Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik

Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik
Die klassischen Gesetzte der Elektrotechnik wie U =RI gelten genau genommen nur für den
statischen Fall, wenn also keine zeitlichen Veränderungen auftreten. Im dynamischen Fall mit
wechselnden Verhältnissen braucht man sogenannte Differentialgleichungen. Diese Gleichungen
sind aber schwer zu lösen, oft sogar nur numerisch und schrittweise1. Dynamische Phänomene
treten vor allem beim Betrieb mit Wechselstrom auf, genau genommen aber auch schon bei Einund Ausschaltprozessen2.Entspricht der Wechselstrom, wie meist üblich, einer Sinusschwingung
sind die Differentialgleichungen relativ einfach und können mittels komplexen Funktionen gelöst
werden, bei einfachen Schaltung sogar via Zeigerdiagramm3.
Hinweis: In der Elektronik steht i meist für die Stromstärke zu einem gegebenen Zeitpunkt. Um
Verwechslungen zu vermeiden wird deshalb für die imaginäre Zahl j anstelle von i verwendet.
Hinweis: Bei periodischen Verhalten wird je nachdem die Frequenz f (Anzahl
Umläufe pro Zeiteinheit), die Kreisfrequenz ω (überstrichener Winkel in
Bogenmass pro Zeiteinheit) oder die Periodendauer T verwendet.
ω=2 π f =
2π
T
Zeigerdiagramm und komplexe Zahlen
Anstelle des Zeigerdiagramm zur Darstellung der Impedanz, kann man
auch eine komplexe Zahl Z verwenden. In kartesischer Form entspricht
Re(Z) dem Wirkwiderstand R und Im(Z) dem Blindwiderstand X, in
polarer Darstellung die Länge r dem Scheinwiderstand Z und der Winkel
φ der Phasenverschiebung.
Einfachere Schaltungen lassen sich durchaus mittels Verkettung der einzelnen
Zeiger lösen. So zeigt das Zeigerdiagramm links eine serielle Schaltung eines
Widerstandes, einer Spule und eines Kondensators sowie den resultierenden
Scheinwiderstand URLC. Bei komplexeren Schaltungen kommt man diesem
Vorgehen aber schnell einmal an die Grenzen.
Bauteile und Formeln
Ein idealer Widerstand verhält sich bei Wechselstrom gleich wie bei Gleichstrom,
erzeugt also weder Blindwiderstand noch Phasenverschiebung.
Z =R
Eine ideale Spule (ohne Eigenwiderstand) reagiert auf eine Änderung des Stroms mit einer
entgegengesetzten proportionalen Spannung. Im Falle eines Sinusförmigen Wechselstroms, ist diese
Spannung um 90° phasenverschoben (Die Spannung eilt dem Strom voraus). Meist hat die Spule
aber einen Eigenwiderstand und somit eine Phasenverschiebung kleiner als 90°.
Ein idealer Kondensator reagiert auf eine Änderung der Spannung mit einem entgegengesetzten
proportionalem Strom. Im Falle eines Sinusförmigen Wechselstroms, ist dieser Strom um 90°
phasenverschoben (Der Strom eilt der Spannung voraus).
1 Das heisst, man muss relative kleine Zeitschritte wählen und kann jeweils nur vom aktuellen Zeitpunkt ausgehend
den nächsten berechnen. Die direkte Berechnung der Werte zu einem beliebigen Zeitpunkt ist nicht möglich.
2 In der Physik ändert sich nichts schlagartig. So springt bei einem Anschaltvorgang der Strom nicht sofort auf den
Wert des statischen Systems, sondern wächst kontinuierlich an, ähnlich einem Fahrzeug, das beschleunigen muss,
um eine Geschwindigkeit zu erreichen.
3 In beiden Fällen müssen sich die Bauteile zudem bezüglich Spannung, Strom und Frequenz linear verhalten.
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Jörg Mäder (23.01.2014)
Übersicht
Spule
Differentialgleichungen
Wechselstrom
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u (t)= L⋅i ' (t )
Kondensator
5
i(t )=C⋅u ' (t )
u (t)=ω L I 0 cos (ω t)
i(t )=ω C U 0 cos (ω t )
Impedanz ideal
(ohne Eigenwiderstand7)
Z = jω L
Verhalten bei ω → ∞
Isolator
Kurzschluss
Verhalten bei ω → 0
Kurzschluss
Isolator
Z =−j
1
1
=
ω C jω C
Berechnungen
Da eine komplexe Zahl die Situation eines
Zeigers vollständig wiedergeben kann, kann
man wieder mit den bekannten Regeln aus der
Gleichstromelektronik arbeiten. Widerstand
(W), Kondensator (C) und Spule (L) können
also auf die gleiche Art behandelt werden und
werden daher öfters mit Z in Formeln notiert.
2 Bauteile
n Bauteile
Seriell
Z s=Z 1 +Z 2
Z s=Z 1 + Z 2 +...+ Z n
Parallel
Z Z
Z p= 1 2
Z 1 +Z 2
Z p=
1
1 1
1
+ +...+
Z1 Z2
Zn
Bei komplexeren Schaltungen geht man ebenfalls wie gewohnt von Innen nach Aussen vor, wobei
immer Schaltungen des gleichen Typs (rein seriell oder rein parallel) zusammengefasst werden.
Beispiel
Zuerst berechnet man R2 & C3
parallel, anschliessend seriell
mit R1 und dann parallel mit C4.
→ Z 23=
Z R2 Z C3
Z R2 + Z C3
1
=−500 j
ω C1
1
Z R2=200 Z C2=− j
=−100 j
ω C2
Z R1=100
→ Z 123 =Z R1+ Z 13 → Z tot =
Z C1=− j
Z 123 Z C4
=87.66∢−72.40 °=26.51−83.56 j
Z 123 + Z C4
Tipp: Die einzelnen Bauteile (R, C & L) nicht separat sondern gemeinsam durchnummerieren.
Dadurch werden Verwechslungen vermieden. Bei Zwischenergebnisse entweder die Nummern
kombinieren (siehe Beispiel oben) oder die nächsthöhere zuordnen. Am besten kreist man die
entsprechenden Teile in der Skizze ein und beschriftet diesen entsprechend.
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7
Differentialgleichungen werden in einem eigenen Kapitel behandelt.
Zu lesen als: Die Spannung zum Zeitpunkt t ist mit Faktor L proportional zur Änderung des Stroms zum Zeitpunkt t.
Sinusförmiger Wechselstrom: i (t )=I 0 sin (ω t )
Um den Eigen- oder Innenwiderstand zu berücksichtigen, addiert man diesen in Serie zum Bauteil.
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Jörg Mäder (23.01.2014)
Frequenzabhängigkeit
Das Bild rechts zeigt den Effekt der Frequenz auf
die Impedanz der innen gezeigten Schaltung als
parametrische Grafik, wobei die Frequenz als
Parameter verwendet wird.
Bei 0Hz (Gleichstrom) hat der Kondensator keinen
Einfluss (Isolator), bei sehr hoher Frequenz (ω nahe
bei ∞) schliesst er den 10Ω Widerstand kurz. Bei
etwas unter 10Hz ist der Scheinwiderstand maximal.
Übertragungsfunktion
Die Schaltung rechts ist als Spannungsteiler für Gleichstrom bekannt. Durch richtige
Wahl der beiden Widerstände R1 und R2 kann die Eingangsspannung UE in einen
beliebige kleinere Spannung UA verwandelt werden.
Bei Wechselstrom verhalten sich, wie oben gezeigt, Spule und
Kondensator analog wie Widerstände, sofern man mit Impedanzen, also
komplexen Zahlen, rechnet. Man kann dadurch in der Schaltung des
Spannungsteilers auch Spulen und Kondensatoren einsetzen8.
Die Ausgangsspannung hängt nun aber nicht nur von den beiden
Bausteinen Z1 und Z2 ab, sondern auch von der Kreisfrequenz ω.
Die Funktion, die diese Abhängigkeit beschreibt, nennt man
Übertragungsfunktion. Analog zum Spannungsteiler basiert sie auf
dem Verhältnis von Impedanz über den Abgreifpunkten von UA zur Gesamten.
f (ω)=
U A Z1
=
U E Z tot
Typische Anwendung sind Hoch- und Tiefpassfilter, bei denen Z1 respektive Z2 durch einen
Kondensator ersetzt werden.
Tiefpassfilter: Ist der Kondensator über dem Ausgang montiert (Z1), erzeugt dieser bei sehr hohen
Frequenzen kleine Impedanzen, so dass Z1 im Vergleich zur Gesamtimpedanz sehr klein ist und
somit nur eine kleine Ausgangsspannung gemessen wird. Hohe Frequenzen werden also gedämpft
und somit heraus gefiltert. Bei tiefen Frequenzen wirkt der Kondensator als Isolator mit hoher
Impedanz und somit bleibt ein grosser Teil der Spannung erhalten. Tiefe Frequenzen passieren
entsprechend den Filter.
Hochpassfilter: Funktioniert analog wie der Tiefpassfilter, wobei der Kondensator bei Z2 montiert
wird, einfach mit umgekehrter Argumentation.
Ein Audiosignal ist natürlich aus mehr als nur einer Frequenz zusammengesetzt, von daher
funktioniert die einfache komplexe Mathematik nicht direkt. Da aber ein Audiosignal meistens die
Summe aus einzelnen reinen Sinusschwingung ist9, funktioniert die oben verwendete
Argumentation weitgehend doch.
8 Oder auch ganze Schaltungen aus diesen.
9 Im Gegensatz zu einem Geräusch, das viel chaotischer strukturiert ist.
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Jörg Mäder (23.01.2014)
Frequenzabhängige Dämpfung
Die beiden Filter sollten die entsprechenden Frequenzen nicht nur ein bisschen dämpfen sondern
um Grössenordnungen abschwächen, so dass der Eindruck entsteht, sie seinen komplett ausgefiltert
worden. Um das Verhalten des Filters grafische aufzuzeigen wäre also die direkte Darstellung der
Übertragungsfunktion ungeeignet. Meist wird deshalb der Logarithmus des ScheinU
widerstand10 multipliziert mit 20 dargestellt. (Dezibel [db]). Der Faktor 20 besteht
20 lg A
aus Faktor 10 für das Dezi in Dezibel und 2 für das Quadrat der Spannung bei der
UE
Leistungsberechnung ( log (a2 )=2 log (a) ).
∣ ∣
Das Bild links zeigt die entsprechende
Grafik eines Hochpassfilters. Der
Widerstand über UA misst 20Ω, der
Kondensator hat 3mF. Oberhalb von 10Hz
wird das Signal nicht gedämpft, unterhalb
hingegen schon.
Da auch bei der Frequenz sehr grosse
Wertbereiche dargestellt werden müssen, ist
horizontale Achse meist logarithmisch11.
Die Abbildung rechts zeigt einen Tiefpassfilter,
wobei die Y-Achse hier direkt als Dämpfungsfaktor angegeben ist (logarithmisch) und nicht
etwa in dB. Hohe Frequenzen (ab 1Hz) werden
gedämpft, bei 50Hz schon etwas mit einem
Faktor 10.
Hinweis: Die Schaltung, für die eine Übertragungsfunktion berechnet wird, kann auch komplexer
sein. Entscheidend ist das Verhältnis der Impedanzen über Ausgang und Eingang.
Ein etwas komplizierteres Beispiel mit 2 Widerständen (je 1MΩ) und einem Kondensator (250nF)
10 Nicht vergessen: bei komplexen Zahlen steht |x| für die Länge des Vektors.
11 Man beachte das zyklische enger werden der vertikalen Linien (Stichwort Skala eines Rechenschiebers)
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Jörg Mäder (23.01.2014)