
d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B)
Lemma 5.1.17. Sind A j , j ∈ N und A nicht-leere, kompakte Teilmengen von C, so
konvergiert die Folge A j genau dann gegen A, wenn
• zu jedem a ∈ A gibt es eine Folge a j ∈ A j mit a j → a und
FUNKTIONALANALYSIS
96
• Ist (a j ) eine Folge mit a j ∈ A j , dann hat jede Teilfolge einen Häufungspunkt in A.
Beweis. Übungsaufgabe.
Lemma 5.1.18. Ist X ein nicht-leerer kompakter metrischer Raum und ist f j ∈ C(X)
eine Folge stetiger Funktionen, die in der Supremumsnorm
||h|| = sup |h(x)|
x∈X
gegen ein f ∈ C(X) konvergiert. Dann konvergiert die Folge der Bilder
A j = f j (X)
in der Hausdorff-Metrik gegen A = f (X).
Beweis. Sei a ∈ A, etwa a = f (x), dann konvergiert a j = f j (x) ∈ A j gegen a.
Ist andersherum a j ∈ A j eine in C konvergente Folge mit Limes z ∈ C. Wir wollen
zeigen, dass z ∈ A gilt. Sei etwa a j = f (x j ). Die Folge x j in X hat eine konvergente
Teilfolge, wir ersetzen sie durch diese Teilfolge und nehmen an, dass x j → x gilt.
Wir behaupten, dass f (x) = z gilt. Sei ε > 0. Dann gibt es j ∈ N mit f j − f < ε/3
und |a j − z| < ε/3, sowie | f (x) − f (x j )| < ε/3. Es folgt
| f (x) − z| = | f (x) − f (x j ) + f (x j ) − f j (x j ) + f j (x j ) − z|
≤ | f (x) − f (x j )| + | f (x j ) − f j (x j )| + | f j (x j ) −z|
|{z}
=a j
< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.
Da ε beliebig war, folgt f (x) = z.
Satz 5.1.19. Sind T j , j ∈ N und T normale Operatoren auf dem Hilbert-Raum H
und gilt T j − T → 0, dann konvergiert σ(T j ) gegen σ(T) in der Hausdorff-Metrik.
FUNKTIONALANALYSIS
97
Beweis. Sei λ ∈ σ(T) und nimm an, λ wäre kein Limespunkt einer Folge
λ j ∈ σ(T j ). Dann gibt es ein ε > 0 so dass der offene Kreis Bε (λ) für jedes j ganz in
der Resolventenmenge Res(T j ) liegt. Das bedeutet aber r (T j − λ)−1 < 1ε , denn ist
|µ| > 1ε , so ist
1
(T j − λ)−1 − µ = µ(T j − λ)−1 ( − T j + λ)
µ
invertierbar. Da T j normal ist, ist auch (T j − λ)−1 normal und daher nach Satz
5.1.10,
1
(T j − λ)−1 < .
ε
Es folgt für i, j ∈ N,
1 −1
−1
−1
−1
(Ti − λ) − (T j − λ) ≤ (Ti − λ) (T j − λ) Ti − T j < 2 Ti − T j ,
ε
so dass (T j − λ)−1 eine Cauchy-Folge ist und daher konvergent gegen ein
S(λ) ∈ B(H). Es folgt
(T − λ)S(λ) = lim(T j − λ)(T j − λ)−1 = 1
j
und ebenso S(λ)(T − λ) = 1, so dass λ in der Resolventenmenge von T liegt, im
Widerspruch zur Annahme! Also muss λ ein Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j )
sein.
Andererseits sei λ Limespunkt einer Folge λ j ∈ σ(T j ). Es gilt dann also
(T j − λ j ) → (T − λ).
Wäre nun λ ∈ Res(T), also (T − λ) ∈ B(H)× , so gäbe es ein j0 so dass für j ≥ j0
schon (T j − λ j ) ∈ B(H)× , da die Einheitengruppe B(H)× offen ist. Dies ist aber
nicht der Fall, also folgt λ ∈ σ(T).
FUNKTIONALANALYSIS
5.2
98
Funktionalkalkül
Erinnerung: eine Algebra über C ist ein komplexer Vektorraum A mit einem
bilinearen und assoziativen Produkt A × A → A, geschrieben (a, b) 7→ ab. Das
heisst also, es gilt
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca
λ(ab) = (λa)b = a(λb)
(ab)c = a(bc)
für alle a, b, c ∈ A und jedes λ ∈ C.
Beispiele 5.2.1.
• Man kann jeden Vektorraum V zu einer Algebra machen,
indem man ab = 0 setzt. Dies ist allerdings nicht das interessanteste Beispiel.
• Mn (C) mit der Matrixmultiplikation.
• B(H) für einen Hilbert-Raum H, das Produkt ist hier die
Hintereinanderausführung.
• C0 (X) für einen lokalkompakten Hausdorffraum.
Eine Algebra A heisst unital, wenn es ein Einselement gibt, das ist ein Element
1 = 1A so dass für jedes a ∈ A gilt
1a = a1 = a.
Wenn es ein solches gibt, ist es eindeutig bestimmt, denn sei 10 ein zweites, dann
gilt 1 = 110 = 10 .
Definition 5.2.2. Eine lineare Abbildung φ : A → B zwischen zwei Algebren
heisst Algebrenhomomorphismus, falls φ(ab) = φ(a)φ(b) für alle a, b ∈ A gilt. Ist
A unital, so verlangt man ausserdem, dass B auch unital ist und dass φ(1) = 1 ist.
Ein Algebrenhomomorphismus φ heiss Algebrenisomorphismus, wenn φ
bijektiv ist. Dann ist die Umkehrabbildung ebenfalls ein
Algebrenhomomorphismus.
FUNKTIONALANALYSIS
99
Beispiel 5.2.3. Ist Y ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge des lokalkompakten
Hausdorffraums Raums X, dann ist die Restriktion C0 (X) → C0 (Y); f 7→ f |Y ein
Algebrenhomomorhismus.
Sei C[X] die Algebra der Polynome. Für T ∈ B(H) betrachte den
Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch
P( f (X)) = f (T).
Lemma 5.2.4 (Spektraler Abbildungssatz für Polynome). Sei T ein stetiger
normaler Operator auf einem Hilbert-Raum H. Für ein Polynom f ∈ C[X] ist f (T) ein
stetiger Operator mit
σ( f (T)) = f (σ(T)),
wobei f (σ(T)) = { f (λ) : λ ∈ σ(T)}.
Beweis. Sei der Grad von f grösser Null. Wir schreiben
f (X) − λ = a(X − λ1 ) · · · (X − λn ).
Dann ist
f (T) − λ = a(T − λ1 ) · · · (T − λn ).
”⊂” Sei λ ∈ σ( f (T)). Dann ist f (T) − λ nicht invertierbar und daher muss ein λi
im Spektrum von T liegen. Es ist dann λ = f (λi ) ∈ f (σ(T)).
”⊃“ Sei λ ∈ f (σ(T)), also λ = f (µ) mit µ ∈ σ(T). Dann ist µ = λi für ein i. Daher ist
f (T) − λ nicht invertierbar, also λ ∈ σ( f (T)).
Satz 5.2.5 (Stetiger Funktionalkalkül). Sei T ein selbstadjungierter Operator auf
dem Hilbert-Raum H. Es gibt genau einen isometrischen Algebrenhomomorphismus
φ : C(σ(T)) → B(H) mit φ(Id) = T. Hierbei bezeichnet Id die Abbildung σ(T) → C
FUNKTIONALANALYSIS
100
gegeben durch z 7→ z. Dieser Homomorphismus hat die zusätzliche Eigenschaft
φ( f ∗ ) = φ( f )∗ ,
wobei wir für f ∈ C(σ(T)) definieren: f ∗ (t) = f (t). Wir schreiben φ( f ) suggestiv als
f (T). Es gilt
σ( f (T)) = f (σ(T)).
Insbesondere ist f (T) selbstadjungiert, falls f reellwertig ist.
Beweis. Jedes Polynom p liefert eine stetige Abbildung σ(T) → C. Wir erhalten
also einen Algebrenhomomorphismus ψ : C[X] → C(σ(T)). Andererseits haben
wir einen Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch
P( f (X)) = f (T). Wir wollen den gepunkteten Homomorphismus konstruieren:
ψ
C[X]
/
C(σ(T))
P
%
∃!
B(H)
1. Schritt: Das Bild von ψ ist dicht in C(σ(T)).
Dies folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraß.
2. Schritt: Für jedes f ∈ C[X] gilt ψ( f ) = P( f ).
Da T normal, ist f (T) normal, also ist r( f (T)) = f (T) nach Satz 5.1.10. Daher
ψ( f ) = sup | f (x)|
x∈σ(T)
= sup |z| = sup |z|
z∈ f (σ(T))
z∈σ( f (T))
= r( f (T)) = f (T) = P( f ) .
3. Schritt: Finale.
FUNKTIONALANALYSIS
101
Aus dem 2.Schritt folgt, dass der Kern J von ψ gleich dem Kern von P ist, das
Bild Bild(ψ) ist also isomorph C[X]/J und dies ist isomorph zum Bild Bild(P).
Ferner ist die Abbildung
Bild(ψ) → Bild(P) → B(H)
isometrisch, setzt also zu genau einer isometrischen Abbildung
φ : C(σ(T)) → B(H) fort. Auf der dichten Unteralgebra Bild(ψ) ist ψ ein
Algebrenhomomorphismus, also ist φ insgesamt ein
Algebrenhomomorphismus. Die Eindeutigkeit ist klar wegen der Dichtheit der
Polynome.
Die Eigenschaften φ( f ∗ ) = φ( f )∗ und σ( f (T)) = f (σ(T)) sind klar, wenn f ein
Polynom ist. Die erste folgt sofort allgemein und die zweite wie folgt:
Sei f j eine Folge von Polynomen die in C(σ(T)) gegen f konvergiert. Es gilt
f j (σ(T)) = σ( f j (T)) nach Lemma 5.2.4. Die Folge f j (σ(T)) konvergiert nach Lemma
5.1.18 in der Hausdorff-Metrik gegen f (σ(T)). Die Folge σ( f j (T)) konvergiert nach
Satz 5.1.19 in der Hausdorff-Metrik gegen σ( f (T)), so dass insgesamt die
Gleichheit folgt.
Proposition 5.2.6. Ein selbstadjungierter Operator ist genau dann positiv, wenn sein
Spektrum positiv ist.
Beweis. Ist T ≥ 0, so ist nach Proposition 5.1.14 σ(T) ≥ 0.
Sei umgekehrt σ(T) ≥ 0. Dann existiert nach dem Funktionalkalkül ein
√
selbstadjungierter Operator S = T so dass T = S2 . Es folgt für v ∈ H,
D
E
hTv, vi = S v, v = hSv, Svi ≥ 0.
2
Korollar 5.2.7. Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es gelte
σ(T) = A ∪ B mit zwei disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A, B. Dann existieren
eindeutig bestimmte selbstadjungierte Operatoren TA , TB so dass
FUNKTIONALANALYSIS
102
• T = TA + TB ,
• σ(TA ) = A,
σ(TB ) = B,
• die drei Operatoren T, TA , TB kommutieren miteinander.
Ferner gibt eine Orthogonalzerlegung H = HA ⊕ HB , so dass gilt
TA = PA T = TPA ,
TB = PB T = TPB ,
wobei PA und PB die entsprechenden Orthogonalprojektionen sind. Man kann diesen
letzten Tatbestand etwas lax so ausdrücken, dass in der Zerlegung H = HA ⊕ HB gilt


TA 0 
 .
T = 

0 TB
Beweis. Da A ∪ B = ∅ und beide abgeschlossen sind, liegen die Funktionen 11A
und 11B in C(σ(T). Setze fA (t) = t11A und fB (t) = t11B und TA = fA (T) sowie
TB = fB (T). Wegen fA + fB = Idσ(T) folgt T = TA + TB , ferner ist
σ(TA ) = fA (σ(T)) = A und ebenso für B. Da alle Operatoren eines
Funktionalkalküls miteinander kommutieren sind die ersten drei Punkte
bewiesen.
Für den Rest setze PA = 11A (T), dann ist PA eine selbstadjungierte Projektion, also
eine Orthogonalprojektion, sei HA das Bild. Wir machen dasselbe für B und
stellen fest. dass PA PB = 11A 11B (T) = 0 ist, sowie PA + PB = 11(T) = IdH .
Proposition 5.2.8. Sei T = T∗ ∈ B(H) und f ∈ C(σ(T)) reellwertig. Sei S = f (T), dann
ist S selbstadjungiert. Sei g ∈ C(σ(S)), dann gilt
(g ◦ f )(T) = g( f (T)).
Schreiben wir den Funktionalkalkül alternativ als φ( f, T) = f (T), so heisst das
φ(g ◦ f, T) = φ(g, φ( f, T)).
FUNKTIONALANALYSIS
103
Beweis. Ist g(x) = xn , dann ist g ◦ f (x) = f (x)n und da h 7→ h(T) ein
Algebrenhomomorphismus ist, folgt g ◦ f (T) = f (T)n = g( f (T)). Wegen Linearität
beider Seiten folgt die Behauptung für den Fall, dass g ein Polynom ist. Ist
allgemein g j → g eine Folge von Polynomen, die g auf σ(S) approximiert, dann
geht g j ◦ f gleichmässig auf σ(T) gegen g ◦ f , es folgt also
g ◦ f (T) = lim g j ◦ f (T) = lim g j ( f (T)) = g( f (T)).
j
5.3
j
Polarzerlegung
Sei T ein stetiger Operator auf H. Dann ist T∗ T selbstadjungiert und positiv.
Deshalb ist das Spektrum σ(T∗ T) eine Teilmenge von [0, ∞), siehe Proposition
√
5.1.14. Deshalb ist die Wurzelfunktion x 7→ x eine stetige Funktion auf σ(T∗ T).
√
Mit Hilfe des Funktionalkalküls definieren wir |T| = T∗ T ∈ B(H). Dies ist ein
selbstadjungierter Operator mit positivem Spektrum und der Eigenschaft
|T|2 = T∗ T.
Satz 5.3.1. Sei T ein stetiger Operator auf dem Hilbert-Raum H. Für v ∈ H ist die
Norm von |T|v gleich ||Tv||. Es existiert ein isometrischer Isomorphismus U vom
Abschluss von Bild(|T|) zum Abschluss von Bild(T) so dass T = U|T|. Diese
Zerlegung von T heisst Polarzerlegung. Sie ist eindeutig in folgendem Sinne. Ist
T = U0 P, wobei P selbst-adjungiert und positiv ist und U0 : Bild(P) → H ist
isometrisch, dann folgt U0 = U und P = |T|.
Beweis. Für v ∈ H ist das Quadrat der Norm ||Tv||2 gleich
D
E
hTv, Tvi = hT∗ Tv, vi = |T|2 v, v = h|T|v, |T|vi = |||T|v||2
Für v ∈ H definieren wir U(|T|v) = Tv, dann ist U eine wohldefinierte Isometrie
FUNKTIONALANALYSIS
104
von Bild(|T|) nach Bild(T), die auf den Abschluss ausdehnt und die Behauptung
erfüllt. Ferner ist U surjektiv, da es nach Definition schon surjektiv von
Bild(|T|) → Bild(T) ist und da es eine Isometrie ist, ist das Bild
U(Bild(|T|)) ⊂ Bild(T) vollständig und enthält Bild(T), also ist U surjektiv.
Für die Eindeutigkeit sei T = U|T| = U0 P. Erweitere U zu einem beschränkten
Operator auf H durch U ≡ 0 auf Bild(|T|)⊥ mach dasselbe für U0 . Dann ist U∗ U
die Orthogonalprojektion auf Bild(|T|) und (U0 )∗ U0 ist die Orthogonalprojektion
auf Bild(P), so dass (U0 )∗ U0 P = P. Es gilt
|T| =
√
p
p
√
√
T∗ T = (U0 P)∗ U0 P = P∗ (U0 )∗ U0 P = P∗ P = P2 = P.
Hieraus folgt auch U = U0 .
Beispiel 5.3.2. Sei H = L2 ([0, 1]) und f : [0, 1] → C× eine stetige Funktion.
Betrachte den Operator T f : H → H gegeben durch
T f ϕ(x) = f (x)ϕ(x).
Wir schreiben die Funktion f als f = u| f |, wobei u : [0, 1] → T stetig ist, genauer
ist u(x) = f (x)/| f (x)|. Es gilt dann T f = T| f | Tu und dies ist genau die
Polarzerlegung.
Kapitel 6
Kompakte Operatoren
6.1
Jordan Normalform fuer kompakte Operatoren
Definition 6.1.1. Ein Operator T auf einem Hilbert-Raum H heisst kompakter
Operator, falls T beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet.
Ist T kompakt und S beschränkt, dann sind ST und TS kompakt.
Definition 6.1.2. Eine lineare Abbildung F : H → H auf einem Hilbert-Raum H
heisst von endlichem Rang, falls das Bild F(H) endlich-dimensional ist.
Lemma 6.1.3. Fuer einen stetigen Operator T auf einem Hilbert-Raum H sind
aequivalent:
(a) T ist kompakt.
(b) Ist B der abgeschlossene Einheitsball in H, dann ist T(B) kompakt.
(c) Ist (v j ) eine beschraenkte Folge in H, dann hat die Folge (Tv j ) eine konvergente
Teilfolge.
Beweis. (a)⇒(b) ist klar.
(b)⇒(a): Ist X ⊂ H eine beschraenkte Teilmenge, etwa ||x|| < C fuer C > 0, dann ist
1
1
1
C X ⊂ B, also ist T C X = C T(X) relativ kompakt, also ist T(X) relativ kompakt.
105
FUNKTIONALANALYSIS
106
(a)⇒(c): Sei X die Menge aller Folgenglieder v j , dann ist X beschraenkt und T(X)
ist kompakt. damit hat die Folge T(v j ) ∈ T(X) eine konvergente Teilfolge.
(c)⇒(a): Ist X beschraenkt, dann hat nach (c) jede Folge in T(X) eine konvergente
Teilfolge, damit ist T(X) relativ kompakt.
Beispiele 6.1.4.
• Jeder Operator von endlichem Rang ist kompakt.
• Der Operator T = IdH ist genau dann kompakt, wenn H
endlich-dimensional ist.
• Sei (cn ) eine beschraenkte Folge in C. Der Operator ist stetig. Er ist genau
dann kompakt, wenn (cn ) eine Nullfolge ist.
T : H → H,
(x1 , x2 , . . . ) 7→ (c1 x1 , c2 x2 , . . . )
Beweis. Sei T kompakt und nimm an, (cn ) ist keine Nullfolge. Dann gibt es
ε > 0 so dass fuer unendlich viele j ∈ N gilt |c j | ≥ ε. Sei { j1 , j2 , . . . } die Menge
dieser Indizes. Sei dann vk = e jk = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) mit der Eins an der jk -ten
Stelle. Fuer k , l gilt
||T(vk ) − T(vl )||2 = |c jk |2 + |c jl |2 ≥ 2ε2 .
Daher kann T(v j ) keine konvergente Teilfolge haben, Widerspruch!
Due Rueckrichtung folgt leicht aus dem spaeter zu beweisenden Satz
6.2.4.
• Sei k ∈ `2 (N × N) und definiere den Operator T : H → H = `2 (N) durch
Tϕ(i) =
X
k(i, j)ϕ( j).
j∈N
Wir zeigen, dass T kompakt ist. Sei hierzu ϕn eine beschränkte Folge in H,
FUNKTIONALANALYSIS
107
also etwa ϕ ≤ C < ∞. Es gilt dann nach der Hoelder-Ungleichung:

 12
X
X
 
2
|k(i, j)|  ϕn ≤ ci C.
|Tϕn (i)| = k(i, j)ϕn (j) ≤ 


j
j
|
{z
}
=ci
Insbesondere ist für jedes i die Folge Tϕn (i) beschränkt, hat also eine
konvergente Teilfolge. Es gibt daher eine Teilfolge ϕ1n von ϕn so dass Tϕ1n (1)
konvergiert. Diese hat dann wieder eine Teilfolge ϕ2n so dass auch Tϕ2n (2)
j
konvergiert. Iterativ finden wir zu jedem j eine Teilfolge ϕn so dass die
j
j
Folgen Tϕn (1), . . . , Tϕn (j) alle konvergieren. Die Folge Tϕnn konvergiert dann
punktweise gegen eine Funktion ψ. Es ist
|ψ(i)| = lim |Tϕnn (i)| ≤ ci C.
n
Wegen
X
|ci | =
2
X
|k(i, j)|2 < ∞.
i, j∈N
i∈N
ist dann ψ ∈ `2 (N). Es bleibt zu zeigen, dass Tϕnn − ψ gegen Null geht. Sei
P
hierzu ε > 0. dann existiert ein i0 so dass i≥i0 |ci |2 ≤ ε/8. Es existiert ein n0 so
dass für n ≥ n0 gilt
i0 −1
X
|Tϕnn (i) − ψ(i)|2 < ε/2.
i=1
Es folgt für n ≥ n0 ,
i0 −1
∞
X
2 X
n
2
n
Tϕn − ψ =
|Tϕnn (i) − ψ(i)|2
|Tϕn (i) − ψ(i)| +
i=1
ε X
4|ci |2 < ε.
< +
2
i≥i0
Lemma 6.1.5. Ist T kompakt, dann auch |T| und T∗ .
i=i0
FUNKTIONALANALYSIS
108
Beweis. Wir schreiben T = U|T|, wobei U : Bild(|T|) → Bild(T) eine Isometrie ist.
Als solche hat sie eine Umkehrabbildung V, die ebenfalls eine Isometrie ist, also
gilt |T| = VT und V kann durch Null auf Bild(T)⊥ fortgesetzt werden zu einem
stetigen Operator auf H. Daher ist |T| kompakt. Wir setzten auch U durch Null
fort und erhalten T∗ = (U|T|)∗ = |T|U∗ . damit ist auch T∗ kompakt.
Lemma 6.1.6. Ist T : H → H kompakt, dann ist das Bild von T − I abgeschlossen.
Beweis. Sei (T − I)xn → y konvergent in H. Wir muessen zeigen, dass y im Bild
von (T − I) liegt.
Wir zeigen xunaechst, dass der Abstand d(xn , ker(T − I)) beschraenkt sein muss.
Wir gehen zu H/ ker(T − I) ueber und muessen zeigen, dass unter der
Voraussetzung ker(T − I) = 0 die Folge xn beschraenkt sein muss. Nimm das
Gegenteil an und sei xnk eine Teilfolge mit xnk ≥ k und sei zk = x1 xnk . Nach
|| nk ||
Uebergang zu einer Teilfolge koennen wir annehmen, dass Tzk konvergiert.
Dann ist (T − I)zk =
1
(T − I)xnk → 0. Damit konvergiert auch
||xnk ||
zk = Tzk − (T − I)zk , sei z der Limes, so folgt (T − I)z = 0, also, nach unserer
Voraussetzung, z = 0. Andererseits ist aber ||z|| = limk ||zk || = 1, ein Widerspruch!
Da nun der Abstand d(xn , ker(T − I)) beschraenkt ist, koennen wir xn durch xn − zn
mit zn ∈ ker(T − I) ersetzen und annehmen, dass xn beschraenkt ist. Dann hat Txn
eine konvergente Teilfolge, damit hat xn = Txn − (T − I)xn eine konvergente
Teilfolge xnk → x, dann folgt (T − I)x = limk (T − I)xnk = y, also liegt y im Bild.
Satz 6.1.7 (Jordan-Normalform-Satz). Sei T ein kompakter Operator.
(a) Jedes 0 , λ ∈ σ(T) ist ein Eigenwert.
(b) Fuer jedes 0 , λ ∈ σ(T) gibt es ein m ∈ N so dass ker(T − λ)m = ker(T − λ)m+1
und dieser Raum wird der Hauptraum H(λ) zum Eigenwert λ genannt. Er ist
endlich-dimensional.
FUNKTIONALANALYSIS
109
(c) Die Eigenwerte koennen sich nur bei Null haeufen. Ist dim H = ∞, so ist
0 ∈ σ(T).
(d) σ(T) ist abzaehlbar.
Beweis. (a) Nach Skalierung koennen wir λ = 1 annehmen. Angenommen,
λ = 1 ∈ σ(T) ist kein Eigenwert, so heisst das, dass (I − T) injektiv, aber nicht
surjektiv ist. Damit ist H1 = Bild(I − T) ein echter abgeschlossener Unterraum
von H. Da (I − T) injektiv ist, ist dann H2 = (I − T)(H1 ) ein echter abgeschlossener
Unterraum von H1 . Setze Hn = (I − T)n (H). Wir erhalten eine absteigende Folge
abgeschlossener Teilraeume
H = H0 ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ . . .
wobei alle Inklusionen echt sind, also niemals Gleichheit herrscht. Sei nun
xn ∈ Hn mit ||xn || = 1 und xn ⊥ Hn+1 . Damit gilt also d(xn , Hn+1 ) = 1. Da T kompakt
ist, hat Txn eine konvergente Teilfolge. Es ist aber fuer m < n.
||Txn − Txm || = (I − T)xm − (I − T)xn + xn −xm ≥ 1.
|
{z
}
∈Hm+1
Widerspruch!
(b) Wieder koennen wir λ = 1 annehmen. Die Folge En = ker(T − I)n ist eine
aufsteigende Folge abgeschlossener Unterraeume. Beachte zunaechst, dass aus
En = En+1 schon folgt En = En+k fuer jedes k ∈ N, denn ist v ∈ ker(T − I)n+k+1 , dann
ist (T − I)v ∈ ker(T − I)n+k = ker(T − I)n , also ist v ∈ ker(T − I)n+1 = ker(T − I)n . Die
Behauptung sagt also, dass diese Folge stationaer wird. Angenommen, dies ist
nicht der Fall, dann gibt es yn ∈ En mit yn = 1 und yn ⊥ En−1 . Wieder muss Tyn
FUNKTIONALANALYSIS
110
eine konvergente Teilfolge haben, es ist aber fuer m < n
Tyn − Tym = (T − I)yn − (T − I)ym + ym −yn ≥ 1.
|
{z
}
∈En−1
Widerspruch!
Zur Endlich-Dimensionalitaet: Sei S die Einssphaere in ker(T − I), dann ist
S = ker(T − I) ∩ T(S) und damit ist S kompakt, also ist ker(T − I)
endlich-dimensional. Durch Uebergang zu H/ ker(T − I) erhalten wir, dass auch
ker(T − I)2 endlich-dimensional ist und so fort.
(c) Angenommen, die Eigenwerte haeufen sich woanders, dann gibt es ein ε > 0
und Vektoren x j mit x j = 1 und Tx j = λ j x j mit paarweise verschiedenen λ j mit
|λ j | ≥ ε. Sei Hn = Spann(x1 , . . . , xn ). Sei dann yn ∈ Hn mit yn = 1 und yn ⊥ Hn−1 .
Fuer m < n ist dann
λ
Tym − Tyn = λm ym − λn yn = |λn | m ym − yn ≥ |λn | ≥ ε.
λn
Andererseits muss Tyn eine konvergente Teilfolge enthalten, Widerspruch! Ist
schliesslich die Dimension unendlich, so gibt es unendlich viele Eigenwerte, da
das Spektrum abgeschlossen ist, muss Null im Spektrum sein. Teil (d) ist klar. Beispiel 6.1.8. Sei T : `2 (N) → `2 (N) gegeben durch
T(x1 , x2 , . . . ) = (0, x1 , 12 x2 , 31 x3 , . . . ). Dann hat T keinen Eigenwert, also folgt
σ(T) = 0.
6.2
Spektralsatz fuer kompakte normale Operatoren
Satz 6.2.1 (Spektralsatz für kompakte normale Operatoren).
Sei T ein kompakter normaler Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es existiert eine
FUNKTIONALANALYSIS
111
Folge λ j ∈ C× , die entweder endlich ist oder gegen Null geht, so dass der Raum H
sich orthogonal zerlegt:
M
H = Ker(T) ⊕
Eig(T, λ j ).
j
Jeder Eigenraum Eig(T, λ j ) = {v ∈ H : Tv = λ j v} ist endlich-dimensional und die
Eigenräume sind paarweise orthogonal.
Beweis. Aus dem Jordan-Normalform-Satz folgt, dass jeder kompakte normale
Operator T , 0 einen Eigenwert λ , 0 hat. Sei U ⊂ V der Abschluss der Summe
aller Eigenräume von T, die Eigenwerte , 0 haben. Nach Satz 4.4.3 ist jeder
Eigenvektor von T auch ein Eigenvektor von T∗ . also ist U stabil unter T und T∗ .
Das orthogonale Komplement U⊥ ist dann ebenfalls stabil unter T und T∗ . Der
Operator T induziert einen kompakten normalen Operator auf U⊥ . Dieser kann
keinen Eigenwert , 0 haben, muss also der Nulloperator sein. Also ist U⊥ der
Kern von T. Wir haben damit gezeigt, dass H die direkte Summe von
T-Eigenräumen ist. Ferner ist nach dem JNF-Satz jeder Eigenraum Eig(T, λ) mit
λ , 0 endlich-dimensional ist und die Eigenwerte koennen sich nicht in C×
häufen. Der Satz ist bewiesen.
Korollar 6.2.2 (Umformulierung des Spektralsatzes). Sei T ein kompakter Operator
auf einem Hilbert-Raum H. Seien λ j die Eigenwerte wie im Satz und sei P j die
Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ j ), dann gilt
T=
X
λ jP j,
j
wobei die Reihe in der Operatornorm konvergiert. Ist umgekehrt λ j eine beliebige
Nullfolge in C× und ist (P j ) eine beliebige Folge von paarweise orthogonalen
P
Orthoprojektionen mit endlich-dimensionalen Bildern, dann ist die Reihe j α j P j
FUNKTIONALANALYSIS
112
normkonvergent gegen einen kompakten Operator.
Beweis. Klar.
Korollar 6.2.3 (Noch eine Umformulierung). Sei T : H → H ein normaler
kompakter Operator. Dann hat H eine Orthonormalbasis (φ j ) j∈I bestehend aus
Eigenvektoren von T, d.h. für jedes j existiert ein λ j ∈ C mit Tφ j = λ j φ j .
Für jedes T > 0 ist die Menge aller j ∈ J mit |λ j | > T endlich.
Beweis. Klar.
Satz 6.2.4. Ein stetige Operator T auf einem Hilbert-Raum H ist genau dann
kompakt, wenn es eine Folge Fn von stetigen Operatoren von endlichem Rang gibt, so
dass ||T − Fn ||op gegen Null geht, wenn n → ∞.
Beweis. Sei T kompakt. Wir schreiben T = S + iR mit selbstadjungierten
Operatoren S = 21 (T + T∗ ) und R = 2i1 (T − T∗ ). Mit T ist auch T∗ kompakt und
damit sind R und S kompakt. Wenn wir R und S durch Operatoren von
endlichem Rang approximieren können, dann auch T. Es reicht also, T als
selbstadjungiert anzunehmen. Dann saht aber der Spektralsatz, dass
T=
X
λ jP j,
j
mit einer Nullfolge (λ j ) und Projektionen P j von endlichem Rang gilt. Sei
P
Fn = nj=1 λ j P j . dann folgt
||Fn − T|| = max{|λ j | : j > n} → 0.
Damit ist T ein Limes von Operatoren von endlichem Rang.
FUNKTIONALANALYSIS
113
Für die Umkehrung sei v j eine beschränkte Folge und sei T der Norm-Limes
einer Folge Fn von stetigen Operatoren von endlichem Rang. Wir können
v j , ||T|| ≤ 1 annehmen. Dann hat v j eine Teilfolge v1j so dass F1 (v1j ) konvergiert.
j
Dann hat v1j eine Teilfolge v2j so dass F2 (v2j ) konvergiert und so weiter. Sei w j = v j .
Für jedes n ∈ N konvergiert die Folge (Fn (w j )) j∈N . Da T der Norm-Limes der Fn
ist, konvergiert die Folge Tw j ebenfalls.
Beispiel 6.2.5. (Spektralzerlegung eines Operatorkerns) Sei k ∈ `2 (N × N). Wir
haben bereits festgestellt, dass der Operator Tk mit Kern k kompakt ist. Ferner
wissen wir Tk∗ = Tk∗ , wobei k∗ (n, m) = k(m, n). Nehmen wir nun an, dass Tk
selbstadjungiert ist. Dies ist genau dann der Fall wenn k = k∗ gilt. Nach dem
Spektralsatz existiert dann eine ONB aus Eigenvektoren (φ j ) j∈J . Wir behaupten
nun, dass gilt
k(n, m) =
X
λ j φ j (n)φ j (m),
j∈J
wobei die Summe in `2 (N × N) (also insbesondere punktweise) konvergiert.
Beweis. Wir zeigen zunächst dass (φi φ j )(i, j)∈J2 eine ONB von `2 (N × N) ist. Es gilt
D
E
φi φ j , φµ φν =
X
φi (n)φ j (m)φµ (n)φν (m)
n,m



 X

X
φ j (m)φν (m)
= 
φi (n)φµ (n) 
D n
ED
E m
= φi , φµ φν , φ j = δi,µ δν, j = δ(i, j),(µ,ν) .
Damit ist es ein Orthonormalsystem. Um die Vollständigkeit zu zeigen sei
h ∈ `2 (N × N) senkrecht auf allen (φi φ j ). Dann gilt bei absoluter Konvergenz der
Reihe,
D
E
0 = h, φi φ j =
X
m,n


X X


h(m, n)φi (m)φ j (n) =
h(m, n)φi (m) φ j (n).

n
m
FUNKTIONALANALYSIS
114
Da (φ j ) eine ONB ist, folgt
X
h(m, n)φi (m) = 0
m
für jedes n ∈ N, woraus mit derselben Begründung folgt h(m, n) = 0 für alle m, n.
Wir entwickeln k in dieser ONB und erhalten
k(n, m) =
X
ci,j φi (n)φ j (m),
i, j
wobei
E X
D
k(m, n)φi (m)φ j (n)
ci, j = k, φi φ j =
m,n


X X


=
k(m, n)φ j (n) φi (m)

m
X
X
n
D
E
=
Tk φ j (m) φi (m) =
λ j φ j (m)φi (m) = λ j φ j , φi = λ j δi, j .
m
6.3
m
Hilbert-Schmidt-Operatoren
Sei T ∈ B(H), und sei (e j ) eine Orthonormalbasis von H. Die
Hilbert-Schmidt-Norm ||T||HS von T ist definiert als
||T||2HS
XD
E
Te j , Te j .
=
def
j
Diese Zahl ist ≥ 0 und kann den Wert +∞ annehmen. Wir zeigen jetzt, dass diese
Zahl nicht von der Wahl der ONB abhängt.
Zunächst halten wir fest, dass für zwei Vektoren v, w ∈ H und eine beliebige
FUNKTIONALANALYSIS
115
ONB (e j ) gilt
hv, wi =
XD
ED
E
v, e j e j , w .
j
Sei nun(φα ) eine zweite ONB. Da wir die Unabhängigkeit noch nicht gezeigt
haben, schreiben wir ||T||2HS (ei ) und ||T||2HS (φα ), für die entsprechenden
HS-Normen. Wir rechnen
||T||2HS (e j ) =
XXD
ED
E
Te j , φα φα , Te j
j
α
XXD
ED
E
∗
∗
=
e j , T φα T φα , e j
j
α
XXD
ED
E
∗
∗
e j , T φα T φα , e j
=
α
j
= ||T∗ ||2HS (φα ).
Die Vertauschung ist gerechtfertigt, da alle Summanden positiv sind. Indem wir
dies zunächst für (e j ) = (φα ) und dann für T∗ anstelle von T anwenden, erhalten
wir
||T||2HS (e j ) = ||T∗ ||2HS (e j ) = ||T||2HS (φα ).
Der Operator T heisst ein Hilbert-Schmidt-Operator, falls
||T||HS < ∞.
Satz 6.3.1. (a) Die Menge HS aller Hilbert-Schmidt-Operatoren ist ein
Untervektorraum von B(H). Die Vorschrift
hS, TiHS
XD
E
=
Se j , Te j
j
definiert ein Skalarprodukt auf HS, das nicht von der Wahl der ONB (e j )
abhängt.
FUNKTIONALANALYSIS
116
Die Abbildung ||.||HS ist eine Norm auf HS.
(b) Für jeden beschränkten Operator T auf H gilt
||T|| ≤ ||T||HS .
Für jeden unitären Operator U ist ||UT||HS = ||TU||HS = ||T||HS . Es gilt
||T||HS = |||T|||HS .
(c) Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt.
(d) Sei T ein normaler kompakter Operator und seien λ1 , λ2 , . . . die Eigenwerte,
wobei jeder nach seiner Vielfachheit wiederholt wird. Dann ist
X
|λ j |2 = ||T||2HS .
j
Das heisst, ein normaler kompakter Operator ist genau dann Hilbert-Schmidt,
wenn seine Eigenwerte eine `2 -Folge bilden.
Beweis. (a) Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der
Hoelder-Ungleichung gilt
1

1 
X D
E X X 2  2 X 2  2
Se j , Te j ≤
Se j Te j ≤ 
Te j  = ||S||HS ||T||HS < ∞,
Se j  


 
j
j
j
j
also konvergiert die Reihe absolut. Für S, T ∈ HS folgt
∞ > | hS, SiHS + hT, TiHS + hS, TiHS + hT, SiHS | = ||S + T||HS .
Damit ist auch S + T ∈ HS, die Menge HS also ein Vektorraum. Schließlich ist
h., .iHS ein Skalarprodukt mit Norm ||.||HS und die Polarisierungsidentität aus
Korollar 2.3.7 zeigt, dass h., .iHS nicht von der Wahl der ONB abhängt.
FUNKTIONALANALYSIS
117
Insbesondere gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und aus dieser erhält man
die Dreiecksungleichung
||S + T||HS ≤ ||S||HS + ||T||HS ,
so dass ||.||HS wirklich eine Norm ist.
(b) Sei v ∈ H mit ||v|| = 1. Dann existiert eine ONB (e j ) mit e1 = v. Es folgt
X 2
Te j = ||T||2HS .
||Tv|| = ||Te1 || ≤
2
2
j
Da mit (e j ) auch (Ue j ) eine ONB ist, folgt der Rest. Ist T = U|T| die
Polarzerlegung nach Satz 5.3.1, dann folgt
||T||2HS
X 2 X 2 X 2
=
Te j =
U|T|e j =
|T|e j = |||T|||HS .
j
j
j
(c) Sei T ein HS-Operator und sei (e j ) j∈N eine orthonormale Folge. Dann
P 2
konvergiert die Reihe ∞
j=1 Te j , also konvergiert die Folge Te j gegen Null.
Damit ist T kompakt.
(d) Es existiert eine ONB (e j ), die aus Eigenvektoren besteht, also Te j = λ j e j .
Dann ist
X
XD
E
|λ j | =
Te j , Te j .
2
j
j
Beispiel 6.3.2. Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer σ-Algebra auf einer Menge X.
Betrachte den Hilbert-Raum L2 (X). Sei k eine Funktion in L2 (X × X). Wir nennen k
einen L2 -Kern.
Sei k(x, y) ein L2 -Kern auf X. Für ϕ ∈ L2 (X) definiere
def
Kϕ(x) =
Z
k(x, y)ϕ(y) dµ(y).
X
FUNKTIONALANALYSIS
118
Dann existiert dieses Integral fast überall in x. Die Funktion Kϕ liegt in L2 (X)
und K definiert einen Hilbert-Schmidt-Operator K : L2 (X) → L2 (X) mit
Z Z
2
|k(x, y)|2 dµ(x) dµ(y).
||K||HS =
X
X
Beweis. Um die Existenz des Integrals zu zeigen, sei ψ ein beliebiges Element
von L2 (X). Dann liegt die Abbildung (x, y) 7→ ψ(x)ϕ(y) in L2 (X × X) und daher ist
die Funktion (x, y) → k(x, y)ϕ(y)ψ(x) integrierbar über X × X. Nach dem Satz von
Fubini folgt, dass
Z
Z
ψ(x)k(x, y)ϕ(y) dy = ψ(x)
X
k(x, y)ϕ(y) dy
X
für fast alle x ∈ X existiert. Da ψ beliebig ist, folgt die behauptete Existenz des
Integrals.
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung schätzen wir ab
Z Z
2
2 Z
Kϕ =
|Kϕ(x)|2 dx =
k(x, y)ϕ(y) dy dx
X ZX
ZX Z
≤
|k(x, y)|2 dx dy
|ϕ(y)|2 dy
X
ZX ZX
2
=
|k(x, y)|2 dx dy ϕ .
X
X
Also definiert K einen stetigen Operator auf L2 (X). Sei (e j ) eine ONB von L2 (X).
FUNKTIONALANALYSIS
119
Dann gilt
||K||2HS
XD
E XZ
=
Ke j , Ke j =
Ke j (x)Ke j (x) dx
j
=
j
XZ Z
X
j
X
Z
k(x, y)e j (y) dy k(x, y)e j (y) dy dx
X
X
XZ D
ED
E
k(x, .), e j e j , k(x, .) dx
=
X
j
Z XD
ED
E
k(x, .), e j e j , k(x, .) dx
=
X
j
Z
=
Z Z
hk(x, .), k(x, .)i dx =
X
6.4
|k(x, y)|2 dx dy.
X
X
Spurklasse-Operatoren
Definition 6.4.1. Sei T ein kompakter Operator. Nach Lemma 6.1.5 ist |T| =
√
T∗ T
ebenfalls kompakt. Sei s1 (T) ≥ s2 (T) ≥ . . . die (möglicherweise endliche) Folge
der nichtverschwindenden Eigenwerte des positiven Operators |T|, wobei jeder
Eigenwert nach Vielfachheit wiederholt auftritt. Die s j = s j (T) werden die
singulären Werte von T genannt.
Lemma 6.4.2. Sei T ein kompakter Operator auf H und seien (s j ) seine singulären
Werte. Es gibt orthonormale Folgen ( f j ), (g j ) von H, so dass für jedes v ∈ H gilt
Tv =
X
D
E
s j v, f j g j .
j
Ist umgekehrt ein Operator T durch diese Formel gegeben fuer zwei orthonormale Folgen
( f j ) und (g j ) mit s j ≥ 0, so sind die s j genau die singulaeren Werte von T. Insbesondere
gilt
s j (T) = s j (T∗ ).
FUNKTIONALANALYSIS
120
Beweis. Da |T| selbstadjungiert ist, gibt es eine orthonormale Folge ( f j ) mit
|T| f j = s j f j . Da die ( f j ) dann eine ONB von Bild(|T|) sind, gilt für jedes v ∈ H, dass
E
E
P D
P D
|T|v = j |T|v, f j f j = j s j v, f j f j und damit


X D
E  X D
E

s j v, f j U f j .
Tv = U|T|v = U 
s j v, f j f j  =


j
j
Mit g j = U f j folgt die erste Aussage des Lemmas. Ist umgekehrt
E
P D
Tv = j s j v, f j g j , so rechnet man nach, dass
Tv=
∗
X
D
E
s j v, g j f j .
j
Es folgt



X D
E

∗
∗

s j v, f j g j 
T Tv = T 


j
X D
E
EX D
sk gk , g j fk
s j v, f j
=
| {z }
j
k
=δk, j
=
X
D
E
s2j v, f j f j .
j
Damit sind die s2j die Eigenwerte von T∗ T, also die s j die singulaeren Werte. Aus
dieser Aussage, angewendet auf T∗ folgt dann auch s j (T) = s j (T∗ ).
Definition 6.4.3. Ein kompakter Operator heisst Spurklasse-Operator, wenn gilt
def
||T||Spur =
X
s j (T) < ∞.
j
Die Zahl ||T||Spur ∈ [0, ∞] heisst Spur-Norm von T. Jeder Spurklasse-Operator ist
auch ein Hilbert-Schmidt-Operator. Aus dem Lemma folgt ||T||Spur = ||T∗ ||Spur .
FUNKTIONALANALYSIS
121
Satz 6.4.4. (a) Ist T von Spurklasse und S stetig, so sind die Normen
||ST||Spur , ||TS||Spur beide ≤ ||S|| ||T||Spur .
Insebesondere bildet der Raum der Spurklasse-Operatoren ein Ideal in der
Algebra B(H) der stetigen Operatoren auf H.
(b) Für einen kompakten Operator T gilt
||T||Spur = sup
(ei ),(hi )
X
| hTei , hi i |,
i
wobei das Supremum über alle ONBs (ei ) und (hi ) läuft.
(c) Die Menge der Spurklassen-Operatoren ist ein Untervektorraum von B(H) und
||.||Spur ist eine Norm.
P
(d) Für einen kompakten Operator T mit singulären werten (s j ) gilt j s2j = ||T||2HS
P
und daher ist T genau dann Hilbert-Schmidt, wenn j s2j < ∞ ist. Es folgt
||T||HS = ||T∗ ||HS .
(e) T ist genau dann Spurklasse, wenn
P
j sj
< ∞.
(f) T ist genau dann Spurklasse, wenn es zwei Hilbert-Schmidt Operatoren S1 , S2
gibt so dass T = S1 S2 .
(g) Für jeden Operator T auf H gilt
||T|| ≤ ||T||HS ≤ ||T||Spur .
(h) Ist T ein Hilbert-Schmidt-Operator und S ein stetiger Operator auf H, dann gilt
||ST||HS , ||TS||HS ≤ ||S||op ||T||HS .
Insbesondere ist HS ein Ideal in B(H).
FUNKTIONALANALYSIS
122
Beweis. (a) Sei T ein kompakter Operator. Da die singulären werte s j die
Eigenwerte des Operators |T| sind und da stets gilt ||Tv|| = |||T|v||, gilt s1 (T) = ||T||
und
s j+1 (T) =
inf
v1 ,...,v j ∈H
sup{||Tw|| : w ⊥ v1 , . . . , v j , ||w|| = 1}.
Hieraus folgt sofort, dass für jeden beschränkten Operator S auf H gilt
s j (ST) ≤ ||S|| s j (T) und damit folgt die Ungleichung ||ST||Spur ≤ ||S|| ||T||Spur Die
Ungleichung ||TS||Spur ≤ ||S|| ||T||Spur aus ||T|| = ||T∗ || und ||T||Spur = ||T∗ ||Spur .
(b): Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt für je zwei ONBs e, h,
X
X X D
ED
E
| hTei , hi i | =
s j ei , f j g j , hi i
i j
X X D
ED
E
sj
≤
ei , f j g j , hi j
i
1

1 
E  2
E  2 X D
X D
| g j , hi |2 
| ei , f j |2  
≤
s j 
i
i
j
X X
s j f j g j =
=
s j.
X
j
j
Damit folgt der ≥-Teil der Aussage. Die andere Richtung folgt, indem man für e
eine ONB wählt, die die Folge f enthält und für h eine ONB, die die Folge g
P
P
enthält, dann ist i | hTei , hi i | = j s j .
(c) Der einzige kitzlige Teil ist die Dreiecksungleichung, die aber mit Teil (b) klar
ist.
(d) Für eine beliebige ONB gilt
XD
j
E XD
E XD
E XD
E
Te j , Te j =
T∗ Te j , e j =
|T|2 e j , e j =
|T|e j , |T|e j .
j
j
j
Benutzen wir nun eine ONB ( f j ) bestehend aus Eigenvektoren von |T|, so folgt
FUNKTIONALANALYSIS
123
die Behauptung.
(e) ist Definition und für (f) sei T Spurklasse und sei T = U|T| die Polarzerlegung
√
von T. Nach dem Spektralsatz ist das Bild des Operators S2 = |T| gleich dem
√
Bild von|T| und deshalb können wir den Operator S1 = U |T| definieren. Die
Operatoren S1 und S2 sind Hilbert-Schmidt Operatoren und es gilt T = S1 S2 .
Für die umgekehrte Richtung müssen wir zeigen, dass für je zwei
Hilbert-Schmidt-Operatoren S und T der Operator TS von Spurklasse ist. Nun
hat S∗ dieselben singulären Werte und es folgt, dass S∗ S ein Spurklasse Operator
ist. Wir betrachten die sesquilineare Abbildung b : B(H) × B(H) → B(H) gegeben
durch
b(S, T) = T∗ S.
Nach der Polarisierungsidentität aus Korollar 2.3.7 gilt
b(S, T) =
1
[D(S + T) − D(S − T) + iD(S + iT) − iD(S − iT)] ,
4
wobei D(S) = S∗ S ist. Die rechte Seite besteht nur aus Spurklasse-Operatoren,
also ist die linke Seite, also T∗ S ebenfalls Spurklasse. Ersetze nun T durch T∗ , so
folgt (f).
(g) Die erste Abschätzung kommt schon in Satz 6.3.1 vor und die zweite ist die
Abschätzung ||.||2 ≤ ||.||1 zwischen der `2 und der `1 -Norm.
(h) Es ist
||ST||2HS
X X 2
2
2
Te j = ||S||2op ||T||2HS .
STe j ≤ ||S||op
=
j
j
Schliesslich ist ||TS||HS = ||S∗ T∗ ||HS ≤ ||S∗ ||op ||T∗ ||HS = ||S||op ||T||HS .
Proposition 6.4.5. Ein kompakter Operator T auf einem komplexen Hilbert-Raum H
FUNKTIONALANALYSIS
124
ist genau dann von Spurklasse, wenn
sup
(ei )
X
| hTei , ei i | < ∞,
i∈I
wobei das Supremum ueber alle Orthonormalbasen des Hilbert-Raums erstreckt wird.
Diese Aussage ist falsch fuer reelle Hilbert-Raeume.
Beweis. Ist T von Spurklasse, so folgt die Abschaetzung nach Satz 6.4.4. Fuer die
umgekehrte Richtung sei T kompakt und erfuelle die Ungleichung. Sei
A = 21 (T + T∗ ) und B = 2i1 (T − T∗). Dann ist T + A + iB und A sowie B sind
kompakt und selbstadjungiert. Beide erfuellen die Abschaetzung der
Proposition. Wendet man diese Ungleichung fuer A auf eine Orthonormalbasis
aus Eigenvektoren von A an, sieht man, dass A von Spurklasse ist. Ebenso
verfaehrt man mit B, so dass schliesslich auch T = A + iB von Spurklasse ist.
Fuer den reellen Fall sei H der reelle Hilbert-Raum `2 (N, R) und sei (e j ) j∈N die
standard ONB. Definiere einen linearen Operator T auf H durch
(−1) j+1
T(e j ) =
e j+(−1) j+1 .
j
Es ist leicht zu sehen, dass T kompakt, aber nicht Spurklasse ist. Sei ( fn ) eine
Orthonormalbasis von H und schreibe
fn =
∞
X
j=1
fn,j e j .
FUNKTIONALANALYSIS
125
Dann gilt
X X X X
D
E
| T fn , fn | =
fn,i fn, j Tei , e j n
n
i
j
X X
i
(−1) i
=
f
f
n,i
n,i+(−1)
i
n
i
!
∞
X X
1
1
−
=
fn,2 j−1 fn,2j
2j
−
1
2j
n
j=1
∞
XX
1
≤
| fn,2j−1 fn,2 j |
2 j(2j − 1)
n
j=1
∞
XX
1
2 j(2j − 1)
j=1 n
 12 
 21
∞ X
X
X




1

2
2



|
f
|
|
f
|
≤


n,2j−1  
n,2 j 
 2 j(2j − 1)

n
n
j=1
|
{z
} | {z }
=||e2j−1 ||
=||e2j ||
∞
X
1
=
2 j(2j − 1)
=
| fn,2j−1 fn,2 j |
j=1
Satz 6.4.6. Sei T ein Spurklasse-Operator. Die Spur
XD
E
Spur(T) =
Te j , e j
def
j
hängt nicht von der Wahl der ONB (e j ) ab. Ist T Spurklasse und normal, dann gilt
Spur(T) =
X
λn dim Eig(T, λn ),
n
wobei die Summe über die nichtverschwindenden Eigenwerte λn läuft.
FUNKTIONALANALYSIS
126
Beweis. Wir wählen zwei Hilbert-Schmidt Operatoren R und S mit T = RS. Dann
ist
X
hTei , ei i =
i
X
hRei , S∗ ei i .
i
Dies ist gerade das Hilbert-Schmidt Skalarprodukt hR, SiHS und hängt nach
Proposition 6.3.1 nicht von der ONB ab. Für die zweite Aussage wähle eine
ONB, die aus Eigenvektoren besteht.
Sei T kompakt und sei s j die Folge seiner singulären Werte. Es gilt
T ist Spurklasse
KS
(s j ) ∈ `
+3
T ist Hilbert-Schmidt
KS
+3 (s
1
j)
∈ `2 .
Satz 6.4.7. Sei SP = SP(H) die Menge der Spurklasse-Operatoren auf einem
gegebenen Hilbert-Raum H und K die Menge der kompakten Operatoren, dann sind
K , HS, SP Ideale in der Algebra B(H). Es gilt
2
K ⊃ HS ⊃ HS = SP.
Beweis. Dieser Satz fasst nur einige Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen.
Kapitel 7
Der Spektralsatz
7.1
Spektralmaße
Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A die Borel-σ-Algebra auf X und
sei H ein Hilbert-Raum. Ein Spektralmaß ist ein Abbildung µ : A → B(H) mit
folgenden Eigenschaften:
(a) µ(∅) = 0 und µ(X) = Id.
(b) Jedes µ(A) ist eine Orthogonalprojektion.
(c) µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B).
(d) Ist A ∩ B = ∅, dann gilt µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
(e) Für all v, w ∈ H ist die Funktion
µv,w (A) = µ(A)v, w
ein C-wertiges Radon-Maß definiert auf der σ-Algebra A .
Erste Eigenschaften
127
FUNKTIONALANALYSIS
128
• Für jedes v ∈ H gilt
2
µv,v (A) = µ(A)v, v = µ(A)v, µ(A)v = µ(A)v ,
so dass µv,v ein positives Radon-Maß ist mit
µv,v (X) = ||v||2 .
• |µv,w (A)| ≤ µ(A)v ||w|| ≤ ||v|| ||w||. Fuer eine messbare Funktion f auf X mit
| f (x)| ≤ C fuer jedes x ∈ X gilt
Z
f
(x)
dµ
(x)
v,w
≤ C ||v|| ||w|| .
X
Beweis. Die erste Aussage ist klar nach Definition. Fuer die zweite reicht es,
P
anzunehmen, dass f (x) = nj=1 c j 11A j mit paarweise disjunkten messbaren
Mengen A j ⊂ X und c j ∈ C. Indem wir eine weitere Menge A j mit c j = 0
hinzufuegen,
koenne wir X = A1 ∪ · · · ∪ An annehmen. Dann ist
D
E
D
E
µ(A j )v, w = θ j µ(A j )v, w fuer ein θ j ∈ T = {z ∈ C : |z| = 1}. Sei
P
Uv = nj=1 θ j µ(A j )v, dann ist U ein unitaerer Operator auf H. Es ist dann
FUNKTIONALANALYSIS
129
|c j | ≤ C und
Z
X
n
f (x) dµv,w (x) = c j µv,w (A j )
X
j=1
n
X
D
E
= c j µ(A j )v, w j=1
n
D
X
E
≤
|c j | µ(A j )v, w j=1
n D
X
E
≤C
µ(A j )v, w =C
j=1
n
X
D
E
θ j µ(A j )v, w
j=1
= C hUv, wi ≤ C ||v|| ||w|| .
• Je zwei Projektionen µ(A) und µ(B) kommutieren miteinander.
• Ist A ∩ B = ∅, so stehen die Bilder von µ(A) und µ(B) senkrecht aufeinander,
d.h. es gilt µ(A)µ(B) = 0.
Beispiele 7.1.1.
• Sei T : H → H ein normaler Operator auf dem
endlich-dimensionalen Hilbert-Raum H. Auf der Borel-σ-Algebra von C
definieren wir
µ(A) =
X
Prλ ,
λ∈A
wobei Prλ die Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ) ist. Da
verschiedene Eigenräume von T senkrecht aufeinander stehen, ist µ ein
Spektralmaß.
• Sei H = L2 (R) und für jede messbare Teilmenge A ⊂ R sei µ(A) : H → H
FUNKTIONALANALYSIS
130
gegeben durch
µ(A)(ϕ) = 11A ϕ.
Dann ist µ ein Spektralmaß.
Proposition 7.1.2. Ist µ ein Spektralmaß, dann ist für jedes v ∈ H die Abbildung
A 7→ µ(A)v
ein abzählbar additives, H-wertiges Maß auf X. Mit anderen Worten, µ : A → B(H) ist
σ-additiv, wenn wir B(H) mit der starken Topologie versehen.
Man beachte, dass µ als Abbildung von A nach B(H) im Allgemeinen nicht
σ-Additiv ist, wenn B(H) die Normtopologie trägt!
Beweis. Nur die σ-Additivität ist zu zeigen. Seien also A1 , A2 , . . . paarweise
S
disjunkte messbare Mengen und A = j A j . Nach Voraussetzung ist für jedes
w ∈ H,
∞ D
X
E µ(A j )v, w = µ(A)v, w .
j=1
Sei v j = µ(A j )v. Da die A j paarweise disjunkt sind, sind die v j paarweise
orthogonal. Da
X 2 X E
2 X D
vj =
µ(A j )v =
µ(A j )v, µ(A j )v
j
j
=
XD
j
E X
µv,v (A j ) = µv,v (A) ≤ µv,v (X) = ||v||2 < ∞
µ(A j )v, v =
j
konvergiert die Reihe
j
P
j vj
in der Norm gemäss Satz 3.5.11.
Beispiel 7.1.3. Ein Beispiel, dass ein Spektralmass als Abbildung nach B(H)
nicht σ-additiv ist: Sei H = L2 (R) und µ(A)(ϕ) = 11A ϕ. Sei A j = ( j, j + 1) für j ∈ N
S
P
und sei A = j A j . Dann konvergiert die Summe j µ(A j ) stark gegen µ(A) wie
wir in der Proposition gezeigt haben. Sie konvergiert allerdings nicht in der
FUNKTIONALANALYSIS
131
Norm, denn
µ(A) −
N
X
j=1


[ 


µ(A j ) = µ  A j 


j>N
ist eine Projektion , 0, hat also stets Norm 1.
Lemma 7.1.4. Sei µ ein Spektralmaß und seien A1 , A2 , · · · ∈ A mit µ(A j ) = 0 für jedes j.
S
Sei A = j A j . Dann ist µ(A) = 0.
Beweis. Für v ∈ H gilt µv,v (A j ) = 0 und daher 0 = µv,v (A) = µ(A)v, v . Daher ist
die Projektion µ(A) gleich Null.
Lemma 7.1.5. Sei µ ein Spektralmaß auf X mit Werten in B(H). Sei f ∈ Cc (X). Es gibt
dann genau einen stetigen linearen Operator T mit der Eigenschaft
Z
f (x) dµv,w (x)
hTv, wi =
X
fuer v, w ∈ H. Wir schreiben diese Operator als
Z
T=
f (x) dµ(x).
X
Beweis. Fuer v, w ∈ H gilt
Z
f (x) dµv,w (x) ≤ f X ||v|| ||w|| ,
X
daher ist die lineare Abbildung w 7→
R
X
f (x) dµv,w (x) stetig und es gibt einen
eindeutig bestimmten Vektor Tv mit
Z
hTv, wi =
f (x) dµv,w (x).
X
Die so entstehende Abbildung v 7→ Tv ist linear und nach obiger Abschaetzung
ist sie auch beschraenkt.
FUNKTIONALANALYSIS
7.2
132
Der Spektralsatz fuer normale Operatoren
Satz 7.2.1 (Spektralsatz). Sein T ein normaler stetiger Operator auf dem
Hilbert-Raum H. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß µ auf der
Borel-σ-Algebra von σ(T) ⊂ C so dass
Z
T=
t dµ(t).
σ(T)
Jede Projektion µ(A) kommutiert mit jedem S ∈ B(H), welches mit T kommutiert.
Die Abbildung f 7→ f (T), wobei
Z
f (T) =
σ(T)
f (t) dµ(t)
definiert einen isometrischen Algebrenhomomorphismus φ : C(σ(T)) → B(H) mit
φ(Id) = T. Hierbei bezeichnet Id die Abbildung σ(T) → C gegeben durch z 7→ z.
Dieser Homomorphismus hat die zusätzliche Eigenschaft
φ( f ∗ ) = φ( f )∗ ,
wobei wir für f ∈ C(σ(T)) definieren: f ∗ (t) = f (t). Wir schreiben φ( f ) suggestiv als
f (T). Es gilt
σ( f (T)) = f (σ(T)).
Insbesondere ist f (T) selbstadjungiert, falls f reellwertig ist.
Beweis. Zur Eindeutigkeit: Fuer eine beschraenkte messbare Funktion
f : σ(T) → C definieren wir einen Operator formal durch
Z
f (T) =
f (t) dµ(t).
σ(T)
FUNKTIONALANALYSIS
133
Genauer definieren wir fuer v, w ∈ H
Z
f (T)v, w =
σ(T)
f (t) dµv,w (t).
Sind f, g messbar und beschraenkt auf σ(T), so wollen wir zeigen, dass
Z
f (t)g(t) dµ(t)
f (T)g(T) =
σ(T)
gilt. Seien hierfuer zunaechst A, B ⊂ σ(T) messbar und f = 11A , g = 11B , dann ist
Z
f (t)g(t) dµ(t).
f (T)g(T) = µ(A)µ(B) = µ(A ∩ B) =
σ(T)
Beliebige f und g approximiert man nun durch Linearkombinationen von
charakteristischen Funktionen und erhaelt die Behauptung. Damit ist
insbesondere f 7→ f (T) ein Algebrenhomomorphismus wie im Satz.
Sei p ∈ C[X, Y] und f (z) = p(z, z). Setze dann f (T) = p(T, T∗ ), so folgt insbesondere
Z
f (T) =
f (t) dµ(t).
σ(T)
Die Aussage bedeutet
Z
f (T)v, w =
σ(T)
f (t) dµv,w (t)
für alle v, w ∈ H und alle f ∈ C(σ(T)) von dieser Gestalt. Da diese Integrale ein
Spektralmaß eindeutig festlegen, folgt die Eindeutigkeit.
Zur Existenz: Wir nehmen zunaechst an, dass T selbstadjungiert ist. Die
Abbildung f 7→ f (T)v, v ist ein positives lineares Funktional, definiert nach
dem Darstellungssatz von Riesz also ein Radon-Maß µv,v auf σ(T). Dieses Maß
nimmt wegen µv,v (σ(T)) = ||v||2 < ∞ nur endliche Werte an. Aus den
FUNKTIONALANALYSIS
134
Polarisierungsidentitäten erhält man dann komplexwertige Maße µv,w , durch
µv,w =
1
µv+w − µv−w + iµv+iw − iµv−iw ,
4
wobei wir abkürzend µv für µv,v geschrieben haben. Für die Totalvariation |µv,w |
gilt
1
µv+w + µv−w + µv+iw + µv−iw .
4
R
Auf Grund der Polarisierungsidentitäten folgt f (T)v, w = σ(T) f (t) dµv,w (t) für
|µv,w | ≤
alle v, w ∈ H und jedes f ∈ C(σ(T)). Ist f reellwertig, so gilt
f (T)v, w = f (T)w, v und daher folgt µw,v = µv,w .
Ist f nur messbar und beschränkt, etwa | f | ≤ C macht die rechte Seite der
Gleichung immer noch Sinn. Wir behaupten, dass die lineare Abbildung
R
w 7→ σ(T) f (t) dµv,w (t) stetig ist. Hierzu seien ||w|| = ||v|| = 1. Dann gilt
Z
Z
f (t) dµv,w (t) ≤
| f (t)| d|µv,w |(t)
σ(T)
σ(T)
Z
1
| f (t)| d µv+w + µv−w + µv+iw + µv−iw
≤
4 σ(T)
Z
1
≤
C d µv+w + µv−w + µv+iw + µv−iw
4 σ(T)
C
= (hv + w, v + wi + hv − w, v − wi + hv + iw, v + iwi + hv − iw, v − iwi)
4
= C(||v||2 + ||w||2 ) = 2C.
Also ist diese lineare Abbildung stetig. Daher existiert genau ein Vektor φ( f )v so
dass
D
E Z
φ( f )v, w =
σ(T)
f (t) dµv,w (t)
für alle w gilt. Nach der obigen Rechnung ist für ||v|| = ||w|| = 1 schon
FUNKTIONALANALYSIS
135
D
E
| φ( f )v, w | ≤ 2C, also gilt für beliebige v, w:
D
E
| φ( f )v, w | ≤ 2C ||v|| ||w|| .
Die Abbildung v 7→ φ( f )v ist schnell als linear erkannt. Sie ist auch stetig, denn
für w = φ( f )v erhalten wir
D
E
2
φ( f )v = | φ( f )v, φ( f )v | ≤ 2C ||v|| φ( f )v ,
also φ( f )v ≤ 2C ||v||.
Wir behaupten nun, dass φ( f g) = φ( f )φ(g) für alle beschränkten messbaren
Funktionen f, g auf σ(T) gilt. Hierzu beachte, dass diese Gleichung für
f, g ∈ C(σ(T)) richtig ist, also
Z
D
E D
E Z
f (t)g(t) dµv,w (t) = φ( f g)v, w = φ( f )φ(g)v, w =
σ(T)
σ(T)
f (t) dµ g(T)v,w .
Die Gleichheit dieser Integrale bleibt erhalten, wenn f durch eine beschränkte
messbare Funktion ersetzt wird. In diesem Fall schreiben wir dann
Z
D
E D
E Z
f (t)g(t) dµv,w (t) = φ( f g)v, w = φ(g)v, φ( f )∗ w =
g(t) dµv,φ( f )∗ w .
σ(T)
σ(T)
Jetzt können wir auch g durch eine beschränkte messbare Funktion ersetzen, so
dass wir erhalten
Z
D
E Z
φ( f g)v, w =
f g dµv,w =
g dµv,φ( f )∗ w
σ(T)
σ(T)
D
E D
E
= φ(g)v, φ( f )∗ w = φ( f )φ(g)v, w .
Die Gleichung φ( f )∗ = φ( f ∗ ) vererbt sich ebenfalls von C(σ(T)) auf alle
beschränkten messbaren Funktionen. Wir definieren nun µ(A) = φ(11A ) für eine
messbare Teilmenge A ⊂ σ(T). Dann ist µ(A) eine Orthogonalprojektion. Die
Eigenschaften eines Spektralmaßes sind erfüllt.
FUNKTIONALANALYSIS
136
Das beendet den Beweis des Spektralsatzes im Falle eines selbstadjungierten
Operators.
Sei nun T : H → H ein normaler Operator auf dem Hilbert-Raum H. Dann gilt
T = R + iS, wobei R und S selbstadtjungiert sind und miteinander vertauschen.
Sei K ⊂ C das Kompaktum σ(R) + iσ(S), und seien µR und µS die Spektralmaße
von R und S. Nach den bereits bewiesenen Aussagen des Satzes 7.2.1
kommutieren die Spektralmaße µR und µS miteinander, d.h., fuer je zwei
messbare Teilmengen A, B ⊂ R gilt
µR (A)µS (B) = µS (B)µR (A).
Insbesondere folgt, dass
µ(A × B) = µR (A)µS (B)
wieder eine Orthogonalprojektion ist. Da die Mengen der Form A × B die
Borel-σ-Algebra von K erzeugen, definiert diese Vorschrift ein Spektralmaß auf
K. Wir haben
Z
Z
Z
z dµ(z) =
(x + iy) dµR (x) dµS (y)
K
σ(R) σ(S)
Z
Z
Z
Z
=
x dµR (x) dµS (y) + i
y dµR (x) dµS (y)
σ(R) σ(S)
σ(R) σ(S)
Z
Z
=
x dµR (x) + i
y dµS (y) = R + iS = T.
σ(R)
σ(S)
Die Eindeutigkeit des Spektralmasses ist wieder klar. Es bleibt zu zeigen, dass µ
Traeger in σ(T) hat. Sei also λ ∈ C r σ(T). Dann ist T − λ invertierbar in B(H), also
−1 ist C = (T − λ)
< ∞. Sei ε > 0 und sei |z − λ| < ε. Sei B = Bε (λ) die offene
FUNKTIONALANALYSIS
137
Kreisscheibe mit Radius ε um λ. Ist v ∈ µ(B)(H) mit ||v|| = 1, dann ist
||(T − λ)v|| = (T − λ)µT (B)v
Z
= (z − λ) dµ(z)µ(B)v
ZC
= (z − λ) dµ(z)v < ε ||v|| = ε.
B
Daher
1 = ||v|| = (T − λ)−1 (T − λ)v
≤ C ||(T − λ)v|| < Cε.
Also ist ε > C1 , so dass fuer ε ≤
1
C
folgt µ(B) = 0.
Beispiel 7.2.2. Sei H = L2 ([0, 1]) und T : H → H definiert durch
T(ϕ)(x) = xφ(x).
Dann ist das Spektralmaß µ gegeben durch
µ(A)ϕ(x) = 11A (x)ϕ(x).
Beweis. Dass dies ein Spektralmaß ist, haben wir uns schon überlegt. Wir
beweisen nun, dass es das Spektralmaß zu T ist, indem wir für ϕ, ψ ∈ H und
f ∈ C(σ(T)) = C([0, 1]) rechnen:
* Z
!
+ Z
f (t) dµ(t) ϕ, ψ =
[0,1]
f (t)dµϕ,ψ .
[0,1]
Sind ϕ = 11A und ψ = 11B für messbare Teilmengen A, B ⊂ [0, 1], dann gilt
µϕ,ψ (S) = µ(S)ϕ, ψ = h11S 11A , 11B i = λ(A ∩ B ∩ S),
FUNKTIONALANALYSIS
138
wobei λ das Lebesgue-Maß auf [0, 1] ist. Daher ist in diesem Fall
!
+ Z
* Z
f (t) dλ(t).
f (t) dµ(t) ϕ, ψ =
A∩B
[0,1]
Andererseits ist f (T)ϕ(x) = f (x)ϕ(x) und daher
Z
f (T)ϕ, ψ =
f (x) dλ(x).
A∩B
Da die Funktionen der Form 11A in L2 ([0, 1]) einen dichten Teilraum erzeugen,
folgt die Gleichheit
* Z
!
+
f (t) dµ(t) ϕ, ψ = f (T)ϕ, ψ
[0,1]
allgemein.
Index
L2 -Kern, 118
Einselement, 98
äquivalent, 49
ersten Abzählbarkeitsaxiom, 4
abgeschlossene Abbildung, 6
abgeschlossene Mengen, 2
Erzeugendensystem, 51
erzeugte Topologie, 3
adjungierte Operator, 74
Final-Topologie, 7
Algebra, 21, 98
Fourier-Transformierte, 78
Algebrenhomomorphismus, 98
geometrische Reihe, 88
Algebrenisomorphismus, 98
gerichtet, 29
Baire-Raum, 26
Graph, 60
Banach-Raum, 18, 35
Hamel-Basis, 51
Basis, 13
Hauptraum, 108
Basis der Topologie, 5
Hausdorff-Metrik, 94
bedingter Erwartungswert, 80
Hausdorff-Raum, 9
beschränkte lineare Abbildung, 36
Hilbert-Raum, 40
Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 39
Hilbert-Schmidt-Norm, 114
co-endlich Topologie, 2
Hilbert-Schmidt-Operator, 115
holomorph, 90
dicht, 26
Homöomorphismus, 6
diskrete Topologie, 2
Ideal, 116, 120
Eigenraum, 111
Initialtopologie, 7
Eigenwert, 87
Isometrie, 46
Einheitengruppe, 88
isometrischer Isomorphismus, 41, 46
Einpunktkompaktifizierung, 20
kompakter Operator, 105
139
FUNKTIONALANALYSIS
Kompaktifizierung, 20
Komplexifizierung, 34
konvergiert, 29
konvex, 56
140
Orthonormalsystem, 42
Paarung, 64
partielle Ordnung, 28
perfekte Paarung, 64
Laurent-Polynome, 26
Polarzerlegung, 103
linear geordnet, 12
positiver Operator, 94
linear unabhängig, 13, 51
Prä-Hilbert-Raum, 39
lineare Isometrie, 41
Produkttopologie, 7
linearen Operator, 36
Projektion, 45, 79
lineares Funktional, 36
Projektionsoperator, 79
lokalkompakt, 11, 16
maximales Element, 12
Quotiententopologie, 7
reflexiv, 64
Netz, 29
relativ kompakt, 16
Norm, 39
Resolvente, 86
normal, 83
Resolventenmenge, 86
normierter Vektorraum, 35
Satz von Plancherel, 78
obere Schranke, 12
schwach-*-Topologie, 71
offene Abbildung, 6
schwache Topologie, 68
offene Mengen, 2
selbstadjungiert, 74
offene Umgebung, 3
separierten Topologischen Raum, 10
offenen Rechtecke, 9
Shiftoperator, 77
offenen Umgebungsbasis, 4
singulären Werte, 119
ONB, 42
Skalarprodukt, 38
ONS, 42
Spektralmaß, 126
Operatornorm, 36
Spektralradius, 90
Orthogonalprojektion, 79
Spektrum, 86
Orthogonalraum, 45
Spur, 124
Orthonormalbasis, 42
Spur-Norm, 119
FUNKTIONALANALYSIS
Spurklasse-Operator, 119
stetig, 5
stetig im Punkt, 5
stetigen Dualraum, 56
streng cofinal, 31
Teilnetz, 31
Teilraumtopologie, 7
Topologie, 2
topologischer Raum, 2
triviale Topologie, 2
Umgebung, 3
Umgebungsbasis, 4
unitär, 77
unital, 98
Unteralgebra, 21
Urysohn’s Lemma, 16
verschwindet im Unendlichen, 18
Vervollständigung, 46
vollständig, 46
vollständiges ONS, 42
von endlichem Rang, 105
von zweiter Kategorie, 26
zweiten Abzählbarkeitsaxiom, 5
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