Langevin-Hydrodynamik und die Lattice-Boltzmann

Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Langevin-Hydrodynamik und die
Lattice-Boltzmann-Methode
Shari Patricia Finner
Vortrag im Rahmen des Hydrodynamik-Seminars im SS 14
Fakultät Physik
TU Dortmund
12.6.2014
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Übersicht
1
Einleitung
2
Grundlagen der Hydrodynamik
3
Die Langevin-Gleichung und Brownsche Dynamik
4
Die Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Übersicht
1
Einleitung
2
Grundlagen der Hydrodynamik
3
Die Langevin-Gleichung und Brownsche Dynamik
4
Die Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Problemstellung
[Müller, Fedosov & Gompper, 2014]
Simulation:
Flüssigkeit (Blutplasma)
Partikel (Erythrozyten, Thrombozyten, Leukozyten, ..)
Randbedingungen (slip / no slip)
1
2
Wände der Blutgefäße
Grenzfläche zwischen Plasma und Partikeln
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Simulation Scales
[Bernreuther, 2012]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Simulation Scales
[Bernreuther, 2012]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Übersicht
1
Einleitung
2
Grundlagen der Hydrodynamik
3
Die Langevin-Gleichung und Brownsche Dynamik
4
Die Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Kontinuitätsgleichung und Inkompressibilität
Kontinuitätsgleichung
Bρpr, tq
` ∇pρpr, tqupr, tqq “ 0
Bt
Keine Dichteänderung in inkompressiblen Fluiden: ρpr, tq “ ρ
∇¨u“0
Bewegungsgleichung der Flüssigkeit
Blut ist eine viskoelastische (nicht-newtonsche) Flüssigkeit
Blutplasma « newtonsch
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Lattice-Boltzmann
Kontinuitätsgleichung und Inkompressibilität
Kontinuitätsgleichung
Bρpr, tq
` ∇pρpr, tqupr, tqq “ 0
Bt
Keine Dichteänderung in inkompressiblen Fluiden: ρpr, tq “ ρ
∇¨u“0
Bewegungsgleichung der Flüssigkeit
Blut ist eine viskoelastische (nicht-newtonsche) Flüssigkeit
Blutplasma « newtonsch
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Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Newtonsche Bewegungsgleichung der Flüssigkeit
Die Navier-Stokes-Gleichung
ˆ
˙
B
ρ
u ` pu ¨ ∇qu “ η∆u ´ ∇p
Bt
nichtlinear Ñ beschreibt auch Turbulenzen
Vereinfachungen möglich
kleine Reynoldszahl:
Reskalierung: r1 “ r{a, u1 “ u{v, t1 “
ˆ
Re
B 1
u ` pu1 ¨ ∇1 qu1
Bt
tv
a,
p1 “
˙
Die Stokes-Gleichung (”Creeping Flow”)
0 “ η∆u ´ ∇p
“ ∆ 1 u1 ´ ∇ 1 p 1
pa
ηv
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Hydrodynamik
Langevin
Übersicht
1
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2
Grundlagen der Hydrodynamik
3
Die Langevin-Gleichung und Brownsche Dynamik
4
Die Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Newtonsche Bewegungsgleichung eines Teilchens
Welche Kräfte wirken auf ein Teilchen im Fluid?
Trägheit
Reibung durch Flüssigkeit
externe Kraft durch Potential U
stochastische Kraft durch WW mit Wärmebad
Die Langevin-Gleichung
m:
r “ F R ´∇U prq `ξptq
Annahmen
kleine Reynolds-Zahlen Re “
ρua
η
, laminare Strömung
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Hydrodynamik
Langevin
Kleine Reynoldszahlen
Stokes-Reibung für sphärisches Teilchen
F R “ ´Γr9
mit
Γ “ 6πηa
überdämpfter Limes: m:
r“0
Brownsche Dynamik
´Γr9 ´ ∇U prq ` ξptq “ 0
ξptq gaußverteilt (zentraler Grenzwertsatz)
Momente: 1) hξptqi “ 0
2) hξα ptqξβ pt1 qi “ 2ΓkB T δαβ δpt ´ t1 q
Lattice-Boltzmann
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Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Mehrere Teilchen Ñ Hydrodynamik (HI)
Was ändert sich für mehrere (N ) Teilchen?
N Teilchen
ñ N stochastische DGLn
Strömungen: ñ Kopplung der DGLn
verallgemeinertes Reibungsgesetz mit
Reibungstensor
Eigenschaften der HI
langreichweitig mit
1
r
nicht paarweise additiv
[Naegele, 2012]
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Reibung & Mobilität
generalisierte Stokes-Reibung
F R “ ΓpXqv
dim pvq “ 6N,
`
˘
dim ΓpXq “ 6N ˆ 6N
Reibungstensor ΓpXq symmetrisch & positiv definit
Elemente abhängig von Gesamtkonfiguration X aller Teilchen
Formulierung als Mobilitätsproblem:
v “ µpXqF R
Mobilitätstensor: µ “ Γ´1
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Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Greens-Funktionen der Stokes-Gleichung
Die Stokes-Gleichung mit externer Kraftdichte
η∆u ´ ∇p “ f ext
δ-Inhomogenität f ext prq “ F δpr ´ r 1 q
ñ uprq “ Gpr ´ r 1 qF
f ext prq: beliebige 3D-Kraftdichte
ż
uprq “ d3 r 1 Gpr ´ r 1 qf ext pr 1 q
Annahmen:
1
2
[Kopp, 2011]
isotropes, 8-ausgedehntes Fluid
lim uprq “ 0
rÑ8
3
punktförmige Teilchen (große Abstände)
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Berechnung von Mobilitätstensoren
Der Oseen-Tensor
1δij
1 ´ δij
µij “ Gpr ij q “
`
6πηa 8πηrij
HI langreichweitig! Gij 9
˜
1`
r ij ¨ r T
ij
2
rij
1
r
in 1. Näherung paarweise additiv
Problem: Oseen-Tensor nicht immer positiv definit!
ñ Teilchen mit endlichem Radius
Der Rotne-Prager-Tensor für r ij ą 2a
ˆ
˙
a2
T pr ij q “ 1 ` ∆ Gpr ij q
3
¸
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Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
Zurück zu Langevin & Brown
Brownsche Dynamik mit HI
ÿ
d
ext
riα “
µiα,jβ Fjβ
` χiα
dt
j
mit hχptqi “ 0
und
hχα ptqχβ pt1 qi “ 2kB T µiα,jβ δαβ δpt ´ t1 q
Lösung mit dem Euler-Verfahren
ÿ
ÿ
a
ext
riα pt ` hq “ ri,α ptq ` µiα,jβ Fjβ
¨ h ` 2kB T h σiα,jβ qjβ
j
mit hqiα i “ 0
sowie µ “ σ ¨
und
σT
hqiα qjβ i “ δij δαβ
(Cholesky Decomposition)
j
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Brownsche Dynamik für Blutfluss?
komplexe Geometrien/ Randbedingungen
menschliches Blut hat Hämatokrit von ca 0.40 ´ 0.45
[Müller, Fedosov & Gompper, 2014]
Form des roten Blutkörperchens
[Jameda, 2008],[Kraus, Wintz, Seifert & Lipowsky, 1996],[Krieger,2012]
... ok für Simulation der Viskosität
...ziemlich ungeeignet für komplexe Geometrien der
Adern/Blutkörperchen und Turbulenzen
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Hydrodynamik
Langevin
Meow!
[Business Insider, 2012]
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Grundlagen der Hydrodynamik
3
Die Langevin-Gleichung und Brownsche Dynamik
4
Die Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Lattice Gas Automata (LGA)
reguläres hexagonales Gitter
[Succi, 2001]
mesoskopische Fluid-Teilchen auf Gitterplätzen
Teilchen hat Masse m und Geschwindigkeit ci , i P r1, .., 6s
Ausschlussprinzip: Teilchen am gleichen Platz
können nicht in die gleiche Richtung propagieren
Ñ höchstens 6 pro Platz
Zustandsübergang:
1
2
Streaming-Schritt:
Kollisionsschritt:
freie Propagation mit ci
lokale Interaktion zwischen Teilchen
Einleitung
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Streaming- und Kollisionsschritt
Ni prj , tq “ 0, 1 Besetzungszahl der Richtung i am Gitterplatz j
Boolsche Algebra Ñ keine Rundungsfehler
Zustandsübergang:
Ni pr j ` ci h, t ` hq ´ Ni pr j , tq “ Ki Ni pr j , tq
Kollision erfüllt Massen- & Impulserhaltung
[Succi, 2001]
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Langevin
Alle möglichen Kollisionen
[Vesely, 2006]
Automat zeigt Fluid-ähnliches Verhalten
Lattice-Boltzmann
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Eigenschaften & Probleme der LGA
Anisotropie
gebrochene Galilei-Invarianz
simuliert nur hohe Viskositäten (kleine Reynoldszahlen)
statistisches Rauschen
` Analogien zu th. Fluktuationen in realen Systemen
´ rechenintensive Mittelungen nötig
...hexagonale LGA erfüllen Navier-Stokes-Gleichung im
inkompressiblen Fall in 2D!
Einleitung
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Von LGA zu Lattice Boltzmann
Reduktion des Rauschens
Besetzungszahl Ñ Besetzungswahrscheinlichkeit
ni “
m
hNi i
Vl
` Fluktuationen mitteln sich heraus
´ positive reelle Zahlen: keine boolsche Algebra mehr
Die Lattice-Boltzmann-Gleichung
ni pr j ` ci h, t ` hq ´ ni pr j , tq “ Ci ni pr j , tq
Isotropie & größere Reynoldszahlen
Hinzunehmen von Geschwindigkeiten (Betrag und Richtung)
Ñ mehr Kollisionsmöglichkeiten
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Hydrodynamik
Langevin
Physikalische Größen
ρpr j , tq “
ÿ
ni pr j , tq
Massendichte
ci ni pr j , tq
Impuls
i
ppr j , tq “
ÿ
i
ř
ci ni pr j , tq
vpr j , tq “ ři
i ni pr j , tq
Geschwindigkeit
Im Gleichgewicht:
Die Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung
ˆ
˙3{2
˙
ˆ
m
mv 2
mb
n pvq “
exp ´
2πkB T
2kB T
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Notation verschiedener Geschwindigkeits-Sets
Form der Gleichgewichtsverteilung (bis 2. Ordnung)
ˆ
˙
vci pvci q2
v2
eq
ni pv, ρq “ wi ρ 1 ` 2 `
´ 2
cs
2c4s
2cs
#
DαQβ
α : Dimension
β : Anzahl Geschwindigkeiten
[Wagner, 2008]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
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Lattice-Boltzmann
Kollisionsoperator
Die BGK-Näherung (Bhatnagar, Gross & Krook, 1954):
Kollision bringt Geschwindigkeit näher ans Gleichgewicht
Relaxationszeitnäherung für Stoßzahlansatz
Ci ni « ´
¯
1´
nj ´ neq
j
τ
Viskosität
ˆ
η “ ρν “ ρ ¨
c2s
h
τ´
2
˙
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Kopplung von Fluid und Teilchen
[Dünweg & Ladd, 2008]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Kopplung von Fluid und Teilchen
[Dünweg & Ladd, 2008]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Der Lattice-Boltzmann-Algorithmus
[Mehta, 2009]
Lattice-Boltzmann
Einleitung
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Langevin
Einordnung der Lattice-Boltzmann-Methode
Lattice-Boltzmann
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Langevin
Lattice-Boltzmann
Eigenschaften der Lattice-Boltzmann-Methode
Was macht Lattice-Boltzmann aus?
starkes Coarse Graining durch Diskretisierung des Raumes
erhält Masse und Impuls
löst die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung
sehr vielseitig & flexibel
Anpassungsfähigkeit
komplizierte Randbedingungen & -gebiete
thermische, mehrphasige, mehrkomponentige Flüsse
verschiedene Reynoldszahlen
massiv parallelisierbar
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
K. Müller, D. A. Fedosov & G. Gompper, ’Margination of micro- and
nano-particles in blood flow and its effect on drug delivery’,
Scientific Reports 4 , 4871 (2014)
G. Nägele, ’Lattice Boltzmann Methoden’, FZ Jülich Institute of
Complex Systems, http://static.sif.it:
8080/SIF/resources/public/files/va2012/naegele_all.pdf
(19.5.2014)
M. Bernreuther, Vorlesung ’Colloidal Hydrodynamics’,
Höchstleistungsrechenzentrum Stuttgart (HLRS),
http://www.ihr.uni-stuttgart.de/fileadmin/user_upload/
teaching/vorlesungsstoff/II_Modellierung_Simulation_
Optimierungsverfahren/Vorlesung/SS_2012/01_
Lattice-Boltzmann-Verfahren_SS12.pdf (27.5.2014)
M. Reichert, Dissertation ’Hydrodynamic Interactions in Colloidal
and Biological Systems’, Universität Konstanz (2006)
B. Dünweg und A. Ladd, ’Lattice Boltzmann Simulations of Soft
Matter Systems’, Advances in Polymer Science 221, 89(2009)
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
M. Kopp, Bachelorarbeit ’Parallelisierung Stokesscher Dynamik für
Graphikprozessoren zur Simulation kolloidaler Suspensionen’,
Universität Stuttgart und Max Planck Institut für intelligente
Systeme (2011)
R. L. Herrera, ’A study of blood rheology using non-equilibrium
Brownian Dynamics Simulations’, ProQuest (2007)
Jameda Gesundheits-Lexikon, http:
//www.jameda.de/gesundheits-lexikon/bilder/big/524845.jpg
(26.5.2014)
M. Kraus, W. Wintz, U. Seifert & R. Lipowsky, ’Fluid Vesicles in
Shear Flow ’, Scientific Reports 4, 77 (1996)
Wikipedia: Rouse-Model, http://en.wikipedia.org/wiki/File:
Bead_spring_noexclusion.svg (26.5.2014)
http://static5.businessinsider.com/image/
4f3433986bb3f7b67a00003c-480/cute-cat.jpg (26.5.2014)
S. Succi, ’The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and
beyond’,Seite 26, Figure 2.8, Oxford University Press (2001)
Einleitung
Hydrodynamik
Langevin
Lattice-Boltzmann
F. J. Vesely, ’Lattice Gas Models for Hydrodynamics’, University of
Vienna, http://homepage.univie.ac.at/franz.vesely/cp_tut/
nol2h/new/c8hd_s3lgm.html (31.5.2014)
A. J. Wagner, ’Introduction to the Lattice Boltzmann Method’,
North Dakota State University, http://physics.ndsu.edu/
fileadmin/physics.ndsu.edu/Wagner/LBbook.pdf (31.5.2014)
S. Mehta, ’An Introduction to the Lattice Boltzmann Method’,
Indian Institute of Technology Bombay,
http://www.leb.eei.uni-erlangen.de/winterakademie/2009/
report/content/course02/pdf/0208.pdf (31.5.2014)