4.¨Ubungsblatt zur Physik III

4. Übungsblatt zur Physik III
Prof. Dr. J. Kierfeld, Prof. Dr. C. Westphal
Abgabe am Freitag, den 23. November 2007, bis 12:00 Uhr
Aufgabe 1 : Kugelwellen
WS 2007/2008
(4 Punkte)
(a) Zeigen Sie durch explizites Nachrechnen, dass monochromatische Kugelwellen
~
ei(|k||~r|−ωt)
f (~r, t) :=
|~r|
die dreidimensionale Wellengleichung lösen. Welcher Zusammenhang besteht zwischen ω und k?
(b) Interpretieren Sie das |~r|−1 -Verhalten der Kugelwelle physikalisch.
Aufgabe 2 : Membranschwingungen
(5 Punkte)
Bestimmen Sie die Eigenschwingungen einer ebenen Membran von der Form eines Viertelkreises und stellen Sie einige einfache Eigenschwingungen graphisch dar. Dabei gebe es
am Rand keine Auslenkung aus der Ruhelage.
(6 Punkte)
Aufgabe 3 : Drehimpulsoperator
In der Quantenmechanik ordnet man jeder Messgröße einen Operator zu. Dem Impuls p~
~
entspricht der Impulsoperator“ p~ˆ := −i∇.
”
Betrachten Sie den Drehimpuls-Operator“
”
~ˆ = ~r × p~ˆ .
L
~ˆ 2 genau dem aus der Vorlesung bekannten Winkelanteil des LaplaceZeigen Sie, dass L
operators in Kugelkoordinaten
L̂2
1 ∂
2 ∂
r
− 2,
∆= 2
r ∂r
∂r
r
entspricht und die Bezeichung L̂2 für diesen daher gerechtfertigt ist.
1
Aufgabe 4 : Schwingende Platte
(8 Punkte)
Wir betrachten das Experiment aus der Vorlesung, die schwingende quadratische Platte
mit Seitenlänge L. Im Gegensatz zu den in der Vorlesung behandelten schwingenden
Membranen, ist hier der Rand frei schwingend, d.h. nicht eingespannt. Die Form der
Platte ist wie in der Vorlesung durch das transversale Auslenkungsfeld u(x, y, t) in zRichtung gegeben für 0 ≤ x ≤ L und 0 ≤ y ≤ L.
(a) Wie berechnet sich die Fläche A der Platte, wenn sie sich zu einem bestimmten
Zeitpunkt t in einer Konfiguration u(x, y, t) = af (x, y) befindet? Wie lautet die
Flächenänderung A − L2 gegenüber dem Gleichgewichtszustand u = 0 der Platte in
führender Ordnung in der Amplitude a?
Berechnen Sie die Flächenänderung der Platte in führender Ordnung in a für eine
Konfiguration mit
u(x, y, t) = a cos(πx/L) .
(1)
Wie groß ist die zugehörige Dehnungsenergie, wenn die Platte eine Oberflächenspannung σ hat?
(b) In der Vorlesung wurden für eine Platte mit Oberflächenspannung σ die Kräfte
hergeleitet, die in z-Richtung auf die Ränder eines rechteckigen Flächenelementes
wirken, dass sich im Gleichgewicht bei [x, x + dx] × [y, y + dy] befindet. Die Kräfte
Fvorne,z und Fhinten,z wirken auf die Ränder parallel zur x-Achse, die Kräfte Flinks,z
und Frechts,z wirken auf die Ränder parallel zur y-Achse. Betrachten Sie wieder die
Konfiguration (1) und berechnen Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus der Vorlesung die
Kraft Flinks,z bei x = 0 und x = L/2. Sie können sich dabei wieder auf die führende
Ordnung in a beschränken.
(c) Formulieren Sie die korrekte Randbedingung für freie Ränder. Gehen Sie davon aus,
dass von einem freien Rand keine (Zwangs-)kräfte auf die Platte ausgeübt werden
können. Daher müssen die Kräfte, die in z-Richtung auf den Rand der Platte wirken,
verschwinden.
Benutzen Sie wieder die Ergebnisse aus der Vorlesung für die Kräfte Fvorne,z , Fhinten,z ,
Flinks,z und Frechts,z , um zu zeigen, dass sich daraus Randbedingungen
∂u
(0, y, t) =
∂x
∂u
(x, 0, t) =
∂y
∂u
(L, y, t) = 0
∂x
∂u
(x, L, t) = 0
∂y
(2)
an den vier Rändern der Platte ergeben.
Bemerkung: Kompakt und allgemein lassen sich die Formeln (2) auch als
~ · ~n
∇u
=0
~
r∈Rand
schreiben, wo ~n der Normalenvektor zum Rand ist.
(d) Bestimmen Sie die Eigenschwingungen der quadratischen Platte für die Randbedingungen (2).
2