Formelsammlung Thermo- und Hydrodynamik Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik Inhaltsverzeichnis 1 1.1 Zustandsgrössen und System .................................................. 3 Systembegriff, Systemgrenzen ................................................................... 3 1.1.1 1.1.2 1.2 Zustands- und Prozessgrössen .................................................................. 4 1.2.1 1.3 Spezifische Zustandsgrössen ........................................................................................... 4 Thermische Zustandsgleichung .................................................................. 4 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 Stationär / Instationär ........................................................................................................ 3 Spezielle Systeme ............................................................................................................ 3 Ideale Gasgleichung ......................................................................................................... 4 Realgasfaktor .................................................................................................................... 5 Verschiedenes .................................................................................................................. 5 Gasgemische .................................................................................................................... 5 Kalorische Zustandsgleichung.................................................................... 6 1.4.1 1.4.2 Äquipartitionsgesetz von Boltzmann ................................................................................ 6 Spezifische Wärmekapazität ............................................................................................ 6 2 Massen- und Energieerhaltung ................................................. 7 2.1 2.2 Massenerhaltung: Kontinuitätsgleichung .................................................. 7 Energieerhaltung: 1. Hauptsatz ................................................................... 7 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.4 Geschlossenes System .................................................................................................... 7 Offenes-, oder massedurchflossenes System .................................................................. 8 Allgemeiner 1. Hauptsatz für offene Systeme .................................................................. 9 Eindimensionale Bernoulli-Gleichung ........................................................ 9 Druckverluste ................................................................................................ 9 2.4.1 Gerades Rohrstück ........................................................................................................... 9 3 Reale Effekte ............................................................................ 10 3.1 3.2 3.3 Quergleichung ............................................................................................ 10 Grenzschicht ............................................................................................... 10 Rohrströmung ............................................................................................. 10 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 Reversible und irreversible Vorgänge, Zustandsgrösse Entropie ......... 11 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.5 3.6 3.7 3.8 Reversible und irreversible Vorgänge ............................................................................ 11 Gibb’sche Hauptgleichung: ............................................................................................. 11 Isentropenexponent ........................................................................................................ 11 Isentropengleichung (Zusammenhang der ZGr bei konstanter Entropie ) ..................... 12 Spezifische Arbeit bei konstanter Entropie ..................................................................... 12 Der 2. Hauptsatz.......................................................................................... 12 Das T-S-Diagramm...................................................................................... 13 Der 3. Hauptsatz, Nernst’sches Wärmetheorem ...................................... 13 Kreisprozesse ............................................................................................. 13 3.8.1 3.8.2 3.9 Einlaufstrecke ................................................................................................................. 10 Parabolisches Geschwindigkeitsprofil ............................................................................ 10 Turbulentes Geschwindigkeitsprofil ................................................................................ 10 Nicht-kreisrunde Strömungskanäle................................................................................. 10 Kreisprozessanalyse ....................................................................................................... 13 Wirkungsgrad Joule-Prozess .......................................................................................... 14 Realer Kreisprozess am Beispiel Gasturbine........................................... 15 3.9.1 14.05.2016 Totalenthalpie-Zustände im Gasturbinen-Prozess ......................................................... 15 2 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 1 Zustandsgrössen und System 1.1 Systembegriff, Systemgrenzen Eine thermodynamische Aussage bezieht sich immer auf ein bestimmtes, exakt umgrenztes materielles Gebilde, das thermodynamische System. Die Abgrenzung muss nicht unbedingt körperlich sein. Sie kann auch gedacht sein. Die Abgrenzung muss allerdings in jedem Fall geschlossen sein. Bilanzieren: 1. 2. 3. Massenbilanz: m1 m2 m3 dm dt Bilanzgebi et dm dt kg s Energiebilanz: dE E 1 E 2 E 3 dt Bilanzgebi et dE dt kJ s . Bilanzgebiet: Massenbilanz: Energiebilanz: . . abgrenzen durch Wahl der Systemgrenze Bilanzierung der Massenströme Bilanzierung der Energieströme Konvention: Dem System zugeführt = positiv, vom System abgeführt = negativ 1.1.1 Stationär / Instationär Bei Systemen mit zeitlich unveränderlichen Grössen wird die zeitliche Ableitung zu Null. Stationär: 1.1.2 0 t Instationär: 0 t Wi kJ Qi kW Spezielle Systeme Systembezeichnung offen geschlossen kg mi mi kg s 0 0 Wi kW Beliebig Beliebig Beliebig Beliebig Adiabat (perfekte Isolierung) Beliebig Beliebig 0 diabat / diatherm (unendlich guter Wärmeleiter) Beliebig Beliebig 0 0 0 0 abgeschlossen 14.05.2016 3 / 16 Qi kJ Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 1.2 Zustands- und Prozessgrössen Natürliche Zustandsgrössen: Abgeleitete Zustandsgrössen: Direkt messbare Grössen (Volumen V, Druck p, usw.) Nicht direkt messbare Grösse (z. Bsp. Energieinhalt E) 1.2.1 Spezifische Zustandsgrössen Masseabhängige Zustandsgrössen (extensiv): Masseunabhängige Zustandsgrössen (intensiv): Volumen V, Dichte ρ, spezif. innere Energie,… Druck p, Temperatur T Man kann ein Teilsystem erzeugen, welches genau 1kg Masse enthält und die Probleme könne auf 1kg Masse bezogen werden. Pro Masse normierte Grössen nennt man spezifische Grössen Spezifisches Volumen: v V m v m3 kg Spezifische Dichte: m V kg m3 Spezifisches molares Volumen: V v~ n v~ m3 kmol Spezifische molare Dichte: n ~ V ~ kmol m3 Spezifisches innere Energie: u U m u kJ kg Spezifische Enthalpie: h H m h kJ kg Spezifisches kinetische Energie: Ekin w 2 m 2 E kin m kJ kg Thermische Zustandsgrössen: Kalorische Zustandsgrössen: Prozessgrössen: 1.3 Temperatur T, Druck p, spezifisches Volumen v Enthalpie h, Innere Energie u Arbeit W, Wärme Q, Strömungsgeschwindigkeit w Thermische Zustandsgleichung Die thermische Zustandsgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den thermischen Zustandgrössen Druck, Volumen und Temperatur 1.3.1 Ideale Gasgleichung Avogadro-Konstante: 1mol 6.02 10 23 [Teilchen ] Universelle Gaskonstante: J 8314.41 kmol K p V n T m R T 14.05.2016 p~ v T 4 / 16 R J M kg K Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 1.3.2 Realgasfaktor Bei extremen Bedingungen, z. Bsp. bei sehr hohen Drucken oder bei sehr hohen oder sehr tiefen Temperaturen, stellt man fest, dass Gase, die bei Umgebungstemperatur die Gasgleichung erfüllen, Abweichungen von der idealen Gasgleichung aufweisen. Gase mit diesem Verhalten werden reale Gase genannt. Die thermische Zustandgleichung wird nun reale Gasgleichung (in spezieller Form) genannt. z ( p, T ) p V z ( p, T ) m R T Rreal Rideal z(p,T) wird Realgasfaktor genannt 1.3.3 Verschiedenes Normzustände: Normdruck: p 760 [Torr] = 1.01325 [bar] Normtemperatur: T 0°C Normvolumen: vn Wassersäule: 22.414 m3 kmol 1 [mmWs] = 9.81 [Pa] In den Diagrammen finden wir immer wieder ISO-Linien. Das sind Linien mit konstanten Werten einer Zustandsgrösse. 1.3.4 = = = = = = konstant konstant konstant konstant konstant konstant Isothermen Isobaren Isochoren Isenthalpen Linien gleicher innerer Energie Isentropen Gasgemische Vi n p mi M i i i Vtot ntot ptot mi M i RGemisch T p v h u s mi 1 Ri ni i mtot Mi i ntot f Gemisch,theoretisch 14.05.2016 n fi i ntot i Massenanteil: wi mi mtot Molanteil: yi ni ntot Volumenanteil: i Vi Vtot Druckanteil (mit Partialdruck pi): xi pi ptot 5 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 1.4 Kalorische Zustandsgleichung Zusammenhang zwischen Teilchenverhalten im System und Systemdruck kinetische Gastheorie Annahmen: Teilchen fliegen mit Schwirrgeschwindigkeit w’ im Raum Teilchen nehmen wenig Volumen im System ein „materiell grosse Leere“ Die Reflexionen bei Zusammenstössen der Teilchen mit Gefässwänden und untereinander sind ideal (vollkommen elastisch und verlustfrei) keine An- oder Abstossungskräfte unter den Teilchen und zwischen Teilchen und Wand Häufigste Schwirrgeschwindigkeit: wh ' 2 R T 1.4.1 Äquipartitionsgesetz von Boltzmann Die innere Energie U eines thermodynamische Systems besteht in der Summe der dem System zugeführten Energiemengen (Austausch mit der Umgebung). Spezifische innere Energie: f w'2 u R T 2 2 J kg Durch rechnerische Verknüpfung von Zustandsgrössen können weitere Zustandsgrössen definiert werden. Die Enthalpie verknüpft die Zustandsgrössen U, p und V. Spezifische Enthalpie: Beispiele: aber z.B.: f h u p v 1 R T 2 Helium 1-atomig f=3 Sauerstoff 2-atomig f=5 CO2 (100 K) 3-atomig f=5 CO2 (1800 K) f = 12 NH3 (373 K) f = 7,2 Luft f=5 J kg 1.4.2 Spezifische Wärmekapazität Es hat sich eingebürgert, dass an Stelle von den Freiheitsgraden f eine Kombination mit f dargestellt wird, die als Stoffwerte cv (spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen) und c p (spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck) bezeichnet werden: spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen: f cv R 2 spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck: f c p 1 R 2 cp c v p v 1 R T u u u f R (T T ) cv (T T ) 2 f h h h 1 R (T T ) cv (T T ) 2 14.05.2016 6 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 2 Massen- und Energieerhaltung 2.1 Massenerhaltung: Kontinuitätsgleichung m t Stromröhre Allgemeine Kontinuitätsgleichung: w A w A Für stationäre Strömung: w A w A 0 Für stationäre Strömung: w A w A 0 2.2 Energieerhaltung: 1. Hauptsatz In diesem fundamentalen Satz müssen alle Energieformen (potentielle, kinetische, Druck-, innere Energie; aber auch magnetische, chemische und elektrische Energie) elektrische, ...) berücksichtigt werden. In der Fluiddynamik ist die Energieerhaltung unter dem Namen Bernoulli-Gleichung besser bekannt. 2.2.1 Geschlossenes System (System ohne Massendurchfluss) Energieerhaltung: USy stem WSy stemUmgebung QSy stemUmgebung dUSy stem dt mSy stem u u USy stem dt WSystemUmgebung W Fa ds p dV m p dv Q Sy stemUmgebung Q Q dt u: spez. innere Energie J kg Q: Wärmemenge W: Arbeit J Q : Wärmefluss J s ;W W wird auch als W V (Volumenänderungsarbeit) bezeichnet. Der Wärmefluss Q wird von einem Fluid oder Körper ausserhalb der Systemgrenze mit dem Systeminneren ausgetauscht. Im Gegensatz dazu ist der Strahlungs-Wärmefluss Q Energietransport durch Wellen erfolgt. 14.05.2016 7 / 16 Str unabhängig von der Materie, da der Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 2.2.2 Offenes-, oder massedurchflossenes System Die Energie eines Körpers kann in Form von mechanischer (potentieller und kinetischer), thermischer (innere Energie) und chemischer Energie vorliegen. In der Energiebilanz müssen wir die Veränderung der Energie im Bilanzgebiet den zu- bzw. abgeführten Energieformen gleichsetzen: E Sy stemv olumen E therm Sy stemv olumen Epot Ekin w 2 m u g z 2 Sy stemv olumen Konvektiver Energiefluss: Übertragene Energieströme durch die Systemgrenzen (Massenfluss vom Eingang bis Ausgang) w2 Ekonv m h 2 kg J J s kg s W nicht-konvektiver Energieflüsse: Dem System kann Energie pro Zeiteinheit in Form von Leistung, Druckkräften, Schubspannungskräften und Feldkräften zugeführt werden. Leistung von Normalkräften oder Druckkräften W*p, dem System von aussen durch bewegte Flächen (Geschwindigkeit wk) zugeführt. Wp Fa w k p A Sy stem w k p Sys tem Kompression: dV 0 W VSy stem t W W p m w m vdp 0 Expansion: Sy stem dV 0 W 0 Mechanische Leistung von Wellen W*W, wird dem System über rotierende Wellen zugeführt. Leistung von Feldkräften W*f, entstehen, weil Feldkräfte im Systeminneren an den bewegten Fluidteilchen angreifen. Mögliche Kräfte sind Gravitation, Magnetfeld, elektrostatische Kräfte, Zentrifugalkräfte und Corioliskräfte. 0 mit Erdfeld f 0 g dW dFf w dm f w dV f w f 14.05.2016 8 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik Einschiebe- und Ausschiebearbeit, Verschiebungen der Massen über die Systemgrenzen bedingen eine Arbeit. Einschiebearbeit: Wp,Ein p v m Einschiebeleistung: Ausschiebearbeit: Wp,A us p v m Ausschiebeleistung: Wp,Ein Fp ,Ein w p v m Wp, A us Fp , A us w p v m Diese Arbeiten sind für einen bestimmten Massenstrom m i mit dem letzten Term im 1.Hauptsatz verknüpft. 2.2.3 Allgemeiner 1. Hauptsatz für offene Systeme Kompression Wellen Feldkräfte Wärmefluss konvektiver Term w 2 w 2 m u g z W W W Q m h p w g t Systemvolumen 2 Ab 2 Aw V A Am Ab V Am 2.3 Bewegte Systeme Systemvolumen Massedurchströmte Systemgrenze Aw A Welle durch Systemgrenze Fläche Eindimensionale Bernoulli-Gleichung Aus der Energieerhaltungsgleichung kann die Bernoulligleichung hergeleitet werden. Sie wird in 3 verschiedenen Formen dargestellt: 2 2 Energieform: w w 1 1 p g z ePumpe p g z eVerluste 2 2 Druckform: w w p g z p Pumpe( zugeführt) p g z pVerluste 2 2 Höhenform: w w 1 1 p z H Pumpe p z H Verluste 2 g g 2 g g 2 2 2 2.4 2.4.1 2 Druckverluste Gerades Rohrstück p p 2 2 14.05.2016 w2 w2 L d λ [-] ist die Rohrreibungszahl (Bohl Seite 164 / 165) ζ [-] ist der Druckverlustbeiwert (Bohl Seite 180) 9 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 3 Reale Effekte 3.1 Quergleichung Druckverteilung senkrecht zu den Stromlinien für Strömungen mit Krümmung. 3.2 2 w p r 2 r r Grenzschicht Als Grenzschicht wird eine dünne Schicht um einen umströmten Körper bezeichnet. Durch die Zähigkeit des Fluids werden Schubkräfte übertragen. Das Fluid hat an einer Wand die Wandgeschwindigkeit w = 0. kg Pas m s Dynamische Viskosität Kinematische Viskosität s 3.3 m2 Werte für und entnimmt man Tabellenbüchern (VDI-Wärmeatlas, Wasserdampftafel, Dubbel) oder berechnet sie mit Hilfe von Gebrauchsformeln Rohrströmung 3.3.1 Einlaufstrecke Die bisherigen Berechnungen des Druckverlustes für Rohrleitungen und Rohrabschnitten gelten nur für Rohrabschnitte, in denen die Geschwindigkeitsprofile voll ausgebildet sind, bzw. sich nicht mehr ändern. (Bohl Seite 226) 3.3.2 Parabolisches Geschwindigkeitsprofil Im kreisrunden Rohr werden die in der Achse strömenden Fluidteilchen durch Scherkräfte, die von den Rohrwänden aus gehen, nach hinten gebremst. Dadurch stellt sich ein Geschwindigkeitsprofil ein, das in der Mitte ein Maximum besitzt und an der Wand eine l Wandgeschwindigkeit = 0 aufweist. wr w p1 p 2 2 r0 r 2 4 l V R2 wmax . 2 w p1 p2 (Bohl ab Seite 151) 3.3.3 Turbulentes Geschwindigkeitsprofil Anmerkung: Für die Berechnung von λturb ist je nachdem die Wandrauigkeit k verlangt. pturb turb 3.3.4 2 w2 l d λturb ist der turbulente Widerstandsbeiwert (Bohl Seite 164 / 165) Nicht-kreisrunde Strömungskanäle 14.05.2016 10 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik dh 4 A 4 Strömungsquerschnitt sfläche U benetzter Umfang 3.4 Reversible und irreversible Vorgänge, Zustandsgrösse Entropie 3.4.1 Reversible und irreversible Vorgänge Ein reversibler Vorgang ist ein Vorgang, der sich vollständig rückführen lässt, ohne dass in der Umgebung eine Veränderung zurückbleibt. Ein irreversibler Vorgang lässt sich nur rückführen, wenn in der Umgebung bleibende Veränderungen gemacht werden. Für adiabate Systeme gelten: In jedem irreversiblen Prozess: dU p dV 0 Im Grenzfall des reversiblen Prozesses: dU p dV 0 In adiabaten Systemen nicht möglich: dU p dV 0 3.4.2 Gibb’sche Hauptgleichung: Die Entropie S ist eine Zustandsgrösse, die Reversibilität bzw. Irreversibilität anzeigen kann. dS du p dv T dh v dp ds T dq dwDiss T ds J kg K du p dv dh v dp T T s aus u oder h und den therm. ZGr. berechenbar ds ds J K dU p dV dH V dp T T s aus der Prozessführung berechenbar u v h p 1 p 1 v f T v s s ds du dv dh dp R ln R ln T T T T 2 T v u v h p (Letzte Formel gilt nur für f = konstant) Für s = konstant wird mit der Isentropengleichung gerechnet. Für s konstant wird mit der idealen Gasgleichung gerechnet. 3.4.3 Isentropenexponent f 2 f 14.05.2016 Gasart 1-atomig 2-atomig ≥ 3-atomig (nur falls fOsz.=0) Freiheitsgrad f Isentropenexponent κ 3 1.6666 5 1.40 6 1.33333 11 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 3.4.4 Isentropengleichung (Zusammenhang der ZGr bei konstanter Entropie ) Der nachfolgend abgeleitete Zusammenhang beschreibt das Verhalten der thermischen Zustandsgrössen {p,v,T} und gilt nur, falls die Zustandsänderung die Randbedingung s = konstant erfüllt. p v p v Druck: p p v v T 1 T spezifisches. Volumen: v v p p Dichte: v v p T 1 p T Temperatur: T T p p 1 1 1 1 1 v v T T 1 1 1 1 1 Merke: Temperaturverhältnisse sind kleiner als Druckverhältnisse 3.4.5 Spezifische Arbeit bei konstanter Entropie Geschlossenes System: w p , geschl 1 v R T 1 v 1 1 1 p 1 T 1 R T 1 R T 1 p 1 T 1 Offenes System: w p ,offen 3.5 v R T 1 v 1 1 p T 1 R T 1 R T 1 p 1 T 1 Der 2. Hauptsatz dφ ist die Wärme, die im Innern des Systems durch Reibungseffekte entstanden ist, also dem System zugeführt wurde. Sie wird auch als Reibungswärme bezeichnet. Die Grösse dφ hat also die gleiche Wirkung im System wie eine Wärmemenge dq, die von aussen über die Systemwand transportiert wird. du p dv dh v dp dq d T ds es gilt dabei immer: 14.05.2016 d 0 aber dq beliebig 12 / 16 J dq ; d : kg Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 3.6 Das T-S-Diagramm Formel für das T-s-Diagramm: T ds q Der 3. Hauptsatz, Nernst’sches Wärmetheorem 3.7 Im 2. Hauptsatz interessieren vor allem die Entropieunterschiede zwischen 2 Zuständen interessieren und der absolute Wert der Entropie eines Zustandes weniger interessiert. Erst wenn durch chemische Reaktionen die Substanzen in einem System von einem Anfangszustand α in einen Endzustand ω ihre Zusammensetzung ändern, muss man eine gemeinsame Entropieskala anwenden. Daraus entstand der 3. Hauptsatz: Die (absolute) Entropie eines homogenen festen Körpers, der sich in ungehemmtem thermischen Gleichgewicht befindet, nähert sich dem Wert Null, wenn sich die Temperatur dem absoluten Nullpunkt nähert. 3.8 lim sabs 0 T 0 K Kreisprozesse Ein geeignetes Medium durchläuft eine Serie von Zustandsänderungen, so dass schlussendlich wieder der gleiche Zustand erreicht wird wie am Anfang. Wärmekraft-Maschinen produzieren als Nutzen Wellenenergie. Dazu benötigt werden zwei Wärmereservoire. Kältemaschinen und Wärmepumpen produzieren ein Wärmeresevoir (bei Wärmepumpe Nutzwärme, bei Kältemaschinen Nutzkälte). Sie benötigen mechanische Antriebsenergie und ein zweites Wärmereservoir. 3.8.1 Kreisprozessanalyse Zustandsänderungen in geeigneten Diagrammen einzeichnen Involvierte Energiemengen (Arbeit und Wärme) identifizieren Apparativer Aufbau studieren Nutzen und Aufwand bestimmen Wirkungsgrad berechnen Wirkungsgrad : abgeführte Arbeit Nutzen Aufwand zugeführte Energie Wärmemengen können im T-s-Diagramm sichtbar gemacht werden Arbeitsmengen können im p-v-Diagramm sichtbar gemacht werden 14.05.2016 13 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik Carnot-Prozess Jouleprozess Stirlingprozess Isentrope Kompression Isotherme Expansion Isentrope Expansion Isotherme Kompression Isentrope Kompression Isobare Wärmezufuhr Isentrope Expansion Isobare Wärmeabfuhr Isochore Wärmezufuhr Isotherme Expansion Isochore Wärmeabfuhr Isotherme Kompression 3.8.2 Wirkungsgrad Joule-Prozess T4 T1 T3 T2 Joule Pr ozess 1 p T th 1 1 1 1 T2 p2 1 1 1 1 Druckverhältnis: p 2 poben p1 punten opt. Wirkungsgrad: optimale Temperatur: T2,opt T1 T3 opt 1 T1 T3 Je grösser der Druckunterschied, desto besser der Wirkungsgrad Der theoretische thermische Wirkungsgrad hängt nur von der 1. Kompression ab, und nicht etwa von T3 Für gute Wirkungsgrade: 1-atomige Gase (jedoch in Praxis problematisch) grosse Druckverluste 14.05.2016 14 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 3.9 Realer Kreisprozess am Beispiel Gasturbine Bei realem Verdichter und Turbine gilt: d > 0 ds > 0 Die Entropie nimmt immer zu, auch bei Entspannung! Verdichter: V , is h2, is h1 his hreal h2, real h1 Turbine: T , is allgemein: V , is h3 h 4 , real allgemein: T , is h3 h 4 , is T2, is T1 p oben punten 1 1 T2, is T1 T2, real T1 T3 T4 , real T3 T4 , is T3 T4, is 3.9.1 Totalenthalpie-Zustände im Gasturbinen-Prozess Beim Begriff Totalenthalpie geht man von der Modellvorstellung aus, dass die in einem Strömungszustand vorhandene kinetische Energie isentrop in thermische Energie umgewandelt wird, indem die Strömungsgeschwindigkeit auf 0 reduziert wird. Damit kann sie auch in den relevanten Diagrammen eingezeichnet werden. h0 h wV h20 h10 0 14.05.2016 w2 2 wT h30 h40 0 15 / 16 Version 1.0 Formelsammlung: Thermo- und Hydrodynamik 14.05.2016 16 / 16 Version 1.0