Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
• Zufälliger Versuch:
Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer Menge
möglicher Ausgänge ungewiss (zufällig) ist.
Ω ...
Menge der möglichen (elementaren, einander
ausschließenden) Versuchsausgänge ω ∈ Ω
A . . . Ereignisfeld, enthält Teilmengen von Ω,
die Ereignisse A ∈ A
• Ein Ereignis A tritt ein, wenn der Versuchsausgang ω, den
der Versuch liefert, ein Element der Menge A ist, d.h. wenn
ω ∈ A.
$
'
$
'
v
Ω
A
ω
&
%
&
%
1
• Beispiele
1. Würfeln mit idealem Würfel
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6} . . .
Ereignis, dass eine gerade Zahl
gewürfelt wird
B = {3, 4, 5, 6} . . . Ereignis, dass Zahl > 2 gewürfelt
wird
C = {6} . . .
Ereignis, dass ”6” gewürfelt wird
D = {1} . . .
Ereignis, dass ”1” gewürfelt wird
A ∩ B = {4, 6} . . . ” A und B ”, Ereignis, dass eine
gerade Zahl gewürfelt wird, die
größer als 2 ist
2. Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln
Ω = { (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6) }
ω = ( Ergebnis Würfel 1, Ergebnis Würfel 2 ) ∈ Ω
2
3. Entnehmen einer Probe von einem Maisfeld
(Futterpflanzen) und messen des Aflatoxin–Gehaltes
(ein Schimmelpilz–Gift) in ppb (µg/kg).
Ω = [ 0, 109(?) ]
4. Entnehmen von 16 Proben von einem Maisfeld und
messen des Aflatoxin–Gehaltes jeder Probe in ppb.
Ω =






Aflatoxin–Gehalt

der i–ten Probe in ppb 
(ω1, ω2, . . . , ω16), ωi =


5. Entnehmen von je 16 Proben von 8 unterschiedlichen
Maisfeldern und messen des Aflatoxin–Gehaltes jeder
Probe in ppb.
Ω =


























ω1 1 ω1 2 . . . ω1 16
...
...
...
...
ω8 1 ω8 2 . . . ω8 16









ωi j = Aflatoxin–Gehalt der
j–ten Probe vom i–ten Feld
6. Zahlenlotto 6 aus 49
Ω = Menge der möglichen Tipps
(Auswahl von 6 aus 49 Zahlen)


49

 = 13 983 816 verschiedene Tippscheine möglich.
also 
6
3

















”Rechnen mit Ereignissen’’
A ∩ B ist ein Ereignis. Es tritt ein, wenn A und B gleich'
$
zeitig eintreten.
'
$
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A
B
&
%
A∪B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A oder B eintritt
'
pppppppppppp $
(oder beide zugleich).
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&
A
B
A \ B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A eintritt aber
'
pppppppppppp $
p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp
B nicht.
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pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp
p pp pp pp pp pp pp pp pp pp
p pp pp pp pp pp pp pp pp
ppppppp
&
B
%
&
%
Ā ist das Ereignis, das eintritt, wenn A nicht eintritt, Ā
ist das komplementäre Ereignis zu A.
'
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p
p
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&
Ω
A
Ā
Spezielle Ereignisse:
∅ . . . unmögliches Ereignis (leere Menge)
Ω . . . sicheres Ereignis (Ω ⊂ Ω)
4
Beziehungen zwischen Ereignissen
A ⊂ B . . . A zieht B nach sich
'
'
$
$
Ω
'
$
B
A
&
%
&
&
%
%
Ist A eingetreten, d.h. der Versuchsausgang ist ein ω ∈ A,
so gilt ω ∈ B, d.h. B ist ebenfalls eingetreten.
Gilt A ∩ B = ∅, so heißen A und B unvereinbar, sie
können niemals gemeinsam eintreten.
'
$
'
A
&
Ω
$
'$
%
B
&%
%
&
Das Ereignisfeld A wird nun aus genügend vielen
Ereignissen gebildet, so dass alle obigen Operationen
zwischen diesen Ereignissen ausführbar sind und außerdem
Ω ∈ A gilt.
(Enthält Ω unendlich viele Elemente (vgl. Bsp. 3) so müssen
auch Grenzwerte von Operationen der Form A1 ∪ A2 ∪ . . . in
A sein. A ist dann σ-Algebra.).
Den Operationen zwischen Ereignissen entsprechen Operationen zwischen Mengen (Durchschnitt, Vereinigung, . . . ).
5
Wahrscheinlichkeiten
Vorbetrachtung:
n-malige Durchführung eines zufälligen Versuches und zählen,
wie häufig ein uns interessierendes Ereignis A eingetreten ist:
• absolute Häufigkeit:
Hn(A)
• relative Häufigkeit:
hn(A) =
1
Hn(A)
n
Erfahrung: Für große n stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten
6
Eigenschaften der relativen Häufigkeit:
h1)
h2)
0 ≤ hn(A) ≤ 1
Ω tritt immer ein: Hn(Ω) = n, ∅ tritt nie ein:
hn(Ω) = 1,
h3)
hn(∅) = 0 .
Gilt A ∩ B = ∅, (A und B disjunkt ) dann treten
A und B niemals gleichzeitig ein, und es gilt
Hn(A ∪ B) = Hn(A) + Hn(B),
(∗)
und somit:
hn(A ∪ B) = hn(A) + hn(B),
h4)
A ∩ B = ∅.
Gilt A ∩ B 6= ∅, dann wird auf der rechten Seite in (∗)
doppelt gezählt, falls A ∩ B eintritt. Also gilt
Hn(A ∪ B) = Hn(A) + Hn(B) − Hn(A ∩ B),
und somit:
hn(A ∪ B) = hn(A) + hn(B) − hn(A ∩ B).
Beispiel Würfel:
A = {1, 2} , B = {2, 3} , A ∪ B = {1, 2, 3}
hn({1 , 2 , 3} = hn({1, 2}) + hn({2, 3}) − hn({2}).
7
Wahrscheinlichkeiten können als Modell verstanden werden für
die Grenzwerte der relativen Häufigkeiten (n → ∞), bzw.
für die Gesetzmäßigkeiten, die dahinterstecken oder dahinter
vermutet werden.
P (A),
A ⊂ Ω (A ∈ A)
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A,
definiert in Analogie zu den Eigenschaften der hn durch ein
Axiomsystem (Kolmogorov, 1933)
A1
0 ≤ P (A) ≤ 1 für alle A ∈ A
A2
P (Ω) = 1,
A3
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
P (∅) = 0
(Additivität)
Genauer muss man verlangen:
A3’
Für A1, A2, A3, . . . mit Aj ∈ A, j ∈ N, und
Ai ∩ Aj = ∅, i, j ∈ N, i 6= j, gilt
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . .) =
(σ-Additivität)
∞
X
i=1
P (Ai)
↑
Grenzwert von
8
n
X
i=1
für n → ∞
Daraus folgen, wie für hn, weitere wichtige Formeln:
P (Ā) = 1 − P (A)
denn: A ∩ Ā = ∅ und A ∪ Ā = Ω,
A3
A2
P (A) + P (Ā) =
P (A ∪ Ā) = P (Ω) =
1.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
denn: A ∪ B lässt sich disjunkt zerlegen in A \ B, A ∩ B und
B \ A.
'
$
'
A\B
A∩B
&
$
B\A
%
&
%
Anschaulich:
Ω = Teig der Masse 1 (kg) (ungleichmäßig) ausgerollt.
Ein Plätzchen: A = Ereignis hat die Masse P (A).
9
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A ∩ B̄)
” A und nicht B ”
Beispiel:
Gegeben:
P (A)
= 0.7
P (B)
= 0.4
P (A ∩ B) = 0.15
Dann gilt: P (A ∩ B̄) = 0.7 - 0.15 = 0.55
P (Ā ∩ B) = 0.4 - 0.15 = 0.25
P (A ∪ B) = 0.7 + 0.4 - 0.15 = 0.95
Darstellung in ”Vierfeldertafel”:
B
A 0.15
Ā 0.25
0.4
B̄
0.55 0.7
0.05 0.3
0.6 1
Das Tripel ( Ω, A, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.
10
Die klassische Wahrscheinlichkeit
Modell für z.B. Würfeln, Münzwurf, Roulette, Ziehung von
Lottozahlen;
Ausgangspunkt: Man erkennt keinen Grund, einem der
möglichen Versuchsausgänge eine größere Wahrscheinlichkeit
zuzuordnen als einem anderen.
Also:
Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn}
Ereignisse {ωi} gleichwahrscheinlich, daraus folgt:
1
P ({ωi}) =
n
denn:
Sei P ({ω1}) = P ({ω2}) = . . . = P ({ωn}) = p .
Dann ist
1 = P (Ω) = P ({ω1}) + P ({ω2}) + . . . + P ({ωn}) = np .
In gleicher Weise erhält man für jedes Ereignis A ∈ A:
1
X
X
P (A) =
P ({ωi}) =
i: ωi ∈A
i: ωi ∈A n
Also:
Anzahl der ωi in A
P (A) =
n
=
”Anzahl der für A günstigen Fälle”
Anzahl aller möglichen Fälle
Zur Bestimmung dieser Anzahlen sind häufig die Formeln der
Kombinatorik hilfreich.
11
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel. Spiel: Urne mit 50 Kugeln, leichte und schwere, weiße
und rote, wobei das Ziehen einer roten Kugel einen Gewinn
verspricht, das Ziehen einer weißen nicht.
weiß rot
Verteilung (Vierfeldertafel):
10 g
5
20 25
50 g
20
5
25
25 50
25
Versuch: Ziehen einer Kugel
A . . . ”Die gezogene Kugel ist rot” = ”Gewinn”
B . . . ”Die gezogene Kugel ist schwer”
Klassische Wkt.: P (A) =
25
= 0.5 = 50%.
50
Die Gewinnchance beträgt 50%.
Zusatzinformation: Beim Herausnehmen kann der Spieler
- noch bevor er die Farbe erkennt - zweifelsfrei feststellen, dass
es eine schwere Kugel ist.
5
Er erwartet jetzt nur noch mit PB (A) =
= 0.2 = 20%
25
einen Gewinn.
Die Information ”B ist eingetreten” hat die Bewertung der
Chancen für das Eintreten von A geändert.
12
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für jedes B ∈ A
mit P (B) > 0 heißt
P (A ∩ B)
PB (A) = P (A | B) =
P (B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
Folgerungen:
• Für jedes B ∈ A mit P (B) > 0 werden durch
PB = P ( . | B) Wahrscheinlichkeiten auf A
definiert.
• Diese Wahrscheinlichkeiten sind ”auf B konzentriert”:
P (B | B) = 1.
•
P (A | Ω) = P (A)
• Sei min{ P (A), P (B) } > 0. Dann gilt
P (A | B) · P (B) = P (B | A) · P (A) .
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines jeden Ereignisses ergibt
sich ”aus seinem Anteil an B”.
Formeln für Wkt.en gelten bei fester Bedingung analog.
Bsp.:
P (A ∪ B | C) = P (A | C) + P (B | C) − P (A ∩ B | C)
P (A | B) + P (Ā | B) = 1
13
Mitunter ist bedingte Wkt. P (A | B)
ermitteln als P (A ∩ B). Man benutzt dann:
leichter
zu
P (A ∩ B) = P (A | B) · P (B)
”Multiplikationssatz”
Unabhängigkeit
Wir vergleichen P (A) mit P (A | B):
Gilt P (A) = P (A | B), dann hat die Information, dass B
eingetreten ist, keinen Einfluss auf die Bewertung der Chance,
dass auch A eingetreten ist.
Definition: Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn
gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Anderenfalls heißen die Ereignisse abhängig.
Wegen
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (B)
ist Unabhängigkeit dann (falls P (B) 6= 0) gleichbedeutend
mit:
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (A) · P (B)
=
= P (A)
P (B)
P (B)
14
• Definition harmoniert meistens mit der üblichen
Vorstellung von Unabhängigkeit;
Gefahr bei Kopplung über ”dritte”:
– Anzahl der beobachteten Störche am Tag x
– Anzahl der Geburten am Tag x
gekoppelt über saisonale Schwankungen
• Unterscheiden zwischen
– der oben definierten paarweisen Unabhängigkeit von
jeweils zwei Ereignissen und
– der vollständigen Unabhängigkeit von mehr als zwei
Ereignissen
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln:
A . . . erster Würfel: gerade Zahl
B . . . zweiter Würfel: gerade Zahl
C . . . Summe der Augenzahlen ungerade
P (A) = P (B) = P (C) = 1/2
P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 1/4
⇒ paarweise unabhängig, aber
P (A ∩ B ∩ C) = 0
15