Aufgaben Theoretische Informatik

Aufgaben Theoretische Informatik
Elmar Eder
25. Januar 2017
Lösungen der Aufgaben bitte abgeben auf dem Abgabesystem von Dominik
Kaaser auf https://ti.cosy.sbg.ac.at/ als ASCII- oder UTF-8-Dateien mit
der unter Unix/Linux üblichen Codierung der Zeilenenden als LF (linefeed) oder
als PDF- oder JPEG-Dateien! Dateinamen wie dort angegeben. Die Aufgaben
sind dann im Proseminar zu präsentieren (Kreuzerlliste zur Präsentationsbereitschaft liegt jeweils am Anfang der Doppelstunde aus).
Aufgabe 1 Im Prolog-Programm ggT.pl ist der euklidische Algorithmus zur
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen implementiert. Unter einem Teiler einer natürlichen Zahl a verstehen wir eine natürliche Zahl t derart, dass eine natürliche Zahl u existiert mit t · u = a. Wir
schreiben dann t|a. Unter einem gemeinsamem Teiler (ggT) zweier natürlicher
Zahlen a und b verstehen wir eine Zahl t, die Teiler sowohl von a als auch von
b ist, also so, dass t|a ∧ t|b gilt. Jede natürliche Zahl t ist Teiler der Null 0.
Jede natürliche Zahl a 6= 0 hat aber nur endlich viele Teiler. Daher gibt es zu
je zwei Zahlen a und b – außer, wenn a und b beide gleich 0 sind, – stets einen
größten gemeinsamen Teiler, den wir als den ggT von a und b bezeichnen. Wenn
a = b = 0 ist, sind alle natürlichen Zahlen gemeinsame Teiler von a und b, und
es gibt daher keinen größten gemeinsamen Teiler von a und b. Um trotzdem
auch in diesem Fall ein wohldefiniertes Ergebnis zu bekommen, definieren wir
den ggT von 0 und 0 als 0.
Probieren Sie das Programm zunächst mit der Anfrage
?- ggT(12,8,T).
aus (nicht abzugeben)! Wenn Sie zuvor mit
?- trace.
in den Trace-Modus umschalten, können Sie Prolog beim Beweisen der einzelnen Ziele zusehen. Call bedeutet, dass Prolog versucht, ein Ziel zu beweisen;
Exit bedeutet, dass Prolog ein Ziel bewiesen hat. Prolog verwendet bei der
Anzeige der Ziele interne Namen für die Variablen, die mit einem Underscore
anfangen. So kann es etwa die Variable T als _G2756 anzeigen und somit das
Ziel ggT(12,8,T) als ggT(12, 8, _G2756) anzeigen. Mit der RETURN-Taste
schalten Sie einen Schritt weiter. Beobachten Sie dabei die Zeilen, die einen
Call von ggT beschreiben (nicht abzugeben)! Ich gebe hier diese Zeilen auf das
Wesentliche verkürzt wieder:
Call:
Call:
Call:
Call:
ggT(12, 8, _G2756)
ggT(8, 12, _G2756)
ggT(4, 8, _G2756)
ggT(0, 4, _G2756)
1
Sie sehen, dass dabei das erste Argument von ggT jeweils von einem solchen
Call zum nächsten immer kleiner wird (im obigen Beispiel: 12, 8, 4, 0).
Mit ?- nodebug. können Sie Prolog wieder in den normalen Modus umschalten.
Die Definition des Prädikats ggT im Programm ggT.pl besteht aus zwei
Klauseln.
(a) Formulieren Sie jede der beiden Klauseln des Programms ggT.pl als Aussage in deutscher Sprache (unter Verwendung der Abkürzung ggT)!
(b) Zeigen Sie, dass diese beiden Aussagen wahr sind! Wegen der Korrektheit
von Prolog folgt daraus dann, dass das Programm keine falschen Antworten liefert.
(c) Wenn Prolog eine Anfrage abarbeitet, versucht es, sie zunächst mittels
der ersten Klausel des Programms zu beweisen. Wenn das nicht geht,
versucht es dies mit der zweiten Klausel des Programms. Dabei ruft es
dasselbe Prädikat ggT wiederum mit anderen Argumenten (C,A,T) auf.
Man nennt das einen rekursiven Aufruf. Dieser Aufruf kann wiederum zu
einem rekursiven Aufruf von ggT führen, usw. Zeigen Sie, dass bei der
Berechnung des ggT zweier natürlicher Zahlen mit diesem Programm die
Kette der rekursiven Aufrufe stets nach endlich vielen Aufrufen enden
muss und daher das Programm stets terminiert!
Aufgabe 2 Sei A die Aussage „2 ist ungerade“ und B die Aussage „3 ist eine
Primzahl“ (Beispiel aus der Vorlesung). Geben Sie für jede der Aussagen ¬A,
A ∧ B, A ∨ B, A ⇒ B und A ⇔ B an, ob sie wahr oder falsch ist!
Aufgabe 3 In Prolog wird ein Prädikat durch seinen Namen gefolgt von einem
Schrägstrich und seiner Stelligkeit bezeichnet. So gibt es zum Beispiel in SWIProlog (swipl) und in GNU-Prolog (gprolog) ein zweistelliges Prädikat member
und ein dreistelliges Prädikat append. Diese werden bezeichnet mit member/2
bzw. append/3. Machen Sie sich zunächst mit diesen beiden Prolog-Prädikaten
vertraut, indem Sie unter anderen die Anfragen
??????-
member(X,[a,b,c]).
member(a,L).
append([a,b],[c,d,e],L).
append(L1,L2,[a,b,c,d]).
append(L1,L1,L).
append(L1,L2,L).
eingeben und indem Sie in SWI-Prolog ?- help. aufrufen und in dem daraufhin
erscheinenden Fenster in dem kleinen Eingabefeld member/2 bzw. append/3
eingeben bzw. in GNU-Prolog im Manual nachschlagen! Implementieren Sie
dann diese beiden Prädikate als selbst definierte Prolog-Prädikate element/2
bzw. konkatenation/3 ohne Verwendung der eingebauten Prädikate!
Aufgabe 4 Bei dem Spiel Nim spielen zwei Spieler gegeneinander. Es liegen
mehrere Haufen von Steinen auf einem Tisch. Die Spieler ziehen abwechselnd.
Jeder Zug besteht darin, aus einem Haufen ein oder mehr Steine zu entfernen.
Wer als erster nicht mehr ziehen kann, weil alle Haufen leer sind, hat verloren.
2
Geben Sie einen Algorithmus an, der für einen Spieler, der gerade am Zug
ist, feststellen kann, ob es für ihn möglich ist, auch gegen einen guten Gegner zu
gewinnen! Außerdem soll der Algorithmus in diesem Fall einen Zug ausgeben,
der dem Spieler den Gewinn garantiert. Implementieren Sie Ihren Algorithmus
in Prolog! Bauen Sie damit ein Nim-Programm, das gegen einen menschlichen
Gegner optimal spielen kann! Testen Sie Ihr Programm für einige Spielstellungen
mit wenigen Steinen!
Hinweis: Wenn G ein Prolog-Ziel ist, dann ist \+G die negation as failure von
G. Das Ziel \+G gelingt genau dann, wenn das Ziel G fehlschlägt. Bei einem
Aufruf von \+G versucht Prolog zunächst G zu beweisen. Wenn dies gelingt,
schlägt der Aufruf von \+G fehl. Andernfalls gelingt der Aufruf von \+G, ohne
dass dabei irgendwelche Variablen ersetzt werden.
Aufgabe 5 Gibt es für das Spiel Schach einen Algorithmus, der ähnlich wie
in der vorigen Aufgabe, in endlicher Zeit feststellen kann, ob es bei einer gegebenen Schachstellung einen Zug gibt, der dem ziehenden Spieler den Gewinn
garantiert? Man sagt dann, es sei entscheidbar, ob es einen solchen Zug gibt.
Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 6 Geben Sie für ¬((A ∨ ¬B) ⇔ ¬(A ∧ C)) die Wahrheitswerttafel an!
Aufgabe 7 Wieviele n-stellige aussagenlogische Verknüpfungen gibt es? Geben
Sie alle n-stelligen aussagenlogischen Verknüpfungen für n = 0, für n = 1 und
für n = 2 an!
Aufgabe 8 Geben Sie alle einstelligen Prädikate auf der Menge {a, x, z} an!
Geben Sie alle zweistelligen Prädikate auf der Menge {3, 4} an!
Aufgabe 9 Sei D ein Individuenbereich mit k Elementen. Wieviele n-stellige
Prädikate gibt es auf D? Schreiben Sie ein Prolog-Programm, das alle n-stelligen
Prädikate auf D ausgibt!
Aufgabe 10 Geben Sie einen Individuenbereich D und ein zweistelliges Prädikat P auf D an derart, dass die Aussage
∀x¬P (x, x) ∧ ∀x∀y∀z P (x, y) ∧ P (y, z) ⇒ P (x, z) ∧ ∀x∃y P (x, y)
wahr ist! Wir sagen, durch D und P sei ein Modell dieser Aussage gegeben.
Geht das mit einem endlichen Individuenbereich D?
Aufgabe 11 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass
n
X
i=0
i=
n · (n + 1)
2
für alle natürlichen Zahlen n gilt!
Aufgabe 12 Das dreistellige Prädikat P auf der Menge der natürlichen Zahlen
sei definiert durch
P (x, y, z) ⇔ x · y = z.
3
Geben Sie für jede der folgenden Aussageformen über dem Individuenbereich
der natürlichen Zahlen an, für welche Werte der Variablen x, y und z diese
Aussageform wahr ist und für welche Werte der Variablen x, y und z sie falsch
ist!
∃x P (x, 2, z)
∃y P (x, y, z)
∃z P (x, y, z)
∃x∃y P (x, y, z) ∧ x > 1 ∧ y > 1
∀x∃y∃z P (x, y, z)
∀x∃y∀z P (x, y, z)
Aufgabe 13 Schreiben Sie
^ _
δ<
>0 δ>0
so um, dass darin keine eingeschränkte Quantifizierung mehr vorkommt. Stellt
dies als Aussage über dem Individuenbereich der ganzen Zahlen betrachtet eine
wahre oder eine falsche Aussage dar? Stellt es als Aussage über dem Individuenbereich der reellen Zahlen betrachtet eine wahre oder eine falsche Aussage
dar?
Aufgabe 14 Sei f : R → R eine Funktion auf der Menge der reellen Zahlen.
Drücken Sie die Aussage „f ist differenzierbar“ mittels eingeschränkter Quantifizierung aus! Wandeln Sie die so dargestellte Aussage um in eine Darstellung
in der Logiksprache der Prädikatenlogik erster Stufe mit Quantoren ohne Einschränkungen auf Teilbereiche des Individuenbereichs!
Aufgabe 15 Mengen, die in endlich vielen Schritten aus einfachen Elementen
aufgebaut sind, kann man in Prolog durch (eventuell geschachtelte) Listen darstellen. Implementieren Sie die Operationen und Begriffe der Mengenlehre, die
wir in der Vorlesung kennengelernt haben, in Prolog!
Aufgabe 16 In Prolog lässt sich mit op ein Prolog-Funktor (also Funktionszeichen oder Prädikatszeichen) als Infix-, Präfix- oder Postfix-Operator deklarieren. Mit current_op können Sie sich alle als Infix-, Präfix- oder PostfixOperatoren deklarierten Funktoren auflisten lassen. Schauen Sie sich die Dokumentation von op und current_op an!
Im Prolog-Programm-Fragment wahrheitswert1.pl sind die zwei Funktoren nicht/1 und und/2 als Präfix- bzw. Infix-Operator deklariert. Man kann
dann z.B. nicht A statt nicht(A) schreiben und A und B statt und(A,B) schreiben. Das Programm soll den Wahrheitswert einer mittels Junktoren aus den
Aussagen A und B von Aufgabe 2 zusammengesetzten Aussage berechnen können. Verbessern Sie das Programm-Fragment, indem Sie zwecks besserer Lesbarkeit für die Junktoren einheitlich Präfix- und Infix-Schreibweise im Programm
verwenden und indem Sie die fehlenden Fälle und Junktoren ergänzen! Das Programm soll die Wahrheitswerte der zusammengesetzten Aussagen der Aufgabe
2 berechnen können und darüberhinaus die Wahrheitswerte auch von beliebigen
mit ¬, ∧, ∨, ⇒ und ⇔ aus A und B zusammengesetzten Aussagen. Lassen Sie
4
sich von Prolog den Wahrheitswert von (A ⇒ B) ⇒ B und den Wahrheitswert
von A ⇒ A ∧ B berechnen!
Ändern Sie schließlich noch Ihr Programm, indem Sie den Namen des PrologPrädikats von wahrheitswert zu hat_den_Wahrheitswert ändern und dieses
Prolog-Prädikat als Infix-Operator deklarieren! Verwenden Sie auch im Programmtext die Infixschreibweise! Geben Sie dann Anfragen zum Wahrheitswert
jeweils einer zusammengesetzten Aussage in Infixnotation ein!
Aufgabe 17 Seien A, B und C Aussagen. Geben Sie für jede der folgenden
zusammengesetzten Aussagen den entsprechenden Ausdruck unter möglichst
weitgehender Weglassung von Klammern aufgrund der Vorrangregeln, sowie den
Strukturbaum an!
A
¬B
¬A ∨ (¬B)
A ⇔ (¬B ∧ (¬¬(B ∧ A)))
Aufgabe 18 Geben Sie alle Tripel (d.h. 3-Tupel) von Elementen der Menge {a, b} an! Geben Sie alle Paare (d.h. 2-Tupel) von Elementen der Menge
{3, 9, 11} an!
Aufgabe 19 Geben Sie die Potenzmenge der Menge {2, 3, 4} an! Geben Sie die
Potenzmenge der Menge {(2, 3), (4, 5)} an!
Aufgabe 20 Geben Sie für jedes der folgenden Erzeugungssysteme an, welche
Menge von Objekten es erzeugt!
(a) Objekte sind reelle Zahlen.
Axiom:
0
Regel:
x
x+1
(b) Objekte sind reelle Zahlen.
Axiom:
1
Regel:
x
y
x−y
(c) Objekte sind reelle Zahlen.
Axiom:
1
x
y
x−y
x
y
,
x/y
Regeln:
5
wenn y 6= 0.
(d) Gegeben sei ein Würfel im dreidimensionalen euklidischen Raum. Objekte
sind Punkte des Raumes.
Axiome:
Die 8 Eckpunkte des Würfels
~x
~y
,
α~x + (1 − α)~y
Regel:
wenn 0 ≤ α ≤ 1.
Die Regel sagt aus, dass man aus zwei Punkten des Raumes jeden Punkt
auf der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte erzeugen kann.
(e) Gegeben seien zwei zueinander windschiefe Geraden g und h im dreidimensionalen euklidischen Raum. Objekte sind Punkte des Raumes.
Alle Punkte der Geraden h
Axiome:
Regel:
~x
, wenn ~y aus ~x durch Drehung um die Achse g entsteht
~y
Aufgabe 21 Betrachten wir als Objekte (Gegenstände) die natürlichen Zahlen.
Dann wird durch die folgenden Regeln ein Erzeugungssystem definiert:
Axiome:
3
5
x y
.
x+y
Regel:
Welche Zahlen sind in diesem Erzeugungssystem herleitbar?
Aufgabe 22 Gegeben sei das Alphabet Σ = {a, b}. Die Sprache L1 über dem
Alphabet Σ sei die Menge aller Wörter über Σ, die nur aus a’s bestehen, d.h.
die das Zeichen b nicht enthalten. Die Sprache L2 über dem Alphabet Σ sei die
Menge aller Wörter über Σ, die nur aus b’s bestehen. Geben Sie für jede der
Sprachen L1 , L1 ∪ L2 , L1 ∩ L2 , L1 \ L2 , L1 L2 , {a, b}∗ , {ab}∗ , L∗1 und L+
1 explizit
an, aus welchen Wörtern sie besteht.
Aufgabe 23 Geben Sie einen regulären Ausdruck für die Sprache La∗ über dem
Alphabet {a, b} an!
Aufgabe 24 Die Wörter
ε, a, ab, aba, abab, . . . , b, ba, bab, baba, . . .
sind dadurch charakterisiert, dass sie nur die Zeichen a und b enthalten, wobei
sich a und b abwechseln. Die Menge
{ε, a, ab, aba, abab, . . . , b, ba, bab, baba, . . . }
dieser Wörter ist eine Sprache über dem Alphabet {a, b}. Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der genau diese Sprache bezeichnet.
6
Aufgabe 25 Seien L und L0 zwei reguläre Sprachen über demselben Alphabet
Σ. Zeigen Sie, dass die Sprachen L ∪ L0 , LL0 und L∗ regulär sind!
Aufgabe 26 Sei Σ ein Alphabet und L eine endliche
S Menge von regulären
Sprachen über Σ. Zeigen Sie, dass dann die Sprache L ebenfalls regulär ist!
Aufgabe 27 Ist auch die Vereinigung einer unendlichen Menge von regulären
Sprachen über Σ stets wieder regulär? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 28 Gegeben sei der deterministische endliche Automat (DEA) über
dem Alphabet {a, b} mit den Zuständen p, q und r und mit der folgendermaßen
definierten Übergangsfunktion δ:
δ(p, a) = p
δ(p, b) = q
δ(q, a) = p
δ(q, b) = r
δ(r, a) = r
δ(r, b) = r
Dabei sei p der Anfangszustand des Automaten und r der einzige Endzustand
des Automaten. Die Dateien dea_Simulation1.pl und dea_Simulation2.pl
enthalten zwei Varianten eines Prolog-Programms, das diesen deterministischen
endlichen Automaten simuliert. Schauen Sie sich zunächst die Programme an
und probieren Sie sie mit verschiedenen Eingabewörtern aus!
Nun zeichnen Sie den Graphen, der diesen endlichen Automaten darstellt!
Aufgabe 29 Welche Wörter werden von diesem endlichen Automaten akzeptiert? Geben Sie einen regulären Ausdruck an, der genau die Menge der Wörter
bezeichnet, die von diesem endlichen Automaten akzeptiert werden!
Aufgabe 30 Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten an, der
genau die Wörter der Sprache von Aufgabe 24 akzeptiert!
Aufgabe 31 Formulieren Sie die induktive Definition des Begriffs des regulären Ausdrucks (beamer.pdf S.104) um als Regeln eines Erzeugungssystems!
Zeigen Sie, dass es zu jedem regulären Ausdruck K genau eine Menge P von
regulären Ausdrücken gibt derart, dass (P, K) Instanz einer Regel dieses Erzeugungssystems ist! Zeigen Sie weiter, dass zu jedem regulären Ausdruck genau
ein Herleitungsbaum existiert! Der Herleitungsbaum eines regulären Ausdrucks
ist also eindeutig bestimmt.
Aufgabe 32 Im Prolog-Programm nea_akz_Spr.pl werden zwei Prolog-Prädikate
delta (3-stellig) und endzustand (1-stellig) definiert, durch die die Übergangsrelation ∆ und die Menge F der Endzustände eines nichtdeterministischen endlichen Automaten gegeben werden. Zeichnen Sie diesen Automaten! Geben Sie
einen regulären Ausdruck an, der die durch diesen Automaten erzeugte Sprache
bezeichnet! Lassen Sie sich vom Prolog-Programm nacheinander die vom Automaten akzeptierten Wörter ausgeben und verifizieren Sie, dass das genau die
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Wörter der von Ihrem regulären Ausdruck bezeichneten Sprache sind! Versuchen Sie zu verstehen, was das Prolog-Programm tut! Zeichnen Sie schließlich
einen minimalen deterministischen endlichen Automaten, der diese Sprache akzeptiert!
Aufgabe 33 Sei Σ das Alphabet { , , , } aus der Musik. Die Noten , ,
haben Notenwerte von jeweils 1, 2 bzw. 4 Schlägen. Das Zeichen ist der Taktstrich. Unter einem Viervierteltakt wollen wir ein Wort über dem Alphabet Σ
verstehen, das aus Noten gefolgt von dem Taktstrich besteht, wobei die Summe
der Notenwerte 4 Schläge beträgt. Unter einem einfachen Vierviertelrhythmus
wollen wir ein Wort über Σ verstehen, das eine Konkatenation von null oder
mehr Viervierteltakten ist. Ein Beispiel für einen einfachen Vierviertelrhythmus
.
ist das Wort
Zeichnen Sie einen deterministischen endlichen Automaten, der die Menge
der einfachen Vierviertelrhythmen akzeptiert! Geben Sie auch, angefangen beim
Anfangszustand, nacheinander alle Zustände an, die der Automat beim Lesen
durchläuft!
des Wortes
Aufgabe 34 Die zweistellige zahlentheoretische Funktion add :
ditionsfunktion) ist definiert durch die Rekursionsgleichungen
add(x, 0) = x
add(x, y 0 ) = add(x, y)0 .
N2 → N (Ad(add1)
(add2)
Berechnen Sie add(000 , 0000 ), indem Sie diese Rekursionsgleichungen wiederholt
von links nach rechts anwenden!
Aufgabe 35 Beweisen Sie add(0, y) = y durch vollständige Induktion nach y!
Aufgabe 36 Beweisen Sie add(x0 , y) = add(x, y)0 durch vollständige Induktion
nach y!
Aufgabe 37 Beweisen Sie add(x, y) = add(y, x) durch vollständige Induktion
nach x!
Aufgabe 38 Die zweistellige zahlentheoretische Funktion mul : N2 → N (Multiplikationsfunktion) ist definiert durch die Rekursionsgleichungen
mul(x, 0) = 0
(mul1)
0
mul(x, y ) = add(mul(x, y), x).
(mul2)
Berechnen Sie mul(000 , 0000 ), indem Sie diese Rekursionsgleichungen wiederholt
von links nach rechts anwenden!
Aufgabe 39 Definieren Sie in ähnlicher Weise die zweistellige zahlentheoretische Funktion pot : N2 → N (Potenzierungsfunktion) durch Rekursionsgleichungen, wobei pot(x, y) = xy ist!
8
Aufgabe 40 Sei die einstellige zahlentheoretische Funktion f : N → N definiert durch f = (ROP12 ). Berechnen Sie f (000 )! Welche Funktion ist f ? Welche
Funktion ist (N (N O))? Welche Funktion ist (N (N f ))? Welche Funktion ist
(f P13 )? Welche Funktion ist (N (N (f P13 )))? Welche Funktion ist ((N (N f ))P13 )?
Aufgabe 41 Geben Sie die Rekursionsgleichungen für die Vorgängerfunktion
V an und berechnen Sie V (0000 )! Stellen Sie die Funktion V als (Rf g) dar!
Aufgabe 42 Stellen Sie die Funktionen add, mul und pot jeweils in der Form
(Rf g) dar!
Aufgabe 43 Was ist P13 (8, 4, 5)? Was ist K23 (8, 4, 5)?
Die dreistellige zahlentheoretische Funktion f : N3 → N sei definiert durch
f = (add(add(mul(mul K23 P13 )P33 )(mul K33 P23 ))K73 ).
Was ist f (8, 4, 5) und was ist allgemein f (x1 , x2 , x3 )?
Aufgabe 44 Für eine einstellige zahlentheoretische Funktion f ist die Iteration
(Itf ) von f eine zweistellige zahlentheoretische Funktion, die gegeben ist durch
(Itf )(x, y) = f (f (. . . f (f (x)) . . . )).
{z
}
|
y mal das f
(a) Definieren Sie (Itf ) durch Rekursionsgleichungen.
(b) Zeigen Sie, dass (Itf ) primitivrekursiv ist, wenn f primitivrekursiv ist.
Aufgabe 45 Sei f = (RO(add P12 (N P22 ))) und g = (add(f add)P22 ).
(a) Um welche zahlentheoretische Funktion handelt es sich bei f ?
(b) Um welche zahlentheoretische Funktion handelt es sich bei g? Berechnen
Sie den Funktionswert von g für Argumentwerte bis 3 und tragen Sie sie
in einer Tabelle ein! Ist die Funktion g injektiv? Ist sie surjektiv?
Aufgabe 46 Welche der folgenden Wörter sind primitivrekursive Funktionale?
Geben Sie gegebenenfalls die Stelligkeit des Funktionals an und die zahlentheoretische Funktion, die durch das Funktional bezeichnet wird!
O N (OO) (ON) (NO) (NN) (NNN) ((NN)N) (P22 NN) (ROP21 )
Aufgabe 47 Sei P das Primzahlprädikat, < das Kleinerprädikat und | das
Teilerprädikat, jeweils auf der Menge der natürlichen Zahlen. P (x) bedeute also,
dass x eine Primzahl ist, < (x, y) bedeute, dass x kleiner als y ist, und |(x, y)
bedeute, dass x ein Teiler von y ist. Geben Sie jeweils den Wert von χP (4),
χP (7), χ< (2, 3), χ< (7, 5), χ| (3, 7) und χ| (5, 15) an!
Aufgabe 48 Sei n eine natürliche Zahl und seien P und Q zwei n-stellige primitivrekursive Prädikate. Zeigen Sie, dass dann die Prädikate ¬P , P ∧ Q und
P ∨ Q auch primitivrekursiv sind!
9
Aufgabe 49 Sei P ein (n + 1)-stelliges zahlentheoretisches Prädikat. Zeigen
Sie, dass dann gilt
χ(∀b P ) = (ΠχP )
χ(∃b P ) = (sg(ΣχP ))
Folgern Sie daraus, dass die Prädikate (∀b P ) und (∃b P ) primitivrekursiv sind,
wenn das Prädikat P primitivrekursiv ist!
Aufgabe 50 In Programmiersprachen kommt oft ein while-Konstrukt vor. Sei
P ein einstelliges zahlentheoretisches Prädikat und seien f und g zwei einstellige
zahlentheoretische Funktionen. Betrachten Sie den folgenden Pseudocode.
x := a;
while P (x) do x := f (x);
return x;
Nehmen wir weiter an, wir wissen, dass die while-Schleife immer terminiert
und dass die Anzahl der Schleifendurchläufe ≤ g(a) ist. Dann berechnet dieser
Pseudocode eine einstellige zahlentheoretische Funktion h. Zu jeder Eingabezahl
a wird also eine Ausgabezahl h(a) geliefert.
(a) Drücken Sie die Anzahl der Schleifendurchläufe aus durch das Prädikat
P , und die Funktionen f und g mit Hilfe von Komprehension, Iteration
und beschränktem µ-Operator.
(b) Drücken Sie die gelieferte Ausgabe x entsprechend aus.
(c) Zeigen Sie, dass die von dem Pseudocode berechnete Funktion h primitivrekursiv ist, wenn die Funktionen f und g und das Prädikat P primitivrekursiv sind.
Aufgabe 51 Drücken Sie das Primzahlprädikat P , das Kleinerprädikat < und
das Teilerprädikat | mittels Komprehension aus, wobei Sie nur Variablen, natürliche Zahlen, die Additionsfunktion, die Multiplikationsfunktion und das Gleichheitsprädikat auf natürlichen Zahlen sowie Funktions- und Prädikatsanwendung
und Anwendung von ¬, ∧, ∨, ∀b , ∃b und µb verwenden.
Aufgabe 52 Berechnen Sie (RP11 (N P13 ))(2, 3) durch wiederholte Anwendung
der Rekursionsgleichungen! Schaun Sie sich dann das Programm primrek.pl
an und geben Sie eine Prologanfrage für obige Berechnung ein! Verfolgen Sie die
Berechnung durch Prolog im Trace-Modus (nicht abzugeben)!
Aufgabe 53 Sei p die Petersche Funktion. Berechnen Sie p(2, 3) durch wiederholte Anwendung der Rekursionsgleichungen von links nach rechts!
Schaun Sie sich bitte zu der Definition und zum Lemma auf beamer.pdf
S.205 auch die Ausführungen auf skript_a.pdf ab S.70 Definition 25 bis S.73
oben an! Schaun Sie sich zur Peterschen Funktion bitte auch die Ausführungen
auf skript_a.pdf S.73–79 an!
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Aufgabe 54 Ein Kellerspeicher ist ein Speicher für eine variable Anzahl von
Daten, die man sich als übereinander gestapelt veranschaulicht. Beispiele für
Speicherinhalte eines Kellerspeichers sind
25
104
7
43 ,
104
7
43
und
63
104
7
43 .
Auf dem Kellerspeicher sind folgende Operationen erlaubt: Abfrage, ob der Speicher leer ist; Hinzufügen eines weiteren Eintrags x oben auf den Stapel push(x);
Entfernen des obersten Eintrags vom Stapel pop liefert diesen Eintrag als Ergebnis. In obigem Beispiel führt ein ‘pop’ vom linken Bild zum mittleren und
liefert 25 als Ergebnis und ein ‘push(63)’ führt vom mittleren Bild zum rechten.
Beschreiben Sie, wie man mit einem Kellerspeicher für natürliche Zahlen die Peter’sche Funktion berechnen kann und zeigen Sie die Abfolge der Speicherinhalte
für das Beispiel der Berechnung von p(2, 3)!
Aufgabe 55 Ein geschachtelter Aufruf der Peter’schen Funktion p der Form
p(x1 , p(x2 , p(x3 , . . . , p(xn−2 , p(xn−1 , xn )) . . . ))) wie in Aufgabe 53 oder ein entsprechender Kellerspeicherinhalt wie in Aufgabe 54 soll kodiert werden durch
eine einzige natürliche Zahl hhx1 , x2 , x3 , . . . , xn−2 , xn−1 , xn i, ni. Zeigen Sie, dass
es eine einstellige primitivrekursive Funktion f gibt, sodass für jeden Schritt der
Berechnung der Peter’schen Funktion gemäß Aufgabe 53 oder Aufgabe 54 für
die Kodierung c vor dem Berechnungsschritt und für die Kodierung d nach dem
Berechnungsschritt gilt f (c) = d!
Aufgabe 56 Welche Funktion ist (µP12 )? Berechnen Sie diese Funktion an verschiedenen Stellen händisch und mit dem Programm mypartrek.pl! Wie verhält
sich das Programm bei einer Eingabe, für die die Funktion undefiniert ist?
Aufgabe 57 Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass die n-stellige partielle zahlentheoretische Funktion, die auf ganz Nn undefiniert ist, µ-partiellrekursiv ist.
Die 1-stellige partielle zahlentheoretische Funktion f sei definiert durch
(
x
,
wenn x gerade ist
f (x) := 2
undefiniert sonst.
Zeigen Sie, dass f eine µ-partiellrekursive Funktion ist.
Aufgabe 58 Seien p und f zwei einstellige partielle zahlentheoretische Funktionen. Betrachten Sie den folgenden Pseudocode.
x := a;
while p(x) = 0 do x := f (x);
return x;
(a) Drücken Sie die Anzahl der Schleifendurchläufe aus durch die Funktionen
p und f mit Hilfe von Komprehension, Iteration und (unbeschränktem)
µ-Operator.
(b) Drücken Sie die gelieferte Ausgabe x entsprechend aus.
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(c) Zeigen Sie, dass die von dem Pseudocode berechnete Funktion h µ-partiellrekursiv
ist, wenn die Funktionen p und f µ-partiellrekursiv sind.
Aufgabe 59 Zeigen Sie, dass die Peter’sche Funktion µ-rekursiv1 ist!
Aufgabe 60 Wir haben mit dem Cantor’schen Diagonalverfahren eine berechenbare zahlentheoretische Funktion definiert, die nicht primitivrekursiv ist.
Warum kann man nicht auf entsprechende Weise mit dem Cantor’schen Diagonalverfahren eine berechenbare partielle zahlentheoretische Funktion definieren,
die nicht µ-partiellrekursiv ist?
Aufgabe 61 Ist jede partielle zahlentheoretische Funktion µ-partiellrekursiv?
Wenn nein, dann geben Sie eine partielle zahlentheoretische Funktion an, die
nicht µ-partiellrekursiv ist!
Aufgabe 62 Sei f eine injektive einstellige µ-partiellrekursive Funktion. Dann
ist die Umkehrfunktion f −1 von f eine einstellige µ-partiellrekursive Funktion.
Beweisen Sie das für den Fall, dass f total ist! Warum ist der Beweis für nichttotale f schwieriger?
Aufgabe 63 Die Additionsfunktion add ist die zweistellige primitivrekursive
Funktion (RP11 (N P13 )). Sie ist charakterisiert durch die Rekursionsgleichungen
add(x, 0) = x
add(x, y 0 ) = add(x, y)0 .
Man kann diese Gleichungen auch in der Sprache der Logik ausdrücken, indem
man ein Funktionszeichen f für die Nachfolgerfunktion auf den natürlichen Zahlen und ein Prädikatszeichen A einführt, wobei A(x, y, z) bedeuten soll, dass
add(x, y) = z ist:
∀x A(x, 0, x)∧
∀x∀y∀z A(x, y, z) ⇒ A(x, f (y), f (z)) .
In Prologsyntax müssen Funktionszeichen und Prädikatszeichen klein und Variablen groß geschrieben werden. Wir schreiben also add für A, f für f , 0 für 0,
X für x, Y für y und Z für z. Außerdem verwendet man in Prolog die umgekehrte Implikation ⇐ (in Prolog geschrieben als :-) statt der Implikation ⇒, und
die Allquantorpräfixe ∀x, ∀y und ∀z werden weggelassen. Wir erhalten so das
Prologprogramm add.pl:
add(X,0,X).
add(X,f(Y),f(Z)):- add(X,Y,Z).
Starten Sie Prolog und lassen Sie dieses Programm mit der Anfrage
?- add(f(f(0)),f(f(f(0))),f(f(f(f(f(0)))))).
1 d.h.
µ-partiellrekursiv und total
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laufen. Prolog sollte darauf mit yes (oder mit true oder etwas ähnlichem) antworten. Prolog hat soeben bewiesen, dass die in der Anfrage angegebene Formel
logisch aus dem Programm folgt. Schreiben Sie die Formel, die Prolog bewiesen
hat, hin. Man kann die Sache aber auch so sehen: Prolog hat bewiesen, dass
das Programm zusammen mit der Negation der Anfrage logisch widersprüchlich
ist. Schreiben Sie die Formel hin, die Prolog widerlegt, d.h. als logisch widersprüchlich (wir sagen auch unerfüllbar) nachgewiesen hat. Stellen Sie nun die
Anfrage
?- add(f(f(0)),f(f(f(0))),Z).
Sie sehen, dass man mit unserem Prologprogramm nicht nur nachweisen kann,
dass 2 + 3 = 5 ist, sondern 2 + 3 auch berechnen kann, wenn man das Ergebnis
5 nicht schon vorher kennt.
Aufgabe 64 Zeichnen Sie eine SLD-Widerlegung für das Prologprogramm add.pl
mit der folgenden Anfrage!
?- add(f(f(0)),f(f(f(0))),f(f(f(f(f(0)))))).
Aufgabe 65 Zeichnen Sie eine SLD-Widerlegung für das Prologprogramm add.pl
mit der folgenden Anfrage!
?- add(f(f(0)),f(f(f(0))),Z).
Aufgabe 66 Durch die Regel
ab → baa
wird ein sogenanntes Semi-Thue-System definiert. Die Regel bedeutet, dass man
die Zeichenfolge ab durch die Zeichenfolge baa ersetzen darf. Man gibt nun eine
endliche Folge von Zeichen vor, z.B. die Zeichenfolge abbb. Diese Zeichenfolge
wird schrittweise verändert. In jedem Schritt wird dazu ein Teilstück der Zeichenfolge gemäß der obigen Regel ersetzt. So wird zum Beispiel im ersten Schritt
das Anfangsstück ab der Zeichenfolge abbb gemäß der Regel ersetzt durch baa,
sodass man insgesamt die neue Zeichenfolge baabb erhält. Im zweiten Schritt
wird darin wiederum das Teilstück ab durch baa ersetzt, sodass man die neue
Zeichenfolge babaab erhält. Im dritten Schritt hat man nun die Wahl zwischen
zwei Möglichkeiten. Eine Ableitung schaut z.B. so aus:
abbb
baabb
babaab
bababaa
...
Wenden Sie die Regel bitte solange an, bis sie nicht mehr anwendbar ist. Was
ist das Ergebnis? Probieren Sie auch, mit der Zeichenfolge a, mit der Zeichenfolge ab, mit der Zeichenfolge abb oder mit der Zeichenfolge abbbb zu beginnen.
Welche Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen kann man mit Hilfe dieses Semi-Thue-Systems berechnen? Semi-Thue-Systeme bilden die Grundlage
für die Chomsky-Grammatiken, zu denen wir zu einem späteren Zeitpunkt in
dieser Lehrveranstaltung kommen werden.
Lesen Sie das Programm semithue.pl und lassen Sie es mit der Anfrage
13
?- maximale_ableitungen.
laufen!
Kontextfreie Chomsky-Grammatiken In der Datei grammar.pdf wird ein
Beispiel für eine kontextfreie Chomsky-Grammatik sowie für eine Herleitung
eines terminalen Wortes (d.h. eines aus terminalen Zeichen bestehenden Wortes)
in dieser Grammatik und der zugehörige Syntaxbaum gezeigt.
Aufgabe 67 Sei nun eine kontextfreie Chomsky-Grammatik folgendermaßen
gegeben.
• Die terminalen Zeichen sind a, b, c, +, −, ∗, /, ( und ).
• Die nichtterminalen Zeichen sind S, T und U .
• Das Startsymbol ist S.
• Die Produktionen sind die folgenden.
S→T
S →S+T
S →S−T
T →U
T →T ∗U
T → T /U
U →a
U →b
U →c
U → (S)
Leiten Sie in dieser Grammatik das terminale Wort (a ∗ b − c/a) ∗ c her und
zeichnen Sie den zu Ihrer Herleitung gehörigen Syntaxbaum!
Aufgabe 68 Finden Sie eine Herleitung der Formel F → F im Frege-HilbertKalkül der Vorlesung! Dabei sei F eine beliebige geschlossene Formel.
Aufgabe 69 Die Funktion h : N → N sei definiert durch h(x) := x2 , wenn
x gerade ist, und h(x) := x−1
2 , wenn x ungerade ist. h ist also die Funktion
der ganzzahligen Halbierung (ganzzahlige Division durch 2). In Prolog ist die
ganzzahlige Division bereits eingebaut. Aber nehmen Sie an, Sie hätten ein
Prolog, das als einzige arithmetische Operation die Addition enthält. Dann kann
man noch den Graphen der Funktion h in Prolog als Prädikat halb/2 definieren
durch das Programm
halb(X,Y):- X is Y+Y.
halb(X,Y):- X is Y+Y+1.
Man könnte dann aber nicht z.B. mit der Anfrage
?- halb(7,Y).
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die Zahl h(7) = 3 berechnen. Prolog würde versuchen Y+Y auszurechnen, kann
dies aber nicht, da es Y nicht kennt. Die einzige Möglichkeit ist, Prolog die
verschiedenen möglichen Werte 0,1,2,3,. . . für Y durchprobieren zu lassen und
jeweils mit dem Prädikat halb/2 testen zu lassen, ob z.B. h(7) = Y ist. Man kann
zur schrittweisen Erzeugung (rekursiven Aufzählung) aller natürlichen Zahlen
in Prolog etwa die Definition
nat(0).
nat(X):- nat(X1), X is X1+1.
verwenden. Stellen Sie die Anfrage ?- nat(X). und geben Sie nach Ihrem RETURN und der ersten Antwort von Prolog wiederholt einen Strichpunkt ein!
Das Prolog-Prädikat nat/1 zählt nacheinander alle natürlichen Zahlen auf. Die
Menge der natürlichen Zahlen ist rekursiv aufzählbar.
Ergänzen Sie das Prolog-Programm halb.pl in diesem Sinne zu einem PrologProgramm, das zu jedem x ∈ N das h(x) berechnet! Beobachten Sie (etwa durch
vorheriges Einschalten des trace-Modus mit ?- trace.), wie Prolog nacheinander die verschiedenen Werte für Y durchprobiert! Vergewissern Sie sich, dass Sie
verstanden haben, warum für jede Funktion f : N → N, deren Graph entscheidbar ist, gilt: f ist berechenbar.
Turing-Maschinen Eine Turingmaschine ist eine Maschine, die sich – ähnlich
wie ein endlicher Automat – zu jedem Zeitpunkt in einem von endlich vielen
Zuständen befindet. Ein Zustand S ist ausgezeichnet als der Startzustand und
ein Zustand H als der Haltezustand.
Eine Turingmaschine hat aber zusätzlich ein nach links und rechts unbegrenztes in gleich große Felder eingeteiltes Band. Auf jedem Feld des Bandes
steht ein Zeichen aus einem gegebenen Alphabet, dem Bandalphabet. Ein Zeichen des Bandalphabetes ist das Leerzeichen, das wir mit # bezeichnen. Weiters
hat die Maschine einen Schreib-Lese-Kopf, der jeweils auf einem der Felder des
Bandes, dem jeweiligen Arbeitsfeld sitzt. Der Schreib-Lese-Kopf kann die folgenden Aktionen ausführen.
(a) lesen, welches Zeichen auf dem Arbeitsfeld steht
(b) einen Elementarbefehl ausführen
Elementarbefehle sind die folgenden.
(a) Ersetzung des Zeichens auf dem aktuellen Arbeitsfeld durch ein gegebenes Zeichen a des Bandalphabets. Diesen Elementarbefehl bezeichnen wir
einfach mit a.
(b) Verschieben des Schreib-Lese-Kopfes um ein Feld nach links. Diesen Elementarbefehl bezeichnen wir mit L.
(c) Verschieben des Schreib-Lese-Kopfes um ein Feld nach rechts. Diesen Elementarbefehl bezeichnen wir mit R.
Die Maschine verfügt außerdem über ein Programm, das aus Zeilen der Form
p
a
B
15
q
besteht. Dabei sind p und q zwei Zustände, a ist ein Zeichen des Bandalphabets
und B ist ein Elementarbefehl. Für jeden Zustand p außer dem Haltezustand und
für jedes Zeichen a des Bandalphabets gibt es genau eine solche Programmzeile.
Am Anfang einer Berechnung durch die Turingmaschine sind alle Felder auf
dem Band außer endlich vielen Feldern mit dem Leerzeichen # beschriftet. Die
Maschine befindet sich dabei im Startzustand S. Eine solche Konfiguration kann
man z.B. folgendermaßen bildlich darstellen.
...
#
#
a
a
b
a
#
#
...
↑
S
Der Pfeil symbolisiert den Schreib-Lese-Kopf. Unter dem Pfeil steht der momentane Zustand der Turingmaschine.
Ein Rechenschritt besteht darin, dass die Maschine das Zeichen auf dem
aktuellen Arbeitsfeld, also auf dem Feld, auf dem der Schreib-Lese-Kopf im
Moment sitzt, liest. Wenn zum momentanen Zeitpunkt der Zustand p ist und
das Zeichen a auf dem Arbeitsfeld steht und eine Programmzeile
p
a
B
q
vorhanden ist, so führt die Maschine den Elementarbefehl B aus und geht in
den neuen Zustand q über. So bedeutet zum Beispiel die Programmzeile
p
a
b
q
soviel wie „Wenn du im Zustand p bist und das Zeichen a auf dem Arbeitsfeld
liest, dann ersetze auf dem Arbeitsfeld das Zeichen a durch das Zeichen b und
gehe in den neuen Zustand q über“. Die Programmzeile
S
#
R
p
bedeutet soviel wie „Wenn du im Startzustand S bist und das Leerzeichen #
auf dem Arbeitsfeld liest, dann bewege den Schreib-Lese-Kopf um ein Feld nach
rechts und gehe in den neuen Zustand p über“.
Sobald die Maschine sich im Haltezustand befindet, hält sie an.
Im Prolog-Programm turingmaschine.pl ist ein Beispiel für eine Turingmaschine gegeben. Lassen Sie das Programm laufen und schauen Sie es sich
genau an!
Aufgabe 70 Geben Sie die Berechnung für die Turingmaschine mit der Zustandsmenge {S, p, q, H}, dem Startzustand S, dem Haltezustand H, dem Bandalphabet {a, b, #} und den Programmzeilen
S
S
S
p
p
p
q
q
q
a a H
b b H
# R p
a b q
b a q
# # H
a R p
b R p
# # H
16
an, die mit der Konfiguration
...
#
#
a
a
b
a
#
#
...
↑
S
startet. Was bewirkt diese Turingmaschine, wenn man sie mit einer beliebigen
Startkonfiguration startet?
Aufgabe 71 Denken Sie sich selbst eine Turingmaschine aus, die interessante Berechnungen durchführen kann, geben Sie die Programmzeilen dieser Turingmaschine an, beschreiben Sie, was für Berechnungen diese Turingmaschine
durchführen kann und geben Sie ein Beispiel für eine solche Berechnung!
Aufgabe 72 Geben Sie die Berechnung der Turingmaschine R#
S
S
S
S
q
q
q
q
a
b
c
#
a
b
c
#
R
R
R
R
R
R
R
#
q
q
q
q
q
q
q
H
a
c
b
zur Startkonfiguration
...
#
#
a
b
c
#
a
#
#
...
↑
S
an! Was bewirkt diese Turingmaschine, wenn man sie mit einer beliebigen Startkonfiguration startet?
Aufgabe 73 Geben Sie die Berechnung der Turingmaschine
S
S
S
S
a a H
b a H
c a H
# a H
zur Startkonfiguration
...
#
#
a
b
c
a
c
b
#
a
#
#
...
↑
S
an! Was bewirkt diese Turingmaschine, wenn man sie mit einer beliebigen Startkonfiguration startet?
Aufgabe 74 Geben Sie die Berechnung der Turingmaschine
S
S
S
S
a L H
b L H
c L H
# L H
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zur Startkonfiguration
...
#
#
a
b
c
a
c
b
#
a
#
#
...
↑
S
an! Was bewirkt diese Turingmaschine, wenn man sie mit einer beliebigen Startkonfiguration startet?
Aufgabe 75 Geben Sie die Berechnung der Turingmaschine
S
S
S
S
q
q
q
q
a a H
b b H
c c H
# L q
a # H
b # H
c # H
# R H
zur Startkonfiguration
...
#
#
a
b
c
a
c
b
#
a
#
#
...
↑
S
an! Was bewirkt diese Turingmaschine, wenn man sie mit einer beliebigen Startkonfiguration startet?
Aufgabe 76 Betrachten wir die Kongruenzabbildungen (also Drehungen und
Spiegelungen), die ein gegebenes Quadrat in der Ebene auf sich selbst abbilden.
Die kann man sich veranschaulichen, indem man auf das Quadrat ein Bild zeich-
das Bild
F
F
net, etwa vom Buchstaben F, sodass das Quadrat dann so ausschaut:
. Mit
◦
a wollen wir eine 90 -Drehung gegen den Urzeigersinn bezeichnen. Die ergibt
. Mit b wollen wir eine Spiegelung um die senkrechte Achse be-
zeichnen. Die ergibt aus
F
das Bild
F
. Mit ab bezeichnen wir eine Drehung
F
a gefolgt von einer Spiegelung b, was das Bild
ergibt. Allgemein wollen wir
mit einem Wort a1 . . . an ∈ {a, b}∗ die Kongruenzabbildung bezeichnen, die sich
durch Hintereinanderausführung der mit a1 ,. . . ,an bezeichneten Kongruenzabbildungen ergibt. Für die Kongruenzabbildungen gelten dann die Gleichungen
aaaa = e, bb = e und ba = aaab, wobei e für eine Drehung um 0◦ steht. In
der Gruppentheorie zeigt man, dass diese Kongruenzabbildungen eine Gruppe
bilden und dass e das neutrale Element dieser Gruppe ist.
Zeigen Sie, dass es genau 8 solche Kongruenzabbildungen gibt, und zwar e,
a, aa, aaa, b, ab, aab, aaab! Zeichnen Sie dazu die entsprechenden Bilder (z.B.
F
für ab)! Zeigen Sie weiter, dass man in dem Semi-Thue-System mit den
Regeln aaaa → , bb → und ba → aaab aus jedem Wort a1 . . . an ∈ {a, b}∗
dasjenige der Wörter e, a, aa, aaa, b, ab, aab, aaab ableiten kann, das die
Kongruenzabbildung bezeichnet, die sich durch Hintereinanderausführung der
mit a1 ,. . . ,an bezeichneten Kongruenzabbildungen ergibt!
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