Übungen zur Thermodynamik und Statistik Theoretische Physik IV im SS 2007 — Dr. M. Kastner Blatt 4 Abgabe: 15. Mai 2007 bis 14 Uhr vor Zimmer 01.504 Aufgabe 11: Wigner-Darstellung schriftlich, 4 Punkte Die Wigner-Darstellung der Quantenmechanik ordnet jedem Operator O eine Phasenraumfunktion oW (x, p) zu: Z ∞ Z ∞ 1 oW (x, p) = 2π~ Tr[O Ω(x, p)] mit Ω(x, p) = 2 dα dβ e[iα(X−x)+iβ(P −p)] . 4π −∞ −∞ a) Zeigen Sie, dass sich oW auch in der folgenden Form schreiben lässt: Z ∞ oW (x, p) = ~ dβ hx + ~β/2|O|x − ~β/2i e−iβp . −∞ Hinweis: Nutzen Sie die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eA+B = eA eB e−[A,B]/2 zur Umwandlung von Ω(x, p). b) Die Superposition zweier kohärenter Gaußscher Wellenpakete mit Breite σ und Abstand 2d sei durch die folgende Wellenfunktion im Ortsraum gegeben: h i h i 2 (x−d)2 exp − (x+d) + exp − 2 2 2 2 4σ 4σ ψ(x) = hx|ψi = mit N = (1 + e−d /2σ )2 . 1/4 2 (8πN σ ) Geben Sie den Dichteoperator W = |ψihψ| in der Wigner-Darstellung an. R Bestimmen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeitsdichten PW (x) = R dx und PW (p) = 2π~ wW (x, p) im Orts- bzw. Impulsraum. dp 2π~ wW (x, p) Aufgabe 12: Konkavität der statistischen Entropie 2 Punkte W1 und W2 seien zwei Dichteoperatoren auf dem Hilbert-Raum H. Zeigen Sie, dass die statistische Entropie konkav ist, dass also gilt S(λW1 + (1 − λ)W2 ) ≥ λS(W1 ) + (1 − λ)S(W2 ) Tipp: Verwenden Sie die Gibbs-Ungleichung. mit 0 ≤ λ ≤ 1. Aufgabe 13: Spinzustände und deren Entropie 2 Punkte Die komplexe 2 × 2 Matrix W sei ein allgemeiner Zustand eines Spin- 12 Systems, d.h. eines quantenmechanischen Systems auf dem zweidimensionalen Hilbertraum H = C2 . W läßt sich darstellen in der Form W = W (p) = 1 (1 + p · σ) 2 wobei p ∈ R3 , |p| ≤ 1 und die Komponenten des Vektors σ = (σx , σy , σz ) die Paulischen Spinmatrizen bezeichnen, mit µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 1 0 −i 1 0 σx = , σy = , σz = . 1 0 i 0 0 −1 a) Geben Sie die statistische Entropie des Zustands W (p) an. Welche p beschreiben reine Zustände? Welcher Zustand hat maximale Entropie? b) Bestimmen Sie den Erwartungswert hσi i. Welche Bedeutung hat der Vektor p? Aufgabe 14: Entropie quantenmechanischer harmonischer Oszillatoren 2 Punkte Betrachten Sie einen Satz von N unterscheidbaren Oszillatoren, die jeweils quantisierte Energieniveaus pi ~ω, (pi = 0, 1, 2, ...) besitzen. P a) Geben Sie den mikrokanonischen Zustand zur Energie E = P ~ω an (mit P = N i=1 pi ), und bestimmen Sie dessen Entropie. (Hinweis: Die Anzahl der Möglichkeiten N positive ganze Zahlen p1 + 1, p2 + 1, ..., pN + 1 mit Summe P + N zu kombinieren, entspricht der Anzahl der Möglichkeiten N − 1 Teilchen auf P + N − 1 Plätze zu verteilen). b) Geben Sie für den Grenzfall N → ∞ die Entropie pro Oszillator s = S/N als Funktion der Energie pro Oszillator ε = E/N an. c) Drücken Sie die Energie ε als Funktion der Temperatur T = dε/ds aus.