Logik für Informatiker Aufgabenblatt 7

Institut für Informatik
Ulrich Furbach
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Max Braun
· www.uni-koblenz.de/~maxbraun
Claudia Obermaier · www.uni-koblenz.de/~obermaie
SS ’07
Übung zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Aufgabenblatt 7
Aufgabe 20
Seien p und q Prädikate über den natürlichen Zahlen. Die Semantik von p und q sei gegeben
durch:
• p(x, y) gilt genau dann, wenn x die Zahl y teilt und
• q(x, y) gilt genau dann, wenn x ≤ y ist.
Formalisieren Sie mit Hilfe der Prädikatenlogik:
(a)
y ist eine gerade Zahl.
(b)
y ist eine Primzahl.
(c)
ggt ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen x und y.
(d)
kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen x und y.
(e)
x und y sind teilerfremde Zahlen.
Aufgabe 21
Gegeben sei die Struktur I = hU, Ai folgendermaßen:
U = R,
pI = {z | z ≥ 0},
q I = {(x, y) | x = y},
f I (z) = z 2 ,
g I (x, y) = x + y,
√
xI = 2,
y I = −1
Bestimmen Sie den Wert folgender Terme und Formeln:
(a)
I(g(f (x), f (y)))
(b)
I(∀x p(f (x)))
(c)
I(∃z ∀x ∀y q(g(x, y), z))
(d)
I(∀y (q(f (x), y) → p(g(x, y))))
Aufgabe 22
Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
(a)
Einige Mathematiker sind Philosophen.
(b)
Die Unsterblichen ignorieren die Philosophie.
(c)
Kein Poet praktiziert Mathematik.
(d)
Alle Sterblichen sind Poeten.
a.) Formalisieren Sie diese Sätze mit Hilfe der Prädikatenlogik.
b.) Geben Sie zwei Interpretationen mit verschiedenen Grundbereichen für die von Ihnen
angegebenen Formeln an.
c.) Geben Sie ein Modell für die erste Formel an und weisen Sie nach, dass es sich
tatsächlich um ein Modell dieser Formel handelt.
Aufgabe 23
Wir wollen nun prädikatenlogische Formeln als Prologterme darstellen.
a.) Schreiben Sie ein einstelliges Prädikat term, das genau dann erfolgreich ist, wenn es
sich bei dem gegebenen Eingabeparameter um einen Term handelt.
b.) Schreiben Sie ein einstelliges Prädikat pred_formula, das genau dann erfolgreich
ist, wenn es sich bei dem gegebenen Eingabeparameter um eine prädikatenlogische
Formel handelt. Stellen Sie dabei Formeln der Form ∀xF durch den Prologterm
all(X,F) und Formeln der Form ∃xF durch exists(X,F) dar. Außerdem benutzen
wir wie in den vorherigen Aufgaben den Operator ’&’ für die Konjunktion, ’v’ für die
Disjunktion sowie ’~’ für die Negation.
Abgabe bis 11.06
Schriftliche Lösungen können Sie jederzeit bis zum o.g. Datum
in der Vorlesung oder in B219 abgeben. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung an, welche
Übungsgruppe Sie besuchen.
Claudia Obermaier : Zi. B219, Tel. 287-2773, [email protected]
Max Braun: [email protected]
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