FormelnVarianzanalyse - Uni

Beatrix Schymroch
Multivariate Datenanalyseverfahren
Formelsammlung
WS 2002/03
Formelsammlung
VARIANZANALYSE
SStotal = SSbetween + SSwithin
VARIANZANALYSE EINFAKTORIELL
G
SSt =
K

g 1 k 1
G
SS b =
 K (y
g 1
G
df t = G  K 1
( y gk - y ) 2
g
df b  G  1
 y)2
K
SS w   ( y gk  y g ) 2
df w  G  ( K  1)  N  G
g 1 k 1
MS 
SS
df
F
MS b
MS w
y gk = Beobachtungswert mit
g = Kennzeichnung einer Faktorstufe als Ausprägung einer unabhängigen Variabel
k = Anzahl der Fälle (nj) in der jeweiligen Subgruppe
BEI UNGLEICHEN STICHPROBENGRÖßEN:
G
SSb   K g  ( y g  y ) 2
g 1
df t  N  1
df b  G  1
df w  N  G
GEWICHTETE UND UNGEWICHTETE MITTELWERTE
Gewichtet:
y
Ungewichtet:
 Einzelbeob achtungen
Anzahl _ Einzelbeob achtungen
y
 Randmittelwerte
Anzahl _ Randmittelwerte
y gk 
y gk 
 Einzelbeobachtungen
Anzahl _ Einzelbeob achtungen
 Zellenmittelwerte
Anzahl _ Zellenmittelwerte
1
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WS 2002/03
VARIANZANALYSE ZWEIFAKTORIELL
G
H
K
SSt   ( y ghk  y ) 2
df t  g  h  k  1
MS t 
SSt
df t
df b  g  h  1
MS b 
SS b
df b
df w  g  h  (k  1)
MS w 
SS w
df w
g 1 h1 k 1
G
H
SSb  K   ( y gh  y ) 2
g 1 h1
G
H
K
SS w   ( y ghk  y gh ) 2
g 1 h1 k 1
F
MS b
MS w
y ghk = Einzelwert in Zelle
y gh = Zellenmittelwert
K = Zahl der Elemente in Zelle
G = Zahl der Ausprägungen des Faktors A
H = Zahl der Ausprägungen des Faktors B
HAUPTEFFEKTE
G
SS A  H  K   ( y g  y ) 2
g 1
H
SS B  G  K   ( yh  y ) 2
h 1
df A  g  1
MS A 
SS A
df A
FA 
MS A
MS w
df B  h  1
MS B 
SS B
df B
FB 
MS B
MS w
W ECHSELWIRKUNG
G
H
SS AB  K   ( y gh  yˆ gh ) 2
df AB  (h  1)  ( g  1)
g 1 h1
MS AB 
SS AB
df AB
FAB 
yˆ gh  ( y gi  yhi )  y
MS AB
MS w
KONTRASTE
SS Kon 
n  ( ci  y gi ) 2
c
i
2
df Kon  1
MS Kon 
SS Kon SS Kon

 SS Kon
df Kon
1
2
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F
MS Kon
MS w
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SS Kon
 1  F(1; N G )
SS w
N G
n  Anzahl Personen auf Stufe des Faktor, dessen Kontrast berechnet wird
Beispiel:
b1
b2
a1
a2
a3
1
7
7
1
3
6
3
1
2
1
1
2
2
1
7
1
1
5
 n=9

n=6
ci  y gi zugewiesener Kontrastkoeffizient, mit
c
i
0
y gi = Randmittelwert
Orthogonalitätsbedingung für zwei Einzelvergleiche j und k:
c
ij
 cik  0
REGRESSIONSANALYSE
Sxy Kovarianz; s²x , s²y Varianz
geschätzter y-Wert: yˆ  a  bx
beobachteter y-Wert: y  a  bx  e
Yˆ  Y  Residuum, Error
REGRESSIONSGRADE
b
y  a  bx
s xy 
 [( x
i
s xy
 x )  ( yi  y )]
n 1
a  y  bx
s2x
 cov xy
3
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WS 2002/03
KORRELATION
rxy 
cov xy
sx  s y
s
2
s
2
sx  s y  s 2 x  s 2 y
x
 (x

y
(y

i
 x )2
n 1
i
 y)2
n 1
SStotal   ( yi  y ) 2
df total  N  1
SSRe g   ( yˆi  y) 2
df Re g  1  Anzahl der UV
SSerror   ( yi  yˆi ) 2
df error  N  2  N-Anzahl der UV
N= Personen insgesamt; n= Personen innerhalb einer Gruppe
Beispiel:
X
1
2
3
Y
2
3
10
Determinationskoeffizient:
R2 
SS Re g
SS total
n=3
F
MS Re g
MS error
4