Anhang: Stetigkeit

R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Anhang: Stetigkeit
0
Klaus Schindler
athemat ik
t
ehrs ab
Universität des Saarlandes
Fakultät 1
ML
http://www.mathe.wiwi.uni-sb.de
Advanced Quantitative Methods for Economists
WS 2014/2015
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Offene/abgeschlossene Mengen
Definition B.1
a) Jede Menge U mit Uε (g) ⊂ U heißt Umgebung von g.
U(g) bezeichne das Mengensystem aller Umgebungen von g.
∞ konvergiert gegen den Grenzwert g , wenn außerhalb
b) (xn )n=1
jeder Umgebung von g nur endlich viele Folgenelemente liegen
N ∀n>N : xn ∈Uε(g)
∀U∈U(g) ∃N∈
c) x? heißt innerer Punkt einer Menge M, wenn eine Umgebung
von x? ganz in M liegt.
d) Menge O heißt offen, wenn jeder Punkt in O innerer Punkt ist.
e) Eine Menge A ⊂
Rk heißt abgeschlossen, wenn {A offen ist.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Offene/abgeschlossene Mengen
Satz B.2
R
A⊂ k ist genau dann abgeschlossen, wenn A bzgl. der Grenzwert∞ eine Folge in A, die
bildung abgeschlossen ist, d.h. ist (xn )n=1
konvergiert, so liegt der Grenzwert in A.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Offene/abgeschlossene Mengen
Eigenschaften B.3
(1) ∅ und
Rk sind offene und abgeschlossene Mengen.
(2) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(3) Endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen.
∞
T
Beachte:
]− n1 , n1 [ = {0}
n=1
(4) Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(5) Die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist
abgeschlossen.
Beachte:
∞
S
[ n1 , 1− n1 ] = ]0, 1[
n=1
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Definition B.4
Ein Mengensystem T in einer Menge Ω mit Eigenschaften (1), (2)
und (3) heißt Topologie. (Ω, T) heißt topologischer Raum.
a) Die Elemente von T heißen offene Mengen. Eine Menge A ⊂ Ω
heißt abgeschlossen, wenn {A offen ist.
b) Eine Menge U ⊂ Ω heißt Umgebung von g ∈ Ω, wenn eine
offene Menge O existiert mit g ∈ O ⊂ U.
U(g) bezeichne das System aller Umgebungen von g.
∞ in Ω konvergiert gegen den Grenzwert g,
c) Eine Folge (xn )n=1
wenn außerhalb jeder Umgebung von g nur endlich viele
Folgenelemente liegen
N ∀n>N : xn ∈U(g)
∀U∈U(g) ∃N∈
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Definition B.5
Sei M eine Teilmenge eines topologischen Raumes (Ω, T).
a) Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die M enthalten,
ist abgeschlossen und kleinste abgeschlossene Menge, die M
enthält. Bezeichnung: Abschluss von M
Notation: M
M=
T
A
M⊂A
A abg
b) Vereinigung aller offenen Mengen, die in M liegen, ist offen und
die größte offene Menge, die in M liegt.
◦
Notation: M oder M ◦
Bezeichnung: offener Kern von M
◦
M=
S
O
O⊂M
O offen
◦
c) Der Rand von M ist die Menge M\M. Man schreibt ∂M.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Satz B.6 (Heine-Borel)
R
Eine Menge K ⊂ k ist genau dann kompakt (d.h. abgeschlossen
und beschränkt), wenn jede offene Überdeckung von K eine
endliche Teilüberdeckung besitzt.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Definition B.7
Eine Teilmenge K eines topologischen Raumes (Ω, T) heißt
kompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche
Teilüberdeckung besitzt.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Definition B.8
Ein topologischer Raum (Ω, T) heißt separiert oder
Hausdorff-Raum, wenn zu allen Punkten a, b∈Ω mit a 6= b
Umgebungen U ∈ U(a) und V ∈ U(b) mit U ∩ V = ∅ existieren.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Satz B.9
Sei (Ω, T) ein topologischer Raum. Dann gilt:
a) Ω ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn der Durchschnitt
aller abgeschlossenen Umgebungen eines jeden Punktes x
gleich {x} ist. Insbesondere ist in einem Hausdorff-Raum jede
endliche Menge abgeschlossen.
b) Ist Ω ein Hausdorff-Raum und K eine kompakte Teilmenge, so
existieren zu jedem x∈{K offene Mengen U und V mit
K ⊂U, x ∈V
und U ∩ V = ∅
Insbesondere sind kompakte (also auch endliche) Teilmengen
von Hausdorff-Räumen abgeschlossen.
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Umgebung, Konvergenz
Kompakte Mengen
Hausdorff-Räume
Satz B.10
Ist (Kn )∞
n=1 eine antitone Folge nichtleerer kompakter Mengen in
einem separierten topologischen Raum, so gilt
lim Kn =
n→∞
Klaus Schindler
∞
T
Kn 6= ∅
n=1
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Satz B.11
D R
D ⊂ Rk . Für x?∈D sind
Sei f : → m eine Funktion mit
folgende Aussagen äquivalent:
1.) lim? f (x) = f (x? ) = f lim? x
x→x
x→x
2.) ∀ε>0 ∃δ>0 : kx−x? k < δ =⇒ kf (x)−f (x? )k < ε
3.) ∀ε>0 ∃δ>0 : f Uδ (x? ) ⊂ Uε (f (x? ))
4.) ∀ε>0 ∃δ>0 : Uδ (x? ) ⊂ f −1 Uε (f (x? ))
Ist eine der vier äquivalenten Aussagen erfüllt, so heißt f stetig im
Punkt x? . f heißt stetig auf , wenn f in jedem Punkt des
Definitionsbereiches
stetig ist.
D
D
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Satz B.12
R
Sei f : k →
äquivalent:
Rm eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen
a) f ist stetig
b) Urbilder offener Mengen sind offene Mengen
c) Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossene Mengen
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Definition B.13
Eine Abbildung f : X → Y zwischen den topologischen Räumen
(X , TX ) und (Y , TY ) heißt stetig, wenn die Urbilder offener
Mengen offen sind, d.h. wenn gilt
f −1 (TY ) ⊂ TX
Klaus Schindler
Kapitel 5
R
Topologie des k
Allgemeine Topologie
Stetigkeit
Satz B.14
a) Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf kompakte
Mengen ab.
b) Stetige reellwertige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen
Minimum und Maximum an.
Klaus Schindler
Kapitel 5