SYNTAX und SEMANTIK SYNTAX und SEMANTIK

Inhalt
Teil I: Formale Grundlagen der Informatik I
1. Aussagenlogik
Syntax und Semantik der AL
Grundlegende semantische Begriffe
AL und Boolesche Funktionen
AL Kompaktheitssatz
AL Resolution
AL Sequenzenkalkül
2. Logik erster Stufe
(Prädikatenlogik)
Strukturen und Belegungen
Syntax und Semantik von FO
Kompaktheitssatz
Resolution
Sequenzenkalkül
Unentscheidbarkeit
3. (optionale Themen)
Algorithmische Fragen
Analyse der Ausdrucksstärke
Logiken für spez. Anwendungen
Endliche Automaten und formale Sprachen
Teil II: Formale Grundlagen der Informatik II
Logik in der Informatik
Martin Ziegler
Sommer 2011
Professor für Angewandte Logik
TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik
(Folien wesentlich basierend auf Prof. M Otto)
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
Logik und Logik in der Informatik
Logik und Logik in der Informatik
• formalisierte Aussagen
über Eigenschaften von Systemen
→ Spezifikation
• formalisierte Eigenschaften
von Elementen in Strukturen
→ z.B. DB Abfragen
• systematisches Nachprüfen
von Eigenschaften von Systemen
→ Verifikation, model checking
• systematische Auswertung
→ z.B. Abfrageauswertung
• logische Beziehungen & Kriterien
– Implikation (→)/Subsumption (⊆)
– Äquivalenzen (z.B. zur Abfrageoptimierung)
– Leerheitstest
• logische Beziehungen & Kriterien
– Folgerungen
– Äquivalenzen
– Erfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit
SYNTAX und SEMANTIK
SYNTAX und SEMANTIK
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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3/155
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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Logik und Logik in der Informatik
Literatur
• systematisches logisches Schließen;
Deduktion, formales Beweisen
→ Wissensrepräsentation, KI
→ automatisches/interaktives Beweisen, . . .
Burris: Logic for Mathematics and Computer Science
Prentice-Hall 1998.
Ben-Ari: Mathematical Logic for Computer Science
Springer 1993.
Ebbinghaus, Flum, Thomas:
Einführung in die mathematische Logik
Spektrum 1998.
SYNTAX und SEMANTIK
Schöning: Logik für Informatiker
Spektrum 2000.
historisch: Grundlagen der Mathematik
formales Beweisen und seine Rechtfertigung
von Grundlagenfragen der Mathematik zu:
Fragen der Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit (Church, Turing)
Kernfragen der theoretischen Informatik
(vorweggenommen)
seither: immer neue praktische Anwendungen in der Informatik
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
M.Otto und M.Ziegler
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AL
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
Teil 1: Aussagenlogik, AL
M.Otto und M.Ziegler
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AL
George Boole
(1815–1864)
Gegenstandsbereich:
Verknüpfungen elementarer Aussagen mittels
Boolescher logischer Verknüpfungen
Boolesche Verknüpfungen (Junktoren): ¬, ∧, ∨, →, . . .
Wesentlich:
• strukturierte Formalisierung komplexerer Eigenschaften
• modulare Semantik
• kombinatorisch-algebraischer Charakter der Logik (Boole)
• korrekte und vollständige Beweiskalküle
Algebraisierung/Mathematisierung der Logik
z.B. The Mathematical Analysis of Logic,
Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning
1847
An Investigation of the Laws of Thought, 1854
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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Teil 1: AL
Syntax & Semantik
AL 1
AL Syntax
Teil 1: AL
Definition 1.1
Symbole: 0, 1; p, q, r , . . . , p1 , p2 , . . .; ¬, ∧, ∨, . . .; (, )
AL Syntax
z.B.
0, 1, p in AL(V) (wobei p ∈ V).
für ϕ ∈ AL(V) ist auch ¬ϕ ∈ AL(V).
Negation:
AL := AL(V), V = {pi : i > 1}
ALn := AL(Vn ), Vn = {pi : 1 6 i 6 n}
für ϕ, ψ ∈ AL(V) ist auch (ϕ ∨ ψ) ∈ AL(V).
Disjunktion:
(ϕ → ψ) := (¬ϕ ∨ ψ),
(ϕ ↔ ψ) := (¬ϕ ∧ ¬ψ) ∨ (ϕ ∧ ψ) .
statt allg. AL(V) oft auch für standardisierte Variablenmengen:
für ϕ, ψ ∈ AL(V) ist auch (ϕ ∧ ψ) ∈ AL(V).
Konjunktion:
AL 1
evtl. weitere Junktoren, offiziell hier nur als Abkürzungen:
AL(V), die Menge der AL-Formeln über V
zu geg. AL-Variablenmenge V, induktiv erzeugt:
atomare Formeln:
Syntax & Semantik
Übung: Kontextfreie Grammatik (für AL(V n ))
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
M.Otto und M.Ziegler
Syntax & Semantik
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AL 1
AL Semantik
Interpretationen
von Belegungen der AL-Variablen
zu Wahrheitswerten für AL-Formeln: Wahrheitswerte in B = {0, 1}
I interpretiert p als
“wahr”
“falsch”
Sommer 2011
Teil 1: AL
Definition 1.4
V-Interpretation (Belegung):
FGdI II
I : V −→ B
p 7−→ I(p)
Syntax & Semantik
AL 1
Wahrheitswerte für Formeln ϕ ∈ AL(V)
bzgl. einer geg. V-Interpretatation I
Funktion ϕ 7−→ ϕI induktiv:
wenn I(p) = 1,
wenn I(p) = 0.
atomare Formeln:
0I := 0; 1I := 1; p I := I(p).
Negation:
(¬ϕ)I := 1 − ϕI .
Konjunktion:
zur Definition der Semantik von Formeln ϕ ∈ AL(V)
über geg. V-Interpretation I:
I:
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AL Semantik: Wahrheitswerte
Disjunktion:
definiere Wahrheitswertfunktion
M.Otto und M.Ziegler
(ϕ ∧ ψ)I := min(ϕI , ψ I ).
(ϕ ∨ ψ)I := max(ϕI , ψ I ).
AL(V) −→ B
ϕ 7−→ ϕI
induktiv über den Aufbau der Formeln ϕ
als Fortsetzung der Variablen-Belegung
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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Teil 1: AL
Syntax & Semantik
AL 1
Teil 1: AL
Syntax & Semantik
AL 1
AL Semantik: Modellbeziehung
AL Semantik: Wahrheitstafeln
aus Funktion ϕ 7−→ ϕI definiere:
für ϕ ∈ ALn schreiben wir auch ϕ = ϕ(p1 , . . . , pn )
für (b1 , . . . , bn ) ∈ Bn sei
I
ϕ für Interpretation I
ϕ[b1 , . . . , bn ] :=
mit (I(pi ) = bi )i=1,...,n
I erfüllt ϕ gdw. ϕI = 1
Schreibweise:
Sprechweisen:
I |= ϕ.
I erfüllt ϕ,
I ist Modell von ϕ,
ϕ ist wahr unter I.
der Wahrheitswert von ϕ auf (b1 , . . . , bn ).
Wahrheitstafel:
Wertetabelle der Funktion
Für Formelmengen Φ ⊆ AL(V) entsprechend:
I |= Φ gdw. I |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ.
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
Bn −→ B
(b1 , . . . , bn ) 7−→ ϕ[b1 , . . . , bn ]
Diese Information bestimmt die Semantik von ϕ vollständig!
M.Otto und M.Ziegler
Syntax & Semantik
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AL 1
FGdI II
Teil 1: AL
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
Semantik
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AL 2
AL Semantik: Wahrheitstafeln
grundlegende semantische Begriffe
Semantik der Junktoren anhand ihrer Wahrheitstafeln:
Folgerung, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit
p
0
1
p
0
0
1
1
FGdI II
¬p
1
0
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
Sommer 2011
p∧q
0
0
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
(1) Folgerungsbeziehung ϕ |= ψ
für ϕ, ψ ∈ AL(V):
ψ folgt aus ϕ, wenn für jede V-Interpretation I gilt:
aus I |= ϕ folgt I |= ψ.
Entsprechend Φ |= ψ für Formelmengen Φ
p↔q
1
0
0
1
M.Otto und M.Ziegler
→ Abschnitt 2.1
(2) Allgemeingültigkeit |= ϕ
ϕ ∈ AL(V) allgemeingültig, wenn für alle V-Interpretationen I gilt:
I |= ϕ.
Beispiele
ϕ |= ϕ ∨ ψ,
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FGdI II
ϕ |= (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ ¬ψ),
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
|= ϕ ∨ ¬ϕ
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Teil 1: AL
Semantik
AL 2
grundlegende semantische Begriffe
Teil 1: AL
→ Abschnitt 2.2
Semantik
AL 2
grundlegende semantische Begriffe
→ Abschnitt 2.3
Folgerung, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit
Folgerung, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit
(3) Logische Äquivalenz ϕ ≡ ψ
Erfüllbarkeit
ϕ ∈ AL(V) erfüllbar,
wenn es mindestens eine V-Interpretation I gibt mit I |= ϕ.
ϕ, ψ ∈ AL(V) heißen logisch äquivalent (Schreibweise: ϕ ≡ ψ)
wenn für alle V-Interpretationen I gilt:
I |= ϕ gdw. I |= ψ
d.h. identische Wahrheitstafeln!
Es gilt:
ϕ≡ψ
ϕ |= ψ und ψ |= ϕ
gdw.
Beispiele:
gdw.
analog für Formelmengen Φ ⊆ AL:
Φ erfüllbar, wenn I |= Φ für mindestens ein I.
wichtig:
|= ϕ ↔ ψ
gdw. ¬ϕ nicht allgemeingültig
ϕ erfüllbar
¬¬p ≡ p, p ∨ 0 ≡ p, p ∧ 0 ≡ 0, . . .
p ∨ q ≡ q ∨ p, (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r ), . . .
(p ∨ q) ≡ ¬(¬p ∧ ¬q), (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
p ∨ (q ∧ r ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ), p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
M.Otto und M.Ziegler
Semantik
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AL 2
FGdI II
Sommer 2011
Teil 1: AL
M.Otto und M.Ziegler
Boolesche Funktionen
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AL 3
Erfüllbarkeit
AL und Boolesche Funktionen
Zentrale Rolle der Erfüllbarkeit (SAT):
Bn : die Menge aller n-stelligen Booleschen Funktionen
•
•
•
•
|= ϕ gdw.
ϕ |= ψ
Φ |= ψ
ϕ≡ψ
gdw.
gdw.
gdw.
f : Bn −→ B
(b1 , . . . , bn ) 7−→ f (b1 , . . . , bn )
¬ϕ nicht erfüllbar.
ϕ ∧ ¬ψ nicht erfüllbar.
speziell für ϕ ∈ ALn :
Φ ∪ {¬ψ} nicht erfüllbar.
fϕ : Bn −→ B
(b1 , . . . , bn ) 7−→ ϕ[b1 , . . . , bn ]
weder ϕ ∧ ¬ψ noch ¬ϕ ∧ ψ erfüllbar.
beachte:
AL Erfüllbarkeitsproblem (SAT(AL)) entscheidbar:
also:
– wie?
– mit welchem Aufwand? (Komplexität)
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
gdw. ϕ ≡ ψ
ALn ≡ −→ Bn
[ϕ]≡ 7−→ fϕ
∈ Bn
fϕ = fψ
SAT(AL) = {ϕ ∈ AL : ϕ erfüllbar } entscheidbar
– wie sieht ein Zertifikat aus für Un-/Erfüllbarkeit?
→ Abschnitt 3
injektiv!
Fragen:
(P vs. N P)
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• wieviele n-stellige Boolesche Funktionen gibt es?; |Bn | =?
• ist jedes f ∈ Bn durch AL-Formel ϕ ∈ ALn darstellbar?
FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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Teil 1: AL
Boolesche Funktionen
AL 3
Teil 1: AL
Disjunktive und konjunktive Normalformen, DNF, KNF
Nomenklatur:
p bzw. ¬p (für p ∈ V) heißen Literale
Funktionale Vollständigkeit von ALn für Bn :
zu jedem f ∈ Bn existiert DNF-Formel ϕ ∈ ALn mit f = fϕ .
(⇒ bijektive Korrespondenz zw. Bn und ALn ≡)
“große” Konjunktion/Disjunktion (Schreibweisen):
Beweis:
für endliche Formelmenge Φ = {ϕ1 , . . . , ϕn }:
V
V
Φ := ni=1 ϕi = ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn
W
W
Φ := ni=1 ϕi = ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn
betrachte ϕf :=
Konvention: auch leere Disjunktionen/Konjunktionen zulässig
W
mit der Interpretation: ∅ ≡ 0 (!)
V
∅ ≡ 1 (!)
Sommer 2011
Teil 1: AL
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AL 3
→ Abschnitt 3.2
nützliche Umformungen/Rechenregeln
¬(ϕ1 ∧ ϕ2 ) ≡ ¬ϕ1 ∨ ¬ϕ2 verallgemeinert sich zu ¬
wobei Φ¬ := ¬ϕ : ϕ ∈ Φ
¬(ϕ1 ∨ ϕ2 ) ≡ ¬ϕ1 ∧ ¬ϕ2 verallgemeinert sich zu ¬
¬
¬
für KNF ←→ DNF:
k
^
i=1
|
_
Ci
{z }
KNF
FGdI II
Teil 1: AL
Dualität Konjunktion/Disjunktion
≡
V W ¬
Φ ≡ Φ
i=1
|
^
Ci¬
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
Boolesche Funktionen
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AL 3
Beispiel für exponentiellen “blow-up”
Vm
ϕm = ϕm (p1 , . . . , p2m ) :=
i=1 ¬(p2i−1 ↔ p2i ) ∈ AL2m
• ϕm hat genau 2m erfüllende Interpretationen in B2m
• KNF von Länge ∼ m (linear in m):
V
ϕm ≡ m
i=1 (p2i−1 ∨ p2i ) ∧ (¬p2i−1 ∨ ¬p2i )
W V ¬
Φ ≡ Φ
k
_
_
ϕb : f (b) = 1
^
^
wo ϕb = {pi : bi = 1} ∧ {¬pi : bi = 0}
Korollar: Satz über DNF und KNF
(
DNF-Formel ϕ1 ∈ ALn mit ϕ1 ≡ ϕ,
zu ϕ ∈ ALn existieren stets:
KNF-Formel ϕ2 ∈ ALn mit ϕ2 ≡ ϕ.
M.Otto und M.Ziegler
Boolesche Funktionen
AL 3
Funktionale Vollständigkeit
Disjunktionen von Konjunktionen von Literalen: DNF-Formeln
Konjunktionen von Disjunktionen von Literalen: KNF-Formeln
FGdI II
Boolesche Funktionen
• DNF in Länge ∼ 2m2m (exponentiell in m):
W
ϕm ≡
ϕb : b ∈ B2m , ϕm [b] = 1
{z
}
DNF (∗ )
• keine kürzere DNF:
keine kürzeren Disjunktionsglieder!
keine redundanten Disjunktionsglieder!
C1 , . . . , Ck (endl.) Mengen von Literalen
∗
FGdI II
Sommer 2011
Doppelnegationen in den Ci¬ eliminieren
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FGdI II
Sommer 2011
M.Otto und M.Ziegler
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