Übung 1

Wintersemester 2015/16
A. Hinrichs, B. Eichinger, R. Lechner
Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis und
Integrationstheorie
1. Serie
Ankreuzen vor der Übung am 15.10.2015
Aufgabe 1
(a) Seien A1 , A2 ⊆ P(Ω) zwei σ-Algebren. Zeigen Sie, dass A1 ∩ A2 eine σ-Algebra ist.
(b) Sei I eine beliebige Indexmenge
und sei für jedes i ∈ I eine σ-Algebra Ai ⊆ P(Ω) gegeben.
\
Zeigen Sie, dass auch
Ai eine σ-Algebra ist.
i∈I
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass für jede Menge Ω das Mengensystem
A = {A ⊆ Ω : A oder Ω \ A ist höchstens abzählbar}
eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 3
Seien Ω und Ω0 zwei Mengen und f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Weiter sei A ⊆ P(Ω) eine
σ-Algebra. Zeigen Sie, dass dann auch
A0 := {A0 ⊆ Ω0 : f −1 (A0 ) ∈ A}
eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4
Sei Ω = Q die Menge der rationalen Zahlen und A := {(a, b] ⊂ Q : a, b ∈ Q}. Bestimmen Sie
die von A erzeugte σ-Algebra σ(A) ⊆ P(Q).
Aufgabe 5
Zeigen Sie, dass eine σ-Algebra entweder endlich viele oder überabzählbar viele Elemente hat.
Hinweis: Hierbei können Sie nach folgenden Schritten vorgehen
• Nehmen Sie an dass eine σ-Algebra A ⊆ P(Ω) abzählbar unendlich viele Elemente enthält und betrachten Sie die
Mengen
o
\n
Mx =
A : A ∈ A, x ∈ A
für x ∈ Ω.
• Zeigen Sie, dass zwei dieser Mengen Mx und My entweder gleich oder disjunkt sind.
• Folgern Sie, dass es entweder endlich viele oder abzählbar unendlich viele dieser Mengen gibt.
• Zeigen Sie, dass es nicht nur endlich viele geben kann. Also gibt es abzählbar unendlich viele.
• Zeigen Sie schließlich, dass das System aller Vereinigungen solcher Mengen Mx überabzählbar ist.
Aufgabe 6
Ist (An )n∈N eine Folge von Teilmengen einer Menge Ω, so definiert man
lim sup An = {ω ∈ A : ω ∈ An für unendlich viele n ∈ N}
n∈N
lim inf An = {ω ∈ A : ω ∈ An für fast alle n ∈ N}.
n∈N
Wir erinnern hier daran, dass fast alle synonym mit für alle bis auf endlich viele ist. Zeigen Sie,
dass man lim supn∈N An und lim inf n∈N An auch durch die Ausdrücke
∞ \
[
Ai
und
n=1 i≥n
∞ [
\
Ai
n=1 i≥n
definieren kann. Welcher der Ausdrücke ist lim supn∈N An , welcher lim inf n∈N An ?
Aufgabe 7
Sei (An )n∈N eine Folge von Teilmengen von R. Man sagt, dass die Folge (An )n∈N gegen die
Menge A ⊆ R konvergiert (und schreibt dann An → A oder limn→∞ An = A,) falls
A = lim sup An = lim inf An
n∈N
n∈N
gilt. Zeigen Sie:
(a) Ist die Folge (An )n∈N monoton steigend (d.h. An ⊆ An+1 für alle n ∈ N), dann gilt
lim An =
n→∞
∞
[
An .
n=1
(b) Formulieren und zeigen Sie die entsprechende Aussage für monoton fallende Folgen (An )n∈N
(d.h. An+1 ⊆ An für alle n ∈ N).
(c) Für eine Menge A sei χA die charakteristische Funktion von A. Zeigen Sie: Es gilt An → A
genau dann, wenn χAn → χA punktweise konvergiert.
(d) Eine Folge paarweise disjunkter Mengen konvergiert. Was ist der Grenzwert?