Logik für Informatiker (WS 08/09)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 08/09)
Übungsblatt 7 (Abgabe bis 08.12.2008, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1
Zeigen Sie im Hilbert-Kalkül:
(10 Punkte)
1. ⊢ (A → B) → (¬ B → ¬ A)
Sie können die Axiome, Modus Ponens bzw. Proposition 2.7 i), das Deduktionstheorem
sowie Propositionen 2.7 ii) und 2.10 und Satz 2.9 i) – iv) verwenden. Tipp: Eine wichtige
Teilformel ist ¬ ¬ A → ¬ ¬ B, die mit 2.10 i) oder Deduktion hergeleitet werden kann.
2. ⊢ A → (¬ B → ¬ (A → B))
Sie können die Axiome, Modus Ponens / 2.7 i), das Deduktionstheorem sowie die Tautologien A → ((A → B) → B) (vgl. Blatt 6, Aufgabe 2) und (A → B) → (¬ B → ¬ A)
(vgl. oben) verwenden.
Aufgabe 2
Zeigen Sie: Ist M konsistent und gilt M ⊢ A, so ist M ∪ {A} konsistent.
(4 Punkte)
Tipps:
• Zeigen Sie diese Implikation, indem Sie annehmen, dass die Prämisse gilt, die Konklusion
aber nicht, und dann zu einem Widerspruch gelangen.
• Was bedeutet, dass eine Menge konsistent ist? (Definition nachschauen!)
• Beachten Sie, dass Sie Herleitungen zusammenbauen können. Achten Sie darauf, dass
die Voraussetzungsmengen zusammenpassen.
Aufgabe 3
Gegeben sei eine Menge S ⊆ R.
Wir betrachten folgende Definitionen:
(4 Punkte)
• y ist obere Schranke von S, falls y ∈ R und alle Zahlen in S kleiner-oder-gleich y sind.
• y ist Supremum von S, falls y die kleinste obere Schranke von S ist.
Wir betrachten desweiteren die Signatur (F, P) mit F := ∅, P := P 1 ∪ P 2 , P 1 := {Q} und
P 2 := {le} sowie die Interpretation I mit DI := R, QI := S (einstellige Prädikate kann man
als Mengen auffassen und umgekehrt, d.h. QI (x) := x ist Element von S“) und le I ist das
”
kleiner-oder-gleich in den reellen Zahlen.
Geben Sie (F, P)-Formeln A1 und A2 (welche y als freie Variable enthalten) an mit
I |= A1 ⇐⇒ β(y) ist obere Schranke von S,
I |= A2 ⇐⇒ β(y) ist Supremum von S.
Beim zweiten Teil der Aufgabe (A2 ) betrachten wir sinnvollerweise A1 als ein abgeleitetes
Prädikat O: O(y) steht also für A1 ; jetzt steht auch O(z) für β(z) ist obere Schranke von S.
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Aufgabe 4
Diese Aufgabe wird fortgesetzt!!
(5 Punkte)
Eine Alternative zum Hilbert-Kalkül ist der Gentzen-Kalkül. Dieser verwendet vorwiegend
Regeln zur Herleitung von Aussagen. Diese Aussagen heißen Sequenzen; sie haben die Form
M ⊢ A, wobei M ⊆ For endlich ist, und bedeuten, dass sich A syntaktisch aus M ergibt“. Die
”
Voraussetzungsmenge ist also in die Aussage integriert, und es werden normale“ Herleitungen
”
ohne weitere Voraussetzungsmengen betrachtet. In folgender Variante des Gentzen-Kalküls
finden Sie je zwei Regeln für jeden logischen Operator, abhängig davon, ob der Operator in
der zu zeigenden Formel (. . . rechts) oder in einer vorausgesetzten Formel (. . . links) auftritt:
M ∪ {A} ⊢G B
Imp rechts
M ⊢G A → B
M ∪ {¬ C} ⊢G A M ∪ {B} ⊢G C
Imp links
M ∪ {A → B} ⊢G C
M ∪ {A} ⊢G ¬ B
Neg rechts
M ∪ {B} ⊢G ¬ A
M ∪ {¬ B} ⊢G A
Neg links
M ∪ {¬ A} ⊢G B
M ⊢G A M ⊢G B
Kon rechts
M ⊢G A ∧ B
M ∪ {A, B} ⊢G C
Kon links
M ∪ {A ∧ B} ⊢G C
M ∪ {¬ B} ⊢G A
Dis rechts
M ⊢G A ∨ B
M ∪ {A} ⊢G C M ∪ {B} ⊢G C
Dis links
M ∪ {A ∨ B} ⊢G C
M ∪ {A} ⊢G A
Axiom
Beim Konstruieren von Herleitungen gehen wir wie gewohnt von unten nach oben vor, also
betrachten wir zuerst auch die Regeln von unten nach oben: Regel Kon rechts ist z.B. anwendbar, wenn die zu zeigende Formel eine Konjunktion A ∧ B ist. In diesem Fall müssen Sie zwei
Prämissen beweisen; also zuerst die eine Hälfte der Konjunktion A, dann die andere B. Haben
Sie eine Konjunktion als Voraussetzung, so können Sie mit Regel Kon links die Konjunktion
eliminieren und beide Teilformeln A und B als Voraussetzung betrachten. Herleitungen sind
wie üblich aufgebaut. Ein Beispiel:
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
{A, B} ⊢G A
{A, B} ⊢G B
{A, B} ⊢G B ∧ A
{A ∧ B} ⊢G B ∧ A
⊢G (A ∧ B) → (B ∧ A)
Axiom
Axiom
Kon rechts (2) (1)
Kon links (3)
Imp rechts (4)
(2)
(3)
(4)
(5)
Die zu zeigende Formel (5) ist eine Implikation. Also müssen wir die Regel Imp rechts verwenden. Diese Regel entspricht dem Deduktionstheorem des Hilbertkalküls. Nun haben wir
in Schritt (4) je eine Konjunktion als Voraussetzung und als zu zeigende Formel. Es ist nun
egal, mit welchem Operator wir uns als nächstes befassen. Praktischerweise wählen wir die
Regel Kon links, da diese weniger Prämissen aufweist. Die anschließende Regel Kon rechts
in Schritt (3) spaltet den Beweis in zwei Fälle, wobei wir beide Fälle (1) und (2) mit der
Axiomenregel Axiom, welche keine Prämissen besitzt, abschließen können. Die Struktur der
Herleitung kann man auch sehr gut als Baum darstellen.
Konstruieren Sie mit Hilfe dieser Regeln eine Herleitung für ⊢G (¬ A ∨ B) → (A → B) !
Illustrieren Sie zusätzlich die Struktur Ihrer Herleitung mit einem Baum (s. obiges Beispiel)!
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