Diskrete Mathematik II - CITS - Ruhr

Ruhr-Universität Bochum
Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit
Prof. Dr. Alexander May
Mathias Herrmann
Präsenzübungen zur Vorlesung
Diskrete Mathematik II
SS 2008
Blatt 2 / 29. April 2008
AUFGABE 1:
Wir betrachten im Folgenden die Beziehung zwischen der Entropie einer Zufallsvariablen X
und der Entropie einer Funktion der Zufallsvariablen f (X).
1. Die Zufallsvariable X nehme die Werte 1, 2, . . . , 36 jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an. Wie groß ist die Entropie H(X)?
2. Betrachten Sie nun die Funktion g(X) = X 36 mod 37. Was ist die Entropie H(g(X))?
3. Zeigen Sie, dass allgemein gilt
H(f (X)) ≤ H(X).
Wann gilt Gleichheit?
AUFGABE 2:
Betrachten Sie einen binären Kanal mit den Vorwärts-Wahrscheinlichkeiten
W s(0 empfangen|0 gesendet ) =
3
4
7
W s(1 empfangen|1 gesendet ) = .
8
Es werden Codeworte des Codes C = {000, 001, 111} über den Kanal gesendet. Benutzen Sie
die Maximum Likelihood Dekodierung um die empfangenen Worte 010 und 110 zu dekodieren.
AUFGABE 3:
Betrachten Sie den Code C = {11100, 01001, 10010, 00111}.
1. Berechnen Sie die minimale Distanz d(C).
2. Dekodieren Sie mittels minimaler Distanz Dekodierung die Worte 01000, 01100 und
00100.
AUFGABE 4:
Konstruieren Sie folgende Codes oder begründen Sie warum kein solcher Code existiert:
1. (8, 2, 8)
4. (4, 8, 2)
2. (8, 3, 8)
5. (5, 3, 4)
3. (3, 9, 1)
6. (8, 4, 5)